风险度量的模型空间

（i） 对于所有的c>0，存在常数Ac，Bc>0，使得Ack·kc，R≤ k·kR≤ Bck·kc，R，尤其是LR={X∈ LP | kXkc，R<∞} 对于所有c>0和（k·kc，R）c>0是LR上的等价范数族。此外，kXk∞≥ B-1ρR（1）kXkR，X∈ L∞P、 因此我∞P LR。（二）X∈ LRif和仅ifR | X | du<∞ 对于所有u∈ dom（ρ*R） 。（iii）（LR，k·kR）是Banach晶格。（iv）| X |≤ |Y |表示kXkc，R≤ kY kc，Rand因此LRis稳定。特别是，损益重组下的LRisinvariant，即如果∈ L∞Pattaining值in[-1，1]，然后是Д·X∈ LR带kхXkc，R≤ kXkc，R.证明。首先我们设置∧c（X）：={λ>0 |ρ（λ-1 | X |）≤ c} ，即kXkc，R=inf∧c（X）。（i） ：假设c∈ （0，1）并设X∈ 有限合伙人。请注意，kXkR=∞ 当且仅当∧（X）=,这意味着∧c（X）= 或等效kXkc，R=∞. 现在假设kXkR<∞, 并选择λ∈ ∧（X）。Asρ*R≥ 0，我们有ρ（c | X |/λ）=supu∈dom（ρ*R） Zcλ| X | du- ρ*R（u）≤ cρ（| X |/λ）≤ c、 这意味着kXkR≥ ckXkc，R.平凡地，∧c（X） ∧（X），因此kXkc，R≥ kXkR。因此，我们可以选择Ac=c和Bc=1。情况c>1的处理类似。单调性意味着ρ（| X |）/kXk∞) ≤ ρR（1）对于所有X∈ L∞P、 产生kXk∞≥kXkρR（1），R≥ B-1ρR（1）kXkRand L∞P LR。k·kc，Ris确实是一个标准：三角形不等式和同质性的验证是向前迈进的。对于k·kc，r，letu的不确定性∈ dom（ρ*R） 要专横。对于所有λ∈ ∧c（X）我们得到估计kλ-1XkLu- ρ*R（u）≤ ρ（λ-1 | X |）≤ c、 我们可以推断c+ρ*R（u）kXkLu≤ kXkc，R.（4.2）选择u∈ dom（ρ*R） 因此u=γP产生k·kc，R.（ii）的不确定性：根据（4.2）得出，对于所有X∈ LRand allu∈ dom（ρ*R） 可积条件R | X | du<∞ 保持。对于c onverse含义，让X∈ LP\\LRbe ar bitrary，后者等于ρ（t | X |）=∞ 对于所有t>0。如前所述，我们设置Ec：={u∈ 盖|ρ*R（u）≤ c} ，c∈ R、 并将显示有一个ν∈ Esuch thatR | X | dν=∞.

首先是sume thatsupu∈ER | X | du=∞. 选择序列e（un）n∈N Esuch thatR | X | dun≥ 22n，n∈ N、 并设置ν=P∞n=1-nun，其本身是Eby（3.8）的一个元素。此外，Z | X | dν=∞Xn=1-新西兰| X | dun≥∞Xn=1n=∞.因此，X不是ν-可积的。在第二步中，我们展示了supu的情况∈ER | X | du<∞无法发生。假设supu∈ER | X | du<∞. 如果存在常数κ>0，则对于所有u∈ dom（ρ*R） \\t估计值z | X | du≤ κρ*R（u）成立，可以估计ρ（κ-1 | X |）≤κsupu∈EZ | X | du<∞,因此X∈ LR。因此，必须有一个序列（un）n∈N dom（ρ*R） 使得ρ*R（un）>1和R | X | dun≥ 22nρ*R（un），n∈ N、 我们设置C：=P∞n=1nρ*R（un）∈ （0，1）和ζ：=∞Xn=1nρ*R（un）Cun.Asun(Ohm) ≤ ρR（1）+ρ*R（un），ζ(Ohm) 是有限的。此外，通过σ（caP，L∞P） -较低的se micontinuyofρ*R、 ρ*R（ζ）≤CP公司∞n=1-n=C。注意z | X | dζ≥∞Xn=12nρ*R（un）nρ*R（un）C=C∞Xn=1n=∞,因此，对于ν：=Cζ+（1- C） u∈ E、 其中u∈ 如果任意选择Eis，我们将获得| X | dν=∞. 这是我们想要的矛盾。（iii）遵循[27，命题4.1 0]，并且（iv）是ρ（|·|）单调性的直接结果。提案4.6的提出将澄清引入nor ms k·kc、Rinsteadof just k·kR的原因。备注4.3。（i） 在相干情况下，我们可以从命题4.2（ii）中推断出k·kc，R=c-1ρ（| X |）=c-1以上u∈dom（ρ*R） kXkLu。（ii）闵可夫斯基标准k·kc，RCA可以解释为所谓的Daumann-Serrano风险经济指数的推广（se e【2】和【8，示例3】）。（iii）Minkowski域和类似空间出现在[22、27、31]中。

