使用MCMC估计风险贡献

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英文标题：
《Estimation of Risk Contributions with MCMC》
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作者：
Takaaki Koike, Mihoko Minami
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最新提交年份：
2019
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英文摘要：
  Determining risk contributions of unit exposures to portfolio-wide economic capital is an important task in financial risk management. Computing risk contributions involves difficulties caused by rare-event simulations. In this study, we address the problem of estimating risk contributions when the total risk is measured by value-at-risk (VaR). Our proposed estimator of VaR contributions is based on the Metropolis-Hasting (MH) algorithm, which is one of the most prevalent Markov chain Monte Carlo (MCMC) methods. Unlike existing estimators, our MH-based estimator consists of samples from conditional loss distribution given a rare event of interest. This feature enhances sample efficiency compared with the crude Monte Carlo method. Moreover, our method has the consistency and asymptotic normality, and is widely applicable to various risk models having joint loss density. Our numerical experiments based on simulation and real-world data demonstrate that in various risk models, even those having high-dimensional (approximately 500) inhomogeneous margins, our MH estimator has smaller bias and mean squared error compared with existing estimators.
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中文摘要：
确定单位风险敞口对整个投资组合经济资本的风险贡献是金融风险管理中的一项重要任务。计算风险贡献涉及罕见事件模拟造成的困难。在这项研究中，我们解决了当总风险由风险价值（VaR）衡量时，估计风险贡献的问题。我们提出的VaR贡献估计基于Metropolis-Hasting（MH）算法，该算法是最流行的马尔可夫链蒙特卡罗（MCMC）方法之一。与现有估计不同，我们基于MH的估计由给定罕见事件的条件损失分布的样本组成。与原始蒙特卡罗方法相比，该特征提高了样本效率。此外，我们的方法具有一致性和渐近正态性，广泛适用于具有联合损失密度的各种风险模型。我们基于模拟和真实数据的数值实验表明，在各种风险模型中，即使是那些具有高维（约500）不均匀裕度的模型，我们的MH估计量与现有估计量相比具有更小的偏差和均方误差。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Risk Management        风险管理
分类描述：Measurement and management of financial risks in trading, banking, insurance, corporate and other applications
衡量和管理贸易、银行、保险、企业和其他应用中的金融风险
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Statistics Theory        统计理论
分类描述：Applied, computational and theoretical statistics: e.g. statistical inference, regression, time series, multivariate analysis, data analysis, Markov chain Monte Carlo, design of experiments, case studies
应用统计、计算统计和理论统计：例如统计推断、回归、时间序列、多元分析、数据分析、马尔可夫链蒙特卡罗、实验设计、案例研究
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Computational Finance        计算金融学
分类描述：Computational methods, including Monte Carlo, PDE, lattice and other numerical methods with applications to financial modeling
计算方法，包括蒙特卡罗，偏微分方程，格子和其他数值方法，并应用于金融建模
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一级分类：Statistics        统计学
二级分类：Statistics Theory        统计理论
分类描述：stat.TH is an alias for math.ST. Asymptotics, Bayesian Inference, Decision Theory, Estimation, Foundations, Inference, Testing.
Stat.Th是Math.St的别名。渐近，贝叶斯推论，决策理论，估计，基础，推论，检验。
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PDF下载：
--> Estimation_of_Risk_Contributions_with_MCMC.pdf (2.64 MB)

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关键词：mcmc CMC Contribution Applications Quantitative

