关于一致性风险度量的索赔表示和套期保值

我们通过设置deqdp=∧MM=4×{1}来形成度量Q∧和qm的时间1粘贴。这里，Pi=1eqi=1>，soeQ 6∈ Q、 并且集合Q不是m-稳定的。现在，setV=1.√{1} +1，√{3} +1个.Q是V-m-稳定的，我们计算等式[V | F]，如例2.8所示，以了解对于Q，Q′∈ Q、 我们的附加条件是qq{Q+Q>0}=Q′Q′{Q′+Q′>0}，并且qq{Q+Q>0}=Q′Q′{Q′+Q′>0}。因此，我们可以看到，任何粘贴Q⊕t=1Q′这说明该条件实际上等于Q，这在Q.3.3现金流准备金中有所不同。我们使用Acciaio、F¨ollmer和Penner的符号描述了财富过程的概率方法【1】。如前所述，我们确定了终端时间T<∞, 离散时间集T：={0，1，…，T}，和离散基(Ohm, F、 （Ft）t∈T、 P）。论产品空间Ohm := Ohm ×T，定义可选σ-代数直到T∈ T asFt：=σ（As×{s}，At×Tt:s≤ t、 作为∈ Fs），其中Tt：={t，t+1，…，t}，F：=FT。确定参考概率度量P：=P u开(Ohm, F） 通过exp-ctationEP[X]=E“TXs=0Xsus#其中E=EPandu是T上的可选随机概率度量，即，一个Ft自适应过程，使得所有T的uT>0∈ T和PT∈TuT=1。我们使用下划线表示标准符号的多周期变体；例如L∞:=L∞(Ohm, F、 P）是扩展概率空间上所有有界随机变量的空间(Ohm, F、 P），其元素也可被视为过程X=（Xt）t∈T、 我们写L（Rd+1）：=L(Ohm, F、 P；Rd+1）（分别为L∞（Rd+1）），对于P-可积（分别有界）随机变量x，每个x是Rd+1值，对于t∈ T、 L的非负元素∞用L表示∞+, andFt L的可测元素∞用L表示∞t、 对于0≤ t型≤ s≤ T，定义投影πs，T:L∞→ L∞πs，t（X）r={s≤r} Xr公司∧t、 对于r∈ T、 定义R∞为适应流程X∈ L∞, 并设置R∞t、 s=πs，t（R∞) 和R∞t=πt，t（R∞).

我们使用符号X | t表示条件期望EP【X | Ft】≡ E【X | Ft】，可视为一个过程，在时间t后为常数；我们写XT来表示过程X的时间t实现。我们注意到，过程ρt:R的定价度量之间存在一对一的对应关系∞t型→ L∞tand定价措施ρt:R∞→ L∞t随机变量开启Ohm配备可选σ-代数，通过ρt（X）=t-1Xs=0Xs{s}+ρt（πt，t（X））Tt。（9） 4主要结果的证明证明涉及较少。我们表明（i）=> （二）<=> （iii）。然后注意到（见Remark2.12）（iii）在过滤（Ft，…，Ft）上暗示了相同的结果，我们推断出（ii）的时移版本为（i）。我们将使用以下引理：引理4.1。假设每个t∈ T、 Ct E是一个闭凸锥。那么(∩tCt）*=conv公司{∪tC公司*t} =⊕tC公司*t、 证明。第一个等式是众所周知的，第二个等式是明确的。定理2.17的证明。（一）=> （ii）我们首先展示权利要求4.2。εt（X）：=ess inf{ρt（Y·V）：Y∈ L∞t+1（Rd+1）和X- Y·V∈ At+1}是一种条件一致性风险度量，其接受集bt由kt（V）·V+At+1给出。（10） 现在（i）意味着Bt=At，因此，从这个结果来看，意味着（i）=> （i i）是通过归纳得出的即时序列。注意，通过类似的论证，很容易看出（i）等同于each t的陈述，At（V）=⊕T-1tKt（A，V）。（11） 很容易证明ε是一个条件一致的风险度量。仍需显示（10）。包括Bt Kt（V）·V+At+1，设X∈ 我们首先证明了集合St（X）：={ρt（Y·V）：Y∈L∞t+1（Rd+1）和X-Y·V∈ At+1}向下。要看到这个，拿Y，Z∈ L∞t+1（Rd+1）使X-Y·V∈ 在+1和X处-Z·V∈ 在+1处。设F={ρt（Y·V）≤ ρt（Z·V）}和定义W=X1F+y1fc。然后W∈ L∞t+1（Rd+1）和X- W·V∈ 在+1处。

