风险度量的模型空间

此外-ρˇR（0）=sup{p（Z）| Z∈ S、 Z- 俄罗斯∈ A} =sup{p（W）+p（rU）| W∈ S∩ A} 。这意味着-ρˇR（0）=- ρR（0）+ρR（0）=0保持不变。（ii）回顾一下，与大量关于风险度量的文献相比，在我们的环境中，随机变量模型是损失，而不是ga-ins。因此，我们对上述连续性的概念与F¨ollmer和Schied（c.F.[16，引理4.21]）意义上的ab ove连续性不同。上述专著中的等效概念是从下到下的连续性（c.f.【16，定理4.22】），这与风险度量的低连续性一起暗示了Lebesgue属性，参见【16】。（iii）我们的上述连续性概念意味着，只要支付范围在一个有界的制度中，用一种可能更容易但更糟糕的金融工具来近似复杂支付的风险是微不足道的。（iv）{X的ρRimplies的下半连续性∈ X |ρR（X）≤ 0}=clτ（A+ker（p））。特别是，A+ker（p）闭合（见[13，命题4]）和A+ker（p）在A+ker（p）闭合的情况下，这意味着A+ker（p）在A+ker（p）闭合的情况下，A+ker（p）在A+ker（p）闭合的情况下，A+ker（p）在A+ker（p）闭合的情况下，A+ker（p）在A+ker（p）闭合的情况下，A+ker（p）在A+ker（p）闭合的情况下，A+ker（p）在A+ker（p）的条件下，A+ker（p）的条件下，A+ker（p）在A）下，A+ker（p）的条件下，A）在A）的条件下，A的条件下，下，下，下，A的半连续性是低半连续性∩ ker（p）={0}（参见[13，命题5]）。后者有时被称为缺乏第一类良好交易（参见[19]）。（v） 注意，在X是范数为k·k的Banach格的情况下，每个有限风险度量都是范数连续的，因此也是范数-l.s.c。这来自于【30，命题1】：假设X是Banach格，f:X→ (-∞, ∞] 是一个真凸单调函数。那么f在int-dom（f）上是连续的。我们将在整篇论文中经常使用这一事实。对于许多问题，对风险度量的双重观点至关重要。

在我们的案例中，其表述需要以下概念：定义2.5。假设R=（A，S，p）是有序拓扑向量空间（X，τ，) 具有拓扑对偶X*. 我们通过σA:X定义A的支持函数*→ (-∞, ∞], l 7.→ 苏比∈A.l（Y）、（2.3）和B（A）：=dom（σA）。此外，扩展集将引用p到X的正连续扩展集，即Ep：={l ∈ 十、*+| l|S=p}。3有界随机变量的模型空间和弱强参考概率模型3.1模型空间L∞弱参考概率测度固定一个可测空间(Ohm, F） 让我∞:= L∞(Ohm, F） 是有界可测实值函数的集合。我们记得我∞是范数为| X的Banach格|∞:=supω∈Ohm|X（ω）|配备逐点顺序时≤, 特别是一个有序拓扑向量空间。在Riesz spa ces层面，Ohm  ω 7→ 1是L的订货单位∞.L的双空间∞可识别为ba，所有完全相加集函数的空间u：F→ R、 通常，ca表示ba中的可数加性集函数，ca+是有限测度集。在下文中，符号将不会区分m∈ 对函数进行RandOhm  ω7→ m、 在本节中，我们研究了L∞. 首先，请注意，在hL中∞, A的baiduality单调性意味着B（A） ba+必须保持不变，Hahn-Banach分离定理的应用表明|∞（A） ={X∈ L∞| u∈ B（A）：ZX du≤ σA（u）}。（3.1）我们将主要假设ρR的真实性，这是由定义L的域所证明的∞—这是有界的损失，通常应在潜在的较大但实际成本下进行对冲。例如，当安全空间S包含一些U∈ L∞++beinguniformly以0为界，即U≥ δ对于某些常数δ>0。在[11，12]中，这种安全性被称为不可违约的。

