使用MCMC估计风险贡献

固定样本大小N>0、建议密度q和初始值X（0）=X（0）∈ supp（π）。2、对于n=0，1，N- 1，do:3。生成X（n）*~ q（X（n），·）和U~ U（0，1）。4、设置αn：=α（X（n），X（n）*) = 最小“π（X（n））*)q（X（n）*, X（n））π（X（n））q（X（n），X（n）*), 1#。（15） 5。SetX（n+1）：=1[U≤αn]X（n）*+ 1[U>αn]X（n）。6、返回（X（1），X（N））。我们称αn：=α（X（n），X（n）*) in（15）第n次迭代的接受概率。基于theN path（X（1），在算法1中生成的X（N）），构造了MCMC（MH）估计器（14）。在正则条件下，MCMC估计量^πN（h）满足一致性和中心极限定理（CLT）。首先，MCMC估计量是一致的iflimN→∞^πN（h）=π（h）a.s.，（16）对于任何π-可积函数h和任何初始状态X（0）=X（0）∈ supp（π）。接下来，如果√N{πN（h）- π（h）}d-→ Nd（0，∑h）为N→ ∞, （17） 其中，渐近方差矩阵由∑h：=Varπ[h（X（1））]+2给出∞Xk=1Covπ[h（X（1）），h（X（k+1））]。（18） 由于在实际情况下几乎无法计算渐近方差（18），因此它是从样本路径（X（1），…）估计的，X（N））在算法1中生成。∑his的一种常用估计量，即批均值估计量；见Geyer（2011）。对于N路径（X（1），X（N）），batchmeans估计量∑h，由∑h定义，N=LNBN- 1BNXb=1{πN，b（h）-πN（h）}{πN，b（h）-^πN（h）}T，（19）2019年1月18日KoikeMinami2019VaRcontArxivxDensity ACR太小ACR太大图2。其中ln和bn是正整数，满足N=LNBN，且^πN，b（h）=LNbLN-1Xl=（b-1） LNh（X（l）），对于b=1，2，BN。LNis称为批次长度，BN称为批次数。在正则条件下，批均值估计量∑h，N收敛到∑has N→ ∞; 见Jones等人（2006年）和Vats等人（2015年）。

通过使用^πN（h）的CLT和^∑h，N的一致性，可以基于马尔可夫链的N路径构造真实量π（h）的近似置信区间。3.2。建议分布的选择在实施MH时，需要适当选择建议函数q，因为它会影响渐近方差（18）。由于∑hcan很少在实际情况下明确计算，因此通常会进行实施后审查；也就是说，在执行MH之后，评估selectedproposal分布的优度。在本节中，我们将介绍两种评估所选提案分发的方法。我们还提供了一些ProposalDistribution系列，以供以后使用。在实践中，有两种流行的方法来确定提案分配的性能。一种是检查边缘样本路径的自相关图。对于Npath（X（1），X（N）），向量值可测函数h（X）=（h（X），hd（X））T，和MH估计量^πN（h）=（^πN，1，…，^πN，d）T，样本自相关^rj（k）：=^rj（k）/^rj（0）根据滞后k=0，1，2，式中，^Rj（k）：=N- 千牛-kXn=1{hj（X（n））- πN，j}{hj（X（N+k））- πN，j}，对于j=1，2，d、 从渐近方差（18）的形式来看，如果自相关图随着滞后的增加稳步下降到零，可以预期渐近方差∑his很小。另一个复杂的数量是接受率（ACR），它是候选人X的百分比*在整个运行过程中均被接受。同时，当观察到极低或极高的ACR时，通常建议改变提案分布。通常，在特定类别的分布中选择建议分布q。为了根据目标分布确定适当的q，按顺序列出了几类提案分布。

首先，如果建议函数的形式为q（x，y）=f（y-x） 对于某些密度，2019年1月18日Koikeminami2019Varcontarxiff，候选人x*按照以下流程绘制：X*= X+Z，其中Z~ f、 （20）且X为当前状态。这种类型的q称为随机游走建议分布。在f围绕原点对称的情况下，接受概率（15）被简单地写为α（x，y）=minhπ（y）π（x），1i。其次，当q（x，y）=f（y）时，对于某些密度f，则为候选x*isupdated byX*= Z、 其中Z~ f、 （21）该q称为独立提案分配。随机游走和独立两种提议分布由于其简单性而被广泛使用。然而，当目标分布π为重尾分布时，这些建议分布往往表现不佳。为了克服这个问题，Kamatani（2014）提出了混合预条件Crank-Nicolson（MpCN）提案分布。此提案分发将根据以下过程更新候选人：X*= u+ρ（X- u）+（1- ρ） Z-· W，（22），其中ρ∈ （0，1），Z遵循伽马分布，形状参数d/2和比例参数| |∑-（十）- u）| |/2和W~ 对于某些d向量u，Nd（0，∑）∈ Rdand d×d矩阵∑∈ Md×d+。在本文中，作为Kamatani（2014）的默认选择，ρ被设置为0.8。理想情况下，u和∑被设置为u=E[X]和∑=Var[X]，而在实践中，由于X的矩通常未知，因此可以用它们的粗略估计来代替它们。请注意，最初MpCN提议的inKamatani（2014）是标准化版本（即u=0和∑=Id，其中IDI是标识矩阵）。

