市场效率理论

对于任何类型向量的选择，如果网络有n个节点，使得每个节点以单位速率与其他节点进行交易，则我们有Tα≥α、 Eα=+2（n-1） 。注意，当参与者人数为n=2时，事实16表明Eα=1。对于largen来说，这个完全连接的网络的能量接近1/2。相比之下，紧张程度实际上很小。在附录B中，我们给出了一个例子，表明在张力接近α/2的情况下，可以有完全连接的网络。由于这组重大冲击只会随着α变小而变大，因此我们有：事实17。对于每个α≤ β、 Tα≤ Tβ和Eα≤ Eβ。引理18。Uα Vα 最后，我们有：事实19。Eα=0=> Tα=0=> Eα=0。鉴于我们已经做出的更改，捕获瓶颈的定义与单个项目案例中的相应定义是相同的。定义TB（x）为删除不接触B的网络边缘后的冲击张力。定义20。A（k，α，β）张力瓶颈是一组k节点B，使得存在avector x∈ T（x）>0和tb（x）T（x）的Vα≥ β。同样，让EB（x）表示由于接触集合B的所有边而产生的能量。定义21。A（k，α，β）能量瓶颈是一组k节点B，因此存在向量∈ E（x）>0且B（x）E（x）的Uα≥ β。当k较小且α、β相对较大时，A（k，α，β）瓶颈是效率的严重障碍。直观地说，当网络有一个（k，α，β）瓶颈时，有一小组k节点B，当网络经历α级的大冲击时，它们负责网络张力/能量的异常大份额β。5讨论和未来工作这项工作的主要贡献是定义了贸易网络和紧张、能源和瓶颈的概念，这使得市场效率理论不受联合假设问题的影响。

贸易网络提供了从可观察数据到市场效率等概念的桥梁，而无需对价格的演变或正确性做出任何假设。交易网络对市场参与者可见的信息和参与者能够采取行动的信息进行编码。市场效率取决于谁知道什么，而不是每个人都知道什么，而贸易网络的概念提供了关于谁知道什么的指标。我们相信，我们理论中的数学对于衡量效率是有用的，因为单项情况类似于用于模拟物理中类似概念的方程。实验证明，这些方程准确地描述了电气网络、弹簧网络和热扩散。也就是说，只有通过实际数据的实验，才能知道我们在张力、能量和瓶颈公式中所做的选择是否有充分的依据。实验有助于验证模型，或发现表明模型存在缺陷的问题。收集数据来估计贸易网络将非常有用。找到基于抽样的技术来估计网络的能量/张力，并使用它们来计算我们在这项工作中定义的统计数据，这将非常有用。我们能否对贸易网络的少量数据进行采样，并使用它来计算张力和能量，并找出瓶颈？有几种方法可以扩展我们的模型，我们认为这些方法可能会富有成效：o可以研究贸易网络随时间的演变。一个高效的市场应该有一个快速发展的贸易网络，交易员交换贸易伙伴，以利用新信息和更好的价格。如果节点不切换交易伙伴以响应SOCK，这就是一种效率。

人们可以寻找一种模型，该模型使用数据严格捕捉这种市场效率人们可以研究贸易率与价格之间的关系。如果节点不经常与合作伙伴合作，为其提供最优惠的价格，那么市场很可能会变得效率低下。同样，它仍然可以严格定义这种效率。6感谢Paul Beame、Morgan Dixon、Abe Friesen、Shayan Oveis Gharan、Kevin Miniter、ShayMoran、Alex Ja ffe、Anna Karlin、Kayur Patel、Sivaramakrishnan Natarajan Ramamoorthy、DarcyRao、Tim Roughgarden、Brad Wagenaar、Alex White和Amir Yehudayo ffe提出的有用意见。感谢Kayur Patel提出的许多建议，改进了本文中的图表。参考文献[DeG74]达成共识。《美国统计协会杂志》，69:118–121，1974年。埃里克·巴尔楚纳斯。ETF股票的交易量超过了美国GDP。彭博市场，2015年7月。贝拉·博洛巴斯。现代图论。斯普林格，1998年。[CRS08]Tarun Chordia、Richard Roll和Avanidhar Subrahmanyam。流动性和市场效率。《金融经济学杂志》，87:249–2682008年2月。[楚96]范忠。谱图论，数学区域会议系列第92卷。AMS，1996年。[Fam70]Eugene F.Fama。有效的资本市场。《金融杂志》，25（2）：383–4171970。[Fam91]Eugene F.Fama。有效的资本市场：二。《金融杂志》，46（5）：1575–16171991。Joseph Farrell和Paul Klemperer。协调和锁定：与切换成本和网络效应的竞争。《产业组织手册》第31章，1967-2072页。Elsevier，2007年。尼尔·弗利格斯坦和亚当·戈尔茨坦。对抵押贷款证券化危机的剖析。《组织社会学研究》，30A:29–702010。尼尔·弗利格斯坦和亚历山大·F·罗赫卡斯。2007年至2009年金融危机中的欺诈原因。

