衍生工具估值中的二元融资影响

在主要定理之前，读者可能想参考附录F，其中用一个例子解释了证明的思想。我们考虑确定性违约强度、波动性和融资利差，但（rt）t≥0不需要是确定性的，这样我们就可以将结果应用于（rt）t≥0是一个通用的适应过程。这些假设主要是为了简单起见。附录G中报告了一例随机违约强度。我们还考虑了欧洲风格的衍生产品。对于多次出现现金流的衍生工具，我们可以根据现金流的时间划分区间[0，T]。例如，如果Dt=PNi=1Ti≤tξi，对于t∈ （Ti-1，Ti），我们考虑以下BSDE：YFt=YFTi+ZTitgFs（YFs，ZFs）ds+ZTit（ZFs）dWs。(.)然后我们可以对每个B SDE应用下一个定理(.). 我们从净价开始。定理. （C精益价格）。我们假设hH，hC，sl, sb既有确定性又有界性。此外，α也是确定性的，αsl, αsbare有界。我们认为清洁价格为e=P，B-1D=~ T，∞~ξ。此外，我们假设如下：ξ∈ LT公司∩D1,2，Dθξ∈（D1,2）对于任何θ≤T(.)E“RTDθξdθ#<∞, (.)E“RTRTDt（Dθξ）dθdt#<∞. (.)我们假设1P=0=0，dQdt a.s.Let:ξbsb（1-Lm）αZP+hB+（h-HHLLM）~P+-（h）-hCLCLm）~P-,ξlsl（1）-Lm）αZP+hB+（h-HHLLM）~P+-（h）-hCLCLm）~P-.（i） 假设对于任何θ≤T:Lm（ξ-αθDθξ）+BT≤0，a.s(.)αZP公司≥0，dQdt公司-a、 s(.)ξb-αθDθξb≤0，dQdt公司-a、 s(.)然后存在（Y#，Z#）∈ ST×H2，Nt满足：Y#t=ZTt-“”Y#s+LmPs+Bs-φs（Z#s）sbs公司-ssBs+hsY#s#ds+ZTt-hPs≥0hHsLHLm+1Ps<0hCsLCLmiPsds-ZTt（Z#s）dWs和（Y#，Z#））=（YF，ZF）。

特别是，FBA=0。（ii）假设对于任何θ≤ T:Lm（ξ-αθDθξ）+BT≥0，a.s(.)αZP公司≤0，dQdt公司-a、 s(.)ξl-αθDθξl≥0，dQdt公司-a、 s(.)然后存在（Y#，Z#）∈ ST×H2，Nt满足：Y#t=ZTt-“”Y#s+LmPs+Bs-φs（Z#s）sls-ssBs+hsY#s#ds+ZTt-hPs≥0hHsLHLm+1Ps<0hCsLCLmiPsds-ZTt（Z#s）dWs和（Y#，Z#））=（YF，ZF）。特别是，FCA=0。（iii）如果合同无抵押，即Lm=1，则（i）和（ii）中的结果无担保(.) 以及(.).评论.. （i） 条件(.)-(.) 与ξ的单调性密切相关，这说明FBA和DVA是如何不同的。DVA受益于银行可能拖欠其衍生产品应付款的可能性。因此，当ξ≥ 另一方面，FBA发生在(.)-(.) 满足。为了阐明不平等的含义，我们考虑与示例中相同的金融市场。. 另外，对于一些光滑函数ψ：R，设ξ=ψ（~ST）→ R+。然后(.) 变为ψ′（~ST）~ST≤ 0，表示ψ不增加。这也意味着：ξ-αθDθξ=ψ（￠ST）-ψ′（~ST）~ST≥ 0(.)最后一个不等式(.) 在类似的mo notone地产下也很满意。这将通过示例加以说明。（ii）认为F BA双重计算DVA可能是文献中的惯例的一个原因，即所有资产都可以在回购市场上交易，i。e、 ，ρ=I。当ρ=I时，在α=0时调用th（示例中调用（I））.). 当α=0时，由(. ), 当ξ≥ 然而，回购市场的存在是一个严峻的条件，因为我们不能保证回购市场总是可用的。定理证明.. 我们只证明（i）。

