粗糙Heston模型中的完美套期保值

回想一下T heorem3.1，νT-2αNTT法律侵权。因此，我们首先寻找∈ R表示w[exp（aνT-2αNTtT）]<∞, （10） 对于较大的enou gh T>0和固定的T>0。这是使用霍克斯过程的总体解释来完成的，见附录C。1、它引导我们在∈ R表示（9）。此外，我们能够明确计算（10）中的期望值，见附录C.1。因此，我们可以传递到极限，当T到达单位时，然后得到（9）中期望的显式表达式。更准确地说，我们得到了以下结果，其证明见第5.2条，其中a（t）由a（t）=2ν（λ+αt定义为t>0-αΓ（1- α） ）。定理3.2。设V为广义粗糙Heston模型（3）的方差过程。对于任何t>0和a<a（t），Eexp（aZtVsds）< ∞安第斯山脉exp（aZtVsds）= 经验值Ztg（a，t- s） （λθ（s）+Vs-αΓ（1- α） ）ds,其中g（a，.）是以下分数Riccati方程的唯一连续解：Dαg（a，s）=a- λg（a，s）+νg（a，s），s≤ t、 I1-αg（a，0）=0。对于任何0≤ s≤ t、 该功能满足（a，s）≤cναs-αΓ（1- α） +νpa（s）- 一对于某些常数c>0。此外，对于固定的0≤ s≤ t、 a→ g（a，s）为非递减ands→ 如果a<0，g（a，s）在[0，t]上不增加，如果a>0，g（a，s）不减少。让St表示定义2.1的广义Rough-Heston模型中的价格。利用（8），我们得到了关于St.Corolution 3.1矩的以下推论。让t>0。假设λ- ρνa>0，a-（t） <a<a+（t），其中-（t） =ν- 2ρνX（t）+p（t） 2ν（1- ρ） ，a+（t）=ν- 2ρνX（t）-p（t） 2ν（1- ρ） ，x（t）=λ+αt-αΓ（1- α） ，则，（t） =4νX（t）+ν- 4ρνX（t）。然后我们有[（St）a]<∞.此外，E[（St）a]=（S）aexpZth（a，t- s） （λθ（s）+Vs-αΓ（1- α） ）ds,其中h（a，.）是以下分数Riccati方程的唯一连续解：Dαh（a，s）=a- 一-（λ- ρνa）h（a，s）+νh（a，s），s≤ t、 I1-αh（a，0）=0。备注3.1。

注意，如果我们在推论3.1中正式取α=1，我们的模型与经典的赫斯顿模型一致。在这种情况下，X（t）=λ，因此a-a+不依赖于ont。此外∈ R使得λ- ρνa>0，a-≤ 一≤ a+，正好对应于a的∈ R，其中t型≥ 0，E[（St）a]<∞,有关经典He-ston模型的力矩爆炸的更多详细信息，请参见[2]。推论3.1的证明：回想一下（8），E[（St）a]=（S）aEQ[经验((-a+a）ZtVsds）]。根据定理3.2以及在Q下，V紧随（7）的事实，如果λ-ρνa>0和(-a+a）<a（t）=2ν（￠λ+αt-αΓ（1- α） ）=2ν（λ- ρνa+αt-αΓ（1- α） ）。这相当于aν（1- ρ） +a(-ν+2X（t）ρν）- X（t）<0。a上的条件∈ 下文推论3.1中所述的R。最后，利用（8）和定理3.2.3.3，可以很容易地得到E[（St）a]的表达式。我们现在可以推导出广义粗糙赫斯顿模型的特征函数。让t>0。我们要计算（z，t）=E经验值z日志（St/S）,其中z∈ C满意度=a+ib，a，b∈ R、 λ- ρνa>0，a-（t） <a<a+（t），（11），其中a-（t） 和a+（t）在推论3.1中定义。回想一下推论3.1，（11）意味着expz日志（St/S）是可积的，并且在R（z，t）之前定义得很好。使用与前面章节中相同的计算，我们得到R（z，t）=公式经验值ibρZtpVsdBQs+（ρb+z- z） ZtVsds. （12） 如前所述，在Q下，V仍然遵循由布朗运动BQ驱动的广义粗糙赫斯顿模型的方差过程，参见（7）。因此，我们需要研究y（z，x，t）=E经验值ixZtpVsdBs+zZtVsds,带x∈ R、 z∈ C使R（z） <a（t），（a（t）在定理3.2中定义），V是广义粗糙赫斯顿模型的方差过程。

