粗糙Heston模型中的完美套期保值

存在一个正常数c，使得对于任何T>1/λ-1/α和t∈ （0，1）：ζT（tT）≤ c（1+t-αΓ（1- α） ）。LemmaA证明。4： 注意，根据Remark3.1，我们得到ζT（tT）=ZtTИT（tT- u） θ（u/T）du+VTαλZ∞tTД（s）ds+λT-αZtTД（s）ds.感谢附录A。1，每个t都有∈ （0，1）：TαZ∞tT^1≤ ct-α、 此外，通过使用条件（5）和α>1/2的事实，我们为每个t∈ （0，1）：θ（t）≤ ct-α。因此：ζT（tT）≤ cZtT^1（T T- u） （单位：吨）-αdu+c（1+t-α） 。使用附录A。1，我们获得了ZTTИ（T T- u） （单位：吨）-αdu=Γ（1- α） TαZ∞tT^1≤ ct-α、 这就结束了证明。引理A.5。对于每个t∈ （0，1），当T趋于完整时，由假设3.1定义的ζT（tT）趋于vt-αλΓ（1- α） +θ（t）。LemmaA证明。5： 让t>0。我们有ζT（tT）=aTZtTИ（T（T- s） ）θ（s）ds+VTαλZ∞tTД（s）ds+λT-αZtTД（s）ds.此外，来自附录A。1，VTαλZ∞tTД（s）ds+λT-αZtTД（s）ds转换到VT-αλΓ（1- α） 。此外，由于θ在t中是连续的，对于任何ε>0，存在η>0，使得f或任何∈ [t- η、 t]，|θ（s）- θ（t）|≤ ε。因此来自附录A。1加上Д不增加的事实，我们得到ZtT^1T（T- s）θ（s）- θ（t）ds公司≤ εZTηД+ZT-ηTДT（T- s）（|θ（t）|+|θ（s）|）ds≤ ε+TД（Tη）Zt（|θ（T）|+|θ（s）|）ds≤ 2ε表示足够大的T。ThusRtTИ（T（T- s） ）θ（s）ds收敛于θ（t）。引理A.6。Ifθ：（0，1]→ 满足条件（5），则对于任何0<ε<α- 1/2，t→Ztfα，λ（t-s） θ（s）dshas H–older光滑度α- 1/2- ε在[0，1]上。LemmaA证明。6： 利用[16]中的命题A.2，我们得到了任何η∈ （0，α），Ztfα，λ（t- s） θ（s）ds=ZtDηfα，λ（t- s） Iηθ（s）。取η=1/2+ε，我们得到Iηθ是有界函数。然后，利用[16]中的命题A.3，我们得到我们的函数具有等于α的H¨older正则性- η=α- 1/2- ε。让x≥ 0、我们定义（x）=Xn≥0（n+1）3/2（1- e-x（n+1））。我们有下面的引理。引理A.7。

存在c>0，因此对于任何x≥ 0:S（x）≤ c√x、 LemmaA证明。7： 我们有（x）=Xn≥0（n+1）3/2（1- e-x） X0≤k≤东北-kx。可以重写（x）=（1- e-x） Xk公司≥0ξke-kx，ξk=Pn≥k（n+1）3/2，相当于2/√k+1，因为k趋于完整。因此存在c>0，因此对于任何x≥ 0:S（x）≤ c（1- e-x） Xk公司≥0√k+1e-（k+1）x。我们使用thatXk得出结论≥0√k+1e-（k+1）x≤Xk公司≥0Zk+1k√ye公司-yxdy=Γ（1/2）√X与1的事实一致- e-x个≤ cx。广义rougheston模型命题B.1中价格的鞅性质。定义2.1中广义粗糙Heston模型定义的过程是F鞅。命题B的证明。1： 设t>0，使1/2<a（t）。根据定理3.2，Novikov的准则是：E[exp（ZtVsds）]<∞.因此（Su）0≤u≤这是一个m artin gale和E[St]=S。现在，假设对于给定的n∈ N、 E【Snt】=S。回想一下，在Fnt的条件下，（Sntt，Vntt）t定律≥0=（St+nt，Vt+nt）t≥0仍然是具有以下动态的粗糙赫斯顿模型：dSntt=snttqvntdwnttvntt=Vnt+Γ（α）Zt（t- u） α-1λ（θnt（u）- Vntu）du+Γ（α）Zt（t- u） α-1νqVntudBntu，其中θnti是几乎肯定满足条件（4）和（5）的Fnt可测函数，且（Wnt，Bnt）=（W.+nt- Wnt，B.+nt- Bnt）是独立于Fnt的布朗运动。由于1/2<a（t），我们又有了Novikov的准则[exp（ZtVntsds）| Fnt]<∞.因此，E[Sntt | Fnt]=sn和soE[S（n+1）t]=E[Snt]=S。因此，对于任何n∈ N、 E[Snt]=S，结束证明。Hawkes过程的C矩性质在e维Hawkes过程N上考虑a，强度λt=u（t）+ZtД（t- s） dNs，使得u，Д：R+→ R+是局部可积的andR∞^1<1。我们对a>0的有效条件感兴趣，以便E[eaNt]<∞. （29）我们将展示（29）所提供的≤Zt^1- 1.- 日志（ZtД）。

