CEV模型的短期亚洲期权

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英文标题：
《Short Maturity Asian Options for the CEV Model》
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作者：
Dan Pirjol, Lingjiong Zhu
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最新提交年份：
2017
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英文摘要：
  We present a rigorous study of the short maturity asymptotics for Asian options with continuous-time averaging, under the assumption that the underlying asset follows the Constant Elasticity of Variance (CEV) model. We present an analytical approximation for the Asian options prices which has the appropriate short maturity asymptotics, and demonstrate good numerical agreement of the asymptotic results with the results of Monte Carlo simulations and benchmark test cases for option parameters relevant in practical applications.
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中文摘要：
在标的资产遵循常方差弹性（CEV）模型的假设下，我们对具有连续时间平均的亚式期权的短期渐近性进行了严格的研究。我们给出了亚式期权价格的一种解析近似，该近似具有适当的短到期渐近性，并且证明了渐近结果与蒙特卡罗模拟结果以及实际应用中相关期权参数的基准测试案例的结果具有良好的数值一致性。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Pricing of Securities        证券定价
分类描述：Valuation and hedging of financial securities, their derivatives, and structured products
金融证券及其衍生产品和结构化产品的估值和套期保值
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PDF下载：
--> Short_Maturity_Asian_Options_for_the_CEV_Model.pdf (578.88 KB)

2022-5-31 04:11:29 上传

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关键词：cev Applications Quantitative asymptotics appropriate

CEV模型的短期亚洲期权Dan PIRJOL和LINGJIONG ZHUAbstract。我们在假设基础资产遵循常方差弹性（CEV）模型的前提下，对具有连续时间平均的亚式期权的短期到期渐近性进行了严格的研究。我们给出了亚式期权价格的解析近似，该近似具有适当的短到期渐近性，并且证明了渐近结果与蒙特卡罗模拟结果和期权参数相关的基准测试案例在实际应用中的结果具有良好的数值一致性。1、简介文献中广泛研究了短期到期制度下欧式期权价格和隐含波动率的渐近性，例如，局部波动率模型见[8、36、37、40、14]，指数L'evy模型见[28、50、5、6]，随机波动率模型见[9、42、31、26、27、29、2]，无模型方法见[35、46]。最近，在假设资产价格遵循局部波动模型的情况下，也研究了[47]中亚洲期权的这种渐近机制。本文[47]在假设资产价格遵循局部波动模型（1）dSt=（r-q） Stdt+σ（St）StdWt，S>0，其中wt是标准布朗运动，r≥ 0是无风险利率，q≥ 0为连续股息收益率，σ（·）为局部波动率函数。假设局部波动函数σ（·）满足有界性和Lipschitz条件0<σ≤ σ（·）≤ σ<∞,（2） |σ（ex）- σ（ey）|≤ M | x- y |α，（3）对于某些固定的M，对于任何x，y，α>0，并且0<σ<σ<∞ 是一些固定常数。在这些假设下，从【51】可知，对数股价Xt：=对数满足适当函数空间上的样本路径大偏差原则。

该结果与收缩原理一起用于【47】，以推导出Diffusionttstdt的时间平均值的大偏差，以及缺钱（OTM）亚洲期权的短期到期渐近。利用看跌期权平价，也可以得到相应的货币内（ITM）亚式期权的短期到期渐近性。最后，还导出了ATM亚式期权的短期到期渐近性。文献[47]中的结果特别涵盖了Black-Scholes情况，并且在文献[47]中推导了Black-Scholes情况下的短成熟度渐近的显式公式。日期：2017年1月15日。2010年数学学科分类。91G20,91G80,60F10。关键词和短语。亚式期权，短期到期，CEV模型，大偏差，变量问题。2 DAN PIRJOL和LINGJIONG Zhu假设（2）、（3）不符合一些金融实践中流行的模型。这种类型的一个重要模型是恒定方差弹性（CEV）模型[15]，该模型由差异（4）dSt=（r-q） Stdt+σSβtdWt，S>0。该模型用于建模股票和外汇市场的偏斜，并允许通过选择适当的指数β来校准隐含波动率的ATM斜率。对于β<1，该模型再现了在许多金融市场中观察到的杠杆效应，表现为随着资产价格的上涨，波动性降低。价格和波动率之间的这种反向关系的结果是隐含的波动率偏斜。