为此，我们再次使用定理3.1。确实（νT-2αNTtT，νT-αMTtT）随着T到（RTVSD，Rt√VsdBs）。计算[经验ixνT-αMTtT+zνT-2αNTtT]通过g的极限，我们得到以下结果，其证明见第5.3节。定理3.3。设V为广义粗糙Heston模型（3）的方差过程。对于任何t>0，b∈ R和z∈ C使R（z） <a（t），G（z，x，t）=expZtξ（z，x，t- s） （λθ（s）+Vs-αΓ（1- α） ）ds,式中ξ（z，x，.）是以下分数Riccati方程的唯一连续解：Dαξ（z，x，s）=z-x+（ixν- λ） ξ（z，x，s）+νξ（z，x，s），s≤ t、 I1-αξ（z，x，0）=0。下面的推论很容易从定理3.3和（12）中得到。推论3.2。设t>0和z∈ C满足（11）。我们有r（z，t）=expZth（z，t- s） （λθ（s）+Vs-αΓ（1- α） ）ds,其中h（z，.）是以下分数Riccati方程的唯一连续解：Dαh（z，s）=（z- z） +（zρν- λ） h（z，s）+νh（z，s），s≤ t、 I1-αh（z，0）=0.3.4与前向方差曲线的关系我们现在展示了如何将推论3.2中给出的特征函数写成前向方差曲线的函数（E[Vt]）≥在计算对冲投资组合时，此属性在下一节中至关重要。我们首先指出，时间相关参数θ可以通过以下结果直接与前向方差曲线联系起来。提案3.1。设V为广义粗糙Heston模型（3）的方差过程。对于任何t≥ 0，我们有e[Vt]=V1.- Fα，λ（t）+Ztfα，λ（t- s） θ（s）ds，（13）其中Fα、λ和Fα、λ在附录A中定义。1、此外，θ可以写成前向方差曲线的函数，如下所示：λθ（t）+Vt-αΓ（1- α） =DαE[Vt]+λE[Vt]，t>0。（14） 命题证明3.1：以与[16]相同的方式，我们可以证明f或任何t≥ 0，E【ZtVsds】<∞.所以我们有t→ E[Vt]是局部可积的。

此外，fα，λ是平方可积的，参见附录A。因此，对于任何t≥ 0，Ztfα，λ（t-s） E[Vs]ds<∞.因此，E[Ztfα，λ（t- s） pVsdBs]=0。将V的动力学写成如下形式，如【16】：Vt=V1.- Fα，λ（t）+Ztfα，λ（t- s） θ（s）ds+νλZtfα，λ（t- s） 我们推导出（13）。现在使用Fubini定理并注意到I1-αfα，λ=λ（1- Fα，λ），见附录A。1，对于任何t≥ 0，I1-αE【Vt】=Vt1-α（1- α） Γ（1- α） +Ztλ1.- Fα，λ（t- s）（θ（s）- 五） ds。再次使用Fubini，可以重写1-αE【Vt】=Vt1-α（1- α） Γ（1- α） +Ztλ（θ（s）- 五） ds公司- λZtZsfα，λ（s-u） （θ（u）-五） 哑弹。然后我们从（13）中得出-αE【Vt】=Vt1-α（1- α） Γ（1- α） +Ztλ（θ（s）- 五） ds公司- λZt（E[Vs]- 五） ds。通过区分这最后一个等式，我们最终获得（14）。备注3.2。假设前向方差曲线t→ 通过隐含波动率表面或流动性方差掉期在市场上观察到E[Vt]，并且该曲线允许α阶分数导数。然后，可以选择均值回归函数θ，以便通过取λθ（t）=Dα（E[V]），使模型与该市场远期方差曲线一致- 五） （t）+λE[Vt]。根据推论3.2和命题3.1，我们最终可以将原木价格的特征函数写成远期方差曲线的函数。因此，这表明在广义粗糙赫斯顿模型中，前向方差曲线是一个相关的状态变量。此类现象也出现在【6】中开发的模型类别中。更准确地说，我们有以下推论。推论3.3。设t>0和z∈ C满足（11）。

