多层金融网络中的实物交付义务

下一节将详细介绍通过效用最大化问题产生的财务行为。3模型在本节中，我们将首先介绍无价格影响的多货币债务的结算框架。在这种情况下，我们提供了关于存在性和唯一性的结果，这推广了Eisenberg和Noe【2001】、Elsinger【2009】的结果。在这种情况下，我们可以考虑Eisenberg和Noe【2001年】中首次考虑的有效默认算法。没有价格影响的框架很有趣，因为它在数学上是可处理的。此外，从财务角度来看，鉴于本文提供的支付方案的普遍性，以及考虑到对各种机构的明显的异质冲击，这是很有意义的。在这种情况下，使用多层网络是不必要的，因为可以在市场财富基础上采取Elsinger[2009]中所述的适当优先支付的方法。然而，根据这些结果，我们引入了由于企业进行资产转让而产生的价格影响。这些市场影响不能仅用市场财富来完全描述，因此需要使用向量值网络，即多层网络。我们在本节结束时，考虑了资产价值受到初始冲击后所产生的均衡汇率。这使得我们能够在银行体系恶化和缓解金融危机影响时进行分类。我们希望将该模型与之前在Eisenberg和Noe【2001】框架中的零售概念进行比较，例如Weber和Weske【2017】。在此类工程中，所有债务均以相同（现金）资产计价，非流动资产以折扣出售，以弥补这些现金短缺。

通过采用这种方法，清算机制的单调性是直接的，塔尔斯基的固定点提供了清算付款和价格的存在。然而，在这项工作中，银行有购买和出售资产的自由，以弥补其债务（在多种资产中），例如，以折扣购买资产以提高其效用。清算价格和投资组合持有量的存在需要更彻底的比较静态结果（见附录），最终不会产生晶格非平衡解。3.1无市场影响的金融传染确定除一家公司以外的所有公司的行为，即除我以外的所有公司持有的每项资产的金额为-我∈ R（n-1） ×m+（公司j持有yj∈ Rm+，相对价格由向量q给出∈ Rm++。由于其他公司的付款，公司i可立即使用的每套资产的金额如下所示：xki+nXj=1akji(R)pkj∧ ykj公司k=1,2，m、 如Eisenberg和Noe【2001】所述，如图1b所示，企业可获得的资金总额XKI和已实现的银行间资产PNJ=1akji[(R)pkj∧ykj]。根据有限责任的概念（即，没有公司支付的金额超过其所欠的金额）和绝对优先权（即，在所有债务全额支付之前，没有公司积累正权益），公司i的持有量如下：k*∈ {1，2，…，m}：yk*i> “”主键*我=> 易≥ ？pi。我们假设其他监管规则适用于多资产支付。也就是说，监管机构可以在不同的资产或货币之间强制执行优先支付（如Elsinger【2009】）或按比例支付（如Eisenberg和Noe【2001】）。这些规则编码在一个单调的、严格凹的、超模的支付效用函数中。

公司i支付的款项由PI（y，q）=arg maxpi表示∈[0，π]hi（pi；y-i、 q）mXk=1qkpki≤mXk=1qkxki+nXj=1akji(R)pkj∧ ykj公司. （1） 考虑到所有其他公司的投资组合持有量和现行市场价格，确定了支付函数PI，以便支付的市值不超过可用的市值已变现资产。此外，通过将付款限制在0和'pi之间，我们强制执行有限责任假设。包括支付效用函数HI是为了保证最终支付将满足所需的监管环境（例如，优先级或比例）。我们参考第4.1节，了解在金融利益监管下支付效用函数的构建。该支付方案一般足以涵盖文献中标准框架之外的监管环境，即按比例和优先顺序支付，以包括示例4.1中所述的盈余还款方案。然而，我公司可以选择交易超过支付所需的资产；为了优化一些实用功能ui，将进行额外的交易。为了保证绝对优先权，我公司持有的资产的最终数量必须超过每项资产的支付Pi（y，q）。这样一来，对于资不抵债的企业来说，效用函数是多余的，也是不必要的，因为它们必须准确地支付其工资SPI（y，q）。此外，我们限制每家银行的行动，使其能够在不损失按市值计价资产的情况下获得其指定投资组合。因此，企业i的资产持有量向量由双层规划i给出∈ Yi（y，q）=arg maxei∈Rm+ui（ei；y-i、 q）ei公司≥ Pi（y，q），Pmk=1qkeki≤Pmk=1qkxki+Pnj=1akji(R)pkj∧ y*千焦.