抵押贷款支持证券行业的证据。《美国社会学评论》，81（4）：617–64320016。弗里德里希·哈耶克。在社会中使用知识。《美国经济评论》，35（4）：519–5301945。托马斯·A·埃里奥尼莫斯。期货交易经济学。1977年。【Jac10】马修·O·杰克逊。社会和经济网络。普林斯顿大学出版社，2010年。W.B.Johnson和J.Lindenstrauss。lipschitz映射在hilbertspace中的推广。现代分析与概率会议，26:189–206，1984年。Graciela L.Kaminsky、Carmen M.Reinhart和Carlos A.V'egh。金融传染的邪恶三位一体。《经济展望杂志》，17:51–74，2003年秋季。【Mal03】伯顿·G·马尔基尔。有效市场假说及其批评者。《经济展望杂志》，17（1）：59–822003年。德文·G·蒲柏和贾斯汀·R·西德诺。行为经济学：经济学作为一门心理学学科。《威利·布莱克威尔判断和决策手册》第28章。2015年【Spi】丹·斯皮尔曼。谱图论课程笔记。http://www.cs.yale.edu/homes/spielman/561/.A事实5的技术证明。这种紧张局势显然不是消极的。我们有：T（x）=T（x）=Xu∈五、十五∈Vw（{u，v}）·（xu- 十五）≤徐∈VXv∈Vw（{u，v}）·（| xu |+| xv |）=2Xu∈Vw（u）·| xu |，证明Tα≤ 1，对于x∈ Vα，因为这样的x必须有2Pu∈Vw（u）·| xu |>0。同样，能量显然是非负的。我们有E（x）=E（x）=（1/2）x{u，v}∈Ew（{u，v}）·xu- 十五|≤X{u，v}∈Ew（{u，v}）·（| xu |+| xv |）自2a+2b以来≥ （a+b）对于所有a，b=Xu∈Vw（u）·| xu |，证明Eα≤ 1，对于x∈ Uα。事实证明6。对于任何冲击x∈ Vα，我们有T（x）=T（x）=Xu∈五、十五∈V（xu- 十五）=徐∈五、n·xu-十五∈Vxv=徐∈Vn·| xu |。

根据xThus的定义，我们有tα=minx∈VαT（x）Pu∈V（n- 1） | xu |=n2（n- 1） =+2（n- 1） 。对于任何x∈ Uα，我们有E（x）=E（x）=（1/2）x{U，v}∈E（xu- xv）=（1/2）X{u，v}∈Exu+xv- 2xuxv=（1/2）Xu∈V（n- 1） 徐- 2X{u，v}∈Exuxv。既然puxu=0，我们就得到了每个u的Pu6=vxv=-徐。SoE（x）=（1/2）Xu∈V（n- 1） 徐- 2Xu∈Vxu(-xu）=（1/2）xu∈V（n- 1） xu+2Xu∈Vxu=（1/2）Xu∈V（n+1）xu。ThusEα=最小值∈UαPu∈五（n+1）徐浦∈V（n- 1） xu=n+12（n- 1） =+2（n- 1） 。引理8的证明。假设x∈ Vα。那么我们有α·| xv |≤徐∈Vw（u）·xu | w≤sXu∈Vw（u）w·sXu∈Vw（u）w·xuby柯西-施瓦茨不等式=sXu∈大众（u）w·xu，证明xu∈Vw（u）·xuw≥ α·xv和so x∈ Uα。对于另一个容器，假设x∈ Uα和xvi是具有最大震级的坐标。然后每v∈ V，α·| xv |≤ α·| xv |=α·| xv | xv|≤|十五|徐∈Vw（u）·xuwsince x∈ Uα=| xv | Xu∈Vw（u）·xuw·xv≤ |十五|徐∈Vw（u）·| xu·| w·| xv |自| xu | | xv|≤ 1=Xu∈Vw（u）·| xu | w，so x∈ Vα。事实证明9。假设x∈ Uα是E（x）=0的冲击。然后通过引理8，x∈ Vα。此外，对于网络中的每一条边{u，v}，我们有xu=xv，否则能量是正的。所以我们必须让T（x）=0，证明Tα=0。假设x∈ Vα和T（x）=0。然后通过引理8，x∈ Uα。Let f（t）∈ Rnbe是节点在冲击tx期间感受到的力的向量。然后我们看到，当冲击为x时，f（t）是力的向量的t倍，因此每t f（t）=0。由于该向量是能量attx的梯度，我们必须有E（1·x）=E（0·x）=0。引理12的证明。这个证明需要一些关于正半限定矩阵的知识。将τ（e）视为d维列向量，并考虑d×d矩阵Xu=Xu∈e∈Ew（e）·τ（e）τ（e）|。我们有AZ=Xu∈e∈Ew（e）hτ（e），zi·τ（e）和A是正半定义，因为对于每个z，我们有z | Az=Xu∈e∈Ew（e）·hτ（e），zi≥ 因此有一个正交基e，e，Ed对于空间Rd和非负数γ。

