CEV模型的短期亚洲期权

第一个条件实际上遵循（189），因为该表达式中的积分为正。第二个条件是，对于β≥limχ→0ddχ[G（+）（χ）]KS- χ！=-∞.（193）这是通过明确写出导数yddχ[G（+）（χ）]KS得到的- χ=G（+）（χ）dχG（+）（χ）KS- χ+[G（+）（χ）]（KS- χ） 。（194）此外，此处出现的函数具有χ→ 0限值，对于β≥,（195）G（+）（χ）=1+Oχ-β, asχ→ 0和（196）ddχG（+）（χ）=-∞ asχ→ 0。关系式（195）来自χ→ 0超几何函数的渐近性，可从方程（208）（197）F中提取, β、 ；；1.-χ=3.- 2βχβ+Γ（）Γ（β-)Γ（β）χ3/2。关系式（196）是从（189）中得出的，注意到RHS上的积分是从asZχdzzβ以下有界的√z- χ≥Zχdzz--β=- β（1- χ-β）→ +∞, χ→ 0+。（198）在最后一步中，我们使用了β>。使用关系zχdzpz（z- χ） =2对数（p1- χ+1）- 对数χ→ ∞, χ→ 0+。（199）这表明在下边界χ=0处未达到（38）中的最大值。这正好说明了引理30在[47]中的应用。32 DAN PIRJOL和LINGJIONG ZHUiii）根据定理5给出的速率函数I（K，S）的结果以及上文（I）和（ii）中证明的IK（K，S）的单调性，可以立即得出结论。命题12的证明。

本文证明了速率函数I（K，S）的大罢工渐近性。对于这种情况，我们对x感兴趣→ ∞ 函数a的渐近性(-)（x） ，b(-)（x） 。为此，转换参数z=1很有用-这些函数表达式中出现的超几何函数的xof为（200）z→ 1.- z=使用Abramowitz和Stegun[1]中的标识15.3.6。F（a，b；c；z）=Γ（c）Γ（c- 一- b） Γ（c- a） Γ（c- b） F（a，b；a+b- c+1；1.- z） +（1- z） c类-一-bΓ（c）Γ（a+b- c） Γ（a）Γ（b）F（c- a、 c类- bc- 一- b+1；1.- z） 。我们得到，对于β∈ [，1），Fβ、 ，；；1.-x个=Γ（）Γ（1- β） Γ(- β） +O（xβ-1） ，（201）Fβ、 ，；；1.-x个=Γ（）Γ（1- β） Γ(- β） +O（xβ-1） ，（202）为x→ ∞.K/S下x方程（33）的解 1 isx=3- 2β2（1- β）堪萨斯州+ O（K/S）。（203）将x代入命题7的速率函数表达式中，我们得到了命题12中给出的I（K，S）的大罢工渐近。命题13的证明。本文给出了速率函数I（K，S）的小罢工渐近性的证明。我们需要x→ a（+）（x），b（+）（x）的0+渐近性。

这是通过改变z=1获得的-X这些函数的表达式中出现的超几何函数的参数为（204）z→z- 1=-x、 使用Abramowitz和Stegun[1]F（a，b；c；z）=（1）中的恒等式15.3.8- z）-aΓ（c）Γ（b- a） Γ（b）Γ（c）- a） F级a、 c类- b一- b+1；z- 1.（205）+（1- z）-bΓ（c）Γ（a- b） Γ（a）Γ（c）- b） F级b、 c类- 一b- a+1；z- 1..这可用于确定x的渐近性→ 0+，以及小x渐近（206）F（a，c- b一- b+1；x） =1+O（x）。CEV型号33We getF的亚洲选项β、 ，；；1.-x个= xβΓ（3/2）Γ（1/2- β） Γ（1/2）Γ（3/2）- β） （1+O（x））（207）+xΓ（3/2）Γ（β- 1/2）Γ（β）（1+O（x））=xβ1- 2β（1+O（x））+xΓ（3/2）Γ（β- 1/2）Γ（β）（1+O（x）），和fβ、 ，；；1.-x个= xβΓ（5/2）Γ（3/2- β） Γ（3/2）Γ（5/2）- β） （1+O（x））（208）+xΓ（5/2）Γ（β- 3/2）Γ（β）（1+O（x））=xβ3- 2β（1+O（x））+xΓ（5/2）Γ（β- 3/2）Γ（β）（1+O（x））。对于<β<1，这些展开式中的主导项为x→ 0+是（207）中的第二项，是（208）中的第一项。x为K的方程→ 0变为近似值lyks=xβ-Γ（β）√π(- β） Γ（β-)+ O（x）。（209）将x代入命题7的速率函数表达式中，我们得到了命题13中给出的I（K，S）的小走向渐近。6.4。第4节中结果的证明。定理14的证明。

