CEV模型的短期亚洲期权

对于任何θ∈ R、 u（t，x）=E[EθRtSsds | S=x]满足PDE：（94）ut=（r-q） x个ux+σxux+θxu（t，x），带u（0，x）≡ 该有效PDE具有解u（t，x）=eA（t）x+B（t），其中（t）=（r-q） A（t）+σA（t）+θ，（95）B（t）=0，（96），其中A（0）=B（0）=0，因此B（t）=0，对于θ>0，则为（97）p2σθ-（r）- q） 棕褐色-1r级-q+σAp2σθ-（r）- q） 哦！A=A（t）A=0=t，CEV模型19的亚洲选项，因此（98）A（t；θ）=p2σθ-（r）- q） σtan“p2σθ-（r）- q） t+棕褐色-1r级-qp2σθ-（r）- q） 哦#-r-qσ。对于θ<0完全负，（99）σq（r-q） σ-2θσ对数r-qσ-q（r-q） σ-2θσ+Ar-qσ+q（r-q） σ-2θσ+AA=A（t）A=0=t，thusA（t；θ）=et√（r）-q）-2θσ- 1r级-qσ-r（r-q） σ-2θσ-et公司√（r）-q）-2θσr-qσ+r（r-q） σ-2θσ（100）=2θσ（et√（r）-q）-2θσ- 1） r-qσ（1- et公司√（r）-q）-2θσ）+q（r-q） σ-2θσ（et√（r）-q）-2θσ+1）。现在让我们研究一下T→ 0限制。我们注意到，对于任何大于0的非常小的T，对于0，我们有（101）EheθTRTStdti=eA（T；θT）S≤ θ<π2σ，（102）极限→0吨ATθT=r2θσtanrσθ，这个极限是∞ 如果θ≥π2σ。对于θ<0，（103）limT→0吨ATθT=-√-2θσeσ√-2θ- 1eσ√-2θ+1=-√-2θσtanhσ√-2θ.因此，（104）∧（θ）：=limT→0T对数EheθTRTStdti=√2θσtanσ√2θSif 0≤ θ<π2σ-√-2θσtanhσ√-2θSifθ≤ 0个+∞ 否则对于0<θ<π2σ且θ<0，∧（θ）是可微的，并且很容易检查∧（θ）在θ=0时是可微的。最后，对于0<θ<π2σ，我们可以计算（105）∧（θ）θ=√σ2√θtanσ√2θS+√2θσ√√θ秒σ√2θS→ +∞,asθ↑π2σ。因此，我们证明了本质光滑条件。结论来自G¨artner-Ellis定理，见附录中的定理20。20 DAN PIRJOL和LINGJIONG Zhu证明命题2。结果来自定理1和加特纳-埃利斯定理。根据这一结果，通过累积量函数（106）I（K，S）=supθ的勒让德变换给出了速率函数∈R{θK- ∧（θ）}，其中累积量函数∧（θ）由定理1给出。（i） K级≥ S、 此大小写对应于0≤ θ≤π2σ。

累积量函数∧（θ）由（107）∧（θ）=Sσ给出√2θσtanrσθ=SσF+（θσ）。其中，我们定义了F+（y）：=√2y tanqy。（106）中θ的最佳值由方程（108）K=SF+（θ）的解给出*σ） ，其中（109）F+（y）=2 cospy/21+正弦√2年√2年.数值计算表明，F+（y）：[0，∞) → [1，∞) 是一个双射映射，这样这个方程将有一个K>S的解。确定（110）x=rθ*σ、 很容易看出θ的方程*与（16）相同。速率函数的结果isI（K，S）=θ*K- ∧（θ）*) =Sσθ*σKS- F+（θ*σ）（111）=Sσ2x2 COXX1+正弦2x2x- 2x棕色x=Sσxcosx1.-sin（2x）2x,从而得出方程（15）。（ii）K≤ S、 这种情况对应于θ≤ 累积量函数∧（θ）为（112）∧（θ）=-Sσp-2θσtanhr-θσ=SσF-（θσ），其中我们引入了F-（y） ：=-√-2y tanhq公司-y、 这与前一种情况下显示为F的函数有关-（iy）=F+（y）。