使用MCMC估计风险贡献

具有2019年1月18日Koikeminami2019Varcontarxiv阿基米德生成器ψ的d维阿基米德copula由cψ（u）=ψ给出dXj=1ψ-1（uj）, （A6）式中，ψ是连续的非递增函数ψ：[0，∞] → [0，1]满足ψ（0）=1，且限制→∞ψ（t）=0，并且在[0，inf{t：ψ（t）=0}]上递减。逆ψ-1（u）是明确的onu∈ （0，1）和ψ-1（0）由ψ定义-1（0）=inf{t：ψ（t）=0}。设ψ（j）为ψ的第j阶导数。阿基米德产生器ψ通过（A6）为任何d≥ 1当且仅当ψ是完全单调的，即(-1） jψ（j）≥ 0开（0，∞) 对于所有j=0，1；见McNeil等人（2009年）。我们将完全单调生成元类表示为ψ∞. 根据伯恩斯坦定理（例如，参见Feller 2008），ψ∈ ψ∞允许Laplace-Stieltjes表示ψ（t）=EF[e-对于某些正随机变量V>0。定理A.2（C3）的生存阿基米德连接函数的有效条件）Letψ∈ ψ∞是一个完全单调的阿基米德生成器。如果E【Vd】<∞ 式中，V为ψ（t）=E[E-tV]，则生存阿基米德连接函数Cψ的密度满足orem a.1中的条件（C3）；此外，’Cψ的尾部相关系数为零。证据表示“uj=Fj（v）<1且uj=1”- \'\'uj>0。生存阿基米德copula的密度由'cψ（u）=cψ（1）给出- u） =ψ（d）dXj=1ψ-1（1- uj）dYj=1ψ（1）（ψ-1（1- uj））=(-1） dψ（d）（t）dYj=1(-1） ψ（1）（tj），（A7），其中tj=ψ-1（1- uj）和t=Pdj=1tj。当uj∈ [0，Fj（v）]，我们有0<uj≤ 1.- uj公司≤ 1和tj=ψ-1（1- uj）∈ [0，\'tj]其中\'tj=ψ-1（uj）<∞. 因此，0≤ t=Pdj=1lj<∞.自ψ起∈ ψ∞, 其形式为ψ（t）=E[E-对于某些正随机变量V>0。因此，在0上≤ t<∞, 我们有0个<(-1） jψ（j）（t）<∞ 对于j=1和j=d，自(-1） jψ（j）（t）=E[Vje-tV]>0和E[Vje-电视]≤ E【Vj】<∞ 假设j=1和j=d。

因此，密度（A7）是从下方和上方限定的。当E【Vd】<∞, 相应的阿基米德copula具有上尾相关系数λu（Cψ）=2- 2极限→01- ψ（2t）1- ψ（t）=2- 2极限→0ψ（1）（2t）ψ（1）（t），其中最后一个等式来自l\'H^opital规则。辛塞利姆特→0ψ（1）（2t）ψ（1）（t）=极限→0个(-1） ψ（1）（2t）(-1） ψ（1）（t）=极限→0E[V e-2tV]E[V E-电视]=1自E[V E-2tV]和E[V E-电视]转到E[V]<∞ 作为t→ 因此，对于存活的阿基米德copula，λl（(R)Cψ）=λu（Cψ）=0。2019年1月18日Koikeminami2019Varcontarxiv根据定理A.2，存活的Clayton copula满足（C3），而存活的Gumbel copula不满足，因为它具有正的较低的尾部依赖系数；见Hofferet al.（2012）。备注2（尾部相关性较低的copula的一致性和CLT）条件（C3）不适用于尾部相关性较低的椭圆copula，例如密度t（u；ν，P）=Γ（ν+d）Γ（ν）| P |Γ（ν+1）d的学生t-copula1+xTP-1xν-ν+d∏dj=1（1+xjν）-ν+1，ν>0。（A8）通过仔细检查定理A.1的证明，在弱于（C2）和（C3）的条件下，^πN（h）的一致性和渐近正态性仍然成立；q（y，x）π（x）=q（y，x）fS（v）c（F（x），Fd（xd））f（x）····Fd（xd）≥ 五十、 x，y∈Sv，（A9）对于某些正常数L>0，其中 Sv={x∈ Rd:1Tdx=1}。虽然不能直接确定，（A9）在（C1）下的一个有效条件是π在▄Sv上有界。另一个条件是建议密度q的爆炸速度大于π。这种q的一个例子可以是一个独立的建议分布q（x，y）=f（y），f为α，α，…，的Dirichlet分布密度（α，α，…，αd），αd<1，爆炸为∞ 当x接近轴时。因此，通过选择这样的建议分布，即使copula密度在下角u=0时爆炸，一致性和CLT仍然可以保持。A、 2。

