衍生工具估值中的二元融资影响

我们将抵押品金额设定为τ≤ T，作为mτ-, 因此，违约时的现金流可以是Dτ+eτ-mτ-. 然而，无论我们是否分开模中e的Dτ是无关紧要的，因为F适应的cádlág过程的跳跃已经耗尽I SDA MASTER ag reement的一部分通过F-停止时间（见He等人。，, 定理.). 因此，通过(.), Dτ=0，a.s.让Cdenote记录累积的cas流量。那么，几乎可以肯定的是，对于任何t≤T：Ct 1τ>tDt+1τ≤t（Dτ+eτ）-1τ=τH≤tLH（eτ-mτ-)++ 1τ=τC≤tLC（eτ-mτ-)-, (.)其中0≤ 左侧≤ 1（分别为0≤ 信用证≤ 1）是套期保值者（各自的交易对手）的损失率。我们表示如下：Θ C-Dτ。(.)换句话说，Θt=1τ=τH≤τ- LH（eτ-mτ-)+i+1τ=τC≤τ+LC（eτ-mτ-)-i、 一般情况下，Θ- ERE表示套期保值人因违反合同而遭受的损失。.. 账户和对冲策略在本节中，我们将介绍几个储蓄账户和对冲者的对冲策略。让我{1,2，…，n，H，C}，对于任何i∈ 一、 ηS，ide注意套期保值者持有的SI单位数。我们假设ηS，iis G-可预测。我们表示：Д（ηS，1，…，ηS，n，，ηS，H，ηS，C），πiηS，iSi，i∈{1，…，n}，πiηS，iSi-, 我∈ {H，C}，π（π，…，πn，πH，πC）。我们将（n+2）维G-可预测过程称为套期保值者的套期保值策略。评论.. ^1被选择为G适应型，仅用于描述默认情况下立即采取的行动。它将显示在节中. 在[0，τ）上，Д是F-适应的。如果抵押品被抵押，则记账方将由接收方按照一定的利率支付报酬。当mt≥ 0（对应<0），交易对手（对应套期保值者）支付利息Rm，lt（分别为Rm、bt）≤ T我们假设抵押品以现金入账，利率应计至套期保值者的保证金账户。我们注意到Bm的借贷账户，l和Bm，分别是，即Bm，i，i∈{l,b} ，由以下公式得出：dBm，it=Rm，itBm，itdt，Bm，i=1。

(.)设ηm，l（分别为ηm，b）表示Bm的单位数，l（分别为Bm、b）。则应采用以下方程式：ηm，l≥ 0，ηm，b≤ 0，ηm，lηm，b=0(.)ηm，lBm，l+ ηm，bBm，b=m(.)我们假设变动保证金m可以重新设定，即套期保值者使用m来维持其投资组合。一些标的资产可以通过回购市场进行交易。我们用ρ表示回购市场可用的指数集 我 {1,2，…，n，H，C}。我们假设借贷和终止回购市场利率相同∈ρ、 让Rρ，i表示回购利率。此外，对于任何i∈ ρ、 让Bρ，Ide注记Rρ，Iacrues，即Bρ，ifollows：dBρ，it=Rρ，itBρ，itdt，Bρ，i=1。(.)对于i∈ρ、 我们表示Bρ，ibyηρ，i的单位数。然后，对于任何i∈ ρ： ηρ，iBρ，i+ηS，iSi=0。(.)如果对冲者有任何剩余现金，她可以赚取贷款利率Rl; 然而，当她借钱时，她需要偿还借款。对于i∈ {l,b} ，让Bide记录套期保值者的基金账户，ηide记录Bi的单位数。因此，可以得出：ηl≥ 0，ηb≤ 0(.)dBit=RitBitdt，Bi=1，i∈ {l,b} 。(.)最后，OIS利率账户用B表示，即t≥0，dBt=rtBtdt，B=1。. 套期保值者的套期保值投资组合现在已准备好确定套期保值者的投资组合。定义.. 如果V=t上定义的V（V，Д，C）∈ R+，通过：Vt=ηltBlt+ηbtBbt+ηm，ltBm，lt+ηm，btBm，bt+Xi∈IηS，itSit+Xi∈ρηρ，itBρ，it(.)满意度：Vt=V+Xi=l,bZt公司∧\'τηisdBis+Xi=l,bZt公司∧\'τηm，isdBm，is+Xi∈IZt公司∧\'τηS，isdSis+Xi∈ρZt∧τηρ，isdBρ，is-Ct∧？τ(.)对于任何t∈ R+，则V称为套期保值者的套期保值组合。评论.. 请注意：(.), Ct=Ct∧\'τ，对于任何t≥ 0和(.), Vt=Vt∧\'τ，对于任何t≥ 0、我们的目标是找到向交易对手收取的公平价格，以及满足定义的对冲策略..