最佳θ由方程（113）KS=F的解给出-（θ*σ） ，CEV车型21的亚洲选项，其中（114）F-（y） =2个coshq-y1+新罕布什尔州√-2年√-2年.数值计算得出F-（y） :(-∞, 0]→ （0，1）是一个双射函数，因此该方程将有K<S的解。确定（115）x=r-θ*σ。我们看到等式（113）再现了（14）。速率函数isI（K，S）=θ的结果*K- ∧（θ）*) =Sσθ*σKS- F-（θ*σ）（116）=Sσ-2x2 coshx1+sinh 2x2x+ 2x棕色x= -Sσxcoshx1.-sinh（2x）2x,这给出了等式（13）的结果。命题3的证明。（i） 这是从关系式（117）i（K，S）=sup0开始获得的≤θ<π2σ（θK-√2θσtanσ√2θS） 。一方面，I（K，S）≤ sup0≤θ<π2σθK=π2σK。另一方面，对于任何 > 0，对于足够大的K，（118）I（K，S）=supπ2σ-≤θ<π2σ（θK-√2θσtanσ√2θS）≥π2σ- K- ∧π2σ- .因此，lim infK→∞I（K，S）K≥π2σ- .

因为它适用于任何 > 0，我们得出结论，关系式（17）成立。（ii）这是从关系式（119）I（K，S）=supθ开始获得的≤0Kθ+√-2θσtanhσ√-2θS.在最优性下，我们有（120）K=√2σ√-θtanhσ√-2θS+h1- tanh公司σ√-2θ是请注意，函数tanh x以x的指数速度接近1→ ∞. 因此，θ~ -S2σKas K→ 0，结果（18）如下。22 DAN PIRJOL和LINGJIONG ZHU6.3。第3节中结果的证明。引理4的证明。我们将证明亚洲看涨期权的结果。亚洲看跌期权的情况非常相似。请注意，根据H¨older不等式，对于anyp+p=1，p，p>1和p≥ 2，C（T）=e-rTE公司TZTStdt- KTRTStdt公司≥K（121）≤ e-rTE“TZTStdt- Kp#！聚丙烯TZTStdt≥ Kp≤ e-rTp-1便士Kp公司+ETZTSptdt1/页TZTStdt≥ Kp、 在最后一步中，我们使用Jensen不等式来写“TZTStdt- Kp#≤ E“TZTStdt+Kp#（122）≤ 2p级-1E“TZTStdtp+Kp#≤ 2p级-1E级TZTSptdt+ Kp公司.第二个不等式指出，对于p≥ 2，x→ xp是x的凸函数≥ 0，由Jensen不等式得出x+yp≤xp+yp对于任何x，y≥ 0、本文件“TZTStdt- Kp#≤ E“TZTStdt+Kp#（123）≤ 2p级-1“E”TZTStdtp#+Kp#。最后一个不等式来自Jensen不等式，它给出了p≥ 2E[（TRTStdt）p]≤ E【TRTSptdt】。对于任何p≥ 2，（124）TZTE【Spt】dt=O（1），因为对于CEV过程，所有这些力矩都是有限的，表现良好→ 0.Stin在该模型中的边缘分布已知[44]，上述表达式可以显式计算。因此，我们有（125）个lim supT→0T日志C（T）≤ lim支持→0pT日志PTZTStdt≥ K.因为它适用于任何2>p>1，所以我们有上限。CEV模型23的亚式期权接下来，我们推导出C（T）上的匹配下界。

