关于自动微分及其在

许多计算使用中间结果（称为a）的示例。对于每个节点或伴随更新，我们已指示计算所属的层。第1层至第3层对应于前向扫描。第4层及以上对应的是反向排水。如果没有聚合（左侧），a的伴随更新（绿色）将占用四个层（6到9）。对于聚合（在右侧，为了清晰起见，省略了前进箭头），a的伴随更新仅使用两个层（6和7）完成。这篇简短的总结介绍了我们的工作，旨在计算定量金融中的高阶敏感性；特别是振动和自动微分与其他方法进行了比较。我们表明，这种组合技术比通过微分对二阶导数进行自动微分更稳定，并且比Malliavin演算更通用。我们还扩展了具有非二次可微分支付的期权二阶导数的自动微分。大型投资组合的敏感性计算非常耗时。Vibrato【16】、【17】是区分涉及随机常微分方程解的函数平均值的有效方法。在许多情况下，需要双重敏感性，即参数的二阶导数（例如伽马对冲）。然后，可以将自动微分模块应用于可控震源，或者尝试可控震源中的可控震源，甚至可以对计算机程序进行二阶自动微分。但在金融中，支付从来都不是二次微分，因此必须使用广义导数，需要近似狄拉克函数，其精度也值得怀疑。考虑由DXT=Xt建模的金融资产Xtr（t）dt+σ（Xt，t）dWt, Xgiven，wtbrownana欧式看跌期权Vt=e-r（T-t） E（K-XT）+。我们如何计算大众汽车的第1和第2个竞争对手。r、 到K，T，X，r，σ。

最直接的方法是使用以下近似值=五、十、≈h类V | X+h- 2V | X+V | X-h类它的计算成本是期权计算的3倍，但相对于h而言，它是不稳定的：如果h太小，舍入误差会影响结果，因为分子和分母都很小，而微分的结果却不小。ESAIM:PROCEEDINGS AND SURVEYS 13一个技巧是使用复杂的h。与i：=√-1，Re[f（a+iδa）- f（a）iδa]=Imf（a+iδa）δa=f（a）- f（3）δa+o（δa），可以看出，中间的表达式没有被0对0的不确定性所诅咒。它是否适用于不可区分的函数？例如，取f（x）=（1- x） +导致f（x）=-1x<1且f“（x）=δ（1-x） 。使用Maple，图5清楚地表明，计算二阶导数的复杂有限差优于其他方法，因为即使复杂增量很小，它也能给出正确的结果。结论见图5。使用Maple绘制（1）的第二个竞争对手-x） +δx=10-3（左），δx=3.510-6（中间）和δx=i10-10（右）。除非采取措施，否则结果将不可靠。或者，Malliavin演算可以用于某些情况，但不是所有情况。例如，如果avanilla期货现货价格为Xt（x），其中Xt满足Black-Scholes SDE的常数σ和r，其中x=x，则Γ=E[E-rTV（XT）XTσ（WTσT-WT公司-σ） ]，只要权重函数已知且不太小，它就可以工作，但如果适用，它显然比其他任何函数都快。4.1。颤音让我们现在转向颤音，正如吉尔斯在【16】中介绍的那样。让θ作为一个参数，让我们关注θE[V（XT）]，dXt=b（θ，XT）dt+σ（θ，XT）dWt，X=X。Z是一个法向量值随机变量，Euler显式格式导致“Xk=”Xk-1+b（θ，(R)Xk-1） h+σ（θ，(R)Xk-（1）√hZk，(R)X=X，k=1。

