关于一致性风险度量的索赔表示和套期保值

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英文标题：
《On representing and hedging claims for coherent risk measures》
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作者：
Saul Jacka, Seb Armstrong, Abdelkarem Berkaoui
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最新提交年份：
2018
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英文摘要：
  We provide a dual characterisation of the weak$^*$-closure of a finite sum of cones in $L^\\infty$ adapted to a discrete time filtration $\\mathcal{F}_t$: the $t^{th}$ cone in the sum contains bounded random variables that are $\\mathcal{F}_t$-measurable. Hence we obtain a generalisation of Delbaen\'s m-stability condition for the problem of reserving in a collection of num\\\'eraires $\\mathbf{V}$, called $\\mathbf{V}$-m-stability, provided these cones arise from acceptance sets of a dynamic coherent measure of risk. We also prove that $\\mathbf{V}$-m-stability is equivalent to time-consistency when reserving in portfolios of $\\mathbf{V}$, which is of particular interest to insurers.
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中文摘要：
我们提供了一个适用于离散时间过滤$\\数学{F}u t$的$L ^ ^*$有限锥和的弱$^*$闭包的双重特征：和中的$t ^{th}$锥包含$\\数学{F}u t$可测的有界随机变量。因此，我们得到了Delbaen的m-稳定性条件的推广，该条件适用于在一个名为$\\mathbf{V}$-m-稳定性的集合中进行储备的问题，前提是这些锥来自动态一致风险度量的接受集。我们还证明了$\\ mathbf{V}$-m-稳定性等价于在$\\ mathbf{V}$的投资组合中保留时的时间一致性，这是保险公司特别感兴趣的。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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PDF下载：
--> On_representing_and_hedging_claims_for_coherent_risk_measures.pdf (278.02 KB)

2022-5-31 06:12:13 上传

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关键词：套期保值 风险度量 风险度 一致性 Mathematical

一致性风险度量的索赔表示与套期保值*1,2，Seb Armstrong+1和Abdelkarem Berkaoui3华威大学图灵学院穆罕默德·伊本·沙特伊斯兰大学摘要我们提供了弱者的双重特征*-L中锥的有限和的闭包∞适应离散时间过滤Ft：总和中的tthcone包含Ft可测量的有界ran dom变量。因此，我们对Delbaen的m-稳定性条件[7]进行了推广，以解决在数V集合中进行储备的问题，称为V-m-稳定性，前提是这些锥体来自于动态一致风险度量的接受集[2，3]。我们还证明了V-m-稳定性等价于在V的投资组合中保留时的时间一致性，这对保险人特别有意义。关键词：一致性风险度量；m-稳定性；时间一致性；法头地产；保留；套期保值；代表性；定价机制；平均风险价值。AMS科目分类：91B24、46N10、91B30、46E30、91G80、60E05、60G99、90C48。1通过投资于适当谨慎的资产，引入保险公司为未来金融风险准备的准备金。准备金是在特定的账户单位中进行的，通常是现金或任何其他普遍同意始终持有正价值的资产。我们将此类资产称为numeraires，例如纸币资产或实物商品。保留充足的金额可确保承保人承担的风险是可接受的。在某些情况下，num'eraire的选择是明确的；在其他情况下，则不是这样，例如，保险公司在多个币种中保留索赔。准备金的充足金额由相应的风险度量来建模。Artzner、Delbaen、Eber和Heath首先提出了一致的风险度量[2，3]，目的是为货币风险度量提供一个广泛的公理定义。

财务状况以适当的概率速度建模为本质上有界的随机变量(Ohm, F、 P）。一致风险测度是L上的实值泛函∞(Ohm, F、 P）即现金流入、单调、凸、正齐次；见【10】。一致的风险度量为每个财务状况分配了一个真实的价值：那些*Saul D.Jacka感谢EPSRC赠款EP/P00377X/1提供的资金，也感谢图灵研究所在EPSRC赠款E P/N510129/1下提供的财政支持。电子邮件：s.d。jacka@warwick.ac.ukDepartment英国华威考文垂统计大学CV4 7AL+Seb Armstrong感谢EPSRC博士培训合作计划/M508184/1提供的资金。电子邮件：seb。armstrong@gmail.comDepartment英国华威考文垂统计大学CV4 7AL的电子邮件：berkaoui@yahoo.frCollege科学伊玛目穆罕默德·伊本·沙特伊斯兰大学。O、 84880号信箱：利雅得11681沙特阿拉伯无阳性风险视为可接受。我们用一组可接受的索赔来表示。很容易看出A是L中的圆锥体∞.一致性风险度量是一种储备机制：我们假设保险人正在根据一致性风险度量ρ建立风险市场（或至少为风险服务），并且他们对arandom索赔X收取费用或储备价格ρ（X）。