我们试图施加一个终止条件，以便考虑增加资金的影响。这种递增的资金效应意味着两种选择的资金成本/收益之间的差异：签订或不签订新合同。为了解释数学上的细节，让B表示在没有签订新合同的情况下被赋予的B银行的投资组合，例如∈ R使得：B=。我们称B为遗留投资组合。我们假设遗留投资组合的风险较小，并且随着其融资利率的增长而增长。因此，对于任何t≥ 0:BtexpZtRsds公司,R1≥0Rl+ 1<0Rb，我们表示s R-r、 现在，让我们将V视为银行的总利润/损失，并考虑两种情况。首先，如果银行未进入交易C，则银行将在“τ”处保留Bτ。其次，银行可以以一定的初始价格签订合同，以p表示∈ R、 对于来自缔约方的合同。我们将调查公允价值p∈R考虑未签订合同的机会成本。定义.. 让p∈ R和Д是一个Rn+2值G-可预测过程。如果V'τ（p+，Д，C）=Bτ，我们分别称p和Д为（，m，C）的复制价格和复制策略。根据(.) 连同(.), (.), (.), (.), (.), (.), (.), (.), 很容易确定复制价格可以通过以下方式获得：p=V-(.)式中，V是以下BSDE的解（Q下）：Vt=B′τ+Z′τtdCs-Z“τt”Vs公司-太太-xi∈I \\ρπ为+Rls-Vs公司-太太-xi∈I \\ρπ为-Rbs+rsXi∈Iπ是-xi∈ρRρ，isπis#ds-Z？τt？Rm，lsm+s-Rm、bsm+s#ds-xi∈IZ'τtπ是σisdWs+Xi=H，CZ'τtπisdMis。(.)目前，我们不研究(.). 可解性将用(.). 各组成部分的财务解释(.)将在下一节中提供。

在继续之前，读者可能希望参考附录D，在附录D中，我们用一个简单的例子来说明增量资金的影响。下面，为了简单起见，我们对利率进行了一些现实的假设。实践中，Rm，i，i∈ {l,b} ，被选为联邦基金或EONIA利率，即约r。此外，OIS和回购市场利率之间的差异可以解释为回购市场的流动性溢价。我们假设回购市场具有足够的流动性，差异较小。此外，我们假设OIS率（rt）t≥0，是所有利率中最小的。这些假设总结如下：假设.. （i） Rρ，i=Rm，l= Rm，b=r，对于i∈ρ。（ii）Rl≥ r和Rb≥ r、 备注：.. 假设中给出的回购市场利率假设.-（i） 只是为了表达的含蓄(.). 从数学上讲，它并没有起到至关重要的作用。回想一下，我们尚未规定C中的收尾金额e。在下一节中，将介绍两个重要的收尾惯例：清洁价格和重置成本。清洁价格在减少BSDE过滤方面也发挥着重要作用(.)... 收尾约定我们考虑两种收尾约定：净价和重置成本。清洁价格是经典的风险中性价格，没有任何调整。P表示净价：Pt BtEZTtB-1sdDs英尺！，对于t≤T(.)文献中经常选择清洁价格（例如，Crépey(a、 b））。重置成本是指包含CVA、DVA、融资利率和d抵押品的价格。在这种情况下，由于不清楚应该选择哪种融资利率，我们假设替代方与对冲方的信用利差相似。此外，回想一下V-B是从套期保值者的角度计算衍生产品价格的值。

