关于一致性风险度量的索赔表示和套期保值

因此，AVaR可以预测V-time-c是一致的。2.2可预测代表性给定L中的任何圆锥D∞和我们的数量向量V，我们定义了到床的投资组合集合（V）={Y∈ L∞(Ohm, F、 P；Rd+1）：Y·V∈ D} 。Ft+1可测量的time-t可接受投资组合集为Kt（A，V）：=A（V）∩ L∞t+1（Rd+1）。定义2.9。锥A（V）是可预测分解的ifA（V）=⊕T-1t=0Kt（A，V），其中clo在弱*-拓扑结构。在本案例中，我们说锥形Ais可预测，如例2.8所示（续）。[风险平均值]我们回到Ex ample2.8的设定值。声明接受集Ais不可预测地由1表示。证据我们注意到k（A，1）={X∈ L∞（F） ：X∈ A} =L∞-（F） K（A，1）=A=L∞-如果Ais可预测地表示为1，则A=K（A，1）+K（A，1）=L∞-;但是，A包含不在L中的X∞-.现在将V=（1，3{1}+{2，3，4}）设置为之前的值。声明V.Proof可预测地表示的集合。对于任何X∈ Awe可以写入X=αX- β、 对于α≥ 0和β∈ L∞+. 定义π=Y和π=Y-Yfor Y，Yas in eqs。（2） （3）我们有X≤ π·V+π·V∈ K（A，V）⊕K（A，V）。当t=0，1时，任何非正随机变量都在Kt（A，V）中，因此X在和中，前提是A K（A，V）⊕ K（A，V）。背面的夹杂物很明显。2.3稳定性我们回顾了Delbaen在标准随机基础上的m-稳定性条件(Ohm, F、 （Ft）t，P）：定义2.10（Delbaen[7]）。一组概率测度S L(Ohm, F、 P）对于elementsQZ是m-稳定的∈ S和P~ QW公司∈ S、 伴随密度鞅Zt=EhdQZdPFTI和Wt=EhdQWdPFti，对于每个停止时间τ，定义的鞅L为lt=（zt表示t≤ t的τZτWτwt≥ τ定义了S中的一个元素。请注意，如果τ是停止时间，且Z，W∈ S是这样的，Zτ=αWτ，然后是αW∈ S、 在上述定义中取α=ZτWτ，然后取L=αW。

现在，我们定义了子集D的m-稳定性的一个因子值推广 L+（Rd+1）。定义2.11。子集D 当τ≤ T是停止时间，无论何时Z，W∈ D，其中E[Z | Fτ]=αE[W | Fτ]，（4）对于一些标量α，则αW也在D中。注意，（4）意味着α是Fτ-可测且非负的。备注2.12。如果（Gs）s=t，。。。，Sis与Gu的过滤 fu对于ea ch u，D对于（F）是可预测的m-稳定的，那么D对于（G）也是可预测的m-稳定的。定义2.13。圆锥体D 如果DV={Y V:Y，则称L+是可预测的V-m-稳定的∈ D} 我预测m-稳定。备注2。在d=0的情况下，我们有V≡ 因此，氡NikodyMd衍生物 L+是1-m-稳定的，这正是D是m-稳定的要求。A（V）中的每个随机向量Z*可以写成V的倍数，即Z=eZV with EZ∈ A.*.引理2.15。假设V是d+1个数的集合，d是L中的凸锥∞. 然后（V）*= D*五、 证明。先取Z∈ D*. 对于任何X∈ 我们有E[ZV·X]≤ 0和so ZV∈ D（V）*, 重击（V）* D*五、 对于反向包含，回想一下，eidenotes是Rd+1中的第i个正则基向量。首先，自V·α（viej- vjei）=0，我们有α（viej- vjei）∈ D（V）α∈ L∞.取Z∈ D（V）*. 