CEV模型的短期亚洲期权

x个≥ 1是方程（33）的解KS=x-b类(-)（x） a(-)（x） ，8 DAN PIRJOL和LINGJIONG ZHUwitha(-)（x） =2倍-β（x- 1） F级β、 ，；；1.-x个,（34）b(-)（x） =x-β（x- 1） F级β、 ，；；1.-x个.（35）参数z=1-超几何函数f（a，b；c；z）的xof为正。下面的结果给出了IK（K，S）解的另一种形式，它提供了关于该函数在K中的连续性和单调性的额外信息。提案8。（i） 函数IK（K，S）是为K>Sby（36）IK（K，S）=infД>K/S[G(-)（Д）]Д-KS，带G(-)（Д）=S1-βσZДZ-β√^1- zdz（37）=S1-βσД-β（Д）- 1） 3/2楼, β、 ；；1.-^1.（ii）函数IK（K，S）是针对K<Sby（38）IK（K，S）=inf0<χ<K/S[G（+）（χ）]KS给出的- χ、 带G（+）（χ）=S1-βσZχZ-β√z- χdz（39）=S1-βσχ-β（1- χ） 3/2楼, β、 ；；1.-χ.从命题8的表示可以看出，IK（K，S）是K的连续函数。我们还得到了该函数的单调性，这意味着与定理5给出的速率函数I（K，S）的关系。推论9。函数IK（K，S）关于走向K具有以下单调性：（i）对于K>S，函数IK（K，S）是K的增函数。（ii）对于K<S，函数IK（K，S）是K的减函数。（iii）速率函数i（K，S）由（40）i（K，S）=IK（K，S）给出。备注10。对于β=，命题7的结果恢复了命题2的结果。在这种情况下，超几何函数可以用初等函数表示。对于K<Swe的CEV模型9（i），亚洲期权需要a（+）（x），b（+）（x）表示x实数和负值。

我们有z∈ R+F,;; -z=ARCINH公司√z√z、 （41）F,;; -z= -ARCINH公司√zz3/2+√1+zz。（42）方程式（30）读数为（43）KS=x+√1.- 萨尔辛√1.-x个√x、 表示x→Coshx此方程与（14）相同。速率函数（29）为（44）I（K，S）=Sσ-萨尔辛√1.- x个√x个+√1.- 萨尔辛√1.- x个√x个.再次在此替换x→coshx这与平方根模型中K<的速率函数的结果（13）相同。（ii）使用正参数F的超几何函数表达式，K>也有类似的论点,;; z=Arcin公司√z√z、 （45）F,;; z=Arcin公司√zz3/2-√1.- zz。（46）备注11。对于β→ 1，命题7的结果恢复了[47]命题12中Black-Scholes模型的速率函数。（i） 对于K<，我们需要a（+）（x），b（+）（x）表示x∈ （0，1）。我们有forz=x- 1.∈ R+F1.-z=阿尔茨坦√z√z、 （47）F1.-z=z- 3arctan公司√zz3/2。（48）方程式（30）读数为（49）KS=px（1- x） arctanp1/x- 1、识别arctanp1/x- 1=ξ这再现了[47]（50）中的公式（33）KS=2ξsin（2ξ）。当用ξ（51）I（K，S）=σ2ξ（tanξ）表示时，速率函数（29）变为- ξ） ，10 DAN PIRJOL和LINGJIONG Zhu再现了[47]中关于BSM模型中K<的速率函数的结果公式（31）。（ii）使用正变元x的超几何函数表达式，K>也有类似的变元≥ 1F层1.z=阿尔茨坦√z√z、 z=1-x、 （52）F1.z= -z3/2(√z- 阿尔茨坦√z） 。（53）识别^β=arctanhq1-我们得到了速率函数（54）I（K，S）=σ^β-^βtanh（^β/2）,式中，^β是方程ks=^βsinh（2^β）的解。这些结果与[47]中命题12的结果相同。3.3。ATM点周围速率函数的扩展。使用与[47]中命题14的证明相同的方法，可以对任意β展开x=log（K/S）的幂级数中的速率函数。

