粗糙Heston模型中的完美套期保值

因此gt（a，t）≤ννT（T）Tα（1- νT（T））。现在假设a≤ 0，我们再次使用Nf，T≤ N∞,Tand（34）获得ν-2TαXn≥0e-（n+1）n！（n+1）n-1.外部（t）（n+1）- 1.≤ gT（a，t）≤ 0、根据斯特林g公式，e-（n+1）n！（n+1）n-1.~n→∞p2π（n+1）。因此-cννT（T）TαXn≥0（n+1）3/2（1- 分机（t）（n+1））≤ gT（a，t）≤ 我们从Lemma推导。7该-cννT（T）p-T2αxT（t）≤ gT（a，t）≤ 因此，对于任何a<a（t）：| gT（a，t）|≤ cννT（T）Tα（1- νT（T））+p-T2αxT（t）.最后，注意tα（1- νT（T））→αt-αΓ（1- α） andT2αxT（t）→ ν（a（t）- a） ，随着时间的推移。最终，lim supT→∞|gT（a，t）|≤ cν-2.αt-αΓ（1- α） +νp（a（t）- （a）. （23）gTWe的一致收敛现在fix t>0且a<a（t）。函数t→ gT（a，t）是单调的，因此gT（a，0）=0，对于任何0≤ t型≤ t | gT（a，t）|≤ |gT（a，t）|。此外，从前面的部分来看，存在T（T，a，λ，ν）>0，这样就支持T≥T | gT（a，T）|<∞.因此，gT（a，.）一致有界于0≤ t型≤ 坦德T≥ T、 我们现在假设T≥ T、 将附录C.1中的（31）应用于霍克斯过程Nf，T，我们得到∈ [0，t]，νt-αgT（a，t）+1=经验νT-2αa+νT1-αZtИT（T s）gT（a，T- s） ds公司.通过取前面表达式的对数，我们写出νT-2αa+νT1-αZtИT（T s）gT（a，T- s） ds=νT-αgT（a，t）-νT-2αgT（a，t）- εT（T），其中| T3αεT |均匀分布在T中∈ [0，t]和t≥ T、 HencegT（a，T）=TZtаT（T s）gT（a，T- s） ds+aT-α+νT-αgT（a，t）+tανεt（t）。多亏了Lemma。1，gT（a，t）=aT1-αZtψT（ts）ds+νT1-αZtψT（ts）gT（a，T- s） ds+εT（T），其中εT（T）=aT-α+νT-αgT（a，t）+tανεt（t）+tα+1νZtψt（ts）εt（t- s） dsandψT=Xk≥1（^1T）*k、 注意，Tαε在T中一致有界∈ [0，t]和t≥ T、 再加上使用拉普拉斯变换计算，如【16】所示，我们得到λT1-αψT（T T）=aTfα，λ（T）。（24）ThusgT（a，t）=Ztλfα，λ（t- s） （a+νgT（a，s））ds+εT（T），其中εT（T）=εT（T）-T-αRtfα，λ（t-s） （a+νgT（a，s））ds。

如【10】中命题6.5的证明所述，使用TαεTand gT（a，.）在t中一致有界∈ [0，t]和t≥ T、 回想一下（ДT）*1=Д和（ДT）*k（t）=RtД（t- s） 。（ηT）*k-1（s）ds。结合引理A.3，我们推导出gT（A，.）是C（[0，t]，R）上的Cauchy序列。因此它收敛到一个连续函数g（a，.）以下方程的解：g（a，t）=Ztλfα，λ（t- s） （a+νg（a，s））ds。作者：Lemma。2，它等价于分数Riccati方程dαg（a，t）=a- λg（a，t）+νg（a，t），I1-αg（a，0）=0，这允许一个唯一的连续解（唯一性是Lemma.3的一个明显推论）。最后指出，从（23），| g（a，t）|≤cναt-αΓ（1- α） +νpa（t）- 一.备注5.1。请注意，对于≥ 0，t→ g级(-a、 t）为非递增且自g起(-a、 0）=0，我们得到以下不等式：g(-a、 t）=Ztλfα，λ（t- s） （a+νg(-a、 s））ds≤λFα，λ（t）(-a+νg(-a、 t））。从这个不等式，我们得到t>0g(-a、 t）≤1.-q1+2νaλFα，λ（t）νλFα，λ（t）。证明结束了，我们知道对于任何t∈ [0，t]和固定a<a（t），E[exp（aνt-2αNTtT）]=经验ZtλζT（T（T- s） ）gT（a，s）ds.然后，从gT（a）的一致收敛性出发至g（a，.）和Lemma一起。4，Lemma。5和支配收敛定理，我们得到了[exp（aνT-2αNTtT）]→ 经验值Ztg（a，t- s） （λθ（s）+Vs-αΓ（1- α） ）ds随着时间的推移。利用Fatou引理，我们推导出[expaZtVsds公司] < ∞.我们通过展示（21）来结束这场公关。案例a≤ 0是显而易见的，我们假设0<a<a（t）。设ε>0，使a（1+ε）<a（t）。