现在，对于任何i，j∈ {1，…，d}，α∈ L∞, 我们有[Z·α（viej- vjei）]≤ 将i和j颠倒过来，我们可以写出E[Z·α（viej- vjei）]=0，允许第一个α={Z·（viej-vjei）>0}则α={Z·（viej-vjei）<0}，我们看到事实上，Z·（viej- vjei）=0 a.s.对于任何i，j，所以取i=0，我们得到Zj=Zvja。s、 对于每个j，因此任何Z∈ D（V）*对于某些Z，必须为ZV形式∈ 五十、 现在，给定C∈ D、 取X，使X·V=C（这意味着X∈ D（V）），然后0≥ E[W V·X]=E[W C]，由于C是任意的，因此W∈ D*. 因此D（V）* D*五、 备注2.16。

根据引理2.15，我们可以检查A（V）*≡ A.*可以预见，V在以下方面是稳定的。我们首先关联到每个Z∈ A.*概率测度QZ，通过其Radon-Nikodym导数qzdp=ZE【Z】定义。我们注意到如果Z，W∈ A（V）*, 那么我们可能会发现，fW∈ A.*这样Z=eZV a和W=fW V。V≡ 1给出了条件E[Z | Fτ]=mE[W | Fτ]与条件eqez[V | Fτ]=EQfW[V | Fτ]的等价性。（5） 集合A（V）*对于任何s打顶时间τ，可预测V-m稳定≤ T，whenevereZ，fW∈ A.*是这样的，thenEheZFτiEhfWFτiW∈ A.*（五） 。示例2.8（续）。我们返回到示例2.8的设置。索赔A*不是m稳定的。证据定义度量值Q=（，，0，0）∈ Qλ和Q=（，0，，0）∈ Qλ。我们通过设置deqdp=EhdQdP来形成测量值Qand q1的时间1粘贴FiEhdQdPFidQdPso thateQ=（1，0，0，0）。现在，eq=1>哪个显示顺序6∈ Qλ，因此Qλ不是m-稳定的。现在将V=（1，3{1}+{2，3，4}）设置为之前的值。索赔A*是V-m-稳定的。证据首先，考虑粘贴Q=Q⊕停止时间τ：deQdP=E时Qλ中Q和Q′的测度τQ′dQdPFτEdQ′dPFτdQ′dP=dQ′dP{τ=0}+EdQdPFEdQ′dPFdQ′dP{τ=1}+dQdP{τ=2}。根据注释2.16，我们在*与相关的概率度量Q和Q′额外满足EQ[v | Fτ]=EQ′[v | Fτ]，我们旨在证明∈ Qλ。在事件{τ=0}（分别为{τ=2}）上，我们有thateQ=Q′（分别为eq=Q）和边界eq（1）≤非常满意。事件{τ=1}是, {1，2}，{3，4}，Ohm.

写入Q=（qi）i=1，表示ω∈ {1，2，3，4}，EQ[v | F]（ω）=3q+qq+q{q+q>0}{1,2}（ω）+{q+q>0}{3,4}（ω）我们可以粘贴满足3q+qq+q{q+q>0}{1,2}+{q+q>0}{3,4}=3q′+q′+q′+q′+q′+q′>0}{1,2}+{q′+q′>0}{3,4}在{τ=1}上，这简化了qq{q+q>0}{1,2}的要求∩{τ=1}+{q+q>0}{3,4}∩{τ=1}=q′q′{q′+q′>0}{1,2}∩{τ=1}+{q′+q′>0}{3,4}∩{τ=1}。（6） 关于{τ=1} {1} ，粘贴权重{1}asQ⊕τQ′（{1}）=（Q+Q）Q′Q′+Q′{Q′+Q′>0}=（Q+Q）Q′Q′Q′+1{Q′+Q′>0}（6）=Q{Q+Q>0}其他情况很容易检查。因此Q⊕τQ′∈ A.*, 和A*是V-m-稳定的。2.4主要结果Fix num'eraires V，一个一致的风险度量ρ=（ρt）乘以概率度量的凸表示集Q，并取Atto作为ρt的可接受集∈ T、 主要结果是Theorem 2.17。