因此，保险人应始终接受持有风险索赔X并充分保留的总体立场。如果对于概率上接近X的任何非有效有界序列Xn，lim infnρ（Xn），则不同的风险度量ρ满足Fatou性质≥ ρ（X）。当且仅当对于P绝对连续的一组概率测度，我们可以将ρ表示为ρ（X）=supQ时，共租风险测度满足Fatou性质∈QEQ【X】。回想一下，L的对偶∞(Ohm, F、 P）是上所有完整相加度量的空间(Ohm, F） 该区域相对于P绝对连续。Fatou性质允许我们将双优化搜索限制为L中的元素(Ohm, F、 P），通过其氡-尼古丁导数确定可能性度量。我们装备空间L∞和弱者在一起*拓扑σ（L∞, 五十） ，因此拓扑对偶是L。接受集A是弱的*-关闭我们假设保险人可以进行多次交易{0，1，…，T}。在每次t时，保险人可以根据西格玛代数Ft中的信息重新评估风险。条件一致性风险度量是一致性风险度量的自然概括；同样，这样的度量ρtsatis是法图属性，当且仅当对于一组P-绝对连续概率度量，我们可以用ρt（X）=es s supQ表示ρtby∈QtEQ[X | Ft]。在下面的内容中，我们确定了所有t的Qt=Q，并确定了时间t-接受集At，作为所有索赔x的s集∈ L∞(Ohm, F、 P）ρt（X）≤ 0.最简单的储备行为是持有一定数量的现金ρ（X），直到保险人必须支付索赔X。更一般地说，从现金ρ（X）开始，保险人交易任何可用的金融资产，构建一种自我融资策略，其终值等于或超过到期时索赔X的价值。

如果该策略是通过在资产集合V=（V，…，vd）asnum'eraires中进行交易来构建的，那么我们可以说，债权可以用向量V来表示。如果我们允许自己有足够多的资产集合，那么表示总是可能的：为了对冲有界债权X，我们只需要购买并持有价值为X的债权。因此，利息，应重点选择代表数字V的节俭集合，并确定何时出现此类集合。我们将确定索赔X可预测地由V表示，如果从准备金ρ（X）开始，我们可以通过以可接受的方式在每个时间段内以V进行交易来转移风险，这样最终财富等于索赔的价值：对于投资组合Yt∈ L∞(Ohm, Ft，P；Rd+1），我们有X=ρ（X）+T-1Xt=0（Yt+1- Yt）·V，其中每个增量满足ρt（（Yt+1- Yt）·V）≤ 0、我们在（V）处写入所有投资组合投资的集合，该集合的re time-t可接受。如果接受集是弱者，那么它是可预测的V-re可呈现的*锥之和的闭合Kt（A，V）：=At（V）∩ L∞(Ohm, Ft+1，P；Rd+1），A（V）=⊕T-1t=0Kt（A，V）。对于X可预测地表示，我们的意思是X可作为索赔X=PtCt之和实现（可表示），其中每个CTI在时间段（t，t+1）内实现，并在时间段t+1支付。或等效地，Ais的每个元素可通过一个时间段b ets的集合在时间0，1，…，t以V为单位实现- 1，并在时间1交易，T本文的一个关键贡献是提供了V-代表性的双重特征。概率测度集q上的RecallDelbaen乘法稳定性（此后为m-稳定性）条件。

我们通过其Radon-Nikodym-der-ivative，在对偶coneA中用随机变量识别Q中的概率测度s*= {Z∈ 五十： E【ZX】≤ 0十、∈ A} 。双锥面A*对于任何停止时间τ和Z，Z∈ A.*使得E[Z | Fτ]=αE[Z | Fτ]，然后αZ∈ A（V）*. Se e【7】。同样，双锥面A（V）*对于任何停止时间τ和Z，Z，V-m-稳定∈ A（V）*使得E[Z | Fτ]=αE[Z | Fτ]，然后αZ∈ A（V）*. 为了说明V-m-稳定性和V-可表示性的等价性，我们在表示Kt（A，V）中给出了每个和的优雅对偶*= Mt（A（V）*), 称为A（V）的可预测预映像*在时间t，除了有助于证明V-可预测代表性和可预测V-m-稳定性的等价性外，可预测m-稳定凸锥的可预测前像a（V）*时间t是对时间t持有的一组投资组合的对偶的具体描述，目的是在时间t+1之前保持可接受的头寸。我们证明了V-代表性等价于风险测度的时间一致性。如果ρt=ρt，则风险度量是时间一致的o ρt+1。也就是说，今天为索赔X预留的准备金正好足以为明天的索赔X预留准备金；参见【11、7、13、15】中此类度量s的示例。序列（ρt）不一定是时间一致的；参见示例【5、6】。时间一致性的考虑对于巴塞尔协议III ac协议下的银行风险加权资产（RWA）建模非常重要。最近的一份咨询文件【12】强调了方法上的变化，从使用基于风险价值（VaR）的风险度量，到使用基于预期短缺（ES）的风险度量，也称为平均风险价值（AVaR，见【9】）。正如Cheridito和Stadje【6】所示，AVaR不是时间一致的。在第2节中，我们详细阐述了对这三个性质的概括：即V-时间一致性、V-代表性和V-m-稳定性。