（2） 通过强制非负性约束，我们编码了一个no-s-short-s-e-lling假设。请注意，我们允许企业在确定其最终投资组合持有量时丢弃财富。虽然从数学上讲这是可能的，但本文考虑的所有示例都将保证Yi（y，q）中的ny值将具有与公司资产价值相等的终端（按市值计价）财富。根据给定的还款和企业行为规则，我们能够充分描述资产持有的清算机制。给定资产持有矩阵y∈ Rn×m+和定价向量q∈ Rm++更新资产持有量由清算机制Y给出，其中（Yi）i=1,2，。。。，（2）中给出了nis。在这一清算机制中，监管机构可以通过指定支付效用函数来发挥作用，该函数决定了每个企业i的支付函数Pi（定义见（1））。我们使用清算机制来计算已实现的持股量y（q）∈ 定价向量q下的Rn×m+∈ Rm++。这是由清算机制的固定点提供的，即y（q）∈ Y（Y（q），q）。我们现在考虑在危机价格为q的情况下，最大和最小清算解y（q）存在的条件，y（q）是艾森伯格Noe模型中描述的一般性质。然后，通过保证最大解和最小解必须重合，利用这些结果证明了清算解唯一性的充分条件。请注意，由于支付方案的一般性，由支付效用函数编码，因此不可能直接将Eisenberg和Noe【2001】的结果应用于每一财务报表的按市值计价资产和负债；然而，在下面备注3.3中讨论的特殊情况下，可以采用这种方法。

此外，由于监管机构（通过支付效用函数）和有偿付能力的银行（通过效用函数）的效用最大化行为，我们必须考虑每个企业的双层优化问题的比较静态，以证明附录中提供的结果。引理3.1。确定价格q∈ Rm++。让付款实用程序运行hi:[0，\'pi]×R（n-1） ×m+×Rm++→ Rbe在其第一个参数中严格递增、严格凹和超模。让实用程序运行sui:Rm+×R（n-1） ×m+×Rm++→ R在其第一个参数中是凹的和超模的。此外，假设Yi（y，q）（在（2）中定义）是任何y的单态值∈ Rn×mand对于所有代理人i.（i）存在最大和最小清算持有量y↑（q）≥ y↓（q） 满足y=y（y，q）。（ii）所有公司的正资产在每个固定点上都是相等的，即（y↑i（q）- (R)pi）+=（y↓i（q）- ‘pi）+预测表i。关于最大和最小清算组合的这些结果推广了Eisenberg和Noe【2001】的定理1。事实上，在m=1资产的情况下，所有支付效用函数和满足引理3.1条件的效用函数（例如设置hi（pi；y-i、 q）：=计划ui（ei；y）-i、 q）：=ei）根据Eisenberg和Noe【2001】的定理1，准确收回Eisenberg-Noe付款和资产。在以下推论中，我们为金融系统引入了一个额外的节点。表示为node0，该“公司”代表n家银行体系中未包含的所有机构和个人。这一概念在Glasserman和Young【2015年】、Feinstein等人【2017年】中有更详细的阐述。特别是，我们将假设这个“社会节点”充当系统的接收器，即它对网络没有任何义务。这是基于这样一种假设，即社会节点永远不会违约，因为其初始禀赋来自原始体系之外。

