风险度量的模型空间

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英文标题：
《Model Spaces for Risk Measures》
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作者：
Felix-Benedikt Liebrich, Gregor Svindland
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最新提交年份：
2017
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英文摘要：
  We show how risk measures originally defined in a model free framework in terms of acceptance sets and reference assets imply a meaningful underlying probability structure. Hereafter we construct a maximal domain of definition of the risk measure respecting the underlying ambiguity profile. We particularly emphasise liquidity effects and discuss the correspondence between properties of the risk measure and the structure of this domain as well as subdifferentiability properties.   Keywords: Model free risk assessment, extension of risk measures, continuity properties of risk measures, subgradients.
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中文摘要：
我们展示了最初在无模型框架中根据接受集和参考资产定义的风险度量如何暗示有意义的潜在概率结构。此后，我们构建了一个关于潜在模糊度轮廓的风险度量定义的最大域。我们特别强调流动性效应，并讨论了风险度量的属性与该领域的结构以及次微分属性之间的对应关系。关键词：无模型风险评估、风险度量的扩展、风险度量的连续性、次梯度。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Risk Management        风险管理
分类描述：Measurement and management of financial risks in trading, banking, insurance, corporate and other applications
衡量和管理贸易、银行、保险、企业和其他应用中的金融风险
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Functional Analysis        功能分析
分类描述：Banach spaces, function spaces, real functions, integral transforms, theory of distributions, measure theory
Banach空间，函数空间，实函数，积分变换，分布理论，测度理论
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PDF下载：
--> Model_Spaces_for_Risk_Measures.pdf (427.4 KB)

2022-5-31 05:37:55 上传

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关键词：风险度量 风险度 Quantitative Applications distribution

风险度量的模型空间Felix Benedikt-Liebrich*Gregor Svindland+德国曼彻斯特大学慕尼黑分校数学系2017年9月14日摘要我们展示了最初在无模型框架中根据接受集和参考资产定义的风险度量如何暗示有意义的潜在概率结构。此后，我们构建了一个最大的风险度量定义域，该定义域涉及潜在的模糊性。我们特别强调流动性影响，并讨论风险度量的属性与该领域的结构以及次差异性属性之间的对应关系。关键词：无模型风险评估、风险度量的扩展、风险度量的连续性属性、subgr adientsMSC（2010）：46B42、91B30、91G801简介关于金融风险度量的正确模型空间，即关于风险度量定义的理想域是什么，目前仍存在争议。通常，作为风险发生者，在随机性面前，要测量的风险是在一些可测量空间上用实际价值和变量识别的(Ohm, F） 。然而，引起争论的问题是，应该使用哪个随机变量空间作为模型空间。由于风险通常被理解为关于潜在概率机制的奈特式不确定性，许多学者认为，模型空间应该是稳健的，不能过于依赖于某些特定的概率模型。我们将这种非mativeviewpoint称为最小模型依赖的范式。文献通常建议以下模型空间之一：（i）Lor-LP，所有随机变量的空间或P-几乎肯定（P-a.s.）等价的随机变量类，对于某些概率测度P(Ohm, F） 分别参见[6，7]；（ii）L∞或L∞P、 所有有界随机变量或P-a.s。