MpCN提案分布的接受概率（15）可以写成α（X，X*) =π（X*)π（X）| |∑-（十）- u）| | | |∑-（十）*- u）| |！-d、 1个.该提案分布与前两个简单分布之间的关键区别之一是，在MpCN中，不仅候选人的平均值，而且候选人的方差都会随着当前状态X发生变化。由于MpCN提案分布允许更大的尾部跳跃，因此即使π是重尾的，也可以预期更好的接受度。4、提出的方法在本节中，我们提出了一种新的VaR贡献估计器，该估计器利用MCMC方法，尤其是MH算法，来实现有效的估计。附录中对某些类别的风险模型提供了基于MH的估计量的一致性和渐近正态性的理论研究。4.1。假设和设置我们首先声明MH估计器适用的假设。假设1在应用MH估值器时，我们假设如下：2019年1月18日KoikeMinami2019VaRcontArxiv（i）给出了联合损失密度fX的显式形式，因此可以计算任何x的数量fX（x）∈ Rd；（ii）损失分布FX中的i.i.d.样本发生器可用；（iii）无论是总损耗密度Fs的显式形式，还是计算数量Fs（VaRp（S））的方法都不可用。请注意，假设1（ii）允许我们通过设置S（n）=X（n）+····+X（n）dwhere（X（n），…，从fsh生成样本，X（n）d）是FX的第n个样本。这种情况通常发生在通过copula密度c和边际损失密度f，f，…，确定联合损失密度fx时，fd。

由此产生的联合损耗密度fx如公式（1）所示。如第2节所述，计算VaR贡献涉及两个步骤；第一个是估计VaRp，第二个是估计VaR贡献AC=E[X | S=VaRp（S）]，VaRp（S）由其估计值代替。第一步中VaRp的估计通常通过MC模拟进行。基于i.i.d.样本（S（1），S（N））从FS，可以估计VaRp（S），例如，通过dvarp（S）=SdNpe，其中dNpe是大于Np的最小整数，SdNpeis是N个样本中dNpeth最大的样本。因为cedvarp（S）是一个确定性的量，所以可以将其视为常数v=dVaRp（S）。在第二步中，估计AC=E[X | S=v]。根据粗MC方法，VAR贡献由（8）估算。如第2节所述，这两步程序的问题在于，第二步中VaR贡献的估计值通常是有偏差的。为了解决这个问题，我们开发了一种基于MCMC（MH）的估计器，它可以实现一致性和高采样效率。4.2。VaR贡献的MH估计我们建议通过顺序更新样本来估计VaR贡献，以便所有样本都位于Sv={x的集合中∈ Rd:x+···+xd=v}。建立更新规则，以便保留每个样本的成分总和，并从分布fx | S=v中提取样本。我们通过重新表述计算VaR贡献的问题，开始描述基于MH的估计量。根据完全分配属性（2），它认为E[X | S=v]=（E[X | S=v]，v- 1TdE[X | S=v]）T，其中S=X+···+Xd。因此，可以减少VaR贡献AC=E[X | S=v]的计算，以估计d子投资组合的VaR贡献，用AC=E[X | S=v]表示。在我们的方法中，通过直接从FX | S=v生成样本来估计该数量。

