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英文标题：
《Mini-symposium on automatic differentiation and its applications in the
  financial industry》
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作者：
S\\\'ebastien Geeraert, Charles-Albert Lehalle, Barak Pearlmutter,
  Olivier Pironneau (LJLL), Adil Reghai
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最新提交年份：
2017
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英文摘要：
  Automatic differentiation is involved for long in applied mathematics as an alternative to finite difference to improve the accuracy of numerical computation of derivatives. Each time a numerical minimization is involved, automatic differentiation can be used. In between formal derivation and standard numerical schemes, this approach is based on software solutions applying mechanically the chain rule to obtain an exact value for the desired derivative. It has a cost in memory and cpu consumption. For participants of financial markets (banks, insurances, financial intermediaries, etc), computing derivatives is needed to obtain the sensitivity of its exposure to well-defined potential market moves. It is a way to understand variations of their balance sheets in specific cases. Since the 2008 crisis, regulation demand to compute this kind of exposure to many different case, to be sure market participants are aware and ready to face a wide spectrum of configurations. This paper shows how automatic differentiation provides a partial answer to this recent explosion of computation to perform. One part of the answer is a straightforward application of Adjoint Algorithmic Differentiation (AAD), but it is not enough. Since financial sensitivities involves specific functions and mix differentiation with Monte-Carlo simulations, dedicated tools and associated theoretical results are needed. We give here short introductions to typical cases arising when one use AAD on financial markets.
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中文摘要：
在应用数学中，自动微分作为有限差分的一种替代方法长期存在，以提高导数数值计算的精度。每次涉及数值最小化时，都可以使用自动微分。在形式推导和标准数值格式之间，这种方法基于软件解决方案，机械地应用链式规则，以获得所需导数的精确值。它在内存和cpu消耗方面有成本。对于金融市场的参与者（银行、保险、金融中介机构等），需要计算衍生品，以获得其对定义明确的潜在市场波动的敏感性。这是一种了解特定情况下资产负债表变化的方法。自2008年危机以来，监管部门要求计算许多不同情况下的此类风险敞口，以确保市场参与者意识到并准备好面对广泛的配置。本文展示了自动微分如何为最近的计算量激增提供部分答案。答案的一部分是伴随算法微分（AAD）的直接应用，但这还不够。由于财务敏感性涉及特定功能和混合微分与蒙特卡罗模拟，因此需要专用工具和相关理论结果。我们在此简要介绍在金融市场上使用AAD时出现的典型案例。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Computational Finance        计算金融学
分类描述：Computational methods, including Monte Carlo, PDE, lattice and other numerical methods with applications to financial modeling
计算方法，包括蒙特卡罗，偏微分方程，格子和其他数值方法，并应用于金融建模
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一级分类：Computer Science        计算机科学
二级分类：Computational Engineering, Finance, and Science        计算工程、金融和科学
分类描述：Covers applications of computer science to the mathematical modeling of complex systems in the fields of science, engineering, and finance. Papers here are interdisciplinary and applications-oriented, focusing on techniques and tools that enable challenging computational simulations to be performed, for which the use of supercomputers or distributed computing platforms is often required. Includes material in ACM Subject Classes J.2, J.3, and J.4 (economics).
涵盖了计算机科学在科学、工程和金融领域复杂系统的数学建模中的应用。这里的论文是跨学科和面向应用的，集中在技术和工具，使挑战性的计算模拟能够执行，其中往往需要使用超级计算机或分布式计算平台。包括ACM学科课程J.2、J.3和J.4（经济学）中的材料。
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一级分类：Computer Science        计算机科学
二级分类：Numerical Analysis        数值分析
分类描述：cs.NA is an alias for math.NA. Roughly includes material in ACM Subject Class G.1.
cs.na是Math.na的别名。大致包括ACM学科类G.1的材料。
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PDF下载：
--> Mini-symposium_on_automatic_differentiation_and_its_applications_in_the_financia.pdf (1.06 MB)

2022-5-31 05:55:33 上传

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关键词：Applications Participants Mathematical Quantitative Minimization