参见【44】，了解CEV模型的数学特性以及CEV模型下普通期权的定价。在大多数实际应用中，指数β通常选择在0<β的范围内≤ 1、情况β=对应于Cox和Ross的平方根模型[17]，并作为Feller过程的一种特殊情况得到[25，16]（5）dxt=（bxt+c）dt+√2axtdWt，a=σ，b=r-q、 c=0。一般β的情况也可以通过变量的变化映射到差异过程（5）。Feller研究了过程（5）溶液的分类[25]。这可用于获得CEV模型（4）的相应性质，这些性质由以下众所周知的结果总结，见[4，44]：（i）0<β<。过程（4）可以映射到0<c<a的扩散（5）。扩散（4）密度的福克-普朗克方程的基本解不是唯一的。有两个独立的基本解，只有在x=0时添加额外的边界条件，例如吸收或反射边界条件，问题才适定。（二）≤ β<1。过程（4）可以映射到c<0的扩散（5）。扩散密度的福克-普朗克方程有一个唯一的基本解，即递减范数。模型（4）是（1）型局部波动模型，波动函数σ（St）：=σSβ-1吨。对于0<β<1，这不是一个有界函数。这意味着[51]的结果不能直接应用于这种情况。亚洲期权的定价在数学金融学中得到了广泛的研究。[38、11、22、43]研究了Black-Scholes模型下的定价，使用了几何布朗运动时间积分的分布性质与贝塞尔过程之间的关系。

参见【24】了解概述，参见【33】了解与替代模拟方法（如蒙特卡罗方法）的比较。PDE方法[48，53，54]可用于在各种模型下对亚洲期权进行定价，可以使用数值方法[53，54]，也可以使用渐近展开方法推导解析近似公式。本文[32]使用了热核展开方法，并开发了用元素函数表示的近似公式，用于计算亚洲风格的路径相关期权的密度、价格和希腊语。在[49，39]中，也使用Malliavin演算获得了导致具有误差界的分析近似的渐近展开式。[23]和[18]研究了β=的CEV模型下的亚洲期权定价。[34]中介绍了在β=模型下对离散和连续时间平均进行的详细研究。在[32]CEV模型3的亚洲期权中，使用PDE方法中的热核展开方法研究了CEV模型的一般情况[48、53、54]。文[32]在CEV模型下对其方法进行了详细的数值试验，证明了展开式的良好收敛性和稳定性。在本文中，我们研究了在标的资产价格遵循CEV模型（4）的假设下，亚洲期权价格的短期渐近性。我们同时考虑固定走向和浮动走向亚洲选项。我们的主要工具是概率论的大偏差理论。关于大偏差的理论和应用，我们参考了这本书。附录中将提供本文所需的一些基本定义和结果。平方根模型β=的情况很特殊，因为该模型是一个函数，时间积分的矩母函数可以以闭合形式找到。

然后，G¨artner-Ellis定理的应用给出了资产价格的平均时间积分的较大偏差。对于<β<1，我们使用最近由于Baldi和Caramelino[7]对CEV模型得出的一个大偏差结果，导出了决定亚式期权短期到期渐近的利率函数的变分问题。文献[20]研究了平方根过程β=的大偏差。完全解决了变分问题。推导了速率函数的大小走向渐近性。文献中提出的一些亚洲期权定价方法在期限/波动率限制较小的情况下效率较低。在Black-Scholes模型[24]提出的许多方法中，这是一个众所周知的问题，但在平方根模型中，也出现了类似的现象，在平方根模型中，扩张的收敛性较低，适用于小型到期/波动性。本文提出的短成熟度渐近展开补充了这些方法在数值效率低于最优的情况下的使用。本文的组织结构如下。在第2节中，我们给出了平方根模型β=。第3节考虑了一般CEV模型的情况≤ β<1。OTM亚式期权的渐近性由一个以闭合形式求解的变分问题的解给出。我们还得到了ATM亚式期权的渐近解。第4节考虑了亚洲期权与浮动期权的交集。在第5节中，我们给出了亚洲期权价格的分析近似值，其具有与第2节和第3节中获得的相同的短期到期渐近性。将该近似值与文献中的基准测试结果进行了比较，证明与实际应用相关的模型和选项参数具有良好的一致性。