给定{S=v}的条件节理密度可以写成fX | S=v（x）=fX，S（x，v）fS（v）=fX（x，v- 1Tdx）fS（v），x∈ Rd，其中最后一个方程来自线性变换（X，S）T7→ 十、 此时，由于总损耗密度fS（v）不容易评估，因此很难直接从fX | S=vis dicult进行采样。通过在第3.1小节中给出的符号中取E=Rd，h（x）=x，以及π（x）=fX | S=v（x），我们估计VaR贡献的问题可以通过MCMC简化为估计（13）中的π（h）=E[x | S=v]。尽管计算fX | S=v很困难，但我们可以计算α（x，y）=min给出的接受概率（15）fX | S=v（y）q（y，x）fX | S=v（x）q（x，y），1= 最小值fX（y，v- 1Tdy）q（y，x）fX（x，v- 1Tdx）q（x，y），1,2019年1月18日Koikeminami2019Varcontarxiv对于假设1（i）中的任意x，y。注意，通过取fX | S=v（y）与fX | S=v（x）的比率，术语fS（v）消失。因此，在适当选择建议密度q的情况下，MH算法（算法1）允许生成平稳分布为π（x）=fX | S=v（x）的马尔可夫链的N条路径。基于样本路径，我们可以构造由（14）定义的MH估计量^πN（h）。计算VaR贡献MH估值器的算法总结如下。算法2：（VaR贡献的MH估计量E[X | S=VaRp（S）]）1。通过MC样本将VaR估计为v=dVaRp。2、固定样本大小N>0，建议分布q，初始值X（0）=X（0）∈支持（fX | S=v）。3、对给定的N、q和x（0）执行算法1（MH），以生成N路径（X0（1），X0（N））。4、SetCACMMCQ，N=NNXn=1X（N），其中X（N）：=（X0（N），v- 1TdX0（n））T，（23）估计VaR贡献AC=E[X | S=v]。此外，在正则条件下，MH估计（23）的相合性和渐近正态性成立；详见附录A。备注1（ES贡献的MCMC方法）5。

数值实验在本节中，我们将第4节中提出的MH估计应用于各种风险模型，并将其性能与其他现有VaR贡献估计进行比较。我们基于真实数据的仿真和实证研究表明，在许多情况下，MH估计比其他估计具有更小的偏差和更低的误差，包括高维（d≈ 500）箱。在数值实验的基础上，我们提供了在给定风险模型的情况下，如何选择MH估计量的适当建议分布的实用指南。在实验中，我们使用了MacBook Air、1.4 GHz Intel Core i5、4 GB 1600 MHz DDR3.5.1。模拟研究5.1.1。数值比较说明。在模拟研究中，我们考虑了四个分别由边际密度和copula密度建模的风险模型。我们采用重尾边际分布和具有上尾依赖关系的copula，因为它们在风险管理中经常受到关注。在所有风险模型中，我们将投资组合的规模设为d=3。模型设置如下。（1） 对于κ=4和γ=3，损失随机变量X、X和X遵循齐次帕累托分布（A4）。损失随机向量（X，X，X）具有θ=0.5的d维survivalClayton copula（A5）。（2） X、X和X具有与案例（1）相同的边际分布。他们的copula是astudent的t-copula（A8），自由度ν=4，色散矩阵P2019年1月18日Koikeminami2019Varcontarxiv由P给出=1.-0.5 0.3-0.5 1 0.50.3 0.5 1. （24）（3）X、X和X自由度ν=4、位置参数u=0、尺度参数σ=1的齐次student t分布。

（X，X，X）有一个θ=0.5的生存克莱顿copula（A5）。（4） （X，X，X）遵循多元student t分布（A10），其中ν=4，u=0，∑=P，其中P在（24）中定义。前两个模型（1）和（2）考虑纯损失，后两个模型（3）和（4）考虑利润和损失。在所有模型中，边际分布的方差为2.0，重尾分布的尾指数为5.0。模型（1）和（3）具有均匀的上尾依赖关系，尾系数λU=0.025；有关尾系数的公式，请参见Joe（2014）。模型（2）和（4）具有上、下和上-下尾部相关性，尾部系数λU1,2=λL1,2=0.012，λU1,3=λL1,3=0.162，λU2,3=λL2,3=0.253，λUL1,2=λLU1,2=0.253，λUL1,3=λLU1,3=0.029，λUL2,3=λLU2,3=0.012。根据色散矩阵（24）推断，第一和第二损失为负相关，而其他损失对为正相关。对于每个风险模型，我们计算了置信水平p=0.999的VaR贡献的几个估计值AC=E[X | S=VaRp（S）]，VaRp（S）由其蒙特卡罗估计值v=S[Np]代替。我们比较的估计器是MC估计器（8）、NW估计器（9）（Tasche2009）、GR估计器（10）（Hallerbach 2003、Tasche和Tibiletti 2004）和MH估计器（23）：cACMCδ，N=Mδ，NPNn=1X（N）[S（N）∈Aδ]，cACNWφ，h，N=PNn=1X（N）φS（n）-vPNn=1φS（n）-v,cACGRgβ，N=g^βN（v），cacmcq，N=NPNn=1X（N）| S=v，其中X（1），X（N）i.i.d。~ FX，S（n）：=X（n）+···+X（n）和（X（1）·S=v，X（N）| S=v）是马尔可夫链的N路径，其平稳分布为FX | S=v。对于所有估计量，我们将样本量N=10。估计值的其他参数确定如下。首先，对于MC估计量，我们设置δ>0，使MC样本大小δ，Nis约为10。对于固定δ，渐近正态Pmδ，N·（cACMCδ，N- ACδ）→ Nd（0，∑δ），作为N→ ∞持有；例如，参见Glasserman（2013）。