盈亏情况与纯亏损情况相比，表明MH估计量的一致性和CLT对于我们建模损益的情况是有挑战性的。由于条件密度fX | S=vis支持无界空间Rd，因此有必要仔细研究其尾部行为。当原始损失随机变量X遵循椭圆分布时，Kamatani（2017）的结果可用于证明我们的MH估计值与MpCN建议分布的CLT。下面提供了一个CLT的调整示例，其中X遵循多元学生t分布。示例2（多元student t分布的CLT调整）我们证明，当基础损失模型是密度fx（x；ν，∑）=Γ（ν+d）|πd∑|（ν）的多元student t分布tν（u，∑）时，MpCN建议分布（22）实现了VaR贡献的CLT1+（x- u）T∑-1（x- u）ν-ν+d.（A10）设X~ tν（u，∑），其中ν>2，u∈ Rd和∑∈ Md×d+。在整个讨论过程中，为了简单起见，我们将u设置为0。写入∑-1个=AaaTa公司=: 2019年1月18日KoikeMinami2019VaRcontArxivfor A∈ Md×d（R），a∈ Rd和a∈ R、 那么，它认为十五- 1TdxTAaaTa公司十五- 1Tdx= （十）- w） 电视（x- w） +η，其中V：=A- aTd公司- 1daT+1dTd∈ Md×d+，w：=V-1（vAd- va）∈ Rd和η：=va- wTVw公司∈ R、 利用这个恒等式，我们得到了fx | S=v（x）∝ fX（x，v- 1Tdx）∝1+（x- w） TW公司-1（x- w） +ην-ν+d∝1+（x- w） TW公司-1（x- w） ν+η-ν+d，（A11），其中W=V-1、假设ν+η>0，X | S=v遵循d维椭圆分布，位置参数w、比例参数w和密度生成器g:R+→ R+givenbyg（x）=1+xν+η-ν+d。这种类型的分布称为皮尔逊VII型分布（Schmidt 2002）。考虑MH估计量（23），其中目标分布π是fX | S=v，建议分布q是MpCN（22）。