前几项为i（K，S）=S2（1-β） σx个+-+（1）- β）x（55）+-（1）- β） +（1- β）x+O（x）.对于β=这减少到方程（19）中平方根模型中速率函数的展开。3.4。速率函数的渐近性。接下来，我们讨论了非常小/大罢工K的CEV模型中比率函数I（K，S）的渐近性。这是由以下结果给出的，它将命题3的结果推广到一般情况≤ β<1。命题12（大罢工渐近）。我们有，对于β∈ [，1），（56）I（K，S）~S2（1-β） 2σπΓ（1- β） （3）- 2β）Γ（3/2- β）3.- 2β2（1- β） 堪萨斯州2（1-β） ，作为K→ ∞,式中，Γ（·）是伽马函数。对于β=这再现了命题3的结果（i）。（57）I（K，S）~πK2σ，单位为K→ ∞.命题13（小罢工渐近）。K→ 0β的速率函数的渐近性∈ （，1）由（58）limK给出→0KSI（K，S）=2S2（1-β） σ（3- 2β）。CEV 11型β的亚洲选项→, 这再现了命题3（59）limK的结果（ii）→0KSI（K，S）=2S2（1-β） σ（3- 2β）→S2σ，4。浮动行使亚洲期权我们在本节中考虑了浮动行使亚洲期权的短期到期渐近性。浮动罢工亚洲看涨期权/看跌期权的价格由风险中性预期SCF（T）：=e给出-rTE“κST-TZTStdt+#,（60）Pf（T）：=e-rTE“TZTStdt- κST+#.（61）首先，与引理4类似，我们有：（i）对于亚洲OTM看涨期权，即κ<1，我们有≤ β<1（62）极限→0T对数Cf（T）=极限→0T日志PTZTStdt≤ κST.（ii）对于亚洲OTM看跌期权，即κ>1，我们有≤ β<1（63）极限→0T对数Pf（T）=极限→0T日志PTZTStdt≥ κST.我们首先考虑平方根模型：（64）dSt=（r-q） Stdt+σpStdWt，S>0，wt是从零开始的标准布朗运动。0 0.51 1.52 2.5 30.511.5200K/硅（K，S）0β=1/2β=5/6β=2/3图2。

速率函数I（K，S）/（S2（1-β） β=（黑色）、β=（蓝色）和β=（红色）的CEV模型中的亚洲期权的/σ）与K/SFO。12 DAN PIRJOL和LINGJIONG Zhu定理14。对于β=，PTRTStdt- κST∈ ·如果（x）：=supθ，则使用速率函数（65）满足大偏差原则∈R{θx- ∧f（θ）}其中∧f（θ）由∧f（θ）给出：=limT→0T对数EheθTRTStdti（66）=√2θσtanσ√2θ+tan-1.-σκqθSif 0≤ θ<θc-√-2θσtanhσ√-2θ+tanh-1.-σκq-θSifθ≤ 0个+∞ 否则其中θcis为方程（67）rσθc+tan的唯一正解-1.-σκrθc=π。从（62）和（63）可以看出，对于κ<1，看涨期权为OTM，Cf（T）=e-TIf（κ，S）+o（1/T），如T→ 0，对于κ>1，看跌期权为OTM，Pf（T）=e-TIf（κ，S）+o（1/T），如T→ 0，其中（68）If（κ，S）=If（0）=supθ∈R{-∧f（θ）}。平方根模型的If（κ，S）定理14的结果可以转化为更明确的形式，asIf（κ，S）=SσJf（κ），（69），其中Jf（κ）由以下公式给出：（i）对于κ≥ 1Jf（κ）=2zκz- tan z1+κz tan z，（70），其中z是方程1+κz+（1）的解- κz）sin 2z2z=2κcosz。（71）解被定义为符号，但这种模糊性与计算jf（κ）无关。（ii）对于κ≤ 1Jf（κ）=2zκz- tanh z1- κz tanh z，（72），其中z是方程1的解- κz+（1+κz）sinh 2z2z=2κcoshz。（73）平方根模型β=的速率函数Jf（κ，S）如图3所示（solidblack曲线）。这与命题2（虚线曲线）给出的CEV模型13期权的固定走向亚洲人期权的利率函数I（κ）进行了比较。在Black-Scholes模型中，它们是相等的【47】，这源自固定/浮动行使亚洲期权的等价关系【41】。