我们将证明，如果接受集“足够好”，那么在一个先验无模型的框架中，任何由此产生的有限风险度量，如∞实际上意味着一种概率模型，即所谓的弱参考模型；见第3.3条。作为实现这一结果的第一步，我们现在表明，从上到下的连续性主要取决于接受集a的几何结构。为此，让我们回顾一下定义为ρ的ρ的双共轭的概念*R： 文学学士→ (-∞, ∞], u7→ supX公司∈L∞ZX du- ρR（X）。（3.2）提案3。假设R=（A，S，p）是一种风险度量制度，因此ρR（0）∈ R、 （i）如果ρRis l.s.c.，B（A）∩ Epis非空且适用于所有u∈ ba它认为ρ*R（u）=（σA（u）如果u∈ B（A）∩ Ep，∞ 否则（3.3）对于所有X∈ L∞我们有ρR（X）=supu∈dom（ρ*R） ZX du- ρ*R（u）。（3.4）此外，如果ρRis相干，则ρ*R（u）=（如果u，则为0∈ B（A）∩ Ep，∞ 否则，（3.5）和ρR（X）=supu∈dom（ρ*R） ZX du，X∈ L∞. （3.6）（ii）假设R=（A，S，p）是一种风险度量制度，使得ρR确定，然后是∈ R下限集Ec：={u∈ ba |ρ*R（u）≤ c} ρ的*Risσ（ba，L∞)契约（iii）假设与风险度量制度R=（A，S，p）相关的风险度量ρras是有限的。则ρRis从上往下连续，当且仅当每一个低水平集Ec，c∈ R、 ρ的*Risσ（ca，L∞)-契约因此，如果B（A） ca，然后ρRis从上面开始连续。（iv）在（iii）的情况下，如果S被约束为一维，则ρRis从上方连续当且仅当B（A） ca.回想一下e∈ X+是Riesz空间（X，) 如果{X∈ X |λ>0：| X | λe}=X。推论3.2。假设R=（A，S，p）是一种风险度量制度，因此ρ是有限的。则ρRis从上面连续当且仅当B（A）∩ ker（p）⊥ 约在这里，克尔（p）⊥:=u∈ 文学学士Z∈ ker（p）：ZZ du=0表示ker（p）的零化子。对于货币风险度量的特殊情况，命题3.1的部分内容是众所周知的，参见。

[16，Theo rem 4.22和Cor ollary 4.35]。然而，据我们所知，到目前为止，文献中还没有这种一般形式的命题n 3.1和推论3.2的证明。由于这些结果的标题非常技术性，因此我们在附录a中提供了很长的篇幅。请注意，r代表（3.4）在定价规则方面与（S，p）在该u中一致∈ dom（ρ*R） 只有当uS=p。如果S=R，p=idR，这些定价规则可以用概率度量来识别。最后，我们指出，如上所述的连续性确实是接受集的主要性质，如命题3.1（iii）和（iv）以及推论3.2所示：IfA在B（a）的意义上是正则的 ca，则每个确定的风险度量都是从上面开始连续的。特别是，如果正确选择a，则采用单一对冲资产或多个对冲资产不会对上述资产的连续性产生影响。B（A）\\ca 6=, 然而，这相当于这样一个事实，即没有一个单一证券的明确风险度量是从上面连续的；高维安全空间可以平滑A的不规则性，如示例5.1所示。以下定理是本节已经公布的主要结果。作为辅助符号，对于集合函数M，M′的非空集 ba，我们写M<< M′if和onlyifν（A）=0表示所有ν∈ M′表示u（A）=0表示所有u∈ M、 A∈ F、 我们设置了M≈ 我是说<< M′和M′<< M、 而不是{u}<< {ν} 或{u}≈ {ν} ，我们将写入u<< ν和u≈ ν。最后，我们定义baν：={u∈ ba |u<< ν} ，和caν类似。定理3.3。设R=（A，S，p）为风险度量制度，使得ρ从上到下连续。（i） 存在一个弱参考概率测度P，即(Ohm, F） 使得ρ*R（cP）<∞ 对于合适的c>0和P≈ dom（ρ*R） 。