有界随机变量的等价类，分别参见[6、7、1、5、16、23、25]及其参考文献；（iii）LpP，p∈ [1，∞), 随机变量的P-a.s.等价类的空间，具有有限的时间矩，或更多的基因集合或ICZ心脏，参见例[3，5，17，29]。（i）和（ii）中的空间满足土地L中的最小模型依赖性∞完全没有模型，而LPand L∞Pin事实仅取决于概率度量P的空集。然而，选择Lor LP的问题在于，这些空间通常很难合理定义基于聚合的风险度量。后者需要某种积分才能很好地定义。此外，如果(Ohm, F） 不明确，Lor LP*电子邮件：liebrich@math.lmu.de+电子邮件：svindla@math.lmu.dedo不允许局部凸拓扑使其不适合优化。然而，风险度量的重要应用将其用作优化问题的目标函数或约束。自L起∞和L∞Pare-Banach空间，特别是局部凸空间，满足最小模型依赖，这些模型空间在文献中最为流行，其中特别是L∞更好的分析性能；参见【6、7、15、16、23、25】及其参考文献。然而，在应用中，无界风险模型是标准的，如Black-Scholesmarket模型中的对数正态分布等。假设市场无摩擦，交易量没有上限，因此金融头寸的价值也没有上限。因此，无界分布很自然地成为有界分布的限制对象，并且在随机支付的统计建模中，无法先验地使用上界。此外，保险业务中通常使用具有无限支持和潜在重尾分布的风险。

因此，从这个角度来看，模型空间应该满足最大域的范式，它们至少应该足够大，以包括这些标准无界模型，并且（iii）中的模型空间已经被提出来解决这个问题。但问题在于LpP的强烈依赖性，p∈ [1，∞), （或在一般情况下，Orlicz心脏）的概率度量，因为它们在度量的等价变化下不再不变。因此，最大领域和最小模型依赖似乎是有冲突的范例。在法律不变风险度量的特殊情况下，测量的风险完全由概率度量P下的风险分布决定(Ohm, F） 。因此，法律不变性就绪（law不变性就绪）意味着存在一个有意义的参考概率模型P，而风险度量完全依赖于P。因此，歧义结构使得定义这些风险度量（例如，LP）不是一个概念问题（见【14】）。最近的观察表明，只要潜在的概率结构是由所考虑的风险度量确定的，最小模型依赖和最大域的范式可能不会像它们看起来那样具有冲突性。很明显，像l这样的mo de l空间∞Pis能够有效地进行任何类型的风险度量。

但如果给定特定的风险度量，则定义为∞P-及其反映的相应模糊态度，这是一个尊重这种模糊态度的模型空间，也包含风险度量，可能大于L∞P、 也是特定风险度量的合理模型空间，如（明确的）法律不变风险度量和模型空间LP。我们的出发点是模式l空间l上的先验完全模型fre e设置∞anda从Farkas、Koch Medina和Munarin（例如，[13]和Munar i in[26]）中采用的风险度量的一般概念：它所需要的只是损失的可接受性的概念（由接受s e t a编码 L∞), 允许对冲的流动交易证券组合（由子空间S表示 L∞), 以及这些证券的一组可观察价格（S上的线性函数p）。使用这样的风险度量制度R=（a，S，p），我们可以确定风险ρR（X）是为了确保损失X必须支付的最低价格∈ L∞这种方法具有明确的操作解释的无可争议的优势。第2节在统一的一般框架中介绍了这种风险度量。在第3部分中，我们观察到，在s标准近似下，风险度量的性质是有限的——从上面看，连续性自动意味着一个参考概率度量P，它允许我们查看定义在L上的风险度量∞p无任何信息丢失。这一经常被认为具有相关性的观察结果必然意味着该框架处于主导地位，这为当前关于无模型和反垄断融资的讨论提供了新的、批判性的线索。