如果需要节点0的默认值，则可以通过强调企业的初始禀赋将其包括在内。推论3.2。考虑引理3.1的设置。如果每个企业i和资产k的Lki0>0且Lk0i=0，则价格q下的均衡持有量∈ Rm++是唯一的，即y*（q） ：=y↑（q） =y↓（q） 。备注3.3。在支付效用和效用函数的特定选择下，如果满足引理3.1的条件，我们可以给出较弱的唯一性条件。例如，在按比例转移（参见示例4.2，u=0）和最小交易（参见示例4.3）下，如果（q*Tx，Pmk=1q*kLk）是艾森伯格（Eisenberg）和诺伊（Noe）[2001]设定的常规网络（即，所有公司都有一条可能长度为0的直达路径，以获得正向捐赠，见艾森伯格（Eisenberg）和诺伊（Noe）[2001]的定义5），那么清算持有量是唯一的。我们将介绍Eisenberg和Noe【2001年】、Rogers和Ve raart【20 13】、Weber和We ske【2017年】、Amini等人【2016年】、Feinstein【2017年】提出的一种修改版的有效违约算法，以构建最大的投资组合持有量↑（q） 低于价格q∈ Rm++。特别是，与先前的fictiousdefault算法一样，由于默认银行集是单调的，因此该算法在最多n次迭代后将收敛。虽然该算法在有限的迭代次数内收敛，但与Webe r和Weske【2017年】、Amini et a l【2016年】等案例一样，它在每次迭代中都包含一个执行点问题。算法3.4。考虑引理3.1的设置，另外，hi（pi；y-i、 q）=高（pi；(R)p-我∧ y-i、 q）ui（ei；y-i、 q）=ui（ei；(R)p-我∧ y-i、 q）对于每个公司i和每个pi∈ [0，\'pi]，ei∈ Rm+，y-我∈ R（n-1） ×m+，和q∈ 【q，q】。最伟大的portfolioholdings y↑（q） 低于价格q∈ Rm++可以通过以下算法在最多n次迭代中找到。初始化α=0，pα=(R)p，Dα=.

重复直至收敛：（i）增量α=α+1；（ii）对于任何一家公司，i=1，2。。。，n和资产k=1，2。。。，m、 确定yαik=xik+Pnj=1akjipα的投资组合持有量-1jk；（iii）用Dα表示破产银行：=我∈ {1，2，…，n}| qT（yαi- (R)p）<0;（iv）如果Dα=Dα-1然后退出回路；（v） 定义矩阵∧α∈ {0，1}n×nso∧αij=1如果i=j∈ Dα0其他。pα=^p是以下定点问题的最大解^p=（I- ∧α）(R)p+∧αp（（I-∧α）(R)p+∧α^p，q）。（3） 终止lo op后，可通过y=y（pα，q）计算清算持有量。算法3.4中关于支付效用和效用函数的附加条件规定，公司i仅根据其他公司的支付确定其支付或持有的金额-我∧ y-iandnot关于其他公司的实际持股-i、 我们将通过考虑一个简单的两家银行的例子来完成对没有价格影响的均衡投资组合持有量的讨论，对于这个例子，清算解决方案可以进行分析计算。我们将在关于价格影响和达到均衡的章节末尾再次参考这个例子。x=（0，2）Tx=（2，0）TL=（1，0）TL=（0，1）T图2：示例3.5：具有2个银行和2个as集的网络模型的图形表示，该网络模型接受多个清算解决方案。示例3.5。考虑图2所示的网络，其中n=2家银行，m=2家资产。也就是说，第一家机构持有第二项资产的2个单位，并欠第二家机构第一项资产的1个单位；反之亦然，第二家机构持有2个单位的第一项资产，并欠第一家机构1个单位的第二项资产。请注意，（hi）i=1,2满足引理3.1的条件的任何选择都是等效的不平衡，因为对于两家银行来说，所有债务都只存在于单一资产中。