（3.7）（ii）对于（i）中的P，我们有dom（ρ*R） （caP）+。（iii）如果ρRis归一化，则E={u∈ ca |ρ*R（u）=0}6=.证据对于（i），回想命题3.1，ρRimplies的假设是，任何低层集Ec：={u∈ ca+|ρ*R（u）≤ c} ，c∈ R、 isσ（ca，L∞)-契约与凸性一起，这意味着可协调的凸性，即（λk）k∈N [0，1]，∞Xk=1λk=1，（uk）k∈N 欧共体==>∞Xk=1λkuk∈ 欧共体。（3.8）根据[4，定理4.7.25，（iv）=> （i） ]、En、n∈ N、 在弱拓扑σ（ca，ca*). 由于Enis已在较弱的拓扑σ（ca，L）中闭合∞), 恩哈斯是个软弱的人。[4，定理4.7.25，（i）的证明=> （ii）]显示序列（unl）l的存在∈N 确保≈ {unl | l∈ N} 。我们设置νn：=P∞l=1-lunl，位于inEnby（3.8）和Satiesνn≈ 恩。通过（3.4），序列e（νn）n∈Nsatis fiesνn(Ohm) ≤νn(Ohm) - ρ*R（νn）+n≤ ρR（1）+n.定义ν：=Xn∈N-nνn，cN：=NXn=1-n、 ζn：=c-1NNXn=1-nνn，n∈ N、 ν∈ ca+来自估算值ν(Ohm) ≤P∞n=1-n（ρR（1）+n）=ρR（1）+2。νs atis（3.7）的Everynon平凡标量倍数，此外，ν=limNζnw关于σ（ca，L∞). ρ的下半连续性与共凸性*兰德ρ*R（νn）≤ n表示ρ*R（ν）≤ lim信息→∞ρ*R（ζN）≤ 画→∞c-1NNXn=1-nn=2。选择c：=ν(Ohm), 概率测度P：=cν是一个弱参考概率模型。（ii）是（3.7）的直接结果。为了证明（iii），注意正规化指数0=ρR（0）=- inf{ρ*R（u）|u∈ dom（ρ*R） }。因此，ρ*R≥ 0和子集族（Ek）k∈比较集的（0,1）作为有限交点属性。因此，e=Tk∈（0,1）Ek6=.备注3.4。上述连续性对于弱参考概率模型的存在是有效的，但不是必要的。然而，如果没有上面的连续性，任何事情都可能发生。例如，le t(Ohm, F） 是具有Borel setsB（（0，1））的开放单位间隔（0，1），并设P为（0，1）上的Lebesgue测度。

考虑人sup（X）：=sup{m∈ R | P（X≤ m） =1}，setA：={X∈ L∞| ess sup（X）≤ 0}，A：={X∈ L∞| supω∈OhmX（ω）≤ 0}。三元组Ri=（Ai，R，idR），i=1，2，是风险度量制度。在第一种情况下，dom（ρ*R） =（baP）+，在第二个dom中（ρ*R） =ba+。因此，ρRnorρRiscontinuous都不是从上面开始的。P、 然而，是ρr的弱参考概率模型，在ρr的情况下，没有弱参考概率模型Ohm 是数不清的。当概率度量P满足（3.7）和X，Y时∈ L∞几乎肯定等于P（P-a.s.），（3.4）表明ρR（X）=ρR（Y）。因此，我们可以将ρRas视为等价类空间上的一个函数∞P： =L∞(Ohm, F、 P）具有相应的特性。我们调用最小上界kxk∞:= inf{m∈ R | P（| X |≤ m）=1}，X∈ L∞P、 是L上的标准∞P、 将其与P-几乎确定序和等价类ge-ne一起构造为Bana-ch格Ohm  ω7→ 1是L的订货单位∞P、 其双重身份可能与baP有关。Letι：L∞→ L∞Pbe的正则嵌入，则可以直接证明以下结果。推论3.5。在定理3.3的情况下，定义ρ：L∞P→ R乘以ρ（￠X）=ρR（X），其中X∈ L∞满足度（X）=X。然后ρ得到了很好的定义，并与L上的风险度量ρ（A），S，p）一致∞P、 式中，当▄Z=ι（Z）时，▄P（▄Z）=P（Z）。它是标准连续的，从上面看是连续的。对偶函数ρ*（u）：=sup▄X∈L∞PZX du- ρ（￠X），u∈ baP，（3.9），其中X表示▄X的任意代表，与ρ一致*R | baP。