根据Roberts和Rosenthal（2004）的定理25，√如果马尔可夫链是几何遍历的且E[| | | X | | S=v]<∞. 根据Kamatani（2016）中的命题3.4，如果E[| | X | |δ| S=v]<∞ 对于某些δ>0的情况，π（x）是严格正的、连续的，并且是对称规则变化的，即limr→∞对于某些函数λ：Rd，π（rx）π（r1d）=λ（x），（A12）→ （0，∞) 对于任意x，λ（x）=1∈ Sd公司-1W，其中Sd-1W：={x∈Rd：| | W-x | |=| | W-d | |}。我们将看到力矩条件成立，并且对于π=fX | S=v，也满足尾条件（A12）。写入R：=| | X | |。可以看出，g在∞ 指数α=-ν+d；就是limr→∞g（rx）g（r）=x-ν+d，x>0。（A13）根据Schmidt（2002）中的命题3.7，fR | S=vis随指数有规律地变化-（ν+1）。然后，根据Karamata定理（我们参考Resnick 2013），FR | s=vis随指数有规律变化-ν。因此，E[Rδ| S=v]<∞ 任何δ<ν的保持；见Mikosch（1999年）。因此，只要ν>2，上述所有瞬时条件都是满足的。在椭圆情况下，尾部状况（A12）2019年1月18日Koikeminami2019Varcontarxiv是（A13）的直接结果。自（x）起- w） TW公司-1（x- w） >0表示所有x∈ Rd，它认为LIMR→∞fX | S=v（rx）fX | S=v（r1d）=| | W-x | | | | W-d | | |！-（ν+d），x∈ 因此，取λ（x）：=| | W-x | | | | W-d | | |！-（ν+d），in（A12），π=fX | S=vis显示为对称规则变化。综上所述，我们得出结论，MH估值器与MpCN提案分布满足要求√N-CLT，当基本损失向量遵循ν>2且η>-ν。注意，在第5节的数值实验中，我们将d=3，ν=4。由于η+ν=137.935>0，CLT成立。2019年1月18日Koikeminami2019varcontarxiv表1。

在四种不同的风险模型下，四种不同的风险价值贡献估计值的估计值（偏差）和标准误差（均方根误差；RMSE）+。AC估计（偏差）：标准误差(√MSE）：估计器MC NW GR MH M C GR MH（1）帕累托+生存克莱顿：真实AC=（10.708，10.708，10.708）AC10.575 11.744 10.745 10.708 0.173 0.008 0.019（-0.133）（1.036）（0.037）（0.000）（0.218）（0.038）（0.019）AC10.138 10.547 10.635 10.724 0.169 0.008 0.020（-0.571）（-0.161）0.074）（0.016）（0.595）（0.074）（0.025）AC10.389 9.813 10.745 10.693 0.178 0.008 0.018（-0.320）（-0.896）（0.037）（-0.016）（0.366）（0.038）（0.024）（2）帕累托+t-copula：AC6.835 8.162 7.697 7.339 0.238 0.010 0.041（-0.362）（0.964）（0.499）（-0.121）（0.433）（0.499）（0.132）AC8.785 8.355 8.740 8.765 0.223 0.010 0.028（-0.122）（-0.167）（-0.023）（0.255）（0.168）（0.046（AC11.913 11.781 11.875 12.208 0.134 0.006 0.024（-0.293）（-0.426）（-0.332）（0.144）（0.322）（0.332）（0.148）（3）学生的t+生存克莱顿：真实AC=（5.647，5.647，5.647）AC5.592 5.693 5.662 5.617 0.081 0.006 0.018（-0.055）（0.046）（0.015）（-0.029）（0.098）（0.016）（0.034）AC5.410 5.722 5.642 5.665 0.079 0.006 0.019（-0.236）（0.005）（0.018）（0.249）（0.007）（0.026）AC5 5.473 5.517 5.636 5.658 0.082 0.006 0.018（-0.173）（-0.130）（-0.011）（0.011）（0.192）（0.012）（0.021）（4）学生t+t-copula：真AC=（2.996，3.745，6.741）AC2.821 3.0652.997 2.940 0.117 0.007 0.036（-0.176）（0.069）（0.001）（-0.056）（0.211）（0.007）（0.067）AC3.772 3.560 3.742 3.792 0.109 0.006 0.033（-0.185）（-0.004）（0.047）（0.112）（0.007）（0.057）AC6.564 6.852 6.745 6.751 0.043 0.011（-0.178（0.110）（0.003）（0.010）（0.183）（0.004）（0.015）+计算蒙特卡罗MC、Nadaraya Watson NW、广义回归GR、，andMetropolis Hastings M H估计量。除NW估计量外，计算标准误差。

所有方法的样本大小均为N=10。