风险度量的模型空间

（3.4）暗示u∈ Ec：u(Ohm) ≤ ρ*R（u）+ρR（1）≤ c+ρR（1）<∞.因此，作为ba的闭单位球扩张的闭子集，Ecis根据Banach-Alaoglu定理弱*紧[1，定理6.25]。（iii）：首先，假设与验收集a相关的风险度量ρrass从上方开始是确定且连续的。ρRis，特别是注释2.4（v）和陈述（i）和（ii）中的连续范数。上述连续性意味着ρR（k1An）↓ 每当（An）n时，所有k的ρR（0）>0∈N F是一系列事件，减少到. 对于u∈ dom（ρ*R） ，则，-ρR（0）≤ SUP>0公里极限→∞u（An）- ρR（0）=supk>0limn→∞ku（An）- ρR（k1An）≤ ρ*R（u）<∞.仅当limnu（An）=0，即u时，该值才有效∈ 钙+。通过（ii），这等于所有水平集Ecofρ*R、 c类∈ R、 为σ（ca，L∞)-契约反之，假设dom（ρ*R） 钙+。Let（Xn）n∈Nbe L中的任意序列∞这样的Xn↓ X代表某些X∈ L∞. 让Y∈ {X，X，X，…}假设u∈ dom（ρ*R） 满意度ρR（Y）- 1.≤RY du- ρ*R（u）。因此，我们可以使用ρ的单调性和u的正性来估计ρ*R（u）≤ZY du- ρR（Y）+1≤ZXdu- ρR（X）+1≤ρR（2X）+ρ*R（u）- ρR（X）+1。重新推导这个不等式得到ρ*R（u）≤ 2+ρR（2X）- 2ρR（X）=：c，一个独立于Y的边界。因此，对于所有Y∈ {X，X，X，…}它认为ρR（Y）=s upu∈EcZY du- ρ*R（u）=最大u∈EcZY du- ρ*R（u），其中在上一个等式中，我们使用σ（ca，L∞)-u7的连续性→RY du- ρ*R（u）和Ec的完整性。对于每个n∈ N选择uN∈ 使ρR（Xn）=ZXndun- ρ*R（un）。注意Ecisσ（ca，ca*)-根据[4，定理4.7.25]紧致。Eberlein-Smulian定理（参见[1，定理m 6.38]）现在意味着我们可以选择σ（ca，ca*)-聚合子序列（unk）k∈N限值为u∈ 欧共体。选择度量值ν，例如ν：=(R)u+Xk∈NkuNk，因此对于所有u∈ K：={u，un，un，…}我们有u<< ν。

Asν（A）≤ ε表示u（A）≤ ε表示所有A∈ F a和氡-Nikodym衍生物的s et{dudν|u∈ K} 当K·kLν-有界为L（ν）的子集时，我们通过[4，命题4.5.3]得出结论，它们形成了一个ν-一致可积族。Abbrevia ting Zk：=dunkdν，我们得到所有常数L>0 lim supk→∞ZX d'u-ZXnkdunk≤ lim SUP公司→∞ZX d'u-ZX dunk+Z（X- Xnk）dunk≤ lim SUP公司→∞Z{Zk≥五十} | X- X | Zkdν+Z{Zk<L}| Xnk- X | L dν=直线上升→∞Z{Zk≥五十} | X- X | Zkdν=0，其中我们对第二个但最后一个等式应用单调收敛，并且最后一个等式遵循密度zk的一致ν-可积性和| X- X |以常数为界。因此，limkRXnkdunk=RX du，并且从ρ的低连续性*R、 我们到达atlimk→∞ρR（Xnk）=lim supk→∞ZXnkdunk- ρ*R（unk）≤ZX d'u- ρ*R（(R)u）≤ ρR（X）。ρR（X）≤ infn公司∈NρR（Xn）=limk→∞然而，ρR（Xnk）具有先验性。我们推断ρR（X）=limnρR（Xn）。假设B（A） 钙+。根据（3.3）和声明（ii），与A相关的任何有限风险度量ρras的双重共轭的低水平集为σ（ca，L∞)-紧致，而上面的连续性来自于之前证明的等价性。（iv）：假设风险度量制度R=（A，S，p）对于某些U∈ L∞++因此，得出的风险度量是确定的。假设存在0 6=u∈ B（A）此类tha tRU du=0。回想一下，u一定是正的，让k>σA（u）u(Ohm). 对于ny r∈ RZ（k- rU）du=ku(Ohm) > σA（u），这意味着k- 俄罗斯/∈ A代表任何r∈ R、 因此ρR（k）=∞ 与ρR的完整性相矛盾。因为亨塞鲁du>0必须适用于所有0 6=u∈ B（A），我们可以用（3.3）dom（ρ*R） =Ep∩ B（A）=p（U）RU du0 6=u∈ B（A）,通过（3.4），ρR（X）=sup06=up（U）RU duZX du- σA（u）, 十、∈ L∞,是ρR的最小对偶表示。