以下是等效的：（i）（ρt）t∈可预测的是V时间一致性；（ii）可预测由V代表的Ais；（iii）A（V）*可以预见是m-稳定的。第4节将给出程序。现在，我们在定理证明2.17中强调了航路点。将条件期望E[·| Ft+1]视为从L（Rd+1）到Lt+1（Rd+1）的投影，我们通过首先将D投影到Lt+1（Rd+1），然后拍摄偷盗锥，最后拍摄投影E[·| Ft+1]下的预图像，来确定时间t时D的可预测预图像。集合E的Ft锥为{αw+βw：α，β∈ L∞+（英尺），宽，宽∈ E} 。更简明地说：定义2.18。对于D L+（Rd+1），我们为每次t定义D byMt（D）的可预测前图像：={Z∈ L（Rd+1）：αt∈ Lt，+，Z′∈ d如αtZ′所示∈ L（Rd+1）和E[Z | Ft+1]=αtE[Z′Ft+1]}。（7） 集合D的可预测预映像 L+（Rd+1）是理解可预测稳定的对流函数的关键，如以下三个引理所示。第一个给出了稳定性的另一个特征：引理2.19。让D L+（Rd+1）。以下是等效的：（i）对于每个t∈ {0，1。

，T}，无论何时Y，W∈ D是存在Z的∈ D、 a组F∈ Ft，正随机变量α，β∈ L（Ft），αY，βW∈ L（Rd+1）和X:=FαY+FcβW满足E[X|Ft]=E[Z|Ft]，那么X也是D的成员；（ii）D是可预测稳定的，即对于每个停止时间τ≤ T，无论何时Z，W∈ D是这样的，e[Z | Fτ]=mE[W | Fτ]，那么mW也是D证明的一个成员。（二）==> （i） ：我们假设（ii）成立，并且∈ T、 我们的目标是D中的三个随机变量，W，Z，以及F∈ 条件（i）中要求的Ft和α、β，因此我们可以应用（ii）twic e来证明条件（i）中定义的结果X是D的一个成员。首先，假设τ=TF+tfc，假设Z，W∈ D满足EZi公司Fτ= 我Wi公司Fτ对于所有i.By（ii），我们有ex：=mW∈ D、 写入β：=EZi公司英尺E[Wi | Ft]{E[Wi | Ft]>0}，我们可以表示ex=ZF+βWFc。第二，设eτ=tF+TFcand suppos e Y∈ D满足EheXiFτi=emE易Fτ对于所有i.By（ii），我们有X：=emY∈ D、 写入α：=EheXiFtiE[Yi | Ft]{E[Yi | Ft]>0}，我们可以表示X=αYF+βWFc。现在，我们有一个固定的，Y，W，Z∈ D、 a组F∈ Ft和正r.v.sα、β∈ L（英尺）。我们已经准备好了X∈ D、 因此，仍需检查上述定义的X和Z是否满足E【X | Ft】=E【Z | Ft】。E【X | Ft】=FE【αY | Ft】+FcE【βW | Ft】=FEEheXi公司FtiE[Yi | Ft]{E[Yi | Ft]>0}Y英尺+FcE“EZi公司英尺E[Wi | Ft]{E[Wi | Ft]>0}WFt#=FEheXFti+FcE[Z | Ft]=E[Z | Ft]，E确立了陈述（i）。（一）==> （ii）：表示（i）持有；当τ=T时，则（ii）成立。现在假设（ii）对于任何停止时间τ都成立≥ k+1 a.s.，并在停止时间的下限上通过反向诱导来实现。固定任意停止时间eτ≥ k a.s.，定义F={eτ≥ k+1}和停止时间τ*:= eτF+TFc。