最后，附录中给出了大偏差理论的背景和主要结果的证明。注释和准备工作。具有到期时间t和行使时间K且连续平均的亚洲看涨期权和看跌期权的价格由风险中性中的预期给出。我们注意到，文献中使用多种方法研究了CEV模型下普通期权的短期到期渐近性，请参见[40、42、14]。4 DAN PIRJOL和LINGJIONG ZHUmeasureC（T）：=e-rTE“TZTStdt- K+#,（6） P（T）：=e-rTE“K-TZTStdt+#,（7） 其中，C（T）和P（T）强调对成熟度T的依赖性。我们将风险中性度量中的平均资产价格预期表示为（8）A（T）：=TZTE[St]dt=S（r-q） T型e（r-q） T型- 1.,对于r- q 6=0和A（T）：=稳定部队- q=0，当K>A（T）时，亚式看涨期权不含货币和C（T）→ 0作为T→ 当A（T）>K时，看跌期权不含货币和P（T）→ 0作为T→ 看涨期权和看跌亚式期权的价格通过看跌期权平价关联为（9）C（K，T）- P（K，T）=e-rT（A（T）- K） 。作为T→ 0，我们有A（T）=S+O（T）。因此，对于小型到期制度，当且仅当K>Setc时，callAsian期权已失效。就短期到期限制而言，如果K>S（K<S），则称看涨期权为货币外期权（分别为货币内期权），如果K<S（分别为K>S），则称看跌期权为货币外期权（分别为货币内期权），最后称其为货币内期权（K=S.2）。平方根模型中的短期亚洲期权在本节中，我们假设资产价值St遵循平方根过程：（10）dSt=（r-q） Stdt+σpStdWt，S>0，wt是从零开始的标准布朗运动，时间为零W=0。我们得到以下结果。定理1。

P（TRTStdt∈ ·) 满足率函数（11）I（x，S）=supθ的大偏差原则∈R{θx- ∧（θ）}，其中（12）∧（θ）：=limT→0T对数EheθTRTStdti=√2θσtanσ√2θSif 0≤ θ<π2σ-√-2θσtanhσ√-2θSifθ≤ 0个+∞ 否则事实上，定理1中的速率函数有一个更明确的表达式。连同我们在第3节中证明的定理1和引理4，我们得到了以下结果。提案2。假设平方根模型：β=。CEV车型5（i）的亚洲选项用于K≤ S、 看跌期权为OTM，P（T）=e-TI（K，S）+o（1/T），作为T→ 0，其中（13）I（K，S）=Sσxcosh（x）sinh（2x）2x- 1.,其中x是方程（14）2 cosh（x）的解1+信噪比（2x）2x=堪萨斯州。（ii）对于K≥ S、 看涨期权为OTM，C（T）=e-TI（K，S）+o（1/T），作为T→ 0，其中（15）I（K，S）=Sσxcos（x）1.-sin（2x）2x,其中0≤ x个≤π由方程（16）2 cos（x）的解给出1+正弦（2x）2x=堪萨斯州。我们还可以研究速率函数的小/大走向渐近性。提案3。（i） 平方根模型β=is（17）limK的OTM亚式看涨期权K>Sin率函数的大走向渐近性→∞I（K，S）K=π2σ。（二）小罢工K→ 0平方根模型中OTM亚洲看跌期权K<的速率函数的渐近性β=is（18）I（K，S）~S2σK，作为K→ 0.2.1。ATM点周围速率函数的扩展。我们还给出了在x=log（K/S）幂级数中平方根模型（β=）中亚式期权的利率函数的展开。前几项为（19）I（K，S）=Sσx+x+x+O（x）.这给出了ATM点x=0附近的速率函数的近似值。使用命题2中的表达式，对平方根模型中的速率函数I（K，S）进行了数值计算。我们在图1中显示了该函数与K/S（左）和x=log（K/S）（右）的关系图。