从这个表示和（iii），我们推断tρRis从上面连续当且仅当B（A） ca.推论证明3.2。作为ρR（X）≤ 0表示所有X∈ ρRtogether与[13，备注6]的A+ker（p）、完整性和S-可加性表明A+ker（p）是合适的，因此是一个可接受集。修复U∈ S∩ L∞++从[13，引理3]中回顾恒等式ρR（X）=inf{p（rU）| R∈ R、 X个- 俄罗斯∈ A+ker（p）}，X∈ L∞.更进一步，R′：=（A+ker（p），R·U，p | R·U）是一种风险度量制度，关联风险度量ρR′从上方连续，当且仅当ρR从上方连续。身份B（A+K（p））=B（A）∩ ker（p）⊥很容易验证，主张的等效性遵循命题3.1（iv）。定理3.10的证明该证明在很大程度上依赖于以下结果。引理B.1（Grothendieck；参见[18]第4部分第5章练习1）。L的一个凸子集∞Pis在σ（L）中关闭∞P、 caP）-拓扑当且仅当任意r>0时，集合CR：{X∈ C | kXk∞≤ r} 就概率收敛而言是闭合的，即关于metricdP（X，Y）：=EP[| X- Y |∧ 1] 。（i） ：对于集合Γ L∞Pwe定义:= {u∈ 盖|十、∈ Γ：RX du≤ 1} ，单侧的p-olarofΓ。此外，Γ= （clσ（L∞P、 caP）（Γ））. 有了这些信息，就可以很容易地识别出{cu| c≥ 0，u∈ E} =（S{tA+ker（p）| t≥ 0}）= C.从双极定理[1，定理5.91]我们推导出C={X∈ L∞P|u∈ E： ZX du≤ 0}。因此，C是一个可接受的s et。考虑以下风险度量制度及其隐含的风险度量：ˇR：=（C，s，p），ρˇR（X）=supu∈EZX du，X∈ L∞P、 ρˇRis由引理3.6确定，连贯，连续。因此，通过引理3.8，P 6= 相当于ρˇRbeing se Sensitive，即C不包含（L）中的任何元素∞P） ++。（ii）：假设C∩ （L）∞P） ++不为空。利用C的单调性和圆锥度，我们可以找到一些B∈ F+使1B∈ C