接下来，我们证明了在一些进一步的条件下，例如敏感性和严格单调性，我们甚至可以找到一个强参考概率度量*≈ P另外十、∈ L∞P： ρR（X）≥ cEP公司*[十] 保持适当的常数c>0。这些强参考概率度量可作为基准模型的一类，与使用线性风险估计规则X 7相比，使用ρRis的风险估计更加保守→ cEP公司*[十] 。在第4.1节中，我们讨论了这些考虑因素如何导致Banach空间LR。事实上，法律不变的风险度量是完全明确的。比L大得多∞P、 它具有许多理想的性质，例如o在所有强参考概率模型和弱参考概率模型下的不变性；o完全由r isk度量ρr；o确定的几何体稳健性，因为它扩展了初始风险准则ρR，用ρR表示，它保留了ρR的m的泛函、对偶表示，从而保持了凸性和下半连续性。此外，这一扩展ρRis是指在保值证券和定价函数不变的情况下的资本要求，但其可接受性的概念是通过不断将约束定义a扩展到LR而获得的。在后一种意义上，LR可以被视为初始风险标准的自然最大定义域，在该定义域上存在歧义态度。我们还考虑了由ξ（X）=limm给出的lr中ρRto无界损耗函数的以下单音扩展→∞画→∞ρR((-n）∨ 十、∧ m） =supm∈Ninfn∈NρR((-n）∨ 十、∧ m） 和η（X）=limn→∞limm公司→∞ρR((-n）∨ 十、∧ m） =infn∈Nsupm公司∈NρR((-n）∨ 十、∧ m） 例如，已经在[7，31]中研究过。有人可能会认为ρИR=ξ=η，但事实证明ρИR=ξ始终成立，而ρИR6=η是可能的，请参见示例5.2。

我们描述了当风险的单调近似在以下意义上ρИR（X）=η（X）=limn时通常需要的规则情况→∞ρR((-n）∨ 十、∧ n） （1.1）是可能的，见定理4.7，并表明（1.1）成立，如果ρrS在风险X的尾部显示有效连续性。例如，任何可以应用某种单调或支配收敛规则的风险度量都将满足（1.1）。在第4.2节中，我们分解了具有流动性风险明确解释的Rinto子集，并展示了LRallows如何通过拓扑透镜查看风险度量ρОr的属性。最后，在第4.4节中，我们根据第4.3节中对LR的二元性的简要描述，讨论了ρ▄Ron LR的次微分问题。次梯度在风险优化中起着重要作用，并在最优风险分担方案中作为定价规则出现，参见[20，31]。我们将看到，LR上的拓扑结构由ρRis确定，足以保证ρRis次微分的点的丰富类别，从而进一步说明模型空间位置ρR的适用性。除了其存在之外，我们还寻求合理的条件，确保次梯度对应于(Ohm, F） -这意味着排除了LR对偶空间中可能存在的奇异元素。这样做的动机与L的情况相同∞p通常在对偶空间中也允许奇异元素。值得怀疑的是，这种单一的双重因素是否合理，例如定价规则，因为它们的影响主要在于分布的尾部，而缺乏可计算的可加性，则会影响边际风险递减的范式。此外，测量结果显示出更好的分析性能，这在解决优化问题时可能是至关重要的。

我们的研究结果表明，在许多情况下，单一事件并不真正重要。特别是，我们还将看到，定理4.7中描述的局部等式（1.1）与ρИRandη的正则次梯度密切相关。在第5节中，我们收集了插图示例。一些繁琐的证明外包给附录A和附录B。2一些初步说明和术语：给定一组M 6= 和函数f:M→ [-∞, ∞], 我们将f的域定义为dom（f）={m∈ M | f（M）<∞}. 如果f未达到该值，则称为“正确”-∞ 和dom（f）6=.对于顶部逻辑空间（X，τ）的子集a，我们分别用clτ（a）和intτ（a）表示a相对于拓扑τ的闭合和内部。如果（X，τ）是拓扑向量空间，τ由X上的范数k·k生成，我们将用k·k替换下标τ，) 如果（X，τ）是拓扑向量空间，则称为有序拓扑向量空间 是与拓扑学兼容的部分向量空间序，其中X的正锥由X+：={X表示∈ X | 0 十} ，是τ-闭合的。我们定义++：=X+\\{0}，和X-和X--类似地。如果（X，τ，) 是z空间和X，Y∈ X，我们设置X∨ Y：=sup{X，Y}，X∧ Y：=inf{X，Y}，X+：=X∨ 0和X-:= (-X）∨ 在本节中，我们定义了风险度量制度和风险度量，讨论了风险度量可能享有的一些属性，并介绍了对偶理论的构建块。定义2.1。Let（X，τ，) 是一个有序拓扑向量集。接受集是X的非空真凸子集a，它是单调的，即a- X个+ A、 安全空间是一个有限维线性子空间S（X），包含一个非Null正元素U∈ S∩ X++。我们指的是元素Z∈ 作为证券投资组合，或暗示证券。