（30）为此，我们回顾了霍克斯过程的分支结构。C、 1霍克斯过程的分支结构我们记得，霍克斯过程N可以被视为一个种群过程，其中迁徙者按照强度为u的非齐次泊松过程nw移动。每一个迁移者都会根据非同质泊松过程的强度生孩子，迪奇儿童也会根据非同质泊松过程的强度生孩子，依此类推。因此，很容易看出，由移民创建的儿童ren集群具有霍克斯过程nf定律，具有相同的kern el函数，但具有移民率。因此，NFI的强度由以下公式给出：λft=Д（t）+ZtД（t- s） dNfs。利用霍克斯过程的分支结构，我们可以很容易地导出下列等式：Nt=Nt+X1≤k≤NtNf，kt-Tk此处为（Tk）k≥1是移民的到达时间和（Nf，k）k≥1是Nf的独立副本，与N无关。然后，我们可以显示≥ 0，E【eaNt】=经验值Ztu（t- s） （eaE[eaNfs]- 1） ds公司, （31）见【10】。这比Exp小Ztu（s）ds（eaE[eaNft]- （1）.因此，获得（29）isE[eaNft]<∞. （32）C.2高尔顿-沃森结构和指数动量让我们现在考虑霍克斯过程Nf。使用前一节中给出的人口解释，Nfis是到达时间t的移民和儿童的数量。让t>0。我们定义了流程N∞来自NF，如下所示：我们考虑N（0）t到达时间t的移民数量，这是一个泊松变量，参数ν=Rtν对于在时间Tk<t到达的每个移民，我们考虑移民在时间t期间的第二代子女数量，这也是一个带有参数ν的泊松变量，依赖于N（0）t。

我们用Xt表示所有这些孩子的集合，N（1）t=#（Xt）他们的总数对于集合Xnt的第n代的每个子代，我们考虑在时间t期间生成的子代的数量，这也是一个具有参数ν的泊松变量，与前几代无关。我们将所有这些子项的集合表示为Xn+1t，并将N（N+1）t=#（Xn+1t）表示它们的总数。很明显，Xt=Sn≥0xnT包含Hawkes进程的所有个体nF到达时间t。因此，N∞t=#（Xt）=Xn≥0N（n）t≥ Nft。因此，获得（32）isE[eaN]的充分条件∞t] <∞. （33）现在请注意（N（N）t）N≥0是高尔顿-沃森流程。实际上，N（N+1）t=X1≤k≤N（N）tξk，N+1；n≥ 0.其中（ξk，n）k，n≥1是具有参数ν的i.i.d泊松随机变量，与（k）t无关。我们通常有，参见示例【9】，P【N】∞t=n]=νne-ν（n+1）n！（n+1）n-因此，E[eaN∞t] =Xn≥0νne-ν（n+1）n！（n+1）n-1安。（34）使用S tirling公式，我们得到了νne-ν（n+1）n！（n+1）n-1ean~n→∞（νe1-ν+a）n√2πne1-ν因此（33）成立当且仅当νe1成立-ν+a≤ 1，相当于：a≤Zt^1- 1.- 日志（ZtД）。C、 3一个有用的等式让我们考虑g:R+→ R连续和a∈ R满足（30）。我们知道exp（Rtf（t-s） dNs）是可积的，其中f=a+ig。利用附录C.1中所示的霍克斯过程的分支结构，我们推导出以下等式：Ztf（t- s） dNs=Ztf（t- s） dNs+X1≤k≤NtZt公司-Tkf（t- Tk公司- s） dNf，堪萨斯州。因此，我们可以证明e[exp（Ztf（t- s） dNs）]=扩展Ztu（t- s） （ef（s）E[eRsf（s-u） dNfu]- 1） ds公司. （35）参考文献[1]E。Abi Jaber和S.Pulido。一个有效的Volterra过程。工作文件，2017年。[2] L。B、 Andersen和V.V.P Iterberg。随机波动率模型中的矩爆炸。《金融与随机》，11（1）：29–502007。[3] E。Bacry、S.Delattre、M.Ho Off mann和J.-F.Muzy。霍克斯过程的一些极限定理及其在金融统计中的应用。

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