这些关系并不适用于Black-Scholes模型，因此相应的速率函数是不同的。浮动打击率函数在ATM点κ=1Jf（κ）=logκ附近具有扩展性-logκ+logκ+O（logκ）。（74）这是通过将方程（71）、（73）的解以z的幂展开，并将结果插入（70）和（72）中获得的。图3显示了通过保持此展开式中的前三项获得的速率函数Jf（κ）的近似值，即固蓝曲线。对于具有≤ β<1，根据定理5的证明，我们得到如下结果：定理15。CEV模型（4）中OTM浮动式亚式期权的短期到期渐近性≤ β<1由（i）给出，对于κ<1，OTM的短期成熟度渐近线为（75）limT→0T日志Cf（T）=-If（κ，S），其中（76）If（κ，S）=infg（t）dt≤κg（1），g（0）=S，g（t）≥0,0≤t型≤1Z（g（t））σg（t）2βdt。0.51 1.52 2.5 30.20.40.60.811.21.40κJf（）κ图3。平方根模型中的浮动期权的比率函数Jf（κ）vsκ，β=（黑色实心曲线）。蓝色实心曲线显示了通过保持展开式中的First3项获得的该函数的近似值（74）。这与命题2.14 DAN PIRJOL和LINGJIONG ZHU（ii）给出的同一模型（dashedcurve）的固定三次利率函数I（Sκ，S）（以S/σ为单位）进行了比较，对于κ>1，OTM浮动亚洲看跌期权的短期成熟度渐近性（77）limT→0T对数Pf（T）=-If（κ，S），其中（78）If（κ，S）=infg（t）dt≥κg（1），g（0）=S，g（t）≥0,0≤t型≤1Z（g（t））σg（t）2βdt。让我们考虑ATM的情况，即κ=1。对于这种情况，我们得到以下结果。该证明与定理6的证明非常相似，因此在此省略。定理16。作为T→ 0，我们在CEV模型中有≤ β<1，（79）Cf（T）=σSβ√T√6π+O（T），Pf（T）=σSβ√T√6π+O（T）。5.

本节对本文得到的CEV模型中的亚式期权的短期到期渐近结果进行了一些数值检验。在[47]之后，我们将使用亚式期权定价公式SCampt（K，T）=e-rT（A（T）N（d）- KN（d）），（80）Pasympt（K，T）=e-rT（KN(-d）- A（T）N(-d） ），（81）其中A（T）是平均资产价格的预期，（82）A（T）=S（r-q） T（e（r-q） T型- 1） ，和（83）d1,2=∑LN√TlogA（T）K±∑LNT.亚洲期权的等效对数正态波动率由（84）∑LN（K，S）=log（K/S）2I（K，S）定义，其中I（K，S）是利率函数，在（29）中给出了一般CEV模型，在命题2中给出了平方根模型β。如[47]的命题18所示，近似（80）、（81）与命题2给出的平方根模型β=、定理5给出的一般CEV模型具有相同的短成熟度渐近。5.1。CEV模型中亚洲期权的等效对数正态波动率。通过将（55）代入定义（84），可以获得等效对数正态波动率∑LN（K，S）的级数展开式，其幂为log strikex=log（K/S）。这是∑LN（K，S）=σ√Sβ-1.1个++（β- （1）x（85）+-+（β- 1） +（β- （1）x+O（x）.CEV模型15的亚洲期权对于ATM亚洲期权K=S，等效对数正态波动率为（86）∑LN（S，S）=σ√Sβ-1、对于平方根模型β=等效对数正态波动率的ATM偏斜和凸性为-和-ATM等值波动率。Weshow在图4中显示了∑LN/σvs x=log（K/S）的曲线图，该曲线图是使用方程（84）为平方根模型β=。图4中的曲线图与赫斯顿模型中已实现方差期权的隐含效用形状基本一致，这在数学上等同于平方根模型中的亚洲期权。参见【21】中的图5（右）。