还包括ρ（￠X）=supu∈dom（ρ*R） ZX du- ρ*R（u），~X∈ L∞P、 其中X和▄X与前面一样相关。3.2模型空间L∞根据命题3.3和推论3.5中的结果所支持的强参考概率测度，从现在起，我们将考虑模型空间L∞P、 验收设置A L∞P、 安全空间S L∞P、 定价函数sp:S→ R和由此产生的有限风险度量ρR直接定义在L上∞P、 其中，P是ρR的弱引用概率模型。此外，在下文中，我们将坚持在L中识别随机变量的等价类的通常惯例∞P由该级别的任意代表。通过与命题3.1和定理3.3相似的推理，我们得到以下结果。引理3.6。设R=（A，S，p）为L上的风险度量制度∞Psuch，ρRis细化并归一化。定义ρ*R（u）：=supX∈L∞PZX du- ρR（X），u∈ baP。（3.10）则ρRis从上方连续，当且仅当所有较低能级集Ec：={u∈ baP |ρ*R（u）≤ c} ，c∈ R、 ρ的*稀有σ（caP，L∞P） -紧凑，尤其是B（A）所暗示的：=u∈ baP公司苏比∈AZY du<∞ 帽子在这种情况下，ρR（X）=supu∈（盖）+ZX du- ρ*R（u），X∈ L∞P、 （3.11）特别是dom（ρ*R） =B（A）∩ {ν∈ （帽）+|Z∈ S:RZ dν=p（Z）}，和E6=. 如果ρRis是正齐次的，那么（3.5）和（3.6）的类似物也成立。我们将在本节的剩余部分讨论是否存在强参考模型的问题，即是否存在元素inP:={u∈ E |u≈ P} 。这一概念在法律不变的货币风险度量中是众所周知的，其结果可以在我们的环境中推广：命题3.7。

设R=（A，S，p）为L上的风险度量制度∞Psuch，ρrisnormalized，并假设（i）基本概率空间(Ohm, F、 P）无原子；（ii）A是验收集{X∈ L∞P | r（X）≤ 0}的标准化、P-定律不变的货币风险度量r，从上方连续；（iii）对于合适的常数c>0，p=cEP[·]。然后是P∈ P、 证明。根据[32，命题1.1]和[16，推论4.65]，r是扩张单调的：对于每一个子σ-代数G F和e非常X∈ L∞P、 估计值r（EP【X | G】）≤ r（X）保持不变。因此，对于每个X∈ L∞P、 EP[X]=r（EP[X|{, Ohm}]) ≤ r（X）。我们得出σA（P）=supY∈L∞P： r（Y）≤0EP[Y]=0。显然，灵敏度（c.f.定义2.3）对于P 6=, 但除了其他情况外，这是不够的。例如，考虑两个概率度量Q<< Psuch Q 6≈ P、 定义β：=βQ+（1- β） P，ρ：L∞P X 7→ supβ∈[0,1]EPβ[X]- （1）- β） 。对于R=（{X |ρ（X）≤ 0}，R，idR），我们得到ρ=ρRis是一个敏感的风险度量，e={Q}，P=.在下面，我们将使用符号F+：={A∈ F | P（A）>0}。引理3.8。设R=（A，S，p）为风险度量制度，使得ρRis有限，从上往下连续，且一致。然后p 6= 当且仅当ρRis敏感。证据我们只能证明自己的能力。如果ρRis相干，则dom（ρ*R） =E；见（3.5）。此外，上述连续性意味着E （上限）+。作为ρRis灵敏度，我们得到0<ρR（1A）=supu∈Eu（A）表示所有A∈ F+。因此，存在uA∈ e使uA（A）>0。换句话说，E≈ P、 Halmo s-Savage定理【16，定理1.61】表明存在一个可数族（un）n∈N Esuch{un | n∈ N}≈ P、 （3.8）确保同时ν：=Pn∈Nnun∈ E、 即第6页=.以下定理说明了P 6= 不需要ρR的相干性。首先，我们用ρRto识别rbitrage的能力来刻画强条件E=P。定理3.9。