LR的定义仅取决于概率测度P的零集，因此在任何基础概率测度P的选择下都是不变性的≈ dom（ρ*R） 特别是在弱参考概率模型和强参考概率模型的变化下。引入Minkowski域的主要目的是将ρRto扩展到比L更大的域∞根据基本面，即风险度量体系R=（a、S、p），确定稳健的方法。对于这一点，有一个标准的候选者，由▄R：=（▄a，S，p）给出，其中▄a：={X∈ LR |u∈ dom（ρ*R） ：ZX du≤ ρ*R（u）}，（4.3）soA通过提升给出，因此也表示可接受性标准rx du≤ ρ*R（u），u∈ dom（ρ*R） ，来自L∞Pto左后。事实上，下面的定理4.4表明，R是arisk测度R egime，相应的风险测度ρR保留了ρR的对偶表示。文献中通常使用对偶方法来扩展凸函数；参见，例如，【14，27】。注意，ρИRalso保留了ρRmayhave的任何函数形式，例如示例5中的熵风险度量。4以下。定理4.4。~R：=（~A，S，p）是巴拿赫晶格（LR，k·kR）上的风险度量制度。ρИrca可表示为ρИR（X）=supu∈dom（ρ*R） ZX du- ρ*R（u），X∈ LR，（4.4），其中ρ*Ris定义见（3.10）。此外，对于每u∈ dom（ρ*R） ，线性函数R·du有界于（LR，k·kR）。更确切地说，ρИR | L∞P=ρR。此外，ρ▄Ris l.s.c.on（LR，k·kR），满足度ρ▄R（X）=supm∈NρИR（X∧ m） 。（4.5）证明。请注意，对于ar bitraryu∈ dom（ρ*R） 所有X 6=0，我们有z | X | kXkRdu=supε>0Z | X | kXkR+εdu≤ supε>0ρ|X | kXkR+ε+ ρ*R（u）≤ 1+ρ*R（u），henceR·du是LR上的有界线性泛函。对于轨道X∈ LRandu∈ Ewehavesup{p（Z）| Z∈ S、 X+Z∈A}≤ s向上{p（Z）| Z∈ S、 p（Z）≤ -RXdu}=-RXdu<∞,如果边界的完整性是由于第4.2（ii）条的规定。

因此，满足率（2.1）和确实是一种风险度量制度，因为▄a由dom（ρ）单调变化*R） （caP）+，和凸x作为LR的凸子集的交集。很容易将（4.4）表示为连续函数族的点态上确界，因此ρ▄Ris l.s.c。为了证明（4.5），让u∈ dom（ρ*R） 可以任意，注意，根据单调收敛定理和ρR的单调性，我们得到了zx du- ρ*R（u）=supm∈新西兰（X∧ m） du- ρ*R（u）≤ 卸荷点法∈NρИR（X∧ m）≤ ρИR（X）。现在将s向上移动超过u∈ dom（ρ*R） 在左侧。扩展ρr的另一种方法是考虑A：=clk·kR（A）。（4.6）andR=（A、S、p）。我们将在备注4.11中讨论该方法，其中我们表明，R通常不是LR的风险度量制度，并且，在ρRmakes有意义的情况下，它等于ρR。正如导言中所宣布的那样，我们还考虑了通过mo notone近似程序对ρRgiven的以下扩展：ξ（X）：=supm∈Ninfn∈NρR((-n）∨ 十、∧ m） ，X∈ LR和η（X）：=infn∈Nsupm公司∈NρR((-n）∨ 十、∧ m） ，X∈ LR。问题是在什么条件下，我们有ρИR（X）=ξ（X）=η（X）=limn→∞ρR((-n）∨ 十、∧ n） 。（4.7）注意，作为（4.5）的副产品，我们得到了估算值ρОR≤ ξ≤ η和十、∈ LR：ρИR（| X |）=ξ（| X |）=η（| X |）=ρ（| X |）。（4.8）以下定理4.5表明，ρОR在单调近似方面具有一定的规律性，因为ρОR=ξ。定理4.5。对于所有X∈ LRand所有U∈ L∞Pwe具有ρИR（X+U）=supm∈Ninfn∈NρR((-n）∨ 十、∧ m+U）。