2019年1月18日Koikeminami2019Varcontarxiv与McMcMcTakaaki KOIKE的风险贡献估算*+ 和MIHOKO MINAMI+滑铁卢大学统计和精算科学系，200 University AvenueWest，Waterloo，ON，N2L 3G1，加拿大庆应义塾大学数学系，Hiyoshi，Kohoku，横滨，神奈川，3-14-1，日本。（最后一次修订于2019年1月16日。）确定单位风险敞口对整个投资组合经济资本的风险贡献是财务风险管理中的一项重要任务。计算风险贡献涉及罕见事件模拟造成的困难。在这项研究中，我们解决了当总风险由风险价值（VaR）衡量时，估计风险贡献的问题。我们提出的VaR贡献估计基于Metropolis-Hasting（MH）算法，该算法是最流行的马尔可夫链蒙特卡罗（MCMC）方法之一。与现有估计不同，我们基于MH的估计由给定罕见事件的条件损失分布的样本组成。与原始蒙特卡罗方法相比，此功能提高了样本效率。此外，我们的方法具有一致性和渐近正态性，广泛适用于具有联合损失密度的各种风险模型。我们基于模拟和真实数据的数值实验表明，在各种风险模型中，即使是高维(≈ 500）不均匀裕度，与现有估计相比，我们的MH估计具有更小的偏差和均方误差。关键词：风险价值；风险分配；风险贡献；风险值贡献；连接词；马尔可夫链蒙特卡罗；Metropolis Hastings算法JEL分类：C58、C631。简介在大多数金融机构中，其投资组合的风险由经济资本衡量。

资本分配是一项重要的风险分析，其中经济资本被分解为单位风险敞口的风险贡献之和；例如，见Dev（2004）。塔什（1995）提出的欧拉原理是最著名的风险分配规则之一。另一方面，在Denault（2001）和Tasche（1995，2008）中，计算风险贡献带来了理论和数字上的困难，尤其是当整个投资组合的风险由风险价值（VaR）衡量时。尽管Tasche（2001）推导出了VaR贡献的简单公式，但在没有少数例外的情况下，很难对其进行分析计算，例如，在Tasche（2004）中。正如Fan et al.（2012）和Yamaiand Yoshiba（2002）所示，原始蒙特卡罗（MC）方法是计算风险贡献的最简单方法。然而，MC估计器不受抽样效率和不可避免的数值修正所导致的不可忽视偏差的影响；例如，见Yamai和Yoshiba（2002年）。*通讯作者。电子邮件：tkoike@uwaterloo.caJanuary2019年18月KoikeMinami2019VaRcontArxiv●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●MC样品MCMC（MH）样品f（X1，X2，X3）{S=VaRp（S）}f（X1，X2，X3）{S=VaRp（S）}图1。蒙特卡罗（MC，左）和马尔可夫链蒙特卡罗（MCMC，右）在估计VaR贡献（AC，AC，AC）=E[（X，X，X）| S=VaRp（S）]方面的差异，其中Xj，j=1，2，3是损失随机变量，S=X+X+Xis是总损失，VaRp（S）是具有置信水平p的风险值∈ （0，1）。在MC方法中，样本由（X，X，X）的无条件分布生成；少数接近平面{（x，x，x）| x+x+x=VaRp（S）}的样本仅用于估计分配资本。

另一方面，MH方法直接从给定罕见事件的联合损失分布生成样本，该事件表示为f（X，X，X）|{S=VaRp（S）}。为了克服这种困难，文献中提出了几种方法。例如，Hallerbach（2003年）、Tasche和Tibiletti（2004年）通过将VaR贡献视为给定总损失的单个损失的最佳预测因子，得出了近似公式。本文将此估计称为广义回归（GR）估计。Glasserman（2005）开发了重要抽样（IS）估计器，主要关注信贷组合。最后，Tasche（2009）提出了基于核估计方法的Nadaraya Watson（NW）估计量。尽管计算简单，但仍需要重要性抽样才能实现有效的估计。在本文中，我们提出了一种新的估计VaR贡献的方法，该方法利用马尔可夫链蒙特卡罗（MCMC），尤其是Metropolis-Hastings（MH）算法（Metropolis et al.1953，Hastings 1970）。我们的MH方法要求关节损失密度可以在每个点进行评估。当损失由边际分布和acopula分别建模时，通常会出现这种情况；各种示例见Yoshiba（2013）。据我们所知，对于一般风险模型，没有已知的VaR贡献的稳定估计量。我们研究了MH估计量的一致性和渐近正态性，并为MCMC方法在计算VaR贡献问题上的有效应用提供了实用指南。然后，基于仿真和真实数据，对各种风险模型执行所提出的方法。