（ii）可以类似地证明，（iii）是（i）和（ii）的明显结果。（i） 根据(.) 以及(.):E“ZTPtdt公司#≤中兴通讯[|ξ|]dt<∞,E“ZTZt公司dt公司#≤中兴通讯[| Dtξ|]Dt<∞.可以很容易地看到，存在一个唯一的解决方案（Y#，Z#）∈ 以下BSDE的ST×H2、NTO:Y#t=ZTtg#s（Y#s，Z#s）ds-ZTt（Z#s）dWs，g#t（y，z）：=-y+LmPt+Bs-φt（z）sbt+ssBs-hty公司-hHtLHLm（+Pt）+hCtLCLm（~Pt）-.我们将显示：（Y#，Z#）=（YF，ZF）(.)其中（YF，ZF）是(.). 因为（YF，ZF）令人满意(.) 在ST×H2、nT、toprove中是独一无二的(.), 必须表明：Y#+LmP+B-φ（Z#）≤ 0，dQdt公司-a、 s(.)为此，我们引入另一种转换：VF Y#+LmP+~B，πF Z#+LmZP。然后，通过引理中的（iii）., （VF，∏F）满足以下条件：VF=Lmξ+~BT+ZTtFs（VFs，∏Fs）ds-ZTt（∏Fs）dWs，其中：Ft（y，z）g#t（y-LmPt-B，z-LmZPt）=-（y）-αtz）sbt-hty+（1-Lm）sbtαtZPt+htBt+（ht-hHtLHLm）（￠Pt）+-（ht-hCtLCLm）（￠Pt）-= -（y）-αtz）sbt-hty+ξbt。注意(.) 相当于：VF-（1）-Lm）sbαZP公司-φ（φF）≤ 0，dQdt公司-a、 s(.)要显示(.), 我们利用Malliavin微积分和BSDE的比较原理。根据(.) 以及(.):E“ZTZTDθОPtdt dθ#≤中兴通讯| Dθξ| dt Dθ<∞,E“ZTZTDθZPtdt dθ#≤中兴通讯| Dθ（Dtξ）| Dt Dθ<∞.因此，通过命题. inEl Karoui等人(), （VF，∏F）∈ L（[0，T）]：D1,2×（D1,2）n），对于任何1≤ 我≤ n、 {（DiθVFt，Diθ∏Ft）| 0的一个版本≤ θ、 t型≤ T}由以下公式给出：DiθVFt=LmDiθξ+ZTt-（DiθVFs-αsDiθ∏Fs）sbs-hsDiθVFs+Diθξbsds公司-ZTt（Diθ∏Fs）dWs(.)和{DtVFt:0≤ t型≤ T}是{∏Ft:0的一个版本≤ t型≤ T}。让我们表示：VFt，θαθ（DθVFt），πFt，θ （Dθ∏Ft）αθ。那么（VFt，θ，∏Ft，θ）i由：VFt，θ=LmαθDθξ+ZTt给出Fs（VFs，θ，∏Fs，θ）+αθDθξbs-ξbsds公司-ZTt（φFs，θ）dWs。因此，通过(.) 和(.) 结合B-SDEs的比较原理，我们确定vft，θ≥ 任意θ的vftf≤ t。

此外，通过(.), 对于任何θ≤ t： VFt公司-（1）-Lm）sbtZPt-VFt，θ≤ VFt公司-VFt，θ≤ 0，这意味着(.) 以及(.). 此外，通过(.), FBA=0。大众现在转向重置成本。回想一下，当我们考虑重置成本时，Θi，i∈ {H，C}，取决于YF。然而，Θi（y）在y中是不可区分的。我们可以通过考虑以下合同来避免这种不规则性：≥ 0或￠P≤ 0，dQdt a.s，即选项。定理. （重置成本）。我们假设hH，hC，sl, sb既有确定性又有界性。此外，α也是确定性的，αsl, αsbare有界。我们认为重置成本为e=V--B=BYF+P，和B-1D=1~T，∞~ξ。此外，我们假设如下：ξ∈ LT公司∩D1,2(.)E“RTDθξdθ#<∞, (.)