（4.9）更重要的是，等式ρИR=ξ成立，ρRcan等效地被解释为与风险度量制度Rξ相关的风险度量：=（Aξ，S，p）on（LR，k·kR），其中ξ：={X∈ LR |ξ（X）≤ 0}={X∈ LR | supm∈Ninfn∈NρR((-n）∨ 十、∧ m）≤ 0}。为简洁起见，在剩下的研究中，我们将经常使用以下符号：对于随机变量U，V∈ （L）∞P） +和X∈ LR，我们设置XU：=X∨ (-U） 和XV：=X∧ 五、证据我们首先表明，ρИR=ξ成立。让X∈ LR，米∈ N固定，N∈ N熊胆。Letu∈ dom（ρ*R） 使ρИR(-十、-) - 1.≤ ρR（Xmn）- 1.≤ZXmndu- ρ*R（u）≤Z（X+）mdu- ρ*R（u）。当然，后一个估计中的First和last不等式始终是单调的。因此，对于ε>0的任意值，我们可以估计ρ*R（u）- 1.≤Z（X+）mdu- ρИR(-十、-) =1+εZ（1+ε）（X+）mdu- ρИR(-十、-)≤1+ερR（（1+ε）（X+）m）+1+ερ*R（u）- ρИR(-十、-).重新推导这个不等式，我们得到ρ*R（u）≤ερR（（1+ε）（X+m）+1+ε1.- ρИR(-十、-)=: c、 与n无关的界∈ N、 自Ec={u∈ 盖|ρ*R（u）≤ c} isσ（caP，L∞P） 用引理3.6压缩，我们得出了所有n∈ N thatρR（Xmn）=最大u∈Ecf（u，n），其中函数f由f给出：Ec×n→ R、 f（u，n）：=ZXmndu- ρ*R（u），我们的目标是将Fan的极大极小定理【10，定理2】应用于函数f，以便输入ξ（Xm）=infnmaxu∈Ecf（u，n）=最大u∈Ecinfn公司∈Nf（u，n）=最大u∈Ecinfn公司∈NZXmndu- ρ*R（u）。

（4.10）为此，我们必须检查以下条件：o当赋予相对σ（caP，L∞P） -拓扑。这源于上面的连续性f在N上是凸的，对于所有N，N∈ N和所有0≤ t型≤ 1有一个n∈ N如此u∈ Ec：f（u，n）≤ tf（u，n）+（1- t） f（u，n）。实际上，选择n：=max{n，n}，并注意tf（u，n）+（1- t） f（u，n）=tZXmndu+（1- t） ZXmndu- ρ*R（u）≥ （t+1- t） ZXmndu- ρ*R（u）=f（u，n）。of是Ec上的类凸面，其定义类似于类凸面。的确，让u，u∈E和定义u=tu+（1- t） u∈ Ec（通过Ec的凸性）。那么对于所有n∈ N、 ρ的凸性*边缘测试F（u，n）+（1- t） f（u，n）=ZXmndu- tρ*R（u）- （1）- t） ρ*R（u）≤ZXmndu- ρ*R（u）=f（u，n）。o适用于所有n∈ N、 映射u7→ f（u，n）是上半连续的。这源于u7的连续性→RXmndu与ρ的下半连续性*R、 从（4.10）开始，通过u的正性，例如支配收敛，ξ（Xm）=maxu∈EcZXmdu- ρ*R（u）≤ ρИR（Xm），且ρИR（Xm）=ξ（Xm）由（4.8）保持。取极限m→ ∞, 我们从ξ和（4.5）的定义中得出ρИR（X）=ξ（X）。现在，让X∈ LR和U∈ L∞Pbe任意和一个ssume m，n≥ u：=kUk∞. 我们得到（X+U）n=（X+U）1{X≥-U-n}- n1{X<-U-n} =X1{X≥-U-n}- （n+U）1{X<-U-n} +U=XU+n+U，（4.11），另外（X+U）m=（X+U）1{X≤m级-U}+m1{X>m-U}=X1{X≤m级-U}+（m- U） 1{X>米-U}+U=Xm-U+U.（4.12）根据这两个方程（4.11）和（4.12），我们推断ξ（X+U）=supm≥uinfn≥uρR（（XU+n+u）m）=supm≥uinfn≥uρR（Xm-UU+n+U）。这意味着SUPM∈Ninfn∈NρR（Xmn+U）=supm≥uinfn≥uρR（Xm-UU+n+U）=supm≥uinfn≥uρR（（X+u）mn）=ξ（X+u）=ρR（X+u）。（4.9）已证明。ξ=ρИRBE是S-加性、单调和适当的，直接意味着Rξ是arisk测量区域。等式ρИR=ξ=ρRξ显然成立。在法律不变的货币风险度量的背景下，定理4.5出现为[31，引理2.8]。