设R=（A，S，p）为风险度量制度，并假设ρ为有限的、归一化的、从上方连续的且敏感的。以下是等效的：（i）E=P；（ii）对于al l A∈ F+我们有ρR(-k1A）<0表示k>0足够大；（iii）对于所有X∈ （L）∞P） ++我们有ρR(-十） <0。此外，如果ρRis严格单调，即ρR（X）<ρR（Y），每当Y- 十、∈（L）∞P） ++。证据（iii）琐碎地暗示（ii）。现在假设（i）不成立，即存在so meu∈ E\\P，因此u（A）=0，对于某些A∈ F+。Fr om 0=ρR（0）≥ ρR(-k1A）≥ -ku（A）=0我们推断ρR(-k1A）=0，对于所有k>0，控制（ii）。这表明（ii）意味着（i）。为了证明（iii）由（i）隐含，假设我们可以在ρR（X）=0的负锥中找到X 6=0。作为ρ的水平集*稀有σ（caP，L∞P） -紧凑，我们可以找到一个u∈ dom（ρ*R） 因此0=ρR（X）=RX du- ρ*R（u）。这意味着ρ*R（u）=0=RX du，与E=P相矛盾。最后，严格的单调性清楚地暗示（iii）通过归一化。下一个目标是描述P 6= 就ris k测量制度的组成部分而言，R=（A、S、p）。定理3.10。假设ρRis finite，从上方连续，归一化，敏感。让C L∞Pbe最小的弱闭凸锥，包含A+ker（p）。（i） 第6页= 当且仅当C∩ （L）∞P） ++=.（ii）P 6= 如果A+ker（p）满足等收敛速度规则：Let（Xn）n∈N A和（Zn）n∈N ker（p）be序列使得kXn+Znk∞≤ 1表示所有n。假设（tn）n∈Nis使tn↑ ∞.

如果重新缩放的矢量svn：=tn（Xn+Zn）满足V-n→ 概率为0，则对于所有集合s B∈ F+，它支持→∞P（B∩ {V+n≥ ε} ）<P（B）。（iii）P= 如果有序列（Xn）n∈N、 （Zn）N∈Nand（tn）n∈Nsuch thatsupn∈Nktn（Xn+Zn）k∞< ∞违反等收敛速度规则a证明见附录B.4风险度量的Minkowski域4.1 Minkowski域的构造和扩展结果贯穿第4章x验收集a L∞P、 安全空间S L∞P、 和letp:S→ R是一个定价函数，使得ρR:L∞P→ R是一个标准化的有限风险度量，从上到下是连续的。根据第3节的结果，我们假设P是aweak参考概率模型，即γP∈ dom（ρ*R） 对于合适的常数γ>0。本节的目的是将ρRto提升为一个定义域，该定义域由LR表示，其结构由ρRand完全表征，因此与初始风险度量制度一致，尽管它通常严格大于L∞P、 将风险度量限制为有界随机变量的典型论点，即该空间是稳健的，因此不与ρR-表示的模糊度相冲突，在这种情况下是无效的，因为LR将完全反映ρR所感知的模糊度。为此，我们指出ρ（| X |）：=supu∈dom（ρ*R） Z | X | du- ρ*R（u），（4.1），其中ρ*（3.10）中给出的Ris对于所有X∈ LP：=L(Ohm, F、 P），可能取该值∞. 从这个意义上讲，以下定义中出现的对象是明确的。定义4.1。对于c>0和X∈ LPletkXkc，R：=infnλ>0ρ|X |λ≤ co（inf := ∞),和kXkR：=kXk1，R。ρRis的Minkowski域setLR：={X∈ LP | kXkR<∞}.注意，在给定水平集ρ（|·|）的情况下，我们可以将k·kRas解释为一个Minkowski泛函-1个(-∞, 1] ，其域LR因此被称为Minkowski域。提案4.2。