因此，在重置成本下，我们设定如下：eτ=Vτ--Bτ。在这两种约定中，我们假设抵押品与交割金额t成比例。更准确地说，对于0≤ Lm公司≤ 1（保证金损失）：m=（1-Lm）e(.)请注意(.) 与我们的财务模型一致。事实上，如果有一个G适应的过程(.), 在我们的过滤设置G中，有一个F适应的过程VF，使得v=1～0，(R)τ～VF。因此，在重置成本下，边际过程：m=（1-Lm）e=（1-Lm）（V--B）=（1-Lm）（VF--B）在“τ”之前是F自适应的。评论.. （i） 在实践中，这两种收尾惯例在财务建模中各有利弊。读者可以参考toBrigo&Morini() 进行比较。（ii）Burgard&Kjaer讨论了类似的抵押品公约(). 对于BSDEs的一般内生抵押品方法，读者可以参考toNie和Rutkowski().在进一步研究之前，我们提供了一个关于净价格P性质的引理。以下引理将用于呈现调整过程，并简化默认情况下现金流量的表示。读者可能想回忆一下(.), P的定义，在下面的引理之前。证据见附录E。引理.. （i） PT=0。（ii）P？τ=1τ≤TPτ。（iii）dPt=rtPtdt+Bt（ZPt）载重吨-滴滴涕≤T，对于某些ZP∈ H2，nT，位置。（iv）Pτ-= Pτ几乎可以肯定。.. 增量调整过程(.) 在引理中使用g（iii）.. 为此，我们引入了一个增量调整过程。在这两种收尾惯例中，我们将处理调整过程，而不是(.). 调整过程由V-B和P。让X表示（增量）调整过程：X B-1[五]-B-P'τ]。此外，让▄P B-1P，￠π B-1π，c B-1m，Θ B-1Θ（Θ定义于(.)),B B-1B，andsi 国际扶轮社-r、 我∈ {l,b} 。

请注意，sl（resp.sb）代表套期保值者的借贷利差。我们可以很容易地验证t≥ 0，dPt∧？τ=1t≤？τd？Pt。假设存在（V，π）满足(.), 通过将It^o的公式应用于X，我们得到了t的以下公式≤？τ，（X，￠π）：dXt=”Xt+~Pt+~Bs-ct-xi∈I\\ρИπit+slt型-Xt+~Pt+~Bs-ct-xi∈I\\ρИπit-sbt公司-st▄Bt▄dt+h▄πtσt-（ZPt）idWt公司-πHtdMHt-πCtdMCt，X'τ=▄Θ'τ-P'τ。(.)请注意，在重置成本下，Θ取决于X。更准确地说：Θt=Θt（X-) = 1τ≤tPτ-+ 1τ=τH≤thXτ--LHLm（Xτ-+§Pτ-)+i+1τ=τC≤thXτ-+ LCLm（Xτ-+§Pτ-)-我，在清洁价格下，Θ独立于X。我们还定义了ΘH（X-) 和ΘC（X-) 使：ΘΘΘτ-P'τ=-1τ=τH≤TΘHτ（Xτ-) + 1τ=τC≤TΘCτ（Xτ-).其中Θi B-1Θi，i∈{H，C}。例如，重置成本下：ΘHt（Xt-) = -Xt公司-+ LHLm（Xt-+Pt-)+, (.)ΘCt（Xt-) =Xt公司-+ LCLm（Xt-+Pt-)-. (.)在清洁价格下，ΘHt（Xt-) = LHLmP+t-和ΘCt（Xt-) = LCLm▄P-t型-. 在清洁价格的情况下，i，i∈ {H，C}，表示套期保值者因合同解除而遭受的损失。回想一下，带P与V无关。因此，假设套期保值者的套期保值组合和套期保值策略（V，π）的存在性和唯一性，就减少了对调整过程的BSDE的研究(.). 在检查可解性之前，假设存在和可积性，我们定义了增量调整中的每个组件，并提供了一些相应的备注。定义.. 假设存在满足(. ).