要么ξ≥ 0或ξ≤0 a.s，即我们考虑选项。（i） Let≤ 0和任意θ≤T:Lmξ-αθDθξ≤ 0，a.s(.)Ifξ≥ 0 a.s，则存在一个解决方案（Y#，Z#）∈ ST×H2，Nt满足：Y#t=ZTt-“”LmY#s+Lm▄Ps+▄Bs-φs（Z#s）sbs公司-ssBs#ds+ZTth-hHsLHLm（Y#s+~Ps）ID-ZTt（Z#s）dWs，和（Y#，Z#）=（YF，ZF）。另一方面，如果ξ≤0 a.s，则存在一个解决方案（Y#，Z#）∈ ST×H2，Nt满足：Y#t=ZTt-“”LmY#s+Lm▄Ps+▄Bs-φs（Z#s）sbs公司-ssBs#ds+ZTth-hCsLCLm（Y#s+~Ps）ID-ZTt（Z#s）dWs和（Y#，Z#））=（YF，ZF）。特别是，对于这两种情况，FBA=0。（ii）假设≥ 0和任意θ≤ T:Lmξ-αθDθξ≥ 0，a.s(.)Ifξ≥ 0 a.s，则存在一个解决方案（Y#，Z#）∈ ST×H2，Nt满足：Y#t=ZTt-“”LmY#s+Lm▄Ps+▄Bs-φs（Z#s）sls-ssBs#ds+ZTth-hHsLHLm（Y#s+~Ps）ID-ZTt（Z#s）dWs和（Y#，Z#））=（YF，ZF）。另一方面，如果ξ≤0 a.s，则存在一个解决方案（Y#，Z#）∈ ST×H2，Nt满足：Y#t=ZTt-“”LmY#s+Lm▄Ps+▄Bs-φs（Z#s）sls-ssBs#ds+ZTth-hCsLCLm（Y#s+~Ps）ID-ZTt（Z#s）dWs和（Y#，Z#））=（YF，ZF）。特别是，对于这两种情况，FCA=0。证据

就像定理证明一样., 我们可以检查BSDE的存在性、唯一性和Malliavin差异性。我们只解释转换以及如何应用比较原则。在不丧失一般性的情况下，我们将ξ≥0。因此，P≥ 0，dQdt公司-a、 s.（i）我们考虑一个解（Y#，Z#）∈ 以下BSDE的ST×H2、NTO:Y#t=ZTt-“”LmY#s+Lm▄Ps+▄Bs-αs（Z#s+ZPs）sbs公司-ssBs+hHsLHLm（Y#s+Ps）#ds-ZTt（Z#s）dWs。使用VF Y#+#P∏F Z#+ZP。然后：VFt=ξ+ZTtFs（VFs，∏Fs）ds-ZTt（∏Fs）dWs(.)式中：Ft（y，z） -（Lmy-αsz）sb-hHtLHLmy公司(.)因为（0,0）是以下BSDE的唯一解决方案：yt=ZTt-“”Lmsys公司-αszs公司sbs+hHsLHLmys#ds-ZTtz公司sdWs(.)通过比较(.) 以及(.), 我们有那个VF≥ 0，即：Y#+~P≥ 0(.)此外，（VF，∏F）∈ L（[0，T）]：D1,2×（D1,2）n），对于任何1≤ 我≤n、 {（DiθVFt，Diθ∏Ft）| 0的一个版本≤θ、 t型≤ T}由以下公式给出：DiθVFt=Diθξ+ZTt-（LmDiθVFs-αsDiθ∏Fs）sbs-HHSLHMDIθVFsds公司-ZTt（Diθ∏Fs）dWs和{DtVFt:0≤ t型≤ T}是{∏Ft:0的一个版本≤ t型≤ T}。让我们表示：Vmt LmVFt，∏mt Lm∏Ft，VFt，θ αθ（DθVFt），πFt，θ （Dθ∏Ft）αθ。然后（Vm，∏m）和（VFt，θ，∏Ft，θ）由以下公式给出：VFt，θ=αθDθξ+ZTtFs（VFs，θ，∏Fs，θ）ds-ZTt（φFs，θ）dWs，Vmt=Lmξ+ZTtFs（Vms，∏ms）ds-ZTt（∏ms）dWs。因此，通过(.), Vmt公司≤ VFt，θ，对于任何θ≤ t、 然后得出：LmY#t+Lm▄Pt+▄Bt-αt（Z#t+ZPt）≤ LmVFt-αt∏Ft=LmVFt-VFt，t≤ 因此，通过（YF，ZF）的唯一性，我们得到（YF，ZF）=（Y#，Z#）。此外，通过(.), FBA=0。（ii）的证明类似于（i）。v 示例和闭式解许多标准导数满足定理中的条件. 一个d定理.. 我们将把主要定理应用于几个导数，并为cal l选项提供一个封闭的形式解。在下面，我∈ 一、 我们表示▄Si B-1Si。