ESAIM：会议记录和调查，卷？，2017年，1-10名编辑：将由publisherMINI自动差异化及其在金融业中的应用研讨会设定，ebastien Geeraert、Charles Albert Lehalle、Barak Pearlmutter、OlivierPironnaau和Adil ReghaiAbstract。长期以来，应用数学中一直使用自动微分作为有限微分的替代方法，以提高导数数值计算的精度。每次涉及数值最小化时，都可以使用自动微分。在形式导数和标准数值格式之间，这种方法基于应用机械链式规则公式的软件解决方案，以获得所需导数的精确值。它在内存和CPU消耗方面有成本。对于金融市场参与者（银行、保险、金融中介机构等），需要计算衍生品，以获得其对明确的潜在市场变动的敏感性。这是一种了解特定情况下资产负债表变化的方法。自2008年危机以来，监管要求计算许多不同情况下的此类风险敞口，以确保市场参与者意识到并准备好面对广泛的市场配置。本文展示了自动微分如何为最近即将执行的计算爆炸提供部分答案。答案的一部分是直接应用伴随算法微分（AAD），但这还不够。由于财务敏感性涉及特定函数和混合差异与蒙特卡罗模拟，因此需要专用工具和相关理论结果。我们在此简要介绍使用AAD金融市场时出现的典型案例。1.

导言与专业人士的多次讨论强调了金融机构自动分化的重要性。因此，在“蒙特卡罗技术国际会议”上自然会有一个关于这个主题的小型研讨会。市场参与者最近对自动区分感兴趣的根源之一是对灵敏度计算的要求越来越高。例如，巴塞尔银行监管委员会（Basel Committee on Banking Supervision）的《市场风险最低资本要求》[2]第B.2和B.3节包含了一长串投资银行对其所拥有的每一种产品的敏感性。然后，必须根据监管公式对敏感性进行汇总，以获得银行必须在其风险面前提出的资本要求。银行在其账簿中拥有金融产品，金融产品的敏感性是其价值与Murex（法国巴黎）的变化。资本基金管理（法国巴黎）和帝国理工学院（英国伦敦）。爱尔兰基尔代尔市梅诺思大学计算机科学系。索邦大学s，LJLL，UMR 7598，案例187，4 pl.de Jussieu，F-75252 Paris Cedex 5，法国。Natixis（法国巴黎）。c EDP Sciences，SMAI 20172 ESAIM：关于市场环境明确变化的会议记录和调查。例如，[2，B.2.iii.节]要求计算银行拥有的“每种具有可选性的金融产品”的ELTA、vega和曲率。这些敏感性是工具价值对不同风险因素的偏导数，分为风险类别。定义了七个风险类别。

例如，一般利率风险类别的风险因素为[2，pp20-22]：o对于delta：“delta风险因素沿两个维度定义：利率敏感工具计价的每种货币的无风险收益率曲线和“十种到期日”。o对于vega：“在每种货币中，vega风险因素是指参考一般利率风险敏感基础的期权的隐含波动率；进一步定义为两个维度：期权到期日的期权基础剩余成熟度和期权到期日的期权基础剩余成熟度。”每一个都超过5个期限。我们刚刚列出了30多个要计算的敏感度，属于七个风险类别之一，将应用于银行拥有的每种金融工具。每个灵敏度都是偏导数。在监管需求增加之前，银行限制了对冲其投资组合所需的计算敏感度（即偏导数），几乎没有更多。他们在“少数”必要的方向上使用了有限的差异方法。要计算的偏导数的突然增加激发了对计算它们的其他方法的探索。此外，由于监管更新不断增加要计算的偏导数列表，银行试图找出在不太改变软件代码的情况下完成新偏导数的方法。使用自动差异（或伴随算法差异：AAD），您不必每次有需要计算灵敏度的新产品时都开发专用代码。将整个数字库嵌入到支持AAD的框架中“就足够了”（参见第3节）。