注意τ*≥ k+1，因为Fc={eτ=k}。我们现在来取Z，W∈ 满足E的DZi公司Feτ= 我Wi公司Feτ对于所有的我，目的是在条件（i）的帮助下，说明MW如何被定义为d的一个元素。为此，定义：=我们Zi公司Fτ*E[Wi | Fτ*]{E[Wi | Fτ* ]>0}=FWEZi公司FeτE[Wi | Feτ]{E[Wi | Feτ]>0}+ZFc。根据归纳假设，由于有界τ，Y在D中*≥ k+1。现在，我们有t=k固定，Y，W，Z∈ D、 a组F∈ Ft和正随机m变量α≡ 1，β：=FcE[Zi | Fk]E[Wi | Fk]。定义：=FαY+FcβW=WFEZi公司FeτE[Wi | Feτ]{E[Wi | Feτ]>0}+WFcEZi公司Fk公司E[Wi | Fk]{E[Wi | Fk]>0}=我们Zi公司FeτE[Wi | Feτ]{E[Wi | Feτ]>0}。检查上述X和Z是否满足E[X | Fk]=E[Z | Fk]是一项基本工作。因此，通过（i），Xis是D的一个元素，它完成了归纳步骤。可积条件αY，βW∈ L（Rd+1）很容易验证。引理2.20。假设D L+（Rd+1）。如果D是可预测稳定的凸锥，则D=T-1\\t=0Mt（D）。证据包含项D ∩T-1t=0Mt（D）是微不足道的。在下文中，我们为E[Z | Ft]设定Z | t位置。现在Z∈ ∩T-1t=0Mt（D），我们用im表示Z∈ D、 所以，尽管如此∈ {0，1，…，T- 1} ，存在βt∈ Lt、+和Zt∈ D使得βtZ∈ L+（Rd+1）和Z | t+1=βtZt | t+1。定义ξT-1=ZT-1ξt=Ftκtξt+1+fctzt for t∈ {0，1，…，T- 2} ，其中Ft={βt>0}和κt=βt+1/βt。注Z=Z | t=βt-1ZT-1 | T=βT-1ξT-1和Z=βκ·κ·T-2ξT-1=βξ。因此，我们只需要证明ξ在锥D中，就可以推断Z=βξ在D中∈ {0，1，…，T- 1} ，我们有ξt | t+1=Zt | t+1和ξt∈ D、 我们将从观测ξT开始，通过反向归纳法进行处理-1=ZT-1.∈ D、 假设s≥ t+1，我们有ξs | s+1=Zs | s+1和ξs∈ D、 ξt | t+1=EFtκtξt+1+FctZt英尺+1= EFtκtZt+1+FctZt英尺+1现在，当βt>0时，即。

在事件Ft，E上κtZt+1英尺+1=βtEβt+1Zt+1英尺+1=βtE[Z | t+2 | Ft+1]=Z | t+1βt=Zt | t+1允许我们得出ξt | t+1=EFtZt | t+1+FctZt英尺+1= Zt | t+1。通过假设D是稳定的，所以通过引理2.19我们可以看到ξt∈ D、 引理2.21。对于D L+（Rd+1），定义[D]：=T-1\\t=0（convMt（D）），其中Mt（D）如（7）所定义，符号conv表示凸包的L+（Rd+1）闭合。（a） [D]是包含D的L+（Rd+1）中最小的可预测m-st可闭凸锥；（b） D=[D]当且仅当D是L+（Rd+1）中可预测的m-稳定闭凸锥。证据很明显，[D]是L中的一个闭凸锥。为了证明[D]是稳定的，我们根据Lemma2.19使用稳定性的定义。修复t∈ {0，1，…，T}，假设Y，W∈ [D] 存在Z∈ [D] ，a集合F∈ Ft，正过程α，β∈ L（Ft），αY，βW∈ L（Rd+1）和X：=αYF+βwfcsaties E[X | Ft]=E[Z | Ft]。我们的目的是证明X也是[D]的一个成员，也就是X∈convMs（D）0≤ s≤ T- 1、首先考虑s∈ {0，1，…，t- 1} 。