，γdsuch thatA=dXi=1γi·eieii |。此外，每种类型的向量都包含在γi>0的向量范围ei中，因为例如，如果某条边的τ（e）不包含在该范围内，那么我们可以表示τ（e）=a+b，其中a在范围内，b 6=0与之正交。那么我们有0=b | dXi=1γi·eiei |！b=b | Ab=Xu∈e∈Ew（e）τ（e），b≥ w（e）hτ（e），bi=w（e）·kbk>0，这是一个矛盾。因此，对于q=Pu∈e∈Ew（e）·hτ（e），xui·τ（e），我们可以设置z=Xi：γi>0（1/γi）hq，eii·ei，然后我们得到xu∈e∈Ew（e）hτ（e），zi·τ（e）=Az=dXi=1hq，eii·ei=q，根据需要。事实证明15。这种紧张局势显然不是消极的。我们有：T（x）=T（x）=Xu∈五、X{u，v}=e∈Ew（e）·hτ（e），xv- xui·τ（e）≤徐∈VX{u，v}=e∈Ew（e）·khτ（e），xv- xui·τ（e）k≤徐∈VX{u，v}=e∈Ew（e）·（| hτ（e），xvi |+| hτ（e），xui |）=2Xu∈e∈Ew（e）·| hτ（e），xui |，证明Tα≤ 1，对于x∈ Vα。同样，能量显然是非负的。我们有E（x）=E（x）=（1/2）x{u，v}=E∈Ew（e）·hτ（e），xu- 十六≤X{u，v}=e∈Ew（e）·（hτ（e），xui+hτ（e），xvi）自a+b≥ （a+b）/2表示所有a，b=Xu∈e∈Ew（e）·hτ（e），xui，证明eα≤ 1，对于x∈ Uα。事实证明16。设I表示项集，τ（I）表示项I的类型向量。然后对于任何冲击x∈ Vα，我们有T（x）=T（x）=Xu∈五、十五∈五、 我∈Ihτ（i），xv- xui·τ（i）=徐∈五、（n）- 1） Xi∈Ihτ（i），xui·τ（i）-十五∈五、 我∈Ihτ（i），xvi·τ（i）=徐∈五、（n）- 1） Xi∈Ihτ（i），xui·τ（i）.

