使用MCMC估计风险贡献

结合ACR适中的观察结果，我们可以指出，上述提案分布的选择适用于所有风险模型。在显示估计结果之前，让我们通过绘制算法2生成的N路径来检查条件分布FX | S=vb的形状。图3（i）–（iv）显示了生成的马尔可夫链的轮廓图。根据这些图，条件分布FX | S=vin每个风险模型的特征总结如下：（1）帕累托+生存克莱顿：图3（i）中的等高线图显示FX | S=vhas aunique模式。当它们离开模式时，密度会稳定衰减。此外，等高线图在对角线处似乎是对称的。（2） 帕累托+t-copula：与案例（1）不同，FX | S=vseems拥有两种接近theaxes的不同模式。高概率集中在单纯形的边缘。随着时间的推移，密度的梯度似乎是尖锐的。此外，图3（ii）中的等高线图在对角线y=x处是不对称的。（3）学生的t+生存克莱顿：虽然条件损失随机向量x | s=v可能为负值，但它主要在有界单纯形上得到支持，如案例（1）。图3（iii）中的柱状图似乎是单峰的，并且围绕对角线对称。FX | S=VAR的尾翼明显较轻。（4） 学生的t+t-copula：在这种情况下，条件分布FX | s=vc可以在附录a中显示为Pearson VII型分布（A11）。从图3（iv）中的等高线图中，我们可以观察到椭圆对称性和尾部重量。与情况（3）不同，损失向量torx | S=v可以在有界单纯形之外取较大的负值。表1总结了估算结果。

在四种不同的风险模型（1）–（4）中，我们报告了四种不同估计值（MC、NW、GR和MH）的估计值、近似标准误差、偏差和根均方误差（RMSE）。在第一个风险模型中，真实的VaR贡献是通过平均分配总VaR获得的，因为边际分布是均匀的，copula是可交换的。我们观察到，MC和NW估计值的偏差相对较大。与MH估计量相比，GR估计量虽然标准误差很小，但仍存在一些不可避免的偏差。由于样本效率的原因，MC估计量具有相对较大的标准误差。总体而言，MH估计在RMSE方面优于所有其他估计。第二个风险模型不允许我们分析计算真实的VaR贡献。因此，真正的VaR贡献是通过蒙特卡罗数值积分计算的，这种积分对于三维仍然具有足够的精度。我们可以观察到，现有估计员受到可能由条件分布fx | S=v的不对称性和多模态引起的偏差的影响。特别是，GR估计员具有相对较大的偏差和RMSE，而第一个风险模型中表现良好。另一方面，与其他估计量相比，MH估计量保持较低的RBIAS和RMSE。在第三个风险模型中，真实的VaR贡献是根据与案例（1）相同的讨论通过平等分配得出的。由于条件分布FX | S=v的对称性和单峰性，所有估计量都保留了较小的偏差和均方根误差。与案例（1）和（2）中的结果一起，我们可以说，只要FX | S=vis对称和单峰，GR估计的性能就很好。

此外，与ofMC和NW估计量相比，MH估计量减少了偏差和RMSE。最终风险模型通过公式（11）提供了真实的VaR贡献。在这样一个Elliptical2019年1月18日Koikeminami2019Varcontarxiv的情况下，GR估计器提供了相当准确的估计。尽管条件分布fx | S=vis重尾，如图3（iv）所示，但与MC和NW估计量相比，MH估计量保持了较高的性能。与MC和NW估计量相比，MH估计量的偏差显著改善。此外，其标准误差和RMSE均低于MC估计量。在整个数值研究过程中，MH估值器对条件分布FX | S=v的形状提供了较小的偏差和RMSE。在FX | S=单峰和对称的情况下，GR估值器也保证了良好的性能。另一方面，至少在我们的数值实验中，与其他估计量相比，MC和NW估计量具有相对较大的偏差和RMSE。5.2。实证研究数值研究现已扩展到具有真实数据的高维案例。我们使用R-package中的stockdata数据集，该数据集包括2003年1月1日至2008年1月1日（五年）期间，标普500指数所有股票开盘日的收盘价股市数据。在此期间，标普500指数中仍有452只股票。样本量为T=1258。我们将数据转换为时间t价格与时间t价格的对数比- 1、McNeil et al.（2015）第3章中列出的股票收益率的大多数程式化事实都可以在数据中观察到。例如，收益率序列是单峰的、轻量级的、重尾的，序列相关性和波动性集群很小。此外，d返回序列是相互依赖的。