我们有r（z，t）=expZtχ（z，t- s） E[Vs]ds,其中χ（z，t）=（z- z） +zρνh（z，t）+νh（z，t），带h（z，.）推论3.2中给出的分数阶Riccati方程的唯一连续解。因此，对数价格的特征函数和条件特征函数可以用前向方差曲线表示。这表明该对象在这个有限维分数设置中扮演着状态变量的角色。实际上，这一结果可能可以在一个更一般的流程框架中理解，请参见[1，8]。推论3.3的证明：Lemma。附录中的2，对于任何0≤ s≤ t、 h（z，s）=Zsλfα，λ（s- u） χ（z，u）du。（16） 此外，从（13）以及I1-αfα，λ=λ（1- Fα，λ），见附录dix A.1，我们有e[Vs]=ZsλFα，λ（s- u） （λθ（u）+Vu-αΓ（1- α） ）du。然后，使用Fubini-th-eorem，我们得到ztχ（z，t- s） E[Vs]ds=ZtZt公司-sλfα，λ（t- s- u） χ（z，u）du（λθ（s）+Vs-αΓ（1- α） ）dsand thereforeZtχ（z，t- s） E[Vs]ds=Zth（z，t- s） （λθ（s）+Vs-αΓ（1- α） ）ds。结果来自推论3.2.4广义粗糙Heston模型下的套期保值我们考虑广义粗糙Heston模型，并附加假设ρ≤ 在本节中，我们将展示如何在CH模型中明确计算香草期权的套期保值组合。我们在这里处理的是一个欧洲看涨期权的情况，其到期日T>0，strikeK>0。尽管如此，应用程序roach可以很容易地扩展到其他香草口味。很容易看出，我们可以找到一个>1的值，这样推论3.1的条件就可以满足任何≥ 因此，对于任何t≥ 0，E[（St）a]<∞.我们定义了看涨期权价格过程CT=E[（ST- K） +|英尺]，0≤ t型≤ T、 We writeXt=log（St），T≥ 0和g（x）=e-ax（ex- K） +，x∈ R、 我们有g∈ L（R）∩ L（R）和因此g（x）=2πZb∈R^g(- b） eibxdb，其中^g∈ L（R）∩ L（R）是g的fourier变换。

请注意，我们能够明确地计算^g：^g（b）=e（1-a+ib）对数（K）（ib- a） （ib）- a+1），b∈ R、 然后，我们用Fubin i定理推导出Ct=E[g（XT）eaXT | Ft]=2πZb∈R^g(- b） PTt（a+ib）db，（17），其中PTt（a+ib）=E[经验值（a+ib）XT|英尺]。利用条件为Ft的S仍然遵循广义粗糙Heston动力学方程和推论3.3的事实，我们得到了[exp（a+ib）对数（ST/ST）| Ft] = 经验值ZT公司-tχ（a+ib，t- t型- s） E[Vs+t | Ft]ds,其中χ在推论3.3中定义。因此，PTt（a+ib）=exp（a+ib）对数（St）+ZT-tχ（a+ib，t- t型- s） E[Vs+t | Ft]ds. （18） 因此，从（18）中，我们推断PTt（a+ib）是在到期日T:E【Vt+u | Ft】，0≤ u≤ T- t、 LetVα，λ={ξ：R+→ R+，ξ（t）=Zts-αλΓ（1- α） fα，λ（t- s） θξ（s）ds，θξ在R+}上是连续的。空间Vα，λ是一个包含V+α，λ={ξ∈ Vα，λ，θξ>0，对于任何t>0，θξ（t）=ξ（0）+tαλΓ（1-α） θξ（t），θξ满足度（5）}，这是由广义粗糙Heston模型生成的所有可能的前向方差曲线集。注意，通过与命题3.1相同的计算，我们得到了每个ξ的函数θξ的不等式∈ Vα，λ，因为我们有θξ（t）=Dαξ（t）+λξ（t）Γ（1- α） tα，t>0。我们为Vα，λ配备以下完整度量：dα，λ（ξ，ζ）=k |θξ- θζ|∧ 1公里∞.从（17）和（18）中，我们得出现货价格和远期方差曲线是买入价格过程的相关状态变量。的确，存在一个确定性泛函：R+×R*+×Vα，λ→ R使CT=CT- t、 St，（E[Vs+t | Ft]）s≥0, t型∈ [0，T]，其中任何T≥ 0，S∈ R+和ξ∈ Vα，λCt、 S，ξ=2πZb∈R^g(-b） L（a+ib，t，S，ξ）db，（19）其中L（a+ib，t，S，ξ）=exp（a+ib）对数+Ztχ（a+ib，t- s） ξ（s）ds.在第5.4节证明的以下命题中，我们给出了泛函C的一些有用的正则性性质。命题4.1。