对于任何 > 0，C（T）≥ e-rTE公司TZTStdt- KTRTStdt公司≥K级+（126）≥ e-rT公司PTZTStdt≥ K+,这意味着（127）lim infT→0T日志C（T）≥ lim信息→0T日志PTZTStdt≥ K+.因为它适用于任何 > 0，我们通过让 → 0，前提是限制I（K，S）：=-限制→0T日志PTRTStdt≥ K存在并在K中连续。K中的连续性可以从命题8中的表达式中看出。定理5的证明。我们把证据分成几个步骤。第1步。我们需要证明（128）limT→0T日志PTZTStdt≥ K= 限制→0T日志PTZT^Stdt≥ K,其中（129）d^St=σ^SβtdWt，其中^S=S。也就是说，对于小时间大偏差，漂移项可以忽略不计。让usnow证明（128）。注意，（130）St=Se（r-q） t+RtσSβsdWs-σRtS2βsds=e（r-q） t▄St，其中（131）d▄St=σ▄Sβte-（r）-q） βtdWt，~S=S>0。通过时间变化dτ（t）=e-2（右-q） βtdt，τ（0）=0，~St=^Sτ（t），其中^S在（129）中定义。因此，limT→0T日志PTZTStdt≥ K（132）=极限→0T日志PTZTe（右-q） t^Sτ（t）dt≥ K= 限制→0T对数PTZτ（T）e（r-q） （1）-2β）τ-1（t）^Stdt≥ K很容易检查τ（T）T→ 1作为T→ 0和限制→0输入0≤t型≤Te（r-q） （1）-2β）τ-1（t）=极限→0sup0≤t型≤Te（r-q） （1）-2β）τ-1（t）=1。因此，（128）如下。第2步。现在假设r=q=0，因此（133）dSt=σSβtdWt，S>0。因此，对于0≤ t型≤ 1，（134）dStT=σSβtTdWtT=√TσSβtTd（WtT/√T）=√TσSβtTdBt，24 DAN PIRJOL和LINGJIONG Zhu，其中Bt：=WtT/√根据布朗运动的标度性质，T是标准布朗运动。因此，通过让T=,（135）极限→0T日志PZStTdt≥ K= lim公司→0 日志PZS公司tdt公司≥ K,其中（136）dSt型=√σ（St） βdBt，带S= S> 0。第3步。我们需要证明（137）lim→0 日志PZS公司tdt公司≥ K= limδ→0lim→0 日志PZS公司tdt公司≥ K、 St型≥ δ、 0个≤ t型≤ 1..注意，条件OFRtdt公司≥ K、 发生的事件t型≥ δ、 0个≤ t型≤ 1是典型事件，而t型≤ δ约为0≤ t型≤ 1是一个罕见的事件。

因此，对于su ficientlysmallδ>0，（138）PZS公司tdt公司≥ K≤ 2P级ZS公司tdt公司≥ K、 St型≥ δ、 0个≤ t型≤ 1..另一方面，对于任何δ>0，（139）PZS公司tdt公司≥ K≥ PZS公司tdt公司≥ K、 St型≥ δ、 0个≤ t型≤ 1.,这意味着，对于任何δ>0的情况。（140）lim→0 日志PZS公司tdt公司≥ K≥ lim公司→0 日志PZS公司tdt公司≥ K、 St型≥ δ、 0个≤ t型≤ 1..因此，（137）来自（138）和（140）。第4步。定义（141）dS,δt=bδ（S,δt）dt+√σ（S,δt）βdBt，S,δ=S，其中，对于任意x>δ，bδ（x）=0，也是局部Lipschitz连续且bδ（0）>0。Morever，S 7→ Sβ是指数H¨older连续≥对于β<1，在∞. 动力学（141）满足假设A1.1。在Baldi和Caramellino【7】。很容易看出（142）PZS公司tdt公司≥ K、 St型≥ δ、 0个≤ t型≤ 1.= PZS公司,δtdt≥ K、 S,δt≥ δ、 0个≤ t型≤ 1..根据Baldi和Caramellino[7]中的定理1.2，可以得出P（S,δ∈ ·) 满足CS（[0，1]）上的大偏差原则，连续函数的空间从具有一致拓扑的序列开始，速率函数为（g（t）-bδ（g（t）））σg（t）2βdt，了解速率函数为+∞ 如果g不可微。