我们报告了ACMCδ的估计值及其近似标准误差S（j，j）MC/pMδ，对于j=1，2，3，其中S（i，j）MC是由MC=VuTMδ，NNXn=1定义的样本标准偏差Smc的（i，j）分量X（n）-cACMCδ，NX（n）-cACMCδ，NT[S（n）∈Aδ]。其次，对于NW估计，我们选择核密度φ作为标准正态密度。我们决定带宽 = 1.06^σSN-1/5根据Silverman的经验法则（Pagan和2019年1月18日KoikeMinami2019VaRcontArxivUllah 1999）。虽然NW估计量的渐近正态性成立，但其渐近方差很难计算，因为它需要计算fS（v）。因此，我们只报告ACNWφ，h，N的估计值。第三，对于GR估计值，我们选择gβ（s）=β+βs，其系数由βN，1=PNn=1（X（N）估计-(R)XN）（S（n）-(R)SN）PNn=1（S（n）-\'SN），βN，0=\'XN-βN，1'SN，其中'XN=NPNn=1X（N）和'SN=NPNn=1S（N）。在正则条件下，渐近正态性√Nβ（j）N，0β（j）N，1-β（j）β（j）！→ N（0，σεjQ-1） ，作为N→ ∞适用于j=1、2、3，其中^β（j）N、kandβ（j）kar分别是^βN、kandβk的第j个分量，fork=1和2；εjis误差项ε的第j个分量；σεjisεjgivenS（1），…，的条件方差，S（N）；andQ：=limN→∞Y/N，其中Y=1···1S（1）···S（N）T、 基于这些结果，我们报告了ACGRGβ的估计值及其近似标准误差（j）GR/√N对于j=1，2，3，其中（j）GR：=q∑（1,1）GR，j+2v∑（1,2）GR，j+v∑（2,2）GR，j，j∑GR，j=σεj·（y/N）-1，和^σεjis第j个残差的样本标准偏差。最后，对于MH估值器，我们根据风险模型（1）–（4）选择不同的建议分布。

对于每个风险模型，我们选择（1）随机游走方案q（x，y）=f（y- x） 带f~Nd（0，^∑v），其中^∑v：=SMC；（2） 独立方案q（x，y）=f（y），其中f是带参数的Dirichlet分布的密度，（3）和（4）MpCN方案，ρ=0.8，u=（cACGRgβ，N，v- 1TdcACGRgβ，N）T，∑：=SMC。在算法2中，我们将初始值设置为x（0）=（v/3，v/3，v/3）T。我们通过（19）定义的批均值估值器∑Nde估计MH估值器的渐近方差。继Jones等人（2006）之后，我们选择LN：=bNc=10和bN：=bN/LNc=bNc=10。我们报告了ACMCQ及其近似标准误差∑（j，j）N的估计/√N表示j=1、2、3。1月18日，2019年KoikeMinami2019VaRcontArxiv0 5 10 20 300 5 10 15 20 25 30（i）X1 | S=vX2 | S=v0 5 10 15 20 250 5 10 20 25（ii）X1 | S=vX2 | S=v0 5 10 200 5 10 20（iii）X1 | S=vX2 | S=v-15-5 0 5 10 20-15-5 0 5 5 5 10 20（iv）X1 | S=vX2 | S=v0 20 60 80 1000.0.2 0.4 0.6 0.8 1.0（v）LagACF0 20 40 60 80 1000.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0（vi）LagACF0 20 40 60 80 1000.0 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0（vii）LagACF0 20 40 60 80 1000.00.2 0.4 0.6 0.8 1.0（viii）LAGACF2019年1月18日KoikeMinami2019VaRcontArxiv5.1.2。结果和讨论。由于MC、NW和GR估计量的简单性，它们可以立即计算所有风险模型。如第3.2节所述，可通过自相关图和ACR检查方案选择的有效性。图3（v）–（viii）显示了算法2生成的马尔可夫链的自相关图。每个风险模型中MH算法的接受率分别为（1）0.566、（2）0.222、（3）0.604和（4）0.767。在图3（v）–（viii）中，我们可以观察到，对于所有风险模型，自相关图在100左右的滞后时间内稳步下降到0.1以下。