如文献[21]所述，隐含波动率的向下倾斜形状是赫斯顿模型的不足之处，因为观察到的股票市场中方差期权的微笑正在上升。参考文献[21]提出了一种替代模型，即3/2随机波动率模型[12，13]，该模型具有方差期权的上坡微笑。从展开式（85）可以得到ATM倾斜和凸度与β参数的依赖关系。对于β=ATM偏斜为负；随着β的增加，ATMskew增加，在β=处穿过零并变为正。ATM凸性对于≤ β<1，因此等效对数正态波动率微笑略微凹陷。5.2。数字场景。对于Dassios和Nagardjasarma[18]提出的7种情景，我们将在平方根模型β=中对亚式期权定价进行下一步数值测试。我们还比较了Foschi、Pagliarani、Pascucci【32】（表示为FPP3）的三阶近似值，如【32】表5所示。结果如表1所示。我们注意到，渐近结果与FPP3的相对值的一致性总是优于1%-1.5-1-0.5 0 0.51 1.50.10.20.30.40.50.60.70.80β=1/2β=5/6β=2/30x=对数（K/S）∑ln图4。小到期等价对数正态波动率∑LN（K，S）/（σSβ-1） 在CEV模型中，β=（蓝色）、β=（黑色）和β=（红色）的亚洲期权的vs x=对数（K/S）。16 DAN PIRJOL和LINGJIONG ZHUTable 1。Dassios和Nagardjasarma考虑的7种情景下，平方根模型β=中亚洲期权的短期到期渐近公式的比较【18】。

将结果与thoseof【18】（DN）和Foschi、Pagliarani、Pascucci【32】（表示为asFPP3）的结果进行比较。案例SK rσT Casympt（K，T）DN FPP31 2 0.01 0.14 1 0.055474 0.0197 0.0555622 2 0.18 0.42 1 0.216013 0.2189 0.2178743 2 0.0125 0.35 2 0.170568 0.1725 0.1709264 1.9 2 0.05 0.69 1 0.189863 0.1902 0.1908345 2 0.05 0.72 1 0.250113 NA 0.251216 2 0.05 0.72 1 0.307731 0.3098 0.3087157 2 0.05 0.71 2 0.350516 0.3339 0.353197表2。【18】和【32】中提出的情景的数值测试。案例σT Casympt（K，T）DN FPP31 0.71 0.1 0.075354 0.0751 0.0753872 0.71 0.5 0.172813 0.1725 0.1731753 0.71 1.0 0 0.247200 0.2468 0.2480164 0.71 2.0 0.350516 0.3339 0.3531975 0.71 5.0 0.536611 0.3733 0.5457146 0.1 0.061310 0.0484 0.0614397 0.1.0.0.120226 0.1207 0.1206808 0.5 1.0 0.181983 0.1827 0.1827239 0.7 1.0 0.243926 0.2446 0.244913如果我们确定等效对数正态挥发分Yas（87）∑LN（K，S）=log（K/A（T））2I（K，A（T））。然而，I（K，S）中的总因子必须仍然是S，而不是A（T），这是很罕见的。因此，我们不使用此近似值。通过这一选择，与FPP3的一致性相对值提高到0.1%以上。DN【18】提出的第二组方案如表2所示。共有9种情景，其中S=K=2，r=0.05，q=0，β=。与[18]和[32]的结果（本参考文献中的表6）相比，渐近结果如表2所示。由于它们是ALLTM情景，渐近公式的使用非常简单，并简化为方程（86）的使用。除了theT=5Y的情况外，渐近结果与FPP3的一致性也很好。在所有这些情况下（T=5Y除外），它们之间的差异相对值小于1%。对于小于1年的到期日，差异始终低于相对值的0.5%。CEV 175.3型的亚洲选项。