此外，地图g 7→ （Rg（t）dt，g）从CS[0，1]到R+×CS[0，1]是连续的。CEV模型25的亚洲期权根据收缩原理，见附录中的定理19，我们有→0 日志PZS公司tdt公司≥ K、 S,δt≥ δ、 0个≤ t型≤ 1.（143）=- 信息（t）dt≥K、 g（0）=S，g（t）≥δ、 0个≤t型≤1Z（克（吨）- bδ（g（t）））σg（t）2βdt=- 信息（t）dt≥K、 g（0）=S，g（t）≥δ、 0个≤t型≤1Z（g（t））σg（t）2βdt。因此，lim→0 日志PZS公司tdt公司≥ K（144）=limδ→0lim→0 日志PZS公司tdt公司≥ K、 St型≥ δ、 0个≤ t型≤ 1.= - 信息（t）dt≥K、 g（0）=S，g（t）≥0,0≤t型≤1Z（g（t））σg（t）2βdt。定理6的证明。我们只会在这里证明看涨期权的情况。看跌期权的证明非常相似，因此省略了。

作为T→ 0，（145）C（T）=e-rTE“TZTStdt- K+#= E“TZTStdt- K+#+ O（T），我们证明了（146）E“TZTStdt- K+#= E“TZτ（T）E（r-q） （1）-2β）τ-1（t）^Stdt- K！+#，其中，d^St=σ^Sβtdwt和^S=S。很容易证明E“TZτ（T）E（r-q） （1）-2β）τ-1（t）^Stdt- K+#- E“TZτ（T）^Stdt- K+#（147）≤ E“TZτ（T）| E（r-q） （1）-2β）τ-1（t）- 1 | Stdt#=STZτ（T）| e（r-q） （1）-2β）τ-1（t）- 1 | dt=O（T）。此外，我们可以证明E“TZT^Stdt- K+#- E“TZτ（T）^Stdt- K+#（148）≤ ETZTτ（T）^Stdt= ST | T- τ（T）|=O（T）。26 DAN PIRJOL和LINGJIONG ZHUNext，设dXt=σSβdw和X=S，即Xt=S+σSβWt。通过It^o公式并取期望值，我们得到- Xt）=σZtE（^SβS- Sβ）ds（149）≤ 2σ中兴通讯[（^SβS- Xβs）]ds+2σZtE[（Xβs- Sβ）]ds。对于任何x>0，y≥ 0和≤ β<1，我们有| xβ- yβ|≤ |x个- y | xβ-1，参见例如Lemma2.2。在蔡和王[10]中。因此，（150）2σZtE[（Xβs- Sβ）]ds≤ 2σS2（β-1） 中兴通讯[（Xs- S） ]ds=σS2（β-1） σS2βt。此外，对于S>δ>0,2σZtE[（^SβS- Xβs）]ds（151）=2σZtE[（^sβs- Xβs）Xs≥δ] ds+2σ中兴通讯[（^SβS- Xβs）Xs<δ]ds。一方面，（152）2σ中兴通讯[（^SβS- Xβs）Xs≥δ] ds公司≤ 2σδ2（β-1） 中兴通讯[（^Ss- Xs）]ds。另一方面，2σZtE[（^SβS- Xβs）Xs<δ]ds（153）≤ 2σZtqE[（^SβS- Xβs）]pP（Xs<δ）ds≤ 2σ最大值0≤s≤tpP（Xs<δ）ZtqE[（^SβS- Xβs）]ds。注意，（154）ZtqE[（^SβS- Xβs）]ds≤Ztq4E[^S4βs+X4βs]ds，由于^Stis是一个CEV过程和Xtisa布朗运动，我们可以显式地计算E[^S4βs]和E[X4βs]。因此，很容易检查RTQE[（^SβS- Xβs）]ds=O（T）。此外，（155）2σmax0≤s≤tpP（Xs<δ）=2σΦδ- SσSβ√t！，式中Φ（x）：=√2πRx-∞e-伊迪。因此，通过Gronwall不等式，我们得出结论，（156）E[（^ST- XT）]=O（T）。CEV型号27的亚洲选项请注意- XT是鞅。利用Doob鞅不等式，（157）E最大值0≤t型≤T |^St- Xt公司|≤ CqE[（^ST- XT）]=O（T）。因此，我们得出结论C（T）=E“TZTXtdt- S+#+ O（T）（158）=E“σSβTZTWtdt+#+ O（T）=σSβ√T√E[Z1Z>0]+O（T），其中Z~ N（0，1）。