我们的证明不仅可以作为[31]中给出的证明的替代，不可还原地依赖于法律不变性，而且还可以将结果推广到更广泛的风险度量类。与定理4.5不同的是，我们在示例5.2中证明了ρИR6=η可能发生。在研究（4.7）意义下ρ▄r显示正则性的条件之前，我们展示了η的以下性质：命题4.6。确定验收集η：={X∈ LR | infn∈NρИR((-n）∨ X）≤ 0}（LR。那么η是与风险度量制度Rη相关的风险度量：=（Aη，S，p）。此外 十、∈ LR：η（X）=infn∈NρИR((-n）∨ 十） ，（4.13）和Γ：={X∈ LR | ε>0：ρ（（1+ε）X+）<∞} = int dom（η） int dom（ρИR）。证据来自（4.5）和η| L∞P=ρR=ρИR | L∞P、 我们立即得到所有X∈ lr等式η（X）=infn∈NρИR((-n）∨ 十） 保持。（4.8）证明了Aη（lr）和η是一个恰当的函数。为了证明该定理，必须检查S-可加性、凸性和单调性。设Z∈ S和X∈ LR。利用定理4.5证明之前引入的符号约定，从ρRand（4.11）的S-可加性中，我们得出η（X）=infn≥kZk公司∞ρИR（XZ+n+Z）=infn≥kZk公司∞ρИR（XZ+n）+p（Z）=η（X）+p（Z）。对于每个n∈ N、 fn（x）：=(-n）∨ x是凸且单调的，因此η=limnρИRo fnisconx和单调。接下来，我们展示Γ int dom（η）。为此，我们首先显示b：=Sc>0{Y∈ LR | kY kc，R<1} int dom（η）。实际上，对于具有kXkc的任何X，R<1，存在λ<1，使得ρ（| X |/λ）≤ c、 因此η（X）≤ η（| X |）=ρ（| X |）≤ λρ（| X |/λ）≤ λc<∞,so B dom（η）。此外，根据定义，B在（LR，k·kR）中是开放的。现在，让X∈ Γ和X+∈ B、 因此，存在δ>0和球Bδ（0）：={Y∈ LR | kY kR<δ}这样{X+}+Bδ（0） dom（η）。通过η的单调性，现在也可以得出{X}+Bδ（0）={X+}+Bδ（0）- {X-}  dom（η），so X∈ int dom（η）。为了显示Γ int dom（η）let X∈ int dom（η）。

那么ε>0使得（1+2ε）X∈ dom（η）和（1+ε）X∈ dom（η）和by（4.13）必须有n∈ N例如（1+2ε）((-n）∨ X）∈ dom（ρИR）和（1+ε）((-n）∨ X）∈ dom（ρИR）。设Xn：=(-n）∨ X和Y=（1+ε）（X-∧ n）∈ L∞P、 所以我们有（1+ε）X+=（1+ε）Xn+Y。如果δ>0满足度（1+δ）（1+ε）=1+2ε，则凸性意味着ρ（（1+ε）X+）=ρR（（1+ε）Xn+Y）=ρR1+δ1+δ（1+ε）Xn+δ（1+δ）δ（1+δ）Y≤1+ΔρИR（（1+2ε）Xn）+δ（1+δ）ρИR（1+δ）δY< ∞. （4.14）因此，X∈ Γ。int dom（η） int dom（ρОR）从mρОR开始≤ η、 见（4.8）。以下定理m 4.7说明了（4.7）适用的条件。定理4.7。让X∈ Γ。考虑以下条件：（i）s>0，因此对于所有n∈ N我们有ρИR((-n）∨ 十） =limm→∞ρИR((-n）∨ X+sX+{X+≥m} ）；（ii）η（X）=limm的s>0 s uch→∞η（X+sX+{X+≥m} ）；（iii）对于al l n∈ N我们有limm→∞ρ（nX1{X≥m} ）=0。任何条件（i）-（iii）暗示（4.7）。集合风险似乎是一组合理的风险，因为它们至少可以被少量杠杆化，并且仍然可以对冲。任何健全的代理人可能都不应考虑Γ以外的风险。请注意，只要单调或支配收敛结果可以应用于ρR，条件（i）-（iii）都是满足的，就像在实践中使用的许多风险度量一样，如示例5.4中的熵风险度量或示例5.5中基于风险的风险度量的平均值。Theo-rem 4.7的证明分别基于对ρИRandη次梯度的研究，因此推迟到第4.4节末尾。结果表明，正则性条件（4.7）与η和ρИR的正则次梯度的存在密切相关。4.2在本节中，我们将LR分解为具有明确操作意义的部分。定义4.8。