从上面的计算中，存在（t，a，λ，ν，ε）这样的支持≥TE[exp（a（1+ε）νT-2αNTtT）]<∞.因此exp（aνT-2αNTtT）T≥它是一致可积的，我们得出结论E[exp（aνT-2αNTtT）]→ E[实验（aZtVsds）]。这就结束了定理3.2.5.3的证明定理3.3的证明在本节中，我们将自己置于广义粗糙赫斯顿模型（3）的f框架中，并计算f或0≤ t型≤ tG（z，x，t）=E[expzZtVsds+IXZTPVSDB],带x∈ R和z∈ C使R（z） <a（t），（a（t）在理论3.2中定义）。定理3.2的证明表明，存在T>0这样的表达式zνT-2αNTtT+ixνT-αMTtT对于固定t和t是一致可积的≥ T

我们有zνT-2αNTtT+ixνT-αMTtT] （25）等于束角[exp（zνT-2α+ixνT-α） NTtT公司-ixνT-αZtTZsИT（s-u） dNTuds公司-ixνT-αuTZtTζT（s）ds].LetfT（t）=zνt-2α+ixνT-α- ixνT-αZtДT（s）ds。利用Fubini定理，我们得到（25）也等于ZTFT（tT- s） dNTs- ixλνZtζT（sT）ds].因此，我们从艾玛身上推断。引理A.5 thatG（z，x，t）=limT→∞E[经验值zνT-2αNTtT+ixνT-αMTtT]= 经验值-ixνZtλθ（s）+Vs-αΓ（1- α） ds公司限制→∞E[经验值ZTFT（tT- s） dNTs].通过附录C.3中关于Hawkes过程Nt和函数fT的限制（35），我们得到了足够大的t，expZTFT（tT- s） dNTs可积且ZTFT（tT- s） dNTs] = 经验值ZtλζT（T（T- s） ）kT（z，x，s）ds式中，kt（z，x，t）=νtαefT（tT）E[ERTFT（tT-u） dNf，Tu]- 1..此外，来自LemmaA。当T趋于λθ（s）+Vs时，λζT（ts）逐点收敛-αΓ（1- α） ，s≤ t、 如第5.2节所示，我们证明了KT的一致有界性，然后证明了KT的un if orm收敛性。kTWe的一致有界性首先注意到对于t∈ [0，t]，| kT（z，x，t）|≤νTαefT（tT）E[ERTFT（tT-u） dNf，Tu]- ei公司I[fT（tT）]E[eRtTiI[英尺（tT-u） ]dNf，Tu]+ei公司I[fT（tT）]E[eRtTiI[英尺（tT-u） ]dNf，Tu]- 1..使用该R[英尺]=R（z） νT-2α和以下不等式| efT（tT）E[eRtTfT（tT-u） dNf，Tu]-ei公司I[fT（tT）]E[eRtTiI[英尺（tT-u） ]dNf，Tu]≤eR[fT（tT）]E[eRtTR[英尺（tT-u） ]dNf，Tu]-1.,我们推导出| kT（z，x，t）|≤ |千吨级(R（z） ，0，t）|+| kT（iI（z） ，x，t）|。在第5.2节中，我们已经证明了kT(R（z） ，0，t）在t中一致有界∈ [0，t]，对于足够大的t。现在剩下来显示kT（i）的一致有界性I（z） ，x，t）。现在我们取z=ia，其中a∈ R