最后，我们可以计算出（159）E[Z1Z>0]=√2πZ∞xe公司-xdx公司=√2π。因此，我们证明了预期的结果。命题7的证明。我们将把IK（K，S）定义为变分问题（27）的解，通过用等式约束Trg（t）dt=K替换不等式（28）得到。这是通过考虑辅助泛函（160）∧[g]：=2σZ（g（t））g（t）2βdt的变分问题来解决的- λZg（t）dt- K,其中λ是拉格朗日乘数。该变分问题的解满足Euler-Lagrange方程（161）g（t）=β[g（t）]g（t）- λσ（g（t））2β，初始条件g（0）=砂横截性条件g（1）=0。该方程可以通过变量（162）g（t）=S（y（t））1的变化来简化-β。用y（t）表示，欧拉-拉格朗日方程（161）变为（163）y（t）=C（y（t））β1-β、 带C：=-λσ（1-β） S2β-解y（t）满足初始条件y（0）=1和横向条件y（1）=0。速率函数用该解表示为（164）IK（K，S）=S2-2β2σ（1- β） Z[y（t）]dt。constraintRg（t）dt=K读取（165）Z（y（t））1-βdt=KS。28 DAN PIRJOL和LINGJIONG Zhu微分方程（163）被称为Emden-Fowler方程。指数γ：=β1-β满意度γ≥ 1对于此处考虑的情况β∈ [，1）。通过注意数量守恒（166）E：=[y（t）]- C（1-β） （y（t））γ+1。考虑到边界条件y（1）=0，我们得到关系式（167）[y（t）]=2C（1- β）[y（t）]γ+1- yγ+1,其中，我们表示y：=y（1）。我们区分了两种情况：1。C>0。这对应于y（t）<0和y（1）<y（0）=1。从（165）我们得到，这对应于K<S.2。C<0。这对应于y（t）>0和y（1）>y（0）=1。从（165）我们得到，这对应于K>S。我们分别考虑这两种情况。案例1。C>0。

我们可以用关系式（168）1=Zdt=Zy（0）ydyy=p2C（1）来表示C的阴项- β） Zydyqyγ+1- yγ+1。根据yas（169）C=2（1），此关系可用于消除C- β） [A（+）（y）]，其中我们定义了函数（+）（x）：=Zxdypyγ+1- xγ+1（170）=2xγ+1√1.- xγ+1xγ+1Fγγ+1，；；1.-xγ+1, 0<x≤ 1.可以使用（167）将约束（165）等效为（171）KS=Z[y（t）]γ+1dt=[y]γ+1+2C（1- β） Z[y（t）]dy。积分可以用变量asZdy[y（t）]=Zy（1）y（0）ydy=p2C（1）的变化来表示- β） Zy（1）qyγ+1- yγ+1dy（172）=A（+）（y（1））B（+）（y（1）），其中我们定义B（+）（x）：=Zxpyγ+1- xγ+1dy（173）=2x3（γ+1）（1- xγ+1）3/2xγ+1Fγγ+1，；；1.-xγ+1, 0<x≤ 1.CEV模型29的亚洲期权积分（172）与比率函数表达式（164）中出现的积分相同。综上所述，由（174）IK（K，S）=S2（1）给出的K<Sis的速率函数IK（K，S）-β） 2σ（1- β） A（+）（y）B（+）（y），其中y<1是方程（175）KS=yγ+1+B（+）（y）A（+）（y）的解。案例2。C<0。