考虑到这些观察结果，我们采用了带有斜t白噪声的copula-GARCH模型（STGARCH；参见Jondeau和Rockinger 2006，Huang et al.2009）。该模型用GARCH（1，1）对边缘时间序列进行建模，底层白噪声过程遵循非齐次自由度νj＞0、偏度参数γj＞0的SKEW-t分布；也就是说，在固定的时间段{1，…，T}内，第j个返回序列（X1，j，…，XT，j）跟随XT，j=uj+σT，jZt，j，σT，j=ωj+αjXt-1，j+βjσt-1、j、Zt、ji。i、 d。~ 对于t=2，…，ST（νj，γj），T、 j=1，d、 其中ωj>0，αj，βj≥ 0，αj+βj<1，而Zt，j遵循倾斜的TDi分布ST（νj，γj），密度由fj（xj；νj，γj）=γ+γ给出t（xj，νj）1[xj≥0]+t（γjxj，νj）1[xj<0]（25）式中，t（x，ν）是自由度ν>0的student t分布的概率密度函数，以及γ=1对称的偏度参数γ>0；更多详情请参见Fern'andez and Steel（1998）。假设Zt=（Zt，1，…，Zt，d）之间的copula是一个学生的t-copula，其参数ν和P与时间t无关。我们基于copula方法估计了具有t-copula的ST-GARCH（1,1）模型的参数。首先，我们用最大似然法对边际时间序列建立了ST-GARCH（1,1）模型。然后，为了从Z的copula中获得伪样本，将分布变换应用于从ST-GARCHmodel中提取的d维白噪声过程。最后，我们用矩量法将t-copula转换为它们，使用肯德尔的tau表示离散矩阵P，使用最大似然法表示自由度ν；更多详情请参见Demarta和McNeil（2005）。图4总结了估算结果，每个箱线图表示每个参数的d个数。根据（B1）和（B5），平均值和omegas的估计值几乎为0。

从（B3）可以看出，大多数边缘白噪声分布是对称的，但有些是倾斜的。从（B4）开始，它们的自由度从2到10不等，也就是说，收益序列的尾部重量在d资产上是不均匀的。最后，（B8）显示2019年1月18日KoikeMinami2019VaRcontArxiv-0.0025-0.001 0.0005（B1）平均值0.010 0.025 0.040（B2）T+10.90 1.00 1.10 1.20（B3）偏斜4 6 8 10（B4）自由度0.0000 0.0006 0.0012（B5）Omega0.0 0.2 0.4 0.6 0.8（B6）Alpha0.0.4 0.8（B7）Beta0.2 0.4 0.6 0.8（B8）成对相关性图4。对于j=1，…，每个参数（B1）uj，（B2）σT+1，j，（B3）γj，（B4）νj，（B5）ωj，（B6）αj，（B7）βj和（B8）ρj，j的d估计的箱线图，d和j，j∈ ST-GARCH（1,1）模型Xt的{1，…，d}，j=uj+σt，jZt，j，σt，j=ωj+αjXt-1，j+βjσt-1、j、Zt、ji。i、 d。~ ST（νj，γj），t=1，T+1，j=1，具有参数ν和p的t-copula。t-copula的自由度估计为ν=89.039。回归序列之间的两两相关通常在0.2到0.4之间，有些具有很强的正相关。我们在本研究中的目标是在给定历史Ft的情况下，计算T+1时的条件VaR贡献。在上述模型下，T+1时的第j次回报的边际分布为XT+1，j | Ft~ST（uj，σt+1，j，νj，γj），其中ST（uj，σt+1，j，νj，γj）是密度为fj（xj）的斜t分布-ujσt+1，j；νj，γj）和（25）中定义的fj（·；νj，γj）。他们的copula是一个带有参数ν和P的学生t-copula。基于此多元模型，t+1时的条件VaR贡献可通过与第5.1节相同的程序进行估计。我们使用MC、NW、GR和MH方法估计了置信水平p=0.999的条件VaR贡献（ACT+1，…，ACT+1d）。