对于任何θ∈ R、 E[EθTRtSsds-θκTST | S）=eA（T；θT，-θκT）S，其中（T；θ；φ）满足常微分方程：（210）A（T；θ，φ）=（r- q） A（t；θ，φ）+σA（t；θ，φ）+θ，其中A（0；θ，φ）=φ。对于θ>0，A（t；θ，φ）=p2σθ-（r）- q） σtan“p2σθ-（r）- q） t+棕褐色-1r级-q+σφp2σθ-（r）- q） 哦#（211）-r-qσ，34 DAN PIRJOL和LINGJIONG ZHUand，θ<0，A（t；θ，φ）=（r-qσ-q（r-q） σ-2θσ+φ）（r-qσ+q（r-q） σ-2θσ）et√（r）-q）-2θσ（r-qσ+q（r-q） σ-2θσ+φ）- et公司√（r）-q）-2θσ（r-qσ-q（r-q） σ-2θσ+φ）（212）-（r）-qσ-q（r-q） σ-2θσ）（r-qσ+q（r-q） σ-2θσ+φ）（r-qσ+q（r-q） σ-2θσ+φ）- et公司√（r）-q）-2θσ（r-qσ-q（r-q） σ-2θσ+φ）。为了0≤ θ<θc，（213）极限→0吨ATθT，-κθT=r2θσtanrσθ+tan-1.-σκrθ！！，这个极限是∞ 如果θ≥ θc，其中θcis为方程的唯一正解：（214）rσθc+tan-1.-σκrθc=π。为了证明（214）有唯一的正解，让我们定义：（215）F（x）：=rσx+tan-1.-σκ√x个-π。那么，F（0）=-π和F(∞) = ∞. 另一方面，我们可以计算（216）F（x）=rσ-σκ√σκx+1，F（x）=σκ√σκx（σκx+1）。因为对于任何x>0的情况，F（x）>0，并且F（0）=-π<0和F(∞) = ∞, 因此，f（x）=0具有唯一的正解。对于θ<0，limT→0吨ATθT，-κθT= -√-2θσ√-2θσ（eσ）√-2θ- 1） +θκ（1+eσ√-2θ）√-2θσ（1+eσ√-2θ）- θκ（1- eσ√-2θ）（217）=-√-2θσ√-2θσ+θκ√-2θσ-θκeσ√-2θ- 1.√-2θσ+θκ√-2θσ-θκeσ√-2θ+1=-√-2θσtanhσ√-2θ+tanh-1.-σκr-θ！！。CEV型号35的亚洲选项∧（θ）：=limT→0T对数EheθTRTStdt-θTκSTi（218）=√2θσtanσ√2θ+tan-1.-σκqθSif 0≤ θ<θc-√-2θσtanhσ√-2θ+tanh-1.-σκq-θSifθ≤ 0个+∞ 否则很容易证明∧f（θ）对于任何θ<θcand∧f（θ）都是可微的→ ∞ asθ↑ θc。因此，PTRTStdt- κST∈ ·通过应用G¨artner-Ellis定理，用（65）中给出的速率函数If（κ，S）满足大偏差原理，见附录中的定理20。致谢Lingjiong Zhu感谢NSF拨款DMS-1613164的支持。参考文献【1】Abramowitz，M.和I.A.Stegun（1972）。

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