，n.现在写EV（(R)Xn）= EEV（(R)Xn）| Xn-1.注意，σn-1（θ）=σ（θ，’Xn-1（θ）），(R)Xn=un-1（θ）+σn-1（θ）Zn√h带un-1（θ）=Xn-1（θ）+b（θ，’Xn-1（θ））h，θiE[V（(R)Xn（θ））]=Ez“θinE[V（u+σZ√h） ]ou=un-1（θ）σ=σn-1（θ）#（1）14 ESAIM：程序和调查最后一个时间步骤看到常数系数，因此我们有一个明确的解决方案。关于恒等式的一些代数（见[27]）θihE[V（X（θ））]i |θ=θ=ZRdV（y） 日志pθi（θ，y）p（θ，y）dy=EV（X） 日志pθi|θ、 （2）其中p是X的概率密度，得出以下结果。提案1。θE[V（(R)Xn（θ））]=E√h类uθ·EzhV（u+σZ√h） σ-TZi公司+（σσT）θ： EzhV（u+σZ√h） σ-T（ZZT- 一） σ-1i,其中f·v表示f和v之间的标量积，M:P表示矩阵M和P的乘积的迹。注意，在非常数情况下，切线过程Yt=涉及θXtis。还要注意的是，V没有区别！非常数情况下的计算时间是V（X）计算时间的两倍，类似于单位差异，但更精确。最后请注意，对偶方差减少很容易应用。更多详情请参见[27]。4.2。具有自动微分的高阶导数一旦编写了颤音的计算机程序，就可以应用自动微分。这是正确的，因为程序的每一行都是完全不同的（例如，通过在AD库中添加sin x的导数是cos x来教导编译器）。通过将狄拉克质量近似为0乘以δa（x）=a，可以在一定程度上扩展自动微分，以处理上述不可微分支付的困难√πe-xa。

现在，假设f在x=z处不连续，在其他地方光滑；那么f（x）=f+（x）H（x- z） +f-（x） （1）- H（x- z） ）；hencefz（x）=（f+）z（x）H（x- z） +（f-)z（x）（1- H（x- z） （）- （f+（z）- f-（z） ）δ（x- z） 除非添加最后一项，否则二阶灵敏度的计算将是错误的。如果在自动库中，斜坡函数x+定义为xH（x），其导数为H（x），如果其导数定义为δa，如果在计算金融资产的程序中，这些新函数被明确使用，如（x- K） +=斜坡（x- K） 而不是最大值（x- K、 0），则AD库计算的二阶导数为δa（x- K） 。此外，它还将∞f（x）（x）- K） +dx≈NNXi=1f（ξi）δa（ξi- K） 其中ξi是积分或Monte-程序员用来近似积分的Carlo点。4.3。VADIn算法1的概念算法，我们在这里总结了在一般情况下，通过VadW和对偶方差缩减计算二阶灵敏度需要做些什么。以基础资产X及其相切过程Y的时间步长h=tn生成M条模拟路径=十、θ我们需要正态随机变量z的Mn实现；我们还需要对每个m的最后一个时间步进行Zmn的mzrealisions，称为Zi。然后给出“X，”“Y:ESAIM:PROCEEDINGS AND SURVEYS 15算法1 VAD，用于使用对偶方差缩减的二阶导数1：对于m=1。。，M do2：对于k=0。

n- 2 do3：\'Xmk+1=\'Xmk+rh\'Xmk+\'Xkσ√hZmk+14：\'Ymk+1=\'Ymk+rh\'Ymk+rθh\'Xmk+\'Ymkσ+σθ\'Xmk√hZmk+15：结束6：对于i=1。。，MZdo7:XmT±=(R)Xmn-1+右侧Xmn-1±σm'Xn-1.√hZi，\'XTo=\'Xn-1+右侧Xn-18： VmT±，=（\'XmT±- K） +，VmTo=（(R)XmTo- K） +。9:R=`Ymn-1（1+右侧）+Xmn-1rθh，S=(R)Ymn-1σ+(R)Xmn-1σθ10：VT公司θmi=R（VmT+- VmT公司-)Zi'Xmn-1σ√h+S（VmT+- 2VmTo+VmT-)Zi公司- 1英寸Xmn-1σ11：结束12：计算VT公司θ实现的程序上的miby ADVT公司θmi13：VT公司θm=MZPMZi=1VT公司θmi14:15结束：VT公司θ=MPMm=1VT公司θm、 美式期权美式期权的价值VT需要最佳的行使策略。让Д作为报酬；该选项的动态编程近似值为“Vtn=e”-rT^1（(R)XT），Ctk=E[E-右侧“Vtk+1”Xtk]，“Vtk=最大值e-rtkИ（(R)Xtk），Ctk. （3） 继Longsta off等人【26】之后，延拓值由I个重新赋值基函数上的最小二乘投影近似，tk，{ψI}Ii=1：Ck\'IXi=1αk，IψI（(R)Xtk），αk，·=argminαEe-右侧Vtk+1-IXi=1αk，iψi（(R)Xk）！. （4） 一次最佳停车时间τ*众所周知，θ的差异可以像欧洲合同一样进行。τ的依赖性*忽略θ；可以说，这种依赖性是二阶的，但这一点需要验证。我们考虑以下参数：σ=20%或σ=40%，x从36到44变化，T=1或T=2，K=40，r=6%。蒙特卡罗参数为：M=5 10模拟路径，T/h=50时间步。Longsta off-Scharwtz算法的基础是ψi（x）=xi-1，i=1，2，3，即i=3。我们将其与时间隐式格式离散的Black-Scholes部分微分不等式的解、空间有限元和半光滑牛顿不等式的解进行了比较[1]。