我们表示L的闭包∞销LRby MR：=clk·kR（L∞P） ，并将Minkowski域的核心定义为：={X∈ LR |ρ（k | X |）<∞ 对于所有k>0}。人力资源这一概念显然与Orlicz心脏的概念相适应，它是一组风险头寸，可以用有限的成本对其进行任何数量的对冲。提案4.9。MRand HRare LRand MR的固体巴拿赫子批次 人力资源部。此外，人力资源 ρИR | HR和η| HR都是连续的。证据第一个断言很容易验证。从命题4.6的证明中回想集合B，我们知道B Γ。对于包含HR B、 设0 6=X∈ hr注意ρ（2 | X |）<∞. 后者指kXkc，R≤< 对于某些c>0，则为1，而对于US HR B、 最后，as（HR，k·kR）是一个Banach晶格，根据第2.4（v）条，η和ρ▄稀有凸、单调和有限值（HR，k·kR）、ρ▄R▄HR和η▄HR都是连续的。从命题4.9中，我们可以得出MR的以下特征，这一结果也可以发现s【27，引理3.3】。推论4.10。MR={X∈ LR |λ>0：limk→∞ρ（λ| X | 1{| X|≥k} ）=0}。证据Le t X∈ MRandλ，ε>0可以是任意的。设δ>0等于k Y kR≤ δ、 Y型∈ HR，表示ρ（| Y |）=ρИR（| Y |）≤ ε。由于4.9号提案，这是可能的。现在选择Y∈ L∞Psuch kλ（X- Y）kR≤δ和k∈ N如kλY 1{| X|≥k} 韩元≤δ、 后者是由于从上往下的连续性。然后Z：=| X- Y | 1{| X|≥k} +| Y | 1{| X|≥k} 满意度kλZkR≤ δ、 通过单调性ρ（λ| X | 1{| X|≥k} （）≤ ρИR（λZ）≤ ε。等深线上方的逆包裹体。当HRis闭合时，一组方向的B绝对值ρ代表单位中的值，因此为norm-o pen。特别是，我们只能用向量序列来近似这些向量，沿着这些向量，ρИrbe具有相同的不连续性，表现良好的金融头寸的限制也同样表现良好。因此，转向LR会产生一种结构，可以方便地将“好”和“坏”风险行为的机制分开。

在这方面，考虑设置CR：=dom（ρОR）\\HR LR。CRI是一组“不那么糟糕”的头寸，并保护HR免受带有有限风险的基本头寸的影响。它对拉克意义上的流动性风险有很好的解释。在该文件中，作者考虑了流动性风险，即ρИR（tX）t形式的电流≥0了解风险在增加杠杆率时的规模。CRX由财务头寸X组成，因此流动性风险为X+orX-违反有限风险制度。尽管代理人至少可以假设对冲任何HRat有限成本头寸，但无论杠杆率如何，对于CRT中本身风险有限但在不谨慎的缩放下可能产生完全不可对冲损失的要素，她必须非常小心。有关Orlicz空间理论的介绍，请参阅[28]。回顾一下，对于任何X∈ lrλ>0使得ρ（| X |/λ）<∞, 我们得到的CR= 当且仅当HR=LR，且ρ▄Ris连续时。此外，如果HR（LR，bothHRand MRare）不稠密（作为LR的真子空间），则根据Baire定理CR∪ {ρОR=∞} 是一个密集的开放集。注意，内含物MR 人力资源部 LR可以都是严格的，如示例5.3所示。备注4.11。介绍了mr之后，我们现在可以讨论由normalclosure操作（4.6）给出的扩展。不幸的是，a被视为LR的一个子集，而不是定义2.1意义上的接受集，因为X≤ Y和Y∈A不一定意味着X∈ A、 因此，违反了单调性。然而，可以证明，R：=（A，S，p）是Banach lattice MR上的一种风险度量制度。