此外，回想一下，在主要定理中，我们用ξ定义了ξ B-1吨DT。. 无价银行购买收益率低于其融资利率的国债。船体和白色()明确声称，这表明FVA不应在衍生产品价格中考虑。我们将表明，在购买债券时，对冲者的FCA=0。nullFCA的财务原因如下。当套期保值者有多余的现金购买债券时，她可以投资于债券或她的借贷账户。换句话说，购买债券的机会成本是其期末利率带来的收益。因此，l期末利率将构成决定债券价格的主要因素，如果我们假设Rl= r、 如Burgard&Kjaer(), 套期保值者的公平价格与国债利率贴现得出的债券价格大致相同。上述论点将在下一个样本中使用我们的主要定理进行严格验证。回想一下，在m主定理中，我们只假设sl和SBS是确定性的。只要息差是确定的，我们就可以将这些定理应用于利率衍生品。实例. （零息债券）。让我们考虑一个套期保值者购买单位名义金额的债券，即D=-1～T，∞~. 我们认为∈ {H，C}，dGit=-hitGitdt，其中（hit）t≥0是确定性过程。要考虑ZF交易对手，可能需要将hC设置为0。假设OIS率r由以下公式得出：drt=κ（u-rt）dt+ζdWt(.)对于某些κ、u、ζ>0。因此，我们有：σ=σH=σC=-ζ[1-e-κ（T-t） ]κ。我们还假设ρ=. THNPI公司∈I∏IσI=σ（Pi∈I▄πI）。因此，φ（z）=α（z+ZP）=（σ）-1（z+ZP）。发件人(.), 我们可以发现：rt=re-κt+u（1-e-κt）+ζ中兴通讯-κ（t-u） dWu。然后根据推论. inDi Nunno等人(), Dθrt=ζe-κ（t-θ） 对于任何θ≤ t。

然后得出：DθB-1t=-B-1tZtθDθrsds=-B-1tζZtθe-κ（s-θ） ds=-B-1tζ[1-e-κ（t-θ） ]κ。回顾ξ=-B-1T:ξ-αθDθξ=ξ-（σθ）-1Dθξ=-B-1T+（σθ）-1B级-1Tζ[1-e-κ（T-θ） ]κ=0。然后，对于任何θ≤ t、 Pt-αθDθОPt=0。此外，αtZPt=（σt）-1DtPt=-E类[-B-1吨|英尺]<0。因此(.) 以及(.) 满足。最终满足(.), 我们假设≥ 0.Th en（ii）IN OREM., （YF，ZF）满意度：YFt=ZTt-“”YFs+Lm▄Ps+▄Bs-φs（ZFs）sls-ssBs+hsYFs#ds+ZTt-hPs≥0hHsLHLm+1Ps<0hCsLCLmiPsds-ZTt（ZFs）dWs(.)我们得到FCA=0。虚拟标记.. 值得注意的是≥ 示例中为0.. 回想一下，代表银行的初始融资状态。当<0时，新合同的融资收益用于扣除银行的融资成本，而不是增加融资收益，即FCA可能仍然存在，以找到(.), 让VF YF+~P，∏F=ZF+ZP，设Ql表示（B）处的等效度量l)-1SIS（Ql,G） -局部鞅。特别是{Wlt} t型≥0西北地区-Rtαsslsdsot公司≥0是an（F，Ql)-布朗运动。然后(.) 变为：VFt=ξ+ZTt-（s）ls+hs）VFs+（ss-sls） ~Bs+βsPsds公司-ZTt∏FsdWls其中βt （1）-Lm）slt+ht-hCtLCLm。