使用了大量网格点，10使其成为参考解决方案。二阶有限差分近似值也用于计算伽马值以进行比较。表1显示了Longsta ff等人【26】的不同参数集的结果。当使用方差减少时，该方法提供了很好的精度，但当基础资产价格很低且波动性很小时除外。就计算时间而言，该方法比有限差分法更快。结论面对编写与巴塞尔协议III指令不相关的灵敏度计算通用软件的问题，我们发现，单独的自动微分无法完成这项任务，但应用于颤音，它是可靠且相当通用的。16 ESAIM：诉讼和调查表1。美式期权的价格、Delta和Gamma结果。参考值通过半牛顿法加有限差分获得，并与Longsta ff-Schwartz算法上的可控震源自动差分进行比较。我们计算每个美国蒙特卡罗结果的标准误差。美国蒙特卡罗的设置是50个时间步长和50000条模拟路径。SσTPrice（AMC）StandardErrorDeltaVibrato（AMC）StandardErrorGammaRef。

VALUEGAMAVAD（AMC）标准错误36 0.2 1 4.46289 0.013 0.68123 1.820e-3 0.08732 0.06745 6.947e-536 0.2 2 4.81523 0.016 0.59934 1.813e-3 0.07381 0.06398 6.846e-536 0.4 1 7.07985 0.016 0.51187 1.674e-3 0.03305 0.03546 4.852e-536 0.4 2 8.45612 0.024 0.44102 1.488e-3 0.02510 0.02591 5.023e-538 0.2 1 3.23324 0.013 0.53063 1.821e-3 0.07349 0.07219 1.198e-438 0.2 2 3.72705 0.015 0.46732 1.669e-3 0.05907 0.05789 1.111e-438 0.4 1 6.11209 0.016 0.45079 1.453e-3 0.02989 0.03081 5.465e-538 0.4 2 7.61031 0.025 0.39503 1.922e-3 0.02233 0.02342 4.827e-540 0.2 1 2.30565 0.012 0.40780 1.880e-3 0.06014 0.05954 1.213e-440 0.2 2 2.86072 0.014 0.39266 1.747e-3 0.04717 0.04567 5.175e-440 0.4 1 5.28741 0.015 0.39485 1.629e-3 0.02689 0.02798 1.249e-540 0.4 2 6.85873 0.026 0.35446 1.416e-3 0.01987 0.02050 3.989e-542 0.2 1 1.60788 0.011 0.29712 1.734e-3 0.04764 0.04563 4.797e-542 0.2 2 2.19079 0.014 0.28175 1.601e-3 0.03749 0.03601 5.560e-542 0.4 1 4.57191 0.015 0.34385 1.517e-3 0.02391 0.02426 3.194e-542 0.4 2 6.18424 0.023 0.29943 1.347e-3 0.01768 0.01748 2.961e-544 0.2 1 1.09648 0.009 0.20571 1.503e-3 0.03653 0.03438 1.486e-444 0.2 2 1.66903 0.012 0.21972 1.487e-3 0.02960 0.02765 2.363e-444 0.4 1 3.90838 0.015 0.29764 1.403e-3 0.02116 0.02086 1.274e-444 0.4 2 5.58252 0.028 0.28447 1.325e-3 0.01574 0.01520 2.162e-45、希腊CVA和阿德勒·雷格海AADby 5.1。应用框架在[35]中，我们提出了一种蒙特卡罗方法，利用参数和对冲敏感性之间的对偶关系以及Ito积分对CVA进行定价。CVA是交易对手信用风险的市场价值。其计算方法为考虑交易对手违约的投资组合无风险价值与其真实价值之间的差值。