根据Ms（D）的定义，Z∈ 转换Ms（D）和E【X | Ft】=E【Z | Ft】==> 十、∈ conv Ms（D），因为Ms（D）中可积Z的隶属度仅取决于其条件期望E[Z | Fs+1]。更一般地说，我们显示∈ convMs（D）和E【X | Ft】=E【Z | Ft】==> 十、∈ convMs（D）。取一个序列（Zn） 转换Ms（D），使Zn→ Z在L中。确定序列Xn：=E【Zn | Ft】+X-E[X | Ft]。请注意Xn→ X为n→ ∞ 对于每个n，E【Xn | Ft】=E【Zn | Ft】。So Xn∈ conv Ms（D），thusX∈convMs（D）。现在考虑s∈ {t，t+1，…，t- 1} 。我们首先选择序列（Yn），（Wn） 转换Ms（D），使Yn→ Y和Wn→ L.定义中的W表示n，K∈ N、 Xn，K：={α≤K} αYnF+{β≤K} βWnFc。Xn，K∈ conv-Ms（D）遵循以下两个基本特性：1。如果Z∈ 转换Ms（D）和g∈ L∞+（Ft），然后是gZ∈ 转换Ms（D）；和2。

如果Zi∈ 转换Ms（D），i=1，2，然后Z+Z∈ 转换Ms（D）。现在，对于任何K固定，{α≤K} αYn→{α≤K} αY为n→ ∞, 类似地{β≤K} βWn→{β≤K} βW。由于αY和βW是可积的，我们现在发送K→ ∞ 要查看thatX=limK→∞画→∞Xn，K∈convMs（D），它完成了X是[D]的成员的证明。为了证明含D的稳定闭凸锥类中[D]的极小性，我们注意到ifD D′然后【D】 [D′]。假设D′是另一个包含D的稳定闭凸锥，我们用L e mma2.20得到D′=[D′]，因此D′包含[D]。为了显示语句（b）中的e等价性，前向蕴涵是由于[D]的稳定性，反之则是引理2.20。定理2.17的陈述（ii）和（iii）的等价性证明由以下定理2.22支撑。对于任何t∈ {0，1，…，T-1} ，Kt（A，V）=（Mt（A（V））*))*. （8） 我们把证据推迟到第4节。因此，我们将表示（参见定义2.9）中的每个“summand”描述为V.3示例中可接受投资组合的双重可预测预映像的双重集合。在本节中，我们简要阐述了框架的价值。3.1建模交易成本我们现在给出一个示例，其动机是在交易成本跨越两个时间段（T=2）的市场上买卖股票。设Nand和Nbe在客观测度P下为两个独立且相同分布的标准高斯随机变量。固定M>0，并定义截断的随机变量seni：=Ni∧M、 对于i=1，2。确定常数Am，使EP[exp（eNi- aM）]=1：aM：=对数EP[经验（eN）]=对数eΦ（M- 1） +eM（1- Φ（M））.让Z∈ Ms（D）。

然后αt∈ Lt，+，Z′∈ D使得αtZ∈ Land Z | t+1=αtZ′t+1==> αtg∈ Lt，+，Z′∈ D使得αtgZ∈ 着陆gZ | t+1=αtgZ′t+1，然后取凸包。按Ftrivial定义过滤，F=σ（eN），F=σ（eN，eN）。市场包括一个“现金账户”v≡ 1和时间为2的“库存”价格v=exp英语+英语- 凌晨2点.设置V=（V，V）。在时间0时，购买1单位va的买方必须支付1+λ现金，出售1单位va的卖方收到1-λ。在时间1，知道en的价值，购买1单位vcosts（1+λ）eeN-aM，并销售1台vmakes（1- λ） eeN公司-是用coneFE={αw：α定义集合E的F-锥∈L∞+（F） ，w∈ 转换}。