让位于 exph公司-Rt（s）ls+hs）dsi。VFt可以用以下条件期望形式表示：VFt=A-1tEl“在ξ+ZTtAsh（ss-sls） ~Bs+βs▄psid英尺#(.)其中ElQ下的期望值l. 然而，清洁价格公约没有其他优势，我们无法找到VF的封闭式解决方案。这是由于El[βsPs英尺]=El[E[βsξ| Fs]英尺]。为了避免这种困难，Brigo等人()被视为违约时现金流为零的无抵押合同。

另一方面，Bichuch等人() 假设平仓金额和抵押品是根据Q下的风险中性价格计算的l（或Qb），即：et=（Blt）-1E级l[（BlT）-1.DT | Ft](.)mt=（1-Lm）et(.)在这些情况下，定价措施是一致的，可以获得封闭形式的解决方案。但是，请注意(.) 是净价+“套期保值者的FVA”。如后文所示，当假设重置成本时，不会出现定价措施的不一致性，并给出了封闭形式的解决方案。然而，回想一下，V中已经考虑了套期保值者的融资信息-.因此，定价措施的一致性是重置成本所固有的。. 替换成本在下一个示例中，我们处理一个非马尔可夫案例。这是BSDEs和Malliavin微积分的一个优点。实例. （带重置成本的浮动行权几何亚式看涨期权）。设n=1，ρ={H，C}，e=V--B，交易资产如下所示：dSt=rStdt+σtStdWt，dSit=rStdt-坐-dMit，i∈ {H，C}。因为ρ={H，C}，Pi∈I▄πIσI=σ▄π和π∈I \\ρИπI=π。因此：φt（z）=αt（z+ZP），αt=（σt）-1(.)我们还考虑了一种类似于亚洲看涨期权的浮动期权：D=1~T，∞~BT（▄ST-B-1TKIT）+，IT expTZTln（Su）du！。然后我们将展示(.). 根据定理. Di Nunno等人(), 对于θ≤ T：αθDθIT=αθTITZTθDθln（Su）du=αθTITZTθ（Su）-1σθSudu=T-θTIT。因为αθDθST=~ST，我们有：Lmξ-αθDθξ=1ST≥B-1Kithlm（▄ST-B-1T套件）-αθDθ（▄ST-B-1套件）i=1≥套件（Lm-1） ST-B-1套套件Lm公司-T-θT≤（Lm-1） （▄ST-B-1T套件）+≤ 因此，FBA=0，其中≤ 0最后一个例子是债券期权。实例. （具有重置成本的债券期权）。我们假设与示例中相同的市场条件.. 设Dt=1T≤t（ST，U-K） +，其中K>0，S·，是以U>T作为到期日的零息票债券。

我们考虑两种到期日相同的可违约债券，即St、UBtE【B】-1U | Ft]和Sit，U BtE[1U<τi B-1U | Gt]，i∈{H，C}。回想一下φ（z）=α（z+ZP）=（σ）-1（z+ZP），σ=σH=σC-ζ[1-e-κ（U-t） ]/κ。在加法中，回顾ξ的定义：ξ=1ST，U≥K（▄ST，U-KB-1T）。我们可以看到：αθDθ（KB-1T）=（σθ）-1KDθB-1T=-KB-1T（σθ）-1ζ[1-e-κ（T-θ） ]κ=KB-1T1-e-κ（T-θ） 1个-e-κ（U-θ） 。此外，αθDθ▄ST，U=（σθ）-1σθ▄ST，U=▄ST，U。然后，在{ST，U上≥ K} ：Lmξ-αθDθξ=Lm（~ST，U-KB-1吨）-αθDθ（▄ST，U-KB-1T）=（Lm-1） ST，U-KB-1TLm-1.-e-κ（T-θ） 1个-e-κ（U-θ） 哦！≤（Lm-1） ST，U-KB-1T（Lm-1） =（Lm-1） （▄ST，U-KB-1吨）≤ 0(.)