在数值实验中，我们比较了MH估计器与其他现有估计器的性能。我们的MH方法与原油MC之间的最大区别在于，在前者中，样本直接从共同损失分布中生成，这是一个罕见的利益事件。相比之下，theMC方法从无条件损失分布中生成样本，这就不可避免地浪费了大量样本；本文的组织结构如下。第2节介绍了资本分配问题的数学背景，并解释了使用现有估值器估计VaR贡献的挑战。第3节简要介绍了MCMC方法和各种MH算法。在第4节中，我们提出了将MH方法与VaR贡献估计相结合的MH估计量。接下来，在第5节中，将基于模拟和真实数据进行数值研究。我们证明，对于具有边际和依赖性的各种风险模型2019年1月18日Koikeminami2019Varcontarxiv不均匀性和/或高维性，MH估计量比现有估计量具有更小的偏差和均方误差（MSE）。为了将我们的方法应用于本文中未介绍的其他风险模型，还提供了使用MH方法的实用指南。第6节给出了结束语和讨论。基于MCMC理论，我们的估计量的一致性和渐近正态性在附录A2中得到。资本分配问题本文考虑的是总损失=dXj=1Xj，其中d≥ 3是投资组合的规模，X，X，无原子概率空间上的Xdare随机变量(Ohm, F、 P）代表风险j=1，2，…，产生的损失，D在固定的时间段内。

在本研究中，损失随机变量的正值代表财务损失，而负损失则被解释为利润。设FX为X=（X，X，…，Xd）的联合分布函数（df），带保证金F，F，Fd，设Fs为总损失S的df。假设fx和Fs具有密度fx和边缘密度f，f，分别为FD和FS。根据Sklar定理（例如，见Nelsen 2006），它认为fx（x）=C（F（x），Fd（xd）），x=（x，x，…，xd）∈ Rd，其中C称为X的copula。密度fx可以用fx（X）=C（F（X），Fd（xd））f（x）···Fd（xd），x∈ Rd，（1）其中c表示c的密度。如第1节所述，计算风险贡献是风险管理中的一项重要任务。确定风险贡献的标准程序包括两个步骤。第一步是计算风险度量%的经济资本%（S）。风险度量将损失随机变量映射到资本buffer，资本buffer需要覆盖预定期间（如一年或两周）的损失。最常用的风险度量之一是由VaRp（X）=inf{X定义的VaR∈R:P（X≤ x）≥ p} 其中p∈ （0，1）被称为置信水平。另一个流行的衡量标准是ESp（X）=1定义的预期差额-E的pRpVaRq（X）dq[| X |]<∞. 第二步是将资本%（S）分配给d风险敞口。从数学上讲，资本分配解决了确定满足完全分配属性%（S）=dXj=1ACj的分配资本向量（AC，AC，…，ACd）的问题。（2） Euler原理通过对函数u 7使用众所周知的Euler规则来推导此类AC→%（uTX）：%（uTX）=dXj=1uj%（uTX）uj，u∈ ∧，（3）2019年1月18日KoikeMinami2019VaRcontArxivwhere∧ Rd \\{0}是一个开放集，因此1d∈ ∧，且%是正齐次的，即，%（λX）=λ%（X）表示λ>0。对于%j：=%（uTX）uj公司u=1d，j=1，2。