考虑一个最小化市场交易总量的效用函数UIT（有关更多详细信息，请参见下面的示例4.3）。在不丧失一般性的情况下，我们将让集合1表示numéraire资产（即，在整个示例中，q=1）。如备注3.3所述，对于任何价格q>0，该系统将有一个唯一的清算解决方案，由：y提供*（q）=最小值（1，3q）（2+最小值（1，3/q）- 1/q）+和y*（q）=（2+分钟（1，3q）- q） +分钟（1，3/q）.3.2有市场影响的金融传染无市场影响的清算组合持有结果概括了Eisenber g和Noe[2001]的结果。事实上，在m=1资产的情况下，所有支付效用函数和满足引理3.1条件的效用函数（例如设置hi（pi；y-i、 q）：=计划ui（ei；y）-i、 q）：=ei）如果没有市场影响，则按照Eisenberg和Noe【2001】的定理1准确收回Eisenberg-Noe付款和资产。然而，市场影响（由于企业进行的资产转移）对企业产生了进一步的反馈影响，在Eisenberg a和Noe（2001）的m=1方案中无法考虑。在本节中，我们将首先介绍反向需求函数，我们使用它来模拟企业行为的市场影响。然后，我们将使用这个市场影响模型来考虑清算价格和投资组合持有的存在，从而概括前面的部分。资产的价格由向量值逆需求函数F:Rm给出→ 【q，q】 Rm+最小和最大价格q=（1，q，…，qm）和q=（1，q，…，qm）t其中第一项资产为努美莱。反向需求函数将要出售的每项资产的数量映射为numéraire中的每单位价格。投资组合z的清算价值，以数字表示∈ 因此，zTF（z）给出了Rmis。

在本文的其余部分，我们将强加以下假设。假设3.6。逆需求函数F:Rm→ 【q，q】 Rm++是连续且不递增的。为简单起见，反向需求函数的形式为F（z）：=（1，F（z），fm（zm））t每z∈ Rm。备注3.7。在构建反向需求函数时，我们选择将第一项资产作为bethe numéraire资产。然而，对于这项工作的结果，不需要作出这种假设。事实上，可以选择一个有效的数字资产，因此我们会选择q<q，一些函数f（z）也是必要的。此外，只要反向需求函数连续且不增加，定价中不存在交叉影响的假设就可以消除，而不会影响这项工作的结果。备注3.8。我们可以用分量πkk（z）：=Fk（z）Fk（z）Fk（z）代替逆需求函数，而不是引入一个数值，来代替买卖矩阵（例如，参见Schachermayer[2004]）。等效地，来自投标文件askmatrix∏：Rm→ Rm×m++，我们可以通过定义Fk（z）：=π1k（z），构建一组反向需求函数，使得第一个资产是numéraire资产。类似地，我们可以考虑非银行部门的需求曲线，而不是引入反向需求函数（如Capponi和Larsson【2015年】）。我们考虑反向需求函数，因为它简化了该PAP r的公式，尽管它可以从非银行部门的需求曲线构建。此外，虽然本文的结果不需要，但我们通常会假设反向需求函数满足以下条件：∈ Rm7→ zTF（z）是严格递增映射。也就是说，随着投资组合持有量的增加，投资组合的流动性价值严格地增加。

请注意，我们考虑的是有空头头寸的投资组合，即zk<0。备注3.9。在m=2资产的情况下，根据假设3.6，我们将假设F≡ 1和F（z）：=每z的F（z）∈ R对于某些连续且非递增的逆需求函数f:R→ 【q，q】。也就是说，第一项资产将作为主要资产，第二项资产的价格将仅取决于在该资产中购买或出售的单位数量。在之前的工作中，如Cifuntes等人【2005年】、Amini等人【2016年】、Feinstein【2017年】，反向需求函数仅定义为出售的非负性单位的函数；使用对称变元，我们可以从该半行逆需求函数定义整个实线上的逆需求函数。考虑^f:R+→ [q，1]是一个连续且非递增的逆需求函数，使得α（z）：=z^f（z）在z上严格递增∈ R+。然后，我们可以以对称方式asF（z）定义完整的反向需求函数：=^f（z）如果z≥ 0^f（α-1个(-z） ）如果z<0。（4） 对称的概念是因为出售第二项资产的zunits相当于购买第一项资产的α（z）单位（即出售-α（z）单位）。因此，当购买资产t 2的| z |单位时，如果z<0，我们可以考虑出售α-1个(-z） 第一项资产的单位。再加上假设FirstAsset具有相同的反向需求函数^f（当出售以第二项资产计价的资产1的单位时），并将numéraire更改回资产1，则会产生（4）中所示的反向需求函数。利用逆需求函数F给出的价格影响模型，我们想再次回到企业投资组合持有的清算模型。给定初始价格q∈ 【q，q】，第3.1节提供了*（q） 。