Letξ∈ V+α，λ，S>0，t>0，并假设|ρ|<1。（19）中定义的函数C（t，，，ξ）在S中是可微分的，其导数如下所示：SC公司t、 S，ξ=2πZb∈Ra+ibS^g(- b） L（a+ib，t，S，ξ）db。此外，函数C（t，S，.）在ξ中Fr'echet的意义上是可区分的，导数如任何ζ∈ Vα，λ，VC公司t、 S，ξ）。ζ=Zt2πZb∈R^g(- b） L（a+ib，t，S，ξ）χ（a+ib，t- s） 数据库ζ（s）ds。本节结束时，我们将陈述我们的结果，说明如何通过交易基础和远期方差曲线来构建对冲投资组合。定理4.1。任何时候t∈ [0，T]，我们有ct=C+ZtSC（T-u、 苏，E【V.+u | Fu】）dSu+ZtVC（T-u、 苏，E【V.+u | Fu】）。（dE【V.+u | Fu】），其中VC（T- u、 苏，E【V.+u | Fu】）。（dE[V.+u | Fu]）表示-u2πZb∈R^g(-b） L（a+ib，T- u、 Su，E[V.+u | Fu]）χ（a+ib，T-u- s） 数据库dE[Vs+u | Fu]ds，其中dE[Vx | Fu]是鞅Mu=E[Vx | Fu]u时的Ito微分，u≤ x、 备注4.1。我们实际上也证明了de[Vs+u | Fu]=λfα，λ（s）νpVudBu。第5.5节给出了Th eorem4.1的证明。这一结果表明，在标的资产和远期方差曲线可以（连续时间）交易的理想情况下，广义粗糙Heston模型可以获得完美的复制。当然，在实践中，这一策略将被离散化，在e上将使用流动性方差掉期或欧洲期权，而不是远期方差曲线。备注4.2。有趣的是，价格函数C（t，S，ξ）是aFeynman-Kac型路径依赖偏微分方程的解。

让我们根据时间t>0定义以下导数：tC（t，S，ξ）=limε→0+εC（t- ε、 S，ξε+）- C（t，S，ξ）.我们很容易得到，L（a+ib，t，S，ξ）是以下路径相关PDE的解：0=tL+（Spξ）SL+（νpξ）VL。（λfα，λ，λfα，λ）+ρ（Spξ）（νpξ）S、 VL。（λfα，λ），初始条件L（a+ib，0，S，ξ）=Sa+ib。如命题4.1所示，我们可以证明C在S和i n V中是两次可微的（在V的Fr′echet意义上），并且tC定义明确。因此，我们可以推断C满足相同路径依赖的PDE：0=tC+（Spξ）SC+（νpξ）VC。（λfα，λ，λfα，λ）+ρ（Spξ）（νpξ）S、 VC。（λfα，λ），初始条件C（0，S，ξ）=（S- K） +。请注意VC。（λfα，λ，λfα，λ）（分别为。S、 VC。（λfα，λ））是C的第二个Fr'echet导数（分别是SC）应用于（λfα，λ，λfα，λ）（分别为λfα，λ），即使λfα，λ不属于度量空间Vα，λ，也定义明确。5证明分数阶积分和导数的概念在证明中大量使用。附录A.5.1理论证明2.1中给出了与之相关的符号、定义和有用结果。通过使用随机富比尼定理，我们可以发现Vttconditional on ft1的动态-αV是s-emi鞅，对于t>0，（I1-αV）t=VZts-αΓ（1- α） ds+Ztλ（θ（s）-Vs）ds+ZtνpVsdBs。因此，Γ（1- α） Zt+t（t+t- u）-αVudu等于Γ（1- α） Zt（t-u）-αVudu+VZt+ttΓ（1- α） u型-αdu+Zt+ttλ（θ（u）-Vu）du+Zt+ttνpVudBu。使用变量更改，可将其写入Γ（1- α） Zt（t-u）-αVudu+VZtΓ（1- α） （t+u）-αdu+Ztλ（θ（u+t）-Vtu）du+ZtνqVtudBtu，其中（Btt）t≥0=（Bt+t- Bt）t≥0是独立于Ft的布朗运动。