这个小型研讨会的会议（以及本文的章节）表明，它有一个总体成本，但一旦支付了这个成本，计算更多灵敏度的边际成本就很小了。因此，ADD被视为当前监管需求的解决方案之一，并准备以合理的成本应对未来的监管需求。它解释了为什么银行正在仔细研究ADD，或者已经在某种程度上使用了它。如果AAD存在很长时间并且有很多应用（参见[4]了解AAD和统计学习的互动调查），那么金融支付的具体城市需要一些专门的发展，如[27]（参见第3节）。此外，一些金融问题的重新制定（如信贷价值调整，见第5节）有助于将其纳入AAD框架。本文各部分反映了小型研讨会的会议内容：每个部分都由一位发言人撰写，并包含一条关于AAD的一个特定方面的“带回家的信息”，该方面对金融市场有用。本文末尾的参考文献列表将帮助读者更深入地了解这一领域。在第一节中，Barak Pearlmutter概括介绍了AAD最重要的方面。读者可参考【4】了解详细信息。本节强调AAD在应用数学中的作用：数值优化中的进步，作为最小化标准中涉及的特定函数的手动推导与通过有限差分的纯数值方案之间的平衡。因此，非线性统计和最近的机器学习等领域取得了AAD的进展。在第3节中，塞巴斯蒂安·吉拉特强调了他在Murex探索的一些实践方面。他强调了如何通过特殊的选择来提高AAD的效率，从而利用金融合同支付中所涉及的确定性和随机性过程的特定组合。

通常，ADD必须用于内部Monte Carlo模拟，从而在内存和cpu消耗方面产生特定的约束。在下一节中，Olivier Pironnau重点介绍了如何将AAD应用于不可区分函数。本节遵循通过平滑将颤音方法应用于不可微分函数的思想。它允许在某些情况下获得二阶偏导数的精确估计。著名的机器学习框架，如Theano或TensorFlow，都使用AAD。ESAIM：会议记录和调查3Adil Reghai在最后一节中披露了Natixis如何在生产中使用AAD来计算其暴露于潜在市场变动的敏感性。它证明了AAD在对交易对手风险敏感的特定情况下的优势。2、自动微分对Meby Barak A.PearlmutterWe brie fly意味着什么（并从自私的偏见和修正主义的角度）考察了自动微分的基本思想和直觉：计算机程序指定的函数导数的高效机械精确计算。2.1。简介自动微分（Automatic Differentiation）或AD【20】是数值计算的一个分支学科，致力于研究一个诱人的想法：将一个计算数值函数的计算机程序机械转换为一个增强的计算机程序，该程序也能准确高效地计算出一些所需的导数。如何实现这一点的说明可以通过考虑一个实现函数f的计算机程序来形成，该函数f将输入向量映射到输出向量f:Rn→ RMA由流动图组成：从输入到输出的有向无环图，其边带有R值，其节点表示原始算术运算或扇出。

该流程图是所考虑的编程语言提供的常用原子操作符中计算实现的自然“分割”。自动微分在该图的级别上运行，将其扩展以同时计算所需值及其泰勒展开的第一项。2.2。Forward ADUsing modern terminology，[40]提出流动图中的每个实数r可以替换为“双数”[12]，一对实数hr，ri正式表示截断的幂级数r+r + O().它将正式允许不仅在r上执行操作（从而提供标准操作），而且在RTO上执行操作（提供r方向的导数）。对偶空间中的每个操作都由一对操作组成：标准操作及其导数。这意味着将每个基本算术运算g：（v，…，vm）=g（u，…，un）替换为其修改F g，其中操作符F是一种形式化的方法，我们将u替换为g：（hv，vi，…，hvm，vmi）=F g（hu，ui，…，hun，uni），其中hvi，vii=F gi（hu，ui，…，hun，uni）=hgi hgi（u，…，un），Xjuj（d/duj）gi（u，…，un）i。图1显示了两种基本运算（上框显示乘法和正弦或余弦的流动图）到其对偶表示的转换。或者，将值聚集到向量u=（u。