，d，（4）通过在等式（3）中取u=1，向量（AC%，…，AC%d）的完全分配属性（2）成立。由于VaRpis是正齐次的，因此可以应用Euler原理，相应的风险贡献由ACVarpj给出：=VaRp（uTX）uj公司u=1d=E[Xj | X+···+Xd=VaRp（S）]。（5） 我们将向量ACVaRp：=（ACVaRp，…，ACVaRpd）称为VaR贡献。由于我们在本研究中主要关注这种形式的分配资本，因此我们去掉了上标VaRpand write（5）asAC=（AC，…，ACd）。注意，也可以使用其他形式的分配资本；例如，当风险度量为ES时，ES贡献作为CESPJ导出：=ESp（uTX）uj公司u=1d=E[Xj | X+····+Xd≥ VaRp（S）]（6）ES的正均一性；关于（5）和（6）中最后等式的推导，请参见Tasche（2001）。即使明确给出了投资组合损失向量FX的联合密度，AC的分析计算也并不简单，因为它通常需要（Xj，S）的联合分布，这通常很难推导出来。计算VaR贡献的一种可能的数值方法是粗MC方法，其中伪VaR贡献ACδ=E[X | S∈ [VaRp（S）- δ、 VaRp（S）+δ]]，（7）是针对非常小的带宽δ>0计算的。由于概率P（S∈ [VaRp（S）-δ、 VaRp（S）+δ]）为正，则（7）的右侧可以写成asACδ=E[X1[S∈Aδ]]P（S∈ Aδ），其中Aδ=[VaRp（S）- δ、 VaRp（S）+δ]。该表达式允许构造由CACMCδ给出的伪VaR贡献的估计量，N=PNn=1X（N）[S（N）∈Aδ]PNn=1[S（n）∈Aδ]=Mδ，NNXn=1X（n）[S（n）∈Aδ]，（8），其中N>0是样本量；X（1），X（N）是来自FX的独立且相同分布（i.i.d.）样本；S（n）：=X（n）+·····+X（n）数据i.i.d.样本，来自FSN=1，NandMδ，N：=PNn=1[S（N）∈Aδ]是Aδ中包含的样本数。

我们称（8）为MC估计量。通过将δ和N分别设置为非常小和非常大，可以预期MCestimator接近真实VaR贡献。注意，该方法仅在δ为正时可用，因为P（S∈ A） =P（S=VaRp（S））=0，通过FS的连续性。只要可以生成来自FX的i.i.d.样本，就可以通过构造估计器（8）来估计ACδ。然而，该估计器存在不可避免的偏差。2019年1月18日，Koikeminami2019Varcontarxiv估计器的偏差可由CACMCδ，N分解- AC=bδ（N）+b（δ），其中bδ（N）=cACMCδ，N-ACδ和b（δ）=ACδ-AC.δ应尽可能小，以减少B（δ）。然而，当δ很小时，很难确保足够大的样本量Mδ，t保持第一项bδ（N）很小，因为E[Mδ，N]=NP（S∈ Aδ）和P（S∈ Aδ）通常比1小得多- p、 为了克服这个问题，文献中提出了几种估计量。首先，其次，Tasche（2009）中提出的NW核估计量由Cacnwφ，h，N=PNn=1X（N）φ定义S（n）-VaRp（S）PNn=1φS（n）-VaRp（S）, （9） 其中φ是核密度 > 0是带宽。由于该估计器可以被解释为MC估计器（8）通过核φ进行的平滑修正，因此它具有上述相同的偏差权衡效应。此外，NW估计值的偏差和渐近标准差（例如，见Hansen 2009）无法轻松计算，因为它们需要在s=VaRp（s）时评估总损失密度fS（s）。最后，Hallerbach（2003）和Tasche及Tibiletti（2004）通过假设损失之间的回归模型构建了估计器：X=gβ（S）+ε，其中gβ（S）：R→ Rdi是由β参数化的函数，ε是误差随机向量，因此E[ε| S=VaRp（S）]=0。对于β的估计量^βNof，我们将以下估计量称为GRestimator：cACGRgβ，N：=g^βN（VaRp（S））。