此外-αVtt=Γ（1- α） Zt（t- u）-αVtudu=Γ（1- α） Zt+tt（t+t- u）-αVudu等于Γ（1- α） Zt+t（t+t- u）-αVudu-Γ（1- α） Zt（t+t- u）-αVuduand thatΓ（1- α）（t- u）-α- （t+t- u）-α=αΓ（1- α） Zt（t- u+v）-1.-αdv，我们导出1-αVtt=αΓ（1- α） ZtZt（t- u+v）-1.-αdvVudu+ZtΓ（1- α） （t+u）-αduV+Ztλ（θ（u+t）- Vtu）du+ZtνqVtudBtu。可按如下方式写入：Vtt1-α（1- α） Γ（1- α） +Ztλ（θt（u）- Vtu）du+ZtνqVtudBtu，（20）带（θt（u））u≥0a可测量且由θt（u）=θ（t+u）+αλΓ（1）定义的函数- α） Zt（t- v+u）-1.-α（Vv- Vt）dv+（u+t）-αλΓ（1- α） （五）- Vt）。θtIt的性质很清楚，θ在R上是连续的*+. 此外，很容易看出，对于任何大于0的u：θt（u）=θ（t+u）+αλΓ（1- α） Zt（t-v+u）-1.-αVvdv+λΓ（1- α） （V（u+t）-α-Vtu-α） 。由于V是一个非负过程，θ满足（4），我们得到θtalso满足（4）。最后，对于固定ε>0，V为α- 1/2- εH–older连续，几乎每个ω都存在∈ Ohm 正常数cε（ω），对于任何x，y∈ [0，t]：| Vx- Vy |≤ cε（ω）| x- y |α-1/2-ε。因此，通过部分积分，我们得到∈ （0，t）| Zt（t- v+u）-1.-α（Vv- Vt）dv |≤ cε（ω）Zt（t- v+u）-1.-α（t- v） α-1/2-εdv=cε（ω）u-1/2-εZt/u（x+1）-1.-αxα-1/2-εdx≤ cε（ω）u-1/2-εZ∞（x+1）-1.-αxα-1/2-εdx。因此θtsatis fies条件（5）几乎可以肯定。证明结束，我们结束证明，注意到从（20）和随机Fubini定理中，我们有th atZtVtsds=Γ（α）Zt（t- s） α-1I1-αVtsdsis等于vtt+Γ（α）ZtZs（s- u） α-1λ（θt（u）- Vtu）duds+Γ（α）ZTZ（s- u） α-1νqVtudBtuds。因此，通过区分之前的等式，我们得出结论，（St，Vt）的动态由tt=Stexp给出ZtqVtudWtu-ZtVtudu,Vtt=Vt+Γ（α）Zt（t- u） α-1λ（θt（u）- Vtu）du+Γ（α）Zt（t- u） α-1νqVtudBtu，其中（Wtt）t≥0=（重量+t- 重量）t≥0是独立于Ft的布朗运动，与Bt相关ρ。5.2理论证明3.2我们在这里处理假设3.1中定义的Hawkes过程序列。

为t重新调用≥ 0，来自定理3.1，νT-2αNTtT，当T到ZTVSD的单位时，在定律上收敛，其中V是分数阶随机微分方程（3）的解。定理3.2的一个关键步骤是证明∈ R、 E[exp（aνT-2αNTtT）]-→T→∞E[实验（aZtVsds）]。（21）将附录C.1中的（31）应用于霍克斯过程NT，我们编写了[exp（aνT-2αNTtT）]=经验ZtλζT（T（T- s） ）gT（a，s）ds,with gt（a，t）=ν-2Tαexp（aνT-2α）E[exp（aνT-2αNf，TtT）]- 1.,其中，Nf是儿童集群的霍克斯过程（移民率和内核数），见附录C。1了解详情。此外，从引理A.5来看，λζT（ts）随着Tgo es向λθ（s）+Vs的方向收敛-αΓ（1- α） ，0<s≤ t、 因此，剩下来研究函数gT的收敛性。从现在起，GTC的一致有界性表示从一行到另一行可能变化的正常数。根据附录C中的（30），对于每个t>0，gT（a，t）<∞ （22）提供edaνT-2α≤ZtTИT-1.- 日志（ZtTДT）。此外，请注意附录A。1，T2αZtTИT- 1.- 日志（ZtTИT）-→T→∞（λ+αt-αΓ（1- α） ）。因此，对于足够大的T>T（a，T，λ，ν）和a<a（T），且a（T）=2ν（λ+αT，性质（22）是满足的-αΓ（1- α） ）。此外，作为Nf，T≤ N∞,T（即附录C.2中定义的高尔顿-沃森过程），使用附录C.2中的（34），我们得到[exp（aνT-2αNf，TtT）]≤Xn公司≥0νT（T）ne-νT（T）（n+1）n！（n+1）n-1eaνT-2αn，其中νT（T）=RtTνT。从（34）中也很容易看出（通过取a=0和ν=1 in（34）），1=Xn≥0e-（n+1）n！（n+1）n-因此，我们得到gt（a，t）≤ ν-2TαXn≥0e-（n+1）n！（n+1）n-1.νT（T）ne（1-νT（T））（n+1）eaνT-2α（n+1）- 1.=ννT（T）TαXn≥0e-（n+1）n！（n+1）n-1.外部（t）（n+1）- νT（T）,式中，xt（t）=1- νT（T）+log（νT（T））+aνT-2α，T>T（a，T，λ，ν）时为非正。