在MC中，生成了N=10个样本，总VaR被估计为其中第N个最大样本。theMC模拟的运行时间为2.690分钟。然后，将VaR贡献的MC估计值作为条件样本的样本均值进行计算，条件样本的总和为Aδ=[v- δ、 v+δ]。带宽设置为δ=4.8，因此有Mδ，N=733个条件MC样本。还根据这些样本计算了标准误差的估计值。NW、GR和MH估值器的计算类似于第5.1节中先前的模拟研究。对于MH估计器，由于预计目标分布在一定程度上是重尾椭圆的，因此选择了PCN建议分布。样本路径的长度被选择为N=10，MH算法的运行时间为5.487分钟。我们检查了自相关图和ACR，以检查提案分布的有效性。我们观察到，如果滞后大于40，所有自相关都会降低到0.1以下。结合ACR 0.983，我们得出结论，选择q是合适的。图5显示了MC、NW、GR和MH对T+1时回报的条件VaR贡献（ACT+1，…，ACT+1d）的估计，给定历史FT，用均匀分配的资本VaRp（S | FT）/d和VaRp定义的标准化边际VaR（XT+1，j | FT）绘制p（XT+1 | FT），其中p（XT+1 | FT）是2019年1月18日定义的所谓超加性比率KoikeMinami2019VaRcontArxiv0 100 200 300 4000.00 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10资产配置资本边际VaRFigure 5。

蒙特卡罗（MC；蓝色）、纳达拉亚·沃森（NW；绿色）、广义回归（GR；红色）和Metropolis-Hastings（MH；黑色）在给定FTT的T+1时条件VaR贡献的估计值绘制为标准边际风险值（灰色）和均匀分配的资本（黑色虚线）。彩色虚线表示MC、GR或MH估计值的95%置信上限或下限。通过p（XT+1 | FT）=VaRp（S | FT）Pdj=1VaRp（XT+1，j | FT）。对于MC、GR和MH估计量，还绘制了95%置信度上下界。在x轴上，452项资产按照MH估计数的递增顺序重新排列。与代表同质配置的虚线相比，所有估计配置的资本在资产之间都表现出不均匀性。总的来说，估计的VaR贡献比标准化边际VaR波动性小，这意味着多元化效应的好处。我们还可以观察到，所有d资产的MH估计和GR估计几乎一致。两种估计量的置信区间都比MC估计量的置信区间要紧得多。NW估计值在MH和GR估计值线附近波动。另一方面，MC估计偏离这些线，这表明MC估计包含不可避免的偏差。总之，尽管真实的ACs未知，但GR和MH估计量与MC和NW估计量相比仍保持稳定的性能，即使维数d较大且边缘分布不均匀。5.3。MH估计的优缺点我们总结了MH估计与其他估计相比的优缺点。第一个优点是MH估计值是一致的，而其他估计值并不总是一致的。如第2节所述，MC、NW和GR估值器存在无法轻易消除的偏差。