我们还在右图中显示了通过保持级数展开式（19）中的前三项获得的速率函数近似值，这在ATM点x=0.3附近提供了良好的近似值。CEV模型中的亚洲期权CEV模型由风险中性度量（20）dSt=（r-q） Stdt+σSβtdWt，当S>0.6时，DAN PIRJOL和LINGJIONG Zhu很容易检查以下引理是否成立。引理4。对于亚洲OTM看涨期权，即K>S，我们有≤ β<1（21）极限→0T对数C（T）=极限→0T日志PTZTStdt≥ K.对于亚洲OTM看跌期权，即K≤ S、 我们有≤ β<1（22）极限→0T对数P（T）=极限→0T日志PTZTStdt≤ K.利用这个结果，我们可以证明CEV模型（4）中OTM亚洲期权的短期到期渐近性。定理5。CEV模型（4）中OTM亚式期权的短期到期渐近性≤ β<1由（23）limT给出→0T日志C（T）=-I（K，S），其中速率函数由一个变分问题的解给出，具体如下。（i） 对于OTM亚洲看涨期权K>Swe have（24）i（K，S）=infg（t）dt≥K、 g（0）=S，g（t）≥0,0≤t型≤1Z（g（t））σg（t）2βdt，K>S.（ii）对于OTM亚洲看跌期权，K<Swe有（25）I（K，S）=infg（t）dt≤K、 g（0）=S，g（t）≥0,0≤t型≤1Z（g（t））σg（t）2βdt，K<S.3.1。在货币亚洲期权。让我们考虑ATM的情况，即K=S>0。对于这种情况，我们得到以下结果。定理6。作为T→ 0，我们在CEV模型中有≤ β<1（26）C（T）=σSβ√T√6π+O（T），P（T）=σSβ√T√6π+O（T）。0.51 1.52 2.5 3 3.54123450K/S0-2-101212345对数（K/S）0图1。β=的速率函数I（K，S）以S/σvs K（左）和vs log（K/S）（右）（实心黑色曲线）为单位，泰勒展开式（55）保持前三项（蓝色虚线）。CEV 73.2型的亚洲选项。CEV模型中亚式期权的短到期渐近变分问题。

定理5将ECV模型中亚式期权的利率函数I（K，S）作为变分问题给出。对于OTM亚洲看涨期权K>S，该变量问题为（27）I（K，S）=infg2σZ（g（t））g（t）2βdt，其中函数g（t）是可微分的，且满足g（0）=S，g（t）>0，0≤ t型≤ 1，在约束（28）Zg（t）dt下取最大值≥ K同样，对于K<S的OTM亚式看跌期权，利率函数I（K，S）由不等式约束的变分问题（27）给出≤ K、 将IK（K，S）定义为变分问题（27）的解，通过将不等式（28）替换为等式获得。证明的策略是证明IK（K，S）是K>Sand的增函数，因此变分不等式的解由I（K，S）=IK（K，S）给出。对于K<，Swe将表明IK（K，S）是K<S的递减函数，因此变分不等式的解由i（K，S）=IK（K，S）给出。接下来，我们给出等式约束为trg（t）dt=K的变分问题（27）的解。这由以下结果给出。提案7。等式约束的变分问题（27）的解由（29）IK（K，S）给出=S2（1-β） 2σa（+）（x）b（+）（x）K≤ S、 S2（1-β） 2σa(-)（x） b类(-)（x） K级≥ S、 这两种情况如下：（i）K≤ S、 0<x≤ 1是方程（30）KS=x+b（+）（x）a（+）（x）的解，其中a（+）（x）=2x-β（1- x） F级β、 ，；；1.-x个,（31）b（+）（x）=x-β（1- x） F级β、 ，；；1.-x个.（32）参数z=1-超几何函数f（a，b；c；z）的xof为负。（ii）K≥ S