然后，对于t<τ，我们定义了调整过程：FCA、F BA、CVA、DVA，以及增量资金调整过程：FBA, FCA公司如下：FCAtE“Z”τtXs+~Ps+~Bs-cs公司-xi∈I\\ρИπ为-sbsds公司Gt#(.)FBAt公司E“Z”τtXs+~Ps+~Bs-cs公司-xi∈I\\ρИπ为+sl十二烷基硫酸钠Gt#(.)DVAt公司E“’τ=τ=τHΘHτ（Xτ-)Gt#(.)CVAt公司E“’τ=τ=τCΘCτ（Xτ-)Gt#(.)加班费Z？τtss？Bsds燃气轮机, (.)FCA公司t型FCAt公司-O-t(.)FBA公司t型FBA公司-O+t(.)在哪里(.)-(.) 定义明确。在这种情况下，我们还定义了FVA和FVA如下：FVAFCA公司-FBA、FVAFCA公司-FBA公司.评论.. （i） 假设局部鞅(.) 是真鞅。然后：X=FVA-DVA+CVA=FCA-FBA公司-DVA+CVA。(.)（ii）重置成本项下：FCAt=E“Z”τtLmXs+LMPS+Bs-xi∈I\\ρИπ为-sbs公司-（ssBs）-ds公司Gt#(.)FBA公司t=E“Z”τtLmXs+LMPS+Bs-xi∈I\\ρИπ为+sls-（ssBs）+ds公司Gt#。(.)人们经常说，当合同完全抵押时，不存在FVA（例如，见Cameron，). 为了检验这一点，假设f ul l抵押，即Lm=0，重置成本，ρ=i。然后我们可以看到FCA= FBA公司= 0发件人(.) 以及(.). 因此，根据我们的模型，FVA= 当结算金额为重置成本时，为0。然而，欠清洁价格，FVA即使Lm=0，仍存在。这就是为什么要讨论更换成本的原因之一。（iii）考虑不同的借贷不仅使BSDE的复制价格半线性化，而且使相关的Hamiltonia ns在最优投资问题上不平滑（见，; Bo&Capponi，; Yang等人。，, 例如）。在接下来的部分中，我们表示(.) 并将其简化为参考过滤F上的BSDE。. 滤失率表示（X，~π）in(.) 作为BSDE的解决方案，我们需要指定其生成器。

为了实现这一点，让我们把Zπσ-ZP，考虑一个映射（φt）t≥0这样，对于任何t≥ 0：φt（Xt，Zt）=Xi∈I\\ρИπit。φ的形式因所考虑的金融市场而异，因为σ可能不可逆。如示例所示. 和引理., φ在Z，ZP，|πH，|πC中是线性的，但在|πi，i中是线性的∈ {H，C}，依赖于相关BSDE在重置成本下的解。因此，对于隐含性，我们假设如下：假设.. 存在一个n维F-逐步可测过程α，使得：φt（z）=αt（z+ZPt）。对∧πi，i的依赖性∈ {H，C}使计算更加复杂。在附录G中，我们报告了一个示例，其中假设. 现在，通过以下示例，我们将演示该假设. 不会对我们考虑过的金融市场施加强有力的限制。实例.. （i） 如果ρ=i，我们应该粗略地设置φt（z）=0。（ii）Cons ider n=1，常数参数。然后S、SH、scfollowing:dSt=rStdt+σStdWt，dSit=rSitdt-St公司-dMit，i∈{H，C}。然后是PI∈I▄πIσI=▄πσ。当ρ={H，C}：φt（z）=（σ）-1（z+ZPt）=（σ）-1z+（σ）-1 zpt。(.)另一方面，当ρ={1，C}时，我们有π∈I \\ρИπI=°πH。因此，φt:z→πHt。这与Burgard&Kjaer讨论的情况相同().（iii）假设OIS率是一个F适应过程。此外，我们假设∈ {H，C}，（Git）t≥0由dGit给出=-hitGitdt，其中（hit）t≥0是确定的过程。我们考虑到期日T相同的不可违约和可违约z ero息票债券，即S、SH、SCare定义为St BtE【B】-1T | Ft]和Sit BtE[1τi>TB-1T | Gt]，i∈ {H，C}。引理B。在附录B中，Sit=1t<τi Bt（Git）-1E[吉特-1吨|英尺]。自（Git）t起≥0，i∈ {H，C}，是确定性的，Sit=t<τi（Git）-1基茨。因此，对于t<τ，σ=σH=σC。回忆∑=[（σ）···（σn）]和σ=[σ]（σH）（σC）]. 然后，∑)-1σ~π=[~π+~πH+~πC，~π，·····πn].