我们可以用关系式（176）1=Zdt=Zy（1）y（0）dyy=p用C表示y（1）-2C（1- β） Zydyqyγ+1- yγ+1。我们可以用这个关系来消除-根据yas（177），C>0- C=2（1- β） [答(-)（y） ]中定义了功能(-)（x） ：=Zxdypxγ+1- yγ+1（178）=2xγ+1√xγ+1- 1xγ+1Fγγ+1，；；1.-xγ+1, x个≥ 1.可以使用（167）将约束（165）等效为（179）KS=Z[y（t）]γ+1dt=yγ+1+2C（1- β） Z[y（t）]dy。积分可以通过变量asZ[y（t）]dy=Zy（1）y（0）ydy=p的变化来书写-2C（1- β） Zyqyγ+1- yγ+1dy（180）=A(-)（y） B类(-)（y） ，我们定义B(-)（x） ：=Zxpxγ+1- yγ+1dy（181）=2x3（γ+1）（xγ+1- 1） 3/2xγ+1Fγγ+1，；；1.-xγ+1, x个≥ 1.这也给出了（164）中速率函数表达式中出现的积分。综上所述，由（182）IK（K，S）=S2（1）得出的K>Sis的速率函数IK（K，S）-β） 2σ（1- β） A(-)（y） B类(-)（y） ，30 DAN PIRJOL和LINGJIONG Zhu，其中y>1是方程（183）KS=yγ+1的解-B类(-)（y） A(-)（y） 。根据超几何函数F（A，B；c；z），以闭合形式对积分A（±）（x）、B（±）（x）进行了评估，定义为（184）F（A，B；c；z）=Γ（c）Γ（B）Γ（c- b） Ztb公司-1（1- t） c类-b-1（1- tz）adt。通过改变变量yγ+1=z并引入函数a（±）（z）：=（1），可以简化结果- β） A（±）（y）和b（±）（z）：=（1- β） B（±）（y）。命题8的证明。

（i） Д的极值条件为（185）Д*-KS=克(-)（^1）*)F级(-)（^1）*),式中（186）F(-)（Д）：=2ddДG(-)（Д）=S1-βσZИdzzβ√^1- z、 方程式（185）与y的方程式（183）相同，表示*= yγ+1。将（185）代入（36），我们得到（187）IK（K，S）=F(-)（^1）*)G级(-)（^1）*) .该结果与（182）中的识别结果相同*= yγ+1。（ii）χ的极值条件为（188）KS- χ*=G（+）（χ*)F（+）（χ*),式中（189）F（+）（χ）：=-2ddχG（+）（χ）=S1-βσZχdzzβ√z- χ。方程（188）与方程（175）中的y相同，表示χ*= yγ+1。将（188）代入（38），我们得到（190）IK（K，S）=F（+）（χ*)G（+）（χ*) .该结果与（174）中的识别χ相同*= yγ+1。推论9的证明。（i） 引理29在[47]中。这个引理的技术条件要求G(-)（Д）是一个递增函数，且[G(-)（Д）]的超线性生长为Д→ ∞. 第一个条件满足G的导数(-)（Д）由（186）给出，这是一个正函数。CEV车型31的亚洲选项第二个技术条件也已满足，如下所示。利用超几何函数（191）F的渐近性, β、 ；；1.-^1=Γ（）Γ（1- β） Γ(- β） +O（Д）-1） ，作为^1→ ∞.我们得到（192）[G(-)（^1）]~（^1）- 1） Д2β，如Д→ ∞.如果β<1，这确实是超线性增长。（ii）遵循[47]中引理30。这需要以下两个技术条件：G（+）（χ）是一个递减函数，并且在下二进制χ=0时未达到（38）中的最大值。