因此，根据定理（i）., （YF，ZF）i s由：YFt=ZTt给出-“”LmYFs+LmPs-φs（ZFs）sbs+hHsLHLm（YFs+Ps）#ds-ZTtZFsdWs(.)FBA=0。注意DVA处的th，0，因为ξ≥ 0，但当≤ 0因为ξ增加了inSt，我们已经显示，FBA和DVA受到ξ的不同数学结构的影响。我们在表中总结了香草选项的案例. 套期保值者卖出aput期权时，FBA和DVA均为正值，但仍为FBA，DVA。FBA DVAbuy/调用正nilsell/调用零正Buy/放置零nilsell/放置正正positiveTable: 关于期权合同的DVA和FBA. 重置成本下看涨期权的闭式解在重置成本下，我们可以找到一个闭式解。作为一个例子，我们讨论了股票看涨期权的解。设n=1，e=V--B，ρ={H，C}，≤ 0，D=1～T，∞~（ST-K） +，其中：dSt=rStdt+σStdWt，dSit=rSitdt+Sit-dMit，i∈ {H，C}，对于某些常数r和σ。我们还认为sb，HH是恒定的。回想一下：ξ=B-1吨（ST-K） +，φt（z）=α（z+ZPt）=（σ）-1（z+ZPt）。很容易验证：Lmξ-αθDθξ=Lmξ-（σ）-1Dθξ=1≥Kh（Lm-1） ST-KLmB-1吨≤ 因此，通过定理中的（i）., FBA=0和（YF，ZF）满意度：YFt=ZTt-“”LmYFs+LmPs-φs（ZFs）sbs#ds+ZTth-hHsLHLm（YFs+~Ps）ID-ZTtZFsdWs。

(.)让VF YF+~P，∏F ZF+ZP。此外，让qbde注意一个等价的度量，在该度量下：WbtWt公司-Ztsbαsds(.)是（F，Qb）-布朗运动，eb表示在Qb下的期望。那么(.) b ecomes：VFt=ξ-ZTt（sb+hHLH）LmVFs-ZTt∏FsdWbs。然后得出：VFt=χ-1tEb[ξ| Ft]，χt e-βt，β （sb+hHLH）Lm。(.)注：定价措施没有不一致之处。这是因为我们在收尾时考虑了套期保值者的融资成本和收益，e=V-. 代表(.) 在显式形式中，我们写下：ξ=（BbT）-1BbTB-1TBTξ=esbT（BbT）-1BTξ。那么(.) 变为，对于t<τ：VFt=χ-1tχTesbT（Bbt）-1BBTB[（BbT）-1BTξ| Ft]。更明确地说：Vt=BtVFt=exphsb（1-Lm）-hHLHLm公司（T-t） iCb（t，St）(.)Cb（t，St）StΦ（d（t，St））-Ke公司-Rb（T-t） Φd（t，St）-σ√T-t型, (.)Φ（x）Zx公司-∞e-是/2/√2πdy(.)d（t，x）ln（St/K）+Rb+（σ）/2（T-t） σ√T-t(.)请注意slVFt=0。此外，在(.), 我们可以看到（1-Lm）sb+Lm(-hHLH）是sband的加权和-hHLH。这说明了当LMS发生变化时，DVA的影响如何传递给FCA。随着LMS的增加，融资成本的影响减弱，因为发布抵押品的成本比抵押品的利率（即OIS利率）更昂贵。更准确地说，exp(-hHLHLm（T-t） ）是从DVA中扣除，而exp（sb（1-Lm）（T-t） ）是对套期保值人过账的补偿。然而，这并不是FCA的唯一部分。CA的另一部分是收购S的成本，它包含在Cb中。 结论总之，我们讨论了FVA的二元性。根据F-VA的二元性质，我们可以恢复lin ea r BSDE，并可以找到解析解。在重置成本下，解析解可以用闭合形式表示。作为b产品，FVA的这一特性说明FBA和DVA是不同的。