浮动行使亚洲期权。我们还讨论了浮动罢工亚洲期权的定价。可将其视为基础BT的看涨期权：=κST-位于。该资产的远期价格为FF（T）：=E【BT】=SκE（r-q） T型-e（r-q） T型- 1（右-q） T！。（88）对于κ≥ 0，则基础BTtakes值位于整个实轴上。因此，阿布拉克·斯科尔斯对该资产的表述不合适。我们建议使用Bachelier（normal）近似值来近似浮动行使亚洲期权的价格。这些期权近似为资产BT的零执行看跌期权和赎回期权，其价格为Cf（κ，T）=e-rT公司Ff（T）Φ（d）+√2π∑N√T e公司-d,（89）Pf（κ，T）=e-rT公司-Ff（T）Φ(-d）+√2π∑N√T e公司-d,d=Ff（T）∑N√T、 等效正态波动率∑N（κ，T）是通过要求浮动走线亚洲期权的小成熟度渐近与BacelieRexpression的小成熟度渐近匹配来规定的。这是由以下结果得出的。提案17。平方根模型β=中等效正常波动率的短期到期限制由以下公式给出：（i）对于OTM浮动行使亚洲期权，κ6=1limT→0∑N（κ，T）=σ2S（κ- 1） Jf（κ），（90），其中Jf（κ）由（69）给出。（ii）对于ATM浮动期权，亚洲期权κ=1limT→0∑N（κ，T）=σrS.（91）证明。该证明类似于[47]中命题18的证明，将被省略。平方根模型中的浮动行权亚洲期权定价已在[34]中考虑。本文研究了带支付的期权定价问题(-ST+AT- K） +同时使用离散时间和连续时间监控，K同时为正和负。我们将把K=0的结果与连续时间平均值进行比较，连续时间平均值在我们的符号中对应于κ=1的浮动行使亚洲看跌期权。【34】中使用的模型参数为S=1、r=0.04、σ=0.7，期权到期日为T=1。本文表3中K=0的报价为Cf（1，T）=0.14376。

交感式（89）给出Cf（1，T）=0.14524，这与[34]的结果（1%相对差异）相当一致。18 DAN PIRJOL和LINGJIONG ZHU6。附录：证明6.1。大偏差理论背景。我们首先给出大偏差原则的正式定义。关于大偏差理论及其应用的一般背景，我们参考Dembo和Zeitouni【19】。定义18（大偏差原则）。A序列（P)∈拓扑空间X上概率测度的R+满足率函数I:X的大偏差原理→ Rif I是非负的，下半连续的，对于任何可测集A，我们有（92）- infx公司∈AoI（x）≤ lim inf→0 日志P（A）≤ lim sup公司→0 日志P（A）≤ - infx公司∈AI（x）。这里，AO是A的内部，A是它的闭包。收缩原理在我们的证明中起着关键作用。为方便读者，我们将结果陈述如下：定理19（收缩原理，例如定理4.2.1。[19]）。如果P用速率函数I（X）和F:X满足X上的大偏差原理→ Y是连续映射，则概率度量Q:= PF-1用速率函数（93）J（Y）=infx:F（x）=yI（x）满足Y的大偏差原则。在本文的证明中，我们将使用G¨artner-Ellis定理的以下版本。定理20（G¨artner-Ellis定理，例如定理[19]）。让Z是R上的随机变量序列。假设极限∧（θ）：=lim 对数E[EθZ] 存在于扩展实线和集合D的内部：={θ：λ（θ）<∞} 包含0，并且∧（θ）对于D和∧（θ）|内部的任何θ都是不同的→ ∞ 当θ接近d的边界时。然后P（Z∈ ·) 用速率函数I（x）：=supθ满足大偏差原则∈R{θx- ∧（θ）}。6.2。第2节中结果的证明。定理1的证明。