让我们定义设置d：={Y=dP-limntnWn | tn≥ 0，Wn∈ A+ker（p）}，Dr={Y∈ D | k Y k∞≤ r} ，r>0。D是一个凸锥。直接检查Dris dP是否关闭。我们应用Gr othendieck’sLemma B.1来推断D是σ（L∞P、 盖）-闭合锥。因此，包含C D保持不变，我们必须能够找到序列（Xn）n∈N A、 （Zn）n∈N ke r（p）和（tn）n∈N （0，∞)使1B=dP limntn（Xn+Zn）。定义Vn：=tn（Xn+Zn），n∈ N、 在不损失一般性的情况下，我们可以假设kXn+Znk∞≤ 否则，请注意，通过normalisation0∈ A：=clk·k∞（A+ker（p）），C也是最小的σ（L∞P、 caP）-包含A的闭合锥体；因此，我们可以移动toXn+ZnkXn+Znk∞∈ A、 tn=kXn+Znk∞tn.因为A是凸的，（tn）n∈nCA不能有边界。如果有一些M>0，那么supn∈Ntn公司≤M、 我们可以确定序列（tn（Xn+Zn）/2M）n 关于σ（L），A在概率和上收敛∞P、 盖）至1B/2M∈ A、 A={Y |ρR（Y）≤ 0}，我们将获得ρRand灵敏度的一个折衷值，因此可以假设tn↑ ∞. dP（Vn，1B）→ n为0→ ∞ 意味着唯一困难的部分如下：从备注2.4（iv）中回忆，ρR（Y）≤ 0当且仅当Y∈clk·k∞（A+K（p））。假设ν∈ C, 然后ν∈ （caP）+通过A的归一化和单调性。同样，C是一个表C= {ν∈ 盖| Y∈ C:ZY dν≤ 0}。让U∈ S∩ （L）∞P） ++和X∈ L∞P、 自ρR（X-ρR（X）p（U）U）=0，我们得到c：=Rp（U）U dν=0，这意味着ν(Ohm) = 0且ν=0，orc supX∈L∞PZX d型νc- ρR（X）≤ 0个==>νc∈ E、 五-ndP公司-→ 0，V+ndP-→ 1B，n→ ∞,这意味着Lim supn→∞PV+n≥∩ B= P（B），违反了等收敛速度规则。（iii）：Let（Xn）n∈N A、 （Zn）n∈N ker（p）和（tn）n∈违反等收敛速度规则的Nbe序列，使得重标序列（Vn）n∈Nis以k·k为界∞-标准

设B是一个正概率的可测集→∞P（{Vn≥ ε}∩ B） =P（B）。Letu≈ P是一个有限的度量，对于所有Z，Rz du=P（Z）∈ S、 设η>0为任意正数。注意，由于主导收敛定理和V的概率有界消失-n、 我们获得n→ ∞ limnRVn{Vn的行为≤-η} du→对于所有足够大的n，使得| RVn{Vn≤-η} du|<η我们可以估计zwndu≥ εu（{Vn≥ ε}∩ （B）- ηu（Vn∈ (-η、 ε））- η。因此，对于所有η>0的情况，我们的假设得出估计值→∞ZVndu≥ εu（B）- η（u(Ohm) + 1） 。发送η↓ 0，我们从u获得≈ P该lim supn→∞RVndu≥ εu（B）>0。在适当选择之后，我们在a+ker（p）中找到了一个向量，使得r（Xn+Zn）du>0，因此u/∈ E、 致谢：我们要感谢一位匿名的评论员，他提供了有益的评论，有助于改进这份手稿的初稿。参考文献【1】Aliprantis，C.和K.Border（1999年），《有限维分析-搭便车指南》。第二版，Springer。[2] Aumann，R.J.和R.Serrano（2008），风险经济指数。《政治经济杂志》，116（5），第810–836页。[3] Bellini，F.、R.Laeven和E.Rosazza Gianin（2017年）。稳健的回报风险度量。预印本。[4] Bogachev，V.I.（2007），《测量理论》，第一卷，Springer。[5] Cheridito，P.，a and T.Li（2009），《Orlicz心脏的风险测量》。《数学金融》，19（2），第189-214页。[6] Delbaen，F.（2000），一致性风险度量。课堂讲稿，Cattedra Galileiana，ScuolaNormale Superiore di Pisa。[7] Delbaen，F.（2002），《关于一般概率的一致风险度量》。《金融与随机科学进展：纪念迪特尔·桑德曼的论文》，第1-38页。斯普林格。[8] Drapeau，S.和M.Kupper（2013），《风险偏好及其稳健表述》。运筹学数学，38（1），第28-62页。[9] Ekeland，I.，和R。

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