，un）等，并让Jg（u）为g在u处的雅可比矩阵，同时将素数值收集到向量中，v=g（u）v=Jg（u）uhv，vi=F g（hu，ui）=hg（u），Jg（u）ui现在很清楚，对偶空间表示允许同时进行运算及其导数。4 ESAIM：会议记录和调查假设我们用一个操作替换了每个基本算术运算，该操作与原始运算相同，但也执行雅可比矢量积，如上所述，整个计算现在将执行雅可比矢量积。我们在图1中展示了这种转换的一个小示例，它以图形的形式呈现了一个过程：函数fig（双a，双b，双u）{1：双c=a*b；2：双[]（v，w）=正弦（u）；3：返回（c，v，w）；}将其转换为：函数Ffig（double a，double da，double b，double db，double u，double du）{1：double c=a*b；2：double dc=a*db+da*b；3：double[]（v，w）=sincos（u）；4：double dv=w*du；5：double dw=-v*du；6：return（c，dc，v，dv，w，dw）；}或者，如果我们将每个原始变量v和dv捆绑到存储在Fv中的结构（v，dv）中，对于每个原始子程序或运算符fig，我们使用Ffig计算原始但也传播的导数：函数Ffig（double[]Fa，double[]Fb，double[]Fu）{1：double[]Fc=fTimes（Fa，Fb）；2：double[]（Fv，Fw）=Fsincos（Fu）；3：return（Fc，Fv，Fw）；}。由于在对偶空间中实现了常规fig表示的Ffig，现在可以通过调用该n=3次来计算完整的雅可比矩阵，每次计算雅可比矩阵的一列。

用0或1替换双变量的第二个元素就足够了：（（c，j11），（v，j12），（w，j13））=Ffig（（a，1），（b，0），（u，0））；（（c，j21），（v，j22），（w，j23））=Ffig（（a，0），（b，1），（u，0））；（（c，j31），（v，j32），（w，j33））=Ffig（（a，0），（b，0），（u，1））；这是“前向累积模式自动微分”或“前向AD”。请注意，由于n和m对于基元操作（通常为一个或两个）来说非常小，因此添加的额外算术是一个较小的常量因子开销。请注意，我们可以允许新的“素数”值与原始值并行地通过计算，这意味着存储开销以两个因数为界。与前向AD相同的数学变换在许多领域都有许多名称：机器学习中的微扰传播、微分几何中的推进、多元微积分中的方向导数、计算机科学中的前向误差分析等，并且存在许多执行前向AD变换的软件工具，使用各种实现策略，从源到源的转换（通常最快，但最不灵活或最方便）到面向对象系统中操作符的重载（易于实现和使用，但通常速度很慢，有时由于重载机制的语义限制而不太健壮）2.3。反向Ad考虑尝试计算函数f:Rn的梯度→ R使用前向AD。这将需要运行转换后的函数F F:hx，xi 7→ hy，yi重复，Xb在n个基本要素（1，0，0，…，0），（0，1，0，…，0），（0，0，…，0，1）。当n很大（比如10）时，这种开销是不可接受的。ESAIM：会议记录和调查5*abcsincosuvw公司*b、aabcabcsincos公司w-vUVWUVW图1。

Forward AD增加了原始流量图（顶部）中的所有基本算术运算，以通过计算向前传播导数（底部）。幸运的是，有一种不同的AD变换可以更有效地计算梯度。原始流量图中的每个值v都增加了一个伴随值v，伴随值v通过流量图向后传播。修改每个基本算术运算（见图2），将其输出的灵敏度向量乘以其雅可比矩阵的转置，得到其输入的灵敏度向量。以这种方式变换整个图可以高效地计算雅可比转置向量积，而运算计数只需少量的常数因子增加。这使得梯度的计算只需要很小的常数因子开销！6 ESAIM：会议记录和调查*b、aabc“a”b“csincosw-vuvw“u”v“W图2。反向AD增加了原始流程图中的所有基本算术运算，也通过计算向后传播导数。我们可以将图2的计算视为代码，而不是图形。这里，primal必须保存一些状态，以便在反向计算中使用。我们在数据结构中明确地做到了这一点。函数Rfig（double a，double b，double u）{1：double c=a*b；2：double[]（v，w）=sincos（u）；3：double[]RfigState=（a，b，u，c，v，w）；4：return（c，v，w，RfigState）；}当只知道函数输出的导数的反向传播时，返回的变量RfigState必须包含计算函数导数所需的所有内容。函数Rfig必须像往常一样返回其三维结果：（c，v，w）。这就是反向阶段的目的：它只需要这个“状态变量”RfigState作为第一个参数，以及反向传播的导数（即。