S上的定价函数是正线性函数p:S→ R使所有Z的p（Z）>0∈ S∩ X++。如果A是接受集，S是安全空间，p是S上的定价函数，则三重R：=（A，S，p）是一种风险度量机制，从而十、∈ X：sup{p（Z）| Z∈ S、 X+Z∈ A} <∞. （2.1）与风险度量制度R相关的风险度量是函数ρR:X→ (-∞, ∞], X 7→ inf{p（Z）| Z∈ S、 X个- Z∈ A} 。（2.2）我们对风险度量的定义受到了【13，26】的启发。注意：（a）元素X∈ X模型损失，而非收益。因此，ρR（X）是目前必须投资于某些证券投资组合Z的最小金额∈ S带Payoff-为了将明天的损失减少到可接受的水平。（b） 我们规定了接受集A的凸性，这意味着多样性不会受到惩罚：如果X和Y是可接受的，那么多样性λX+（1- λ） Y表示任意λ∈ （0，1）。（c） 风险计量制度的概念取决于（2.1）中a、S和p的相互作用；这个条件保证ρRis是一个适当的函数。【13，命题1和2】在我们的se nse中，R作为风险度量制度的收益率标准。对于某些U，如果S=R·U∈ X++和p（mU）=m，m∈ R、 可从定义2.1中恢复具有单一流动性合格资产的[11，12]设置。如果X是弱第一单元的Riesz空间，S=R·1，p（m1）=m，m∈ R、 定义涵盖了[16]中全面讨论的凸货币风险度量。下面很容易验证：引理2.2。设R=（A，S，p）是有序拓扑向量空间X上的风险度量区域。然后ρRis凸，单调，即X Y表示ρR（X）≤ ρR（Y），andS加法，即ρR（X+Z）=ρR（X）+p（Z）适用于所有X∈ X和所有Z∈ S、 在相同的抽象环境中，我们引入了风险度量可以享受的更多属性。定义2.3。

设R=（A，S，p）是有序拓扑向量空间（X，τ， ) 并让ρRbe作为相关的风险度量ρRis称为有限，如果它只取有限值，或等效为A+S=X。有关有序向量空间的详细信息，请参阅[1]的第5章和第7章。由于风险度量将出现在所有情况下不同定义域的处理中，随机变量空间具有逐点或几乎确定的顺序和不同的拓扑，因此我们将其定义为有序拓扑向量空间上的泛函。然而，读者可能会认为X是一个随机变量的空间 作为后者的一个明智或几乎肯定的顺序。在下文中，我们将使用“货币风险度量”一词来指代这种特殊情况。[13，命题1-3]给出了决定ρ是否确定的进一步标准如果ρR（0）=0，则ρRis归一化，或等效supZ∈A.∩Sp（Z）=0ρRis相干if对于任意X∈ 对于任何t>0ρR（tX）=tρR（X）保持不变如果满足所有X的ρR（X）>ρR（0），则ρRis敏感∈ X++。oρRis下半连续（l.s.c.）如果每个下水平集{X∈ X |ρR（X）≤ c} ，c∈ R、 是τ-闭合的。oρRis从上往下连续，如果它是有限的，对于ny（Xn）n∈N X带Xn↓ Xin阶ρR（X）=limnρR（Xn）成立。备注2.4。（i） 法线表示负锥X-（无损失）是可以接受的，这在经济上是合理的。满足ρR（0）的每个风险度量∈ R可以通过转换acc e ptance集合进行归一化。的确，让我们∈ S∩ X++和定义：=ρR（0）p（U）和ˇA：={X+rU | X∈ A} 。如果R是一种风险度量制度，那么soisˇR：=（a，S，p）。