那么ρt（W·V）=ρt（Y·V）1F+ρt（Z·V）1Fc=min（ρt（Y·V），ρt（Z·V））。因此，存在一个序列Yn∈ St（X）使得an：=ρt（Yn·V）↓ εt（X）。设置Un：=Yn+（εt（X）-an）e，其中e：=（1，0，…，0），很明显∈ Kt（V）·V.定义Xn：=Un·V+（X-Yn·V）我们看到Xn∈ Kt（V）·V+At+1，序列Xn=X+εt（X）- anis统一有界，并将s a.s.转化为X.T，因此X N弱覆盖e s*到X和so X∈Kt（V）·V+在+1。证明包含BtKt（V）+At+1，假设X∈ 在+1和Y处∈ Kt（V）。然后明确ρt（Y·V）∈ St（Y·V）和soεt（Y·V）≤ ρt（Y·V）≤ 0，对于X∈ 在+1处，我们有εt（X）≤ ρt（0）=0，soεt（X+Y·V）≤ εt（X）+εt（Y·V）≤ 0，以便X+Y·V∈ Bt.因为Bt很弱*-关闭，结果如下。（ii）和（iii）的等价性假设B是弱的*-L中的闭凸co ne∞（Rd+1）是无套利的，因此b**= B、 定义（B）：={X∈ L∞（Ft+1，Rd+1）：αX∈ B表示任意α∈ L∞+（英尺）}。回想一下Bt={X∈ L∞（FT，Rd+1）：αX∈ B表示任意α∈ L∞+（Ft）}和B是可预测的代表性IFB=⊕T-1t=0Ks（B）。我们将（ii）和（iii）重新表述为（ii’）B是可预测的r代表；和（iii’）B*可预见的稳定。因为我们将其应用于B=A（V）的情况，所以这是必要的。（ii’）=> （iii’）：假设B是可预测的代表，则从定理2.22得出=⊕T-1t=0Ks（B）w*=⊕T-1t=0毫秒（B*)*w*.拿着双卡，我们发现B*= ∩T-1s=tMs（B*)**= ∩T-1t=0convMs（B*)其中las t等式源自局部共凸拓扑向量空间的双极定理（参见[14]中的Fenchel-Moreau对偶定理）。因此，B*= [B]*], 引理2.21，B*是可预测的。（iii’）=> （ii’）：假设B是弱*-闭凸锥，注意B*是（L，σ（L，L）中的凸锥∞)). 进一步假设B*是稳定的，B*= ∩tMt（B*) 按引理2.20=∩tKt（B）*按公式。

（8） 。现在我们可以应用引理4.1来推导b≡ B**=⊕T-1t=0Ks（B）w*根据需要，B是可预测的可表示的。现在我们证明（iii）意味着（ii）“的统一、时移版本：At（V）=⊕T-1s=tKs（A，V），这对于（i）保持有效。但观察结果表明（iii）“意味着过滤条件相同（Ft，…，Ft）”。剩下的就是给出定理2.22的证明。如上所述，我们设置B=A（V）。首先我们证明Mt（B*)  Kt（B）*. 对于任意Z∈ Mt（B*), 存在Z′∈ B*和α∈ 带αZ′的L+（Ft）∈ Land Z | t+1=αZ′t+1。注意，对于任何X∈ Kt（B），E[Z·X]=E[Z | t+1·X]=E[αZ′t+1·X]=limn→∞E[（α{α≤n} X）·Z′t+1]≤ 0，自α{α≤n} X个∈ B和Z′∈ B*. 因此Z∈ 由于Z是任意的，我们已经证明了mt（B*)  Kt（B）*.对于反向夹杂物，Mt（B*)* Kt（B），注意B* Mt（B*) 表示Mt（B*)* B、 安德尔∞+（Ft）Ms（D）=Ms（D）==> 对于X∈ Mt（B*)*, g级∈ L∞+（英尺），E【X·gZ】≤ 0个==> L∞+（Ft）Mt（B*)*= Mt（B*)*.定义：={X∈ L∞（英尺，Rd+1）：gX∈ B代表任何g∈ L∞+（英尺）}。因此Mt（B*)* Bt.为了完成证明，我们只显示X∈ Mt（B*)*Ft+1-可测量，因为Bt∩ L∞（Ft+1，Rd+1）=Kt（B）。为此，请注意，对于任何Z∈ L（Rd+1），Z- Z | t+1∈ Mt（B*), E[（Z）的位置-Z | t+1）·X]≤ 我们推导出e[（Z- Z | t+1）·X]=E[（X-X | t+1）·Z]≤ 0Z∈ L（Rd+1），X=X | t+1P-a.s。。参考文献[1]Beatrice Acciaio、Hans F¨ollmer和Irina Penner。不确定现金流的风险评估：模型模糊性、贴现模糊性和泡沫的作用。《金融与随机》，16（4）：669–7092012。[2] Delbaen F.Eber J.-M.Artzner，P和D.Heath。连贯地思考。风险，风险10:68–711997。[3] 菲利普·阿兹纳、弗雷迪·德尔伯恩、让-马克·埃布·埃雷和大卫·希思。一致的风险度量。数学金融，9（3）：20 3–228，1999年。[4] 法比奥·贝利尼和伊曼纽拉·罗萨扎·贾宁。关于海森顿克风险度量。

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