通过定义xTo界这个表达式，我们使用了两次Cauchy-Schwartz不等式：（n- 1） 徐∈五、xi∈Ihτ（i），xui·τ（i）≥ （n）- 1） 徐∈五、Pi∈Ihτ（i），xui·τ（i），xukxukby Cauchy Schwartz≥ （n）- 1） 徐∈五、 我∈Ihτ（i），xuikxuk。从x开始∈ Vα，我们有≥ （n）- 1） 徐∈五、 我∈Ihτ（i），xui·αn | i | Pu∈五、 我∈I | hτ（I），xui |自x∈ Vα≥ （n）- （1）聚氨酯∈五、 我∈I | hτ（I），xui|n | I |·αn | I | Pu∈五、 我∈I | hτ（I），xui |由Cauchy-Schwartz=α（n- 1） 徐∈五、 我∈I | hτ（I），xui |。所以我们得到α=minx∈VαT（x）Pu∈五、 我∈I（n）- 1） | hτ（i），xui|≥α。类似地，对于任何冲击x，我们都有∈ Uα，E（x）=E（x）=（1/2）Xu6=v，i∈Ihτ（i），xu- xvi=（1/2）Xu6=v，i∈Ihτ（i），xui+hτ（i），xvi- 2 hτ（i），xuihτ（i），xvi=（1/2）Xu，i∈I（n- 1） hτ（i），xui-徐∈u、 我∈Ihτ（i），xui·*τ（i），Xv6=uxv+。（2） 现在，根据x的定义，0=Xu∈五、 我∈Ihτ（i），xuiτ（i）=Xi∈I*τ（I），Xu∈Vxu+·τ（i），so0=*Xi∈I*τ（I），Xu∈Vxu+·τ（i），Xu∈Vxu+=Xi∈I*τ（I），Xu∈Vxu+，证明了对于每个i，τ（i），Pu∈Vxu= 0，和dτ（i），Pv6=VxvE=-hτ（i），xui。回到（2），我们有e（x）=（1/2）Xu，i∈I（n- 1） hτ（i），xui-徐∈u、 我∈Ihτ（i），xui*τ（i），Xv6=uxv+=（1/2）Xu，i∈I（n- 1） hτ（i），xui+Xu∈u、 我∈Ihτ（i），xui=（1/2）Xu，i∈I（n+1）hτ（I），xui。这证明了eα=minx∈UαE（x）Pu∈五、 我∈I（n- 1） hτ（i），xui=n+12（n- 1） =+2（n- 1） 。引理18的证明。如果x∈ Uα，设vbe为最大化kxvk的节点。然后是everyv∈ V，α·kxvk≤α·kxvkkxvk≤徐∈e∈Ew（e）·hτ（e），xuiw·kxvk=kxvkXu∈e∈Ew（e）·hτ（e），xuiw·kxvk≤ kxvkXu∈e∈Ew（e）·| hτ（e），xui | w·kxvk=Xu∈e∈Ew（e）·| hτ（e），xui | w，so x∈ Vα。如果x∈ Vα，那么对于每个V∈ V，α·kxvk≤徐∈e∈Ew（e）·| hτ（e），xui | w≤sXu∈e∈Ew（e）w·vuutXu∈e∈Ew（e）·hτ（e），xuiwby Cauchy-Schwartz不等式=vuutXu∈e∈Ew（e）·hτ（e），xuiw，证明x∈ Uα。事实证明19。假设x∈ Uα是E（x）=0的冲击。然后通过引理18，x∈ Vα。此外，对于网络中的每条边e={u，v}，我们有hτ（e），xu- xvi=0，否则能量将为正。

所以我们必须让T（x）=0，证明Tα=0。假设x∈ Vα和T（x）=0。然后通过引理18，x∈ Uα。Let f（t）∈ Rnbe是节点在冲击tx期间感受到的力的向量。然后我们看到，当冲击为x时，f（t）是力的向量的t倍，因此每t f（t）=0。由于该向量是能量attx的梯度，我们必须有E（1·x）=E（0·x）=0。B匹配事实16的示例（e）(,p1级 （2）(,p1级 2） 图14：即使是有两个参与者的完全连接的网络也有Tα=α。在这里，我们证明了一个完全连通的网络，其张力与α成正比，与事实证明的下限16匹配，直到因子2。类似的想法可以用来给出一个渐进匹配事实16给出的边界的大型网络。考虑图14所示的网络，它只有两个参与者，1、2。假设函数具有类型向量τ（1）=（α，√1.- α） ，第二个具有类型向量τ（2）=(-α，√1.- α） ，两者的权重均为1。如果我们设置x=（1，0）和x=(-1，0），我们得到x是一个显著的冲击，x=x。事实上，kxk，kxk≤ 1，andXi=1,2Xu=1,2 | hτ（i），xui |=4α=αw，so x∈ Uα。但是冲击的张力是：T（x）=Xi=1,2hτ（i），x- xiτ（i）+Xi=1,2hτ（i），x- xiτ（i）= 2.Xi=1,2hτ（i），x- xiτ（i）= 2.2α·（α，p1- α）- 2α·(-α、 p1级- α）= 8α，我们得到Tα≤T（x）Pi=1,2Pu=1,2 | hτ（i），xui |=8α8α=α。