在本节中，我们以风险平均值为例来说明我们的定义。本文的主要结果是三个性质的等价性。在第3节中，我们提供了一些示例。在第四节中，我们证明了主要结果。我们强调了过滤（Ft）t=0，。。。，t播放。2定价措施我们记录了一些定义和概念。我们确定终端时间T∈ N、 离散时间集T：={0，1，…，T}。我们定义了一个概率空间(Ohm, F、 P），其中P是参考度量或客观度量。过滤（Ft）t∈t描述每个时间点的可用信息。所有P-本质边界F-可测随机变量的空间为L∞= L∞(Ohm, F、 P）；我们缩写为L∞(Ohm, Ft，P）至L∞t、 本质有界Rd值随机变量的空间是L∞（Rd）=L∞(Ohm, F、 P；Rd）。我们用L表示非负（分别严格正）本质有界随机变量s的锥∞+（分别为L∞++). 我们用e，…，表示Rd+1中的正则基向量，ed.每次t∈ T、 我们希望利用当时可用的所有信息对货币风险进行定价。回顾以下定义，改编自【8】：定义2.1。A ma pρt:L∞→ L∞t对于t∈ T是一个条件凸风险测度，如果对于所有X，Y∈ L∞,它具有以下属性：o条件现金不变性：对于所有m∈ L∞t、 ρt（X+m）=ρt（X）+m P-几乎肯定；o单调性：如果X≤ Y P-几乎肯定，然后ρt（X）≤ ρt（Y）；o条件凸性：对于所有λ∈ L∞twith 0≤ λ≤ 1，ρt（λX+（1- λ） Y）≤ λρt（X）+（1- λ） ρt（Y）P-几乎肯定；o归一化：ρt（0）=0 P-几乎可以肯定。此外，如果条件凸风险度量也满足o条件正同质性：对于所有λ∈ L∞twithλ≥ 0，ρt（λX）=λρt（X）P-几乎可以肯定。我们的兴趣主要在于准备和履行债务。

我们看到一个正的随机变量X是一个增益，一个负的X是一个损失，这解释了现金不变性中符号的选择，以及单调性的方向。定义2.2。对于任何有界序列（Xn）n，凸风险度量满足Fatou性质≥1.L∞转换到X∈ L∞在概率中，我们有ρt（X）≤ lim信息→∞ρt（Xn）。Fa-tou性质等价于从上到下的连续性：ρtis从上到下的连续性if，where（Xn）n≥1. L∞是一个非累加序列，因此Xn↓ X P-a.s.，然后ρt（Xn）↓ ρt（X）P-a.s.作为n→ ∞定义2.3。动态一致性风险度量是一个集合ρ=（ρt）t=0，。。。，T、 其中，每个ρ是一个满足Fatou性质的条件一致风险度量，表示度量集Q：ρT（X）=es s supQ∈QEQ【X | Ft】。条件一致风险测度ρt:l的可接受集∞→ L∞tisAt={X∈ L∞: ρt（X）≤ 0}。对于以下结果，我们请读者参考[10]和[8]。我们装备空间L∞和弱者在一起*拓扑σ（L∞, 五十） ，因此拓扑对偶将是L。Rec所有的C索赔集都是无套利的∩ L∞+= {0}。2号提案。4、对于每个t，定义为动态条件相干风险度量ρt:L的接受集∞→ L∞t使法头地产合格。那就是弱者*-闭凸锥在有界正可测随机变量相乘下是稳定的，它包含∞-, 而且是无套利的。备注2.5。从现在起，为了强调一致的风险度量通常是有条件的，我们应参考接受集，而不是数量，数量定义为随机变量v∈ L∞++使1/v∈ L∞++. 我们将在此发布一个数量为V=（V，…，vd）的有限集合≡ 1.2.1时间一致性在本节和后续章节中，我们确定了集合Q的概率测度s Q o及其RadonNikodym导数DQDP。