因此，1（∑）)-1σπ=π∈I▄π，其中1 （1，…，1）∈ 注册护士。因此，如果ρ=:φt:z→ 1.（∑）t）-1（z+ZPt）(.)现在，考虑ρ， 定义1ρ∈ Rnby：（1ρ）i（0 i∈ ρ、 1 i<ρ，其中（1ρ）ide表示1ρ的第i分量。当ρ∩{1，H，C}=, φt:z→（1ρ）（∑）t）-1（z+ZPt）。然而，如果ρ={1}，φt:z→ （1ρ）（∑）t）-1（z+ZPt）+∧πH+∧πC.vNow，我们表示(.) 作者：gGt（y，z） -y+~Pt+~Bt-ct-φt（z）+slt型+y+~Pt+~Bt-ct-φt（z）-sbt+stBt.Let（YG，ZG，πH，πC）表示以下BSDE在某些空间中的解：YGt=-1？τ=τ=τHΘHτ（YGτ-) + 1？τ=τ=τCΘCτ（YGτ-)+Z′τtgGs（YGs，ZGs）ds-Z？τt（ZGs）dWs+Xi=H，CZ'τt'πisdMis。(.)然后（YG，ZG，～πH，～πC）提供（X，～π）以及（V，π）。而不是直接处理(.),然而，我们将在参考过滤F的基础上研究B SDE的减少。其想法如下：在逐步扩大的过滤G中，任何G-可选（可预测）过程都有F-可选（可预测）减少，这是一个既定事实。因此，如果存在(.) 为了使YGis G-可选和ZGis G-可预测，存在满足以下条件的F-适配对（YF，ZF）：YG=1t<τYF，ZG=1t≤？τZF。(.)此外，我们推测（YF，ZF）是参考过滤F上BSDE的解决方案，即我们将确定gF：Ohm ×【0，T】×Rn+1→ R使得：YFt=zttfs（YFs，ZFs）ds-ZTt（ZFs）dWs。(.)然后，根据终端条件YG'τ=-1？τ=τ=τHΘHτ（YGτ-) + 1？τ=τ=τCΘCτ（YGτ-), 连同(.),我们可以预期：YGt=1t<τYFt+1t≥τh-1？τ=τ=τHΘHτ（YFτ-) + 1？τ=τ=τCΘCτ（YFτ-)i(.)通过将It^o的公式应用于(.), 我们可以确定gF。n ext引理解释了相应的细节。我们在附录E中报告了证据。通过下一个引理，（YG，ZG）可以通过（YF，ZF）得到。然后，（X，π）和d（V，π）可以通过（YG，ZG）找到。引理..

假设存在唯一的解决方案（YF、ZF）∈ 以下BSDE的ST×H2、NTO:YFt=ZTGFS（YFs、ZFs）ds-ZTt（ZFs）dWs(.)gFt（y，z） gGt（y，z）-hHt（y）+hCt（y）-hty。(.)然后（YG，ZG）可以解(.) 通过以下关系：YGt=1t<τYFt+1t≥τh-1？τ=τ=τHΘHτ（YFτ-) + 1？τ=τ=τCΘCτ（YFτ-)我(.)ZGt=1t<τZFt(.)ИπHt=YFt+ΘHt（YFt-),~πCt=YFt-ИΘCt（YFt-) (.)此外，如果（H）-假设在F和G之间成立，即任何（F，Q）-鞅都是（G，Q）-鞅，那么(.)-(.) 是唯一的解决方案(.).评论.. Bichuch等人也使用了这种简化论证(); Brigo等人();克雷佩伊(a、 b）。然而，由于(.) 以及(.), 我们需要解决(.) 因此，人们可能会对FCA和FBA之间的预期效果感兴趣。根据我们在下一节给出的主要结果，我们的答案是否定的。结果表明，融资影响是二元的，即FCA=0或FBA=0，二元影响由Payoff函数的单调特性决定。结果还与FBA/DVA的难题有关，即FBA是否重复计算DVA（见Cameron，). 然而，我们的结果告诉我们，FBA和DVA受到导数域不同数学结构的影响。更准确地说，DVA发生在银行h作为负债的情况下，即DVA涉及支付函数的符号，而FBA涉及单调性。备注中对此进行了详细解释.. 主要结果在本节中，我们证明了FVA的二元性质：FVA是FCA或-FBA。换句话说，FCA=0或FBA=0。FVA的这种转换特性由衍生品合约支付结构的某些特性决定。