如果我们也允许财富被消费，我们可以得出以下一组我们可以从零初始财富开始交易的主张：A=锥{(-（1+λ），1），（1- λ，-1） }·V⊕ coneFn公司(-（1+λ）eeN-aM，1），（（1-λ） eeN公司-是-1） o·V⊕ (-L∞+).总之，第一项描述的是那些在时间0可以实现的债权，第二项描述的是那些在时间1可以实现的债权，最后一项描述的是任何时候的财富消费。很容易证明isQ的对偶：=nQ<< P：等式【v】∈ [1- λ、 1+λ]和等式[exp（eN- aM）| F]∈ [1-λ、 1+λ]o。注意，Q是一个非m-稳定的概率测度凸集。通过ρt（X）=supQ定义一致的风险度量∈QEQ【X | Ft】对于t=0，1。我们有ρ（v）=1+λ，但ρ（v）=eeN-aMsupQ公司∈量化宽松-aM | F]=（1+λ）eeN-aM，soρ（ρ（v））=（1+λ）supQ∈量化宽松-aM]=（1+λ）1- λ> ρ（v）。最后一行来自任何Q的不等式∈ Q： 1+λ≥ EQ[v]=EQ[eeN-aMEQ[甚至-aM | F]]≥ （1）- λ） EQ【eeN-aM]。现在，我们可以证明Q必须是V-m-稳定的：我们用RadonNikodym导数∧和m取两个度量Q∧和qm，在停止时间τ形成粘贴∈ {0，1，2}，并检查deqdp=ME[M | Fτ]E[λ| Fτ]定义的固定测量值是否也在Q中。

注意{τ=2}=1-{τ≤1}∈ L∞, 我们计算Eeq[exp（eN- aM）| F]=EME[M | F]{τ≤1} +λE[λ| F]{τ=2}exp（eN- aM）F= EQM[试验（eN- aM）| F]{τ≤1} +等式∧[exp（eN- aM）| F]{τ=2}，所以我们看到条件EeQ[exp（eN- aM）| F]∈ [1- λ、 满足1+λ）。为了满足V-m稳定性的定义，我们只需检查以下等式∈ 对于满足Q∧[v | Fτ]=EQM[v | Fτ]的Q∧和qm。因此，我们现在计算eEq【v】=EE[λ| Fτ]E[M | Fτ]E[Mv | Fτ]= EE[λ| Fτ]EQM[v | Fτ]= EE[λ| Fτ]EQ∧[v | Fτ]= 公式∧【v】。因此Q是V-m-稳定的。3.2 A H aezendonck–Goovaerts风险度量以下是使用所谓的Haezendonck–Goovaerts风险度量的示例；我们将读者引述Bellini和Rosazz a Gianin的作品【4】。考虑一个两周期二叉分支树，其中p{ω}=所有四个元素ω∈ Ohm. 我们选择（归一化）杨函数Φ（x）=x，并定义Orlicz溢价原理为方程的唯一解Hα（xΦXHα（X）= 1.- αX 6=0；Hα（0）：=0。固定α=，并重新排列以上内容以查看H（X）=√2kXk=√E十、. 我们现在将海森顿克测度定义为ρ（X）=supQ∈QEQ[X]，其中Q：={Q<< P：等式【Y】≤ H（Y）Y∈ L∞+}.我们将Q（{i}）=：qi写入上的度量Q(Ohm, F） ，且X（i）=xi对于随机变量X on(Ohm, F、 P）。首先，我们描述了Q。请注意，Q定义中的约束意味着SUP06=Y∈L∞+EdQdPYkY k≤√2、在选择Y=dQdP时达到上确界，因此上述不等式意味着dQdP≤ 2，thusQ=（Q=（Q，…，Q）：qi≥ 0，Xi=1qi=1，Xi=1qi≤).Q不是m-稳定的定义分别是Q∧和QMfrom∧=2×{1,2}和m=2×{1,3}。我们看到，这两个元素都是Q的元素，它们对(Ohm, F） 由∧=E[λ| F]=2×{1,2}和M=E[M | F]=1描述。