（10） 尽管该估计器直观且易于计算，但通常很难构建适当的模型gβ和估计器βNofβ，除非FX | S=VaRp（S）中的样本可用。另一个例外是X服从椭圆分布的情况。在这种情况下，以下结果成立：E[X | S=VaRp（S）]=E[X]+Cov（X，S）Var（S）（VaRp（S）- E[S]；（11） 例如，参见McNeil等人（2015）。然后通过设置β（s）=β+βs，其中β=E[X]，提供真实的VaR贡献-Cov（X，S）Var（S）E[S]和β=Cov（X，S）Var（S）。（12） 因为这些系数是E[ε]=E[（X）的最小值- β- βS）]，OLS估计量（β，β）基于X的无条件样本计算，S收敛到真参数（12），如N→ ∞.2019年1月18日KoikeMinami2019VaRcontArxiv3。MCMC估计器如第2节所示，估计VaR贡献的基本问题是，FX | S=VaRp的条件样本不可用。为了解决这个问题，我们引入了MCMCM方法，其中通过构造一个平稳分布为期望分布的马尔可夫链来模拟给定的分布。通过允许样本中存在马尔可夫类型依赖，CMC允许我们模拟各种分布。在本节中，我们简要回顾了WMCMC，特别是Metropolis-Hastings算法作为MCMC方法的一个主要子类。3.1。mcmclete简介 Rdbe是一个集合，E是E上的σ-代数。马尔可夫链是E值随机变量序列（X（1），X（2），…）满足马尔可夫性；P（X（n+1）∈ A | X（k）=X（k），k≤ n） =P（X（n+1）∈ A | X（n）=X（n）），对于所有n≥ 1，A∈ E、 和x（1），x（n）∈ E、 马尔可夫链的特征是其随机数K:E×E→, 由x×A 7给出→ K（x，A）：=P（x（n+1）∈ A | X（n）=X）。

如果存在概率分布π，那么π（A）=REπ（dx）（x，A）对于任何x∈ E和A∈ E、 然后π被称为平稳分布。例如，参见Nummelin（2004），了解马尔可夫链的一般理论。MCMC方法被广泛用于通过生成马尔可夫链模拟分布，将给定分布作为平稳分布π。对于E上的分布π和π-可测向量值函数h，我们的估计表示为π（h）：=ZEh（x）π（dx）。（13） （13）的MCMC估计量由^πN（h）：=NNXn=1h（X（N）），（14）给出，其中（X（1），X（N））是平稳分布为π的马尔可夫链从时间1到N的样本路径（我们称之为N路径）。分布π称为目标分布。因为它是由手头的问题决定的，所以问题是找到一个随机核K，使得它具有平稳分布π，并且可以很容易地生成其马尔可夫链的样本路径。最流行的随机核之一是由k（x，dy）=k（x，y）dy+r（x）δx（y）定义的MH核，其中k（x，y）=q（x，y）α（x，y）；α（x，y）=（minhπ（y）q（y，x）π（x）q（x，y），1如果π（x）q（x，y）>0，否则为0；r（x）=1-ZEk（x，y）dy；2019年1月18日KoikeMinami2019VaRcontArxivδxis Dirac delta函数；q:E×E→ R+是一个函数，因此x 7→ q（x，y）对于任何y都是可测量的∈ E和y 7→ q（x，y）是任意x的概率密度∈ E、 此函数q称为建议密度。结果表明，MH核具有平稳分布π；见Tierney（1994）。在三个条件下（i）–（iii），其中（i）至少一个向量x（0）∈ supp（π）已知，其中supp（π）：={x∈ E：π（x）>0}；（ii）可以为任何x生成q（x，·）中的样本∈ E（iii）可以计算任意x，y的π（y）/π（x）比率∈ E、 我们可以通过以下MH算法生成所需马尔可夫链的N路径：算法1：（MH算法）1。