当双边合同双方都可能违约时，价格调整称为BCVA（双边信贷估值调整）。在蒙特卡罗方法下，CVA被重写为从计算时间t到投资组合到期时间t的预期贴现风险敞口的加权和。对投资组合基础市场变量的若干路径进行了模拟，并在t和t之间的每次获得了风险敞口分布。然后通过沿模拟路径平均风险敞口来给出预期风险敞口。尽管蒙特卡罗模拟很容易实现，但对于一些复杂的投资组合，该工具很容易导致繁重的计算需求，因此很快证明不可行。最近，[9]引入了交易对手信用风险下金融衍生品价值的PDE表示。使用Feynman-Kac定理，导数的总值被分解为一个无默认值加上与CVA调整相对应的第二项。然而，对于大于3的维度，PDE不能再使用有限差分方案来解决。在这项工作的基础上，[23]引入了一种新方法，该方法基于使用Galton-Watson随机树的分支差异。虽然这种方法大大降低了计算成本，但实现起来仍然很复杂。综上所述，我们发现两种现有的CVA计算方法都存在严重的缺陷。因此，我们在蒙特卡罗环境下引入了一种新的CVA估值方法。

我们的方法是创新的，它结合了鞅表示定理和伴随算法微分（AAD）技术，以高效的方式检索未来价格。ESAIM：会议记录和调查17为了对方法学有一个大致的了解，即比之前存在的两个方法（蒙特卡罗或PDE）更“逐轨迹”驱动，需要设置几个符号：o股票价格遵循几何布朗运动，其中漂移由无风险利率和融资成本φt构成：dsst=（rt+φt）dt+σtdWt。为简单起见，假设无风险利率为零，则此类股票上无本金t的衍生工具的任何付款V（t，St）均遵循Back-Scholes向后偏微分方程：五、t+Stφ（t，St）五、S+σ（t，St）St五、S=0。o在关注AAD在金融中的使用的范围内，我们将考虑一种情况，从发行人的角度来看，只有交易对手违约才能发生，并在这种情况下采用信用估值调整（CVA）的表达式：在交易对手违约的随机时间内，对一项资产的“投资组合”的净现值进行零敲打的看涨期权。根据【10】，定义asCVA=LGD·E（1τ≤τD（0，τ）X（τ）），其中：LGD是“违约损失”（即投资者因其交易对手违约而产生的损失分数），τ是违约时间，D（u，v）是u和v之间的贴现系数（在我们的零风险无利率假设下：D（u，v）=1），X（t）是“时间t的敞口”。因此，X（t）可以写成（5）的解V的正部分最后但并非最不重要的一点是，我们在此假设风险率λ是常数且已知的，这意味着违约概率为Q（τ≤ t） =1- e-λt.o所有这些都允许写入从时间t看到的CVA≤ τ（[35，第3节]详细信息）asCVAt=EtZτu=tLGD·V（u）+λe-λ（u-t） 杜。

（5） 这里使用AAD的一种方法是考虑使用NPATHSPATH的Et的路径版本（从T中看到的期望值），并写出CVAt的近似值（用符号vi表示给定轨迹上的值，即该轨迹的成本）：CVAt=NpathsNpathsXi=1Zτu=tLGD·vi（u）·1vi（u）≥0λe-λ（u-t） du |{z}CVAit。（6） 在【35，第4节】中，首先建立了以下关系五、φ（u，Siu）（t，St）=EtZTz=t（z=u，Sz=Siu）Siu五、S（z，Sz）dz。这意味着价值函数在任何时候对财务成本和价格（u，Siu）的偏导数可以表示为当z=u和Sz=Siu时，价格之和等于采样的价值函数V的增量的条件期望。记住表面的任何点（u、Siu）7→ φ（u，Siu）可以用来计算V（t）的偏导数，因此z=u和Sz=siuw时的“采样”进一步假设风险X和交易对手的违约是独立的。18 ESAIM：诉讼和调查是指考虑在z in【t，t】处的任何轨迹交叉（u，Siu）。这些事件的质量为fS（u，Siu）：=RTz=t（z=u，Sz=Siu）dz，然后我们可以写五、S（u，Siu）{z}套期保值敏感性=SiufS（u，Siu）·五、φ（u，Siu）{z}输入灵敏度。（7） 然后，AAD技术开始发挥作用，通过按照与原始公式相反的顺序应用指令链规则来计算套期保值敏感性。如【11】所示，AAD代码的执行时间大约是原始函数执行成本的四倍。我们计算CVA的方法可以总结为以下四个步骤：1。求解基础值函数V。生成第一个蒙特卡罗树苗，由N（1）条路径组成，用于库存流程。