我们相信，从上下文中可以清楚地看到将使用哪个版本。以下定义摘自Acciaio等人【1】。定义2.6。随机变量的动态相干风险测度（ρt）t∈如果对于所有t≤ T- 1，对于所有X∈ L∞,ρt（X）=ρt（ρt+1（X））。我们注意到，时间t时X的储备是ρt（X）。将强大的时间一致性概括为：定义2.7。动态凸风险测度ρ=（ρt）t=0，。。。，如果，对于任何X，都可以预测V时间组∈ L∞任何t<t，我们有ρt（X）=ess inf{ρt（Y.V）：Y∈ L∞（Ft+1，Rd+1）和X- Y·V∈ 在L中的+1}（1）处∞, i、 e.，Atis在拓扑σ（L）中闭合∞, 五十） 很容易检查，如果V≡ 1，则强时间一致性为V时间一致性。一般来说，强时间一致性意味着V时间一致性。要看到这一点，首先假设时间具有很强的一致性。如果我们取Y=ρt+1（X），Y的所有其他分量都为零，那么ρt（Y·V）=ρt（ρt+1（X））=ρt（X）和X-Y·V=X-ρt+1（X）∈ 在+1处。反之，ρt（X）=ρ（Z·V+（X-Z·V）≤ ρ（Z·V）+ρ（X-Z·V）所以如果X-Z·V∈ +1时ρt（X）≤ ρt（Z·V）。我们在有限样本空间中演示了可预测的时间一致性Ohm 有迹象表明平均风险值的版本发生了变化。示例2.8（平均风险价值）。考虑过滤概率空间Ohm = {1，2，3，4}带Ftrival，F=σ（{1，2}，{3，4}），F=2Ohm= F（描述两个时间步上的二叉分支树）。定义AVaR，平均风险价值定价度量，byAVaR（X）：=λZλqX（α）dα，其中qX（α）=inf{X∈ R:P[X≤ x] >α}。我们可以代表AVaR asAVaR（X）=supQ∈QλEQ[X]，其中Qλ=概率测度Q<< P:dQdP≤λ,注意标志变更，使AVaR成为一种定价措施；见【10】第4.4节。

我们设置λ=，而客观测度由P[{1}]=，P[{2}]=P[{3}]=，和P[{4}]=。为了便于记法，我们用原子上概率测度Q的值Q（{i}）=：qi来表示概率测度Q，类似地，我们为随机变量X写X（i）=xi：Ohm → R、 很容易看出，表示集Qλ是Qλ={Q=（Q，Q，Q，Q）：Xi=1qi=1，0≤ q≤, qi公司∈ [0，1]表示i=2，3，4}。Qλ是6个点的凸包：Qλ=conv{（，，0，0），（，0，0），（，0，0，，）（0，1，0），（0，0，1，0），（0，0，0，0，0，1）}时间-0可接受的要求集isA={X=（X，X，X，X）：Xi=1qixi≤ Q为0∈ Qλ}。很明显，X∈ Aif且仅ifPi=1qixi≤ Qλ的六个极值点Q中的每一个都为0。这六个不等式简洁地概括为asA={X=（X，X，X，X）：xi≤ 0表示i=1、2、3、4；或x≥ 0和xi≤ -xfor i=2，3，4}。定义X：={1}-{2,3,4}。那么很明显a={αX- β：α≥ 0，β∈ L∞+}.time-1验收集isA={X=（X，X，X，X）：qx+qx≤ 0和qx+qx≤ Q为0∈ Qλ}=L∞-.索赔（AVaR，AVaR）与时间不一致。证据很容易检查AVaR（X）=0，AVaR（X）={1,2}-{3,4}，thusAVaR（AVaR（X））=AVaR（{1,2}-{3,4}）=1>0=AVaR（X）。现在我们设置V=（V，V），其中V≡ 按惯例为1，v=X+2，因此v=3{1}+{2,3,4}>0。索赔AVaR是可预测的V时间一致性。证据对于任何可接受的风险X∈ Awe可设置X=αX-β、 其中β是事件{1}上取值为0的非负随机变量。我们通过在vand中保留α来保留X-现金v中的2α，给出了从可接受ris ks X到v:Y中初始储备投资组合的映射Y=-2αα. （2） 显然Y·V=αX.SetY=-（2α+β（2））{1,2}- （α+β（3）∧β（4））{3,4}（α+β（2））{1,2}, （3） 所以y·V=αX- β（2）{2}- β（3）∧ β（4）{3,4}。现在，我们有了AVaR（X- Y·V）≤ 0，AVaR（X- Y·V）≤ 0和AVaR（Y·V）=AVaR（X）和AVaR（Y·V）=ρ（X），根据需要。