事实上，我们在表1中观察到，MC、NW和GR估计器的不可忽视偏差有时仍然存在，即使其标准误差很小。相比之下，MH估计器在2019年1月18日对VaR贡献提供了更准确的估计KoikeMinami2019VaRcontArxivN→ ∞ 由于其一致性。由于CLT也成立，因此真实VaRcontributions的置信区间也可用。其次，与MC估计相比，MH估计具有更高的样本效率。虽然样本是从FX生成的，并且大多数样本在MCmethod中被丢弃，但MH方法不会浪费任何样本，因为它直接模拟FX | S=v。因此，MH估计器可以实现较低的标准误差。最后，即使条件分布FX | S=vis多峰或重尾，MH估计也可以保持高性能。如第5.1.2小节所述，GR估计器的性能在很大程度上取决于FX | S=v的形状。另一方面，对于MH估计器，可以通过建议分布q直接捕获FX | S=vc的形状。通过根据FX | S=v的形状选择适当的建议分布q，MH估计器可以获得良好的性能。然而，从估算的简单性来看，这一优点可以被视为缺点。通常，使用MH进行估计需要两个步骤：第一步是选择一系列提案分布，第二步是确定其参数。参数估计的第二步可以基于属于集合Aδ的MC样本，该集合被视为来自FX | S=v的伪样本。同时，第一步并不那么简单。我们将在下一小节5.4中讨论此问题。MH估计器的另一个缺点是，它通常需要比其他现有估计器更长的运行时间。

由于MH需要N次模拟提案分布和评估接受概率（15），因此需要仔细编程和提案选择以节省计算时间。5.4。建议分布选择指南MH估计器的一个显著缺点是，选择适当的建议分布q并不像其他现有估计器的参数选择那样简单。建议选择说明是必要的，因为它对MH的绩效有很大影响。在这一小节中，我们首先调查由不恰当的q选择引起的症状。然后，我们根据上面提供的数值实验考虑如何克服这些问题。还提供了选择适当提案分发的实用指南。q的不当选择主要分为两种情况。一个是建议分布Q通常生成一个由π度量的概率非常小的候选。例如，当q不能完全捕捉π的形状时，就会出现这种情况。在这种情况下，马尔可夫链移动非常缓慢，这会产生MH估计量的高渐近标准误差。这种症状表现为相当低的接受率和高的自相关性。另一种情况是，q只生成π的整个支撑的一部分。例如，当π具有不同的局域模，且q的方差很小，链无法在桥之间通过时，就会出现这种情况。在这种情况下，虽然接受率和自相关图似乎是完美的，但估计可能会有很大的偏差。

该症状表现为MCMCs样本的扭曲图，其形状与目标分布π完全不同。我们如何发现并避免这种错误的估计？首先，如第3.2节所述，必须检查自相关图和ACR，以防止出现第一个症状。此外，为了避免第二个症状，我们建议绘制生成的马尔科夫链图，并将其与MC样品的图进行比较，MC样品的成分sumsbelong为δ=[v-δ、 v+δ]。由于此类MC样本遵循分布FX∈Aδ，通过比较FX | S=vandFX | S的两个散点图，可以检测生成的马尔可夫链的失真∈Aδ。作为我们第5.1小节模拟研究的一个示例，图6显示了MC样本的散点图，其总和属于[v-δ、 v+δ]叠加在MH样品的散点图上。在图中，我们可以检查MH样本的散点图形状是否与所有风险模型的MC样本的散点图形状惊人相似。如果π的某些支撑部分被MC样本覆盖，而不是被MH样本覆盖，那么q的选择是值得怀疑的。最后，通过数值实验，我们发现基础风险模型的依赖信息有助于选择q。当基础风险模型的copula C仅在2019年1月18日Koikeminami2019Varcontarxiv图6时。不同TRISK模型的蒙特卡罗（MC；黑色）和大都会黑斯廷斯（MH；蓝色）样本散点图：（a）帕累托+生存克莱顿，（b）帕累托+t-copula，（c）学生t+生存克莱顿，（d）学生t+t-copula。红线表示v-单纯形的边，其中v是VaRp（S）的估计。我们绘制从FX生成的MCsamples，使其和属于Aδ=[v- δ、 v+δ]。在这四个风险模型中，δ的值分别为（1）4.8、（2）3.9、（3）2.2和（4）1.7。