首先，注意fTbecomesfT（t）=iaνt-2α+ixνT-α（1-ZtνT（s）ds）=i（aν+xνλ）T-2α+ixνT-αZ∞tхt（s）ds。我们写▄XTt=fT（tT）+ZTFT（tT- s） dNf，Ts。很容易看出| fT（tT）|≤ |a |νT-2α+| x |νT-α。此外，E[ZtTfT（tT- s） dNf，Ts]等于toT-2αi（aν+λxν）ZtTE[λf，Ts]ds+ixνT-αZtTZ∞tT-sДT（u）duE[λf，Ts]ds，其中λf，是子Hawkes过程簇的强度Nf，T，见附录C。1、我们回顾其定义：λf，Tu=ДT（u）+ZuДT（u- s） dNf，Ts.使用LemmaA。我们知道λf，Tu=ψT（u）+ZuψT（u- s） dMf，Ts，其中Mf，T=Nf，T-R、 λf，Tsds是与Nf，T相关的鞅。

由于（24），weobtainE[λf，TtT]=aTfα，λ（t）λtα-1、ThereforeZtTE[λf，Ts]ds≤Fα，λ（t）λtα≤Fα，λ（t）λtα≤ cTα。此外，使用y∈ R+→ yαR∞yхTis在y、T和I1中均匀结合-αfα，λ=λ（1- Fα，λ）（见附录A.1），我们得到了Ztz∞T（T-s） ^1T（u）到期[λf，TsT]ds≤cλZt（t- s）-αfα，λ（s）ds≤ c、 然后我们推导出| E[XTt]|≤ cT-α（| a |ν+| x |ν）。使用它，存在c>0，这样对于任何y∈ R、 | eiy- 1.- iy |≤ cy，我们得到| E[EXTt- 1] |≤ c（| E[| XTt]|+E[| | XTt |]）。我们有≤ 2 | fT（t）|+2E[| ZtTfT（tT- s） dNf，Ts |]），andE[| ZTFT（tT- s） dNf，Ts |]≤ 2（E[| ZTFT（tT- s） dMf，Ts |]+E[| ZTFT（tT- s） λf，Tsds |]）。由于hMf，T，Mf，Ti=Rλf，T（s）ds，我们得到- s） dMf，Ts |]=E[ZtT | fT（tT- s） |λf，Tsds]≤ cT-α（| a |ν+| x |ν）。利用Fubini定理，我们导出了ZTFT（tT-s） λf，Tsds=ZtTfT（tT-s） ψT（s）ds+ZtTZtT-sfT（tT-s-u） ψT（u）dudMf，Ts。因此，E[| ZtTfT（tT- s） λf，Tsds |]≤ 2 | ZTFT（tT- s） ψT（s）ds |+2ZtT | ZtT-sfT（tT- s- u） ψT（u）du | E[λf，Ts]ds≤ c（| a |ν+| x |ν）T-2α（1+ZtTE[λf，Ts]ds）≤ c（| a |ν+| x |ν）T-α。我们最终推导出| kT（ia，x，t）|≤cνc（a，x）+c（a，x）, c（a，x）=ν| a |+ν| x |。在使用与第5.2节中相同的计算进行证明的最后，我们表明，对于fixedz∈ C和x∈ R因此R（z） <a（t），kT（z，x，.）是C（[0，t]，C）中的Cauchy序列，因此统一收敛到k（z，x，.）k（z，x，t）=ixν+Ztλfα，λ（t）的解- s）z+νk（z，x，t）ds。因此，我们推导出g（z，x，t）=expZtξ（z，x，t- s） （λθ（s）+Vs-αΓ（1- α） ）ds式中ξ（z，x，t）=k（z，x，t）- ix/ν，这是以下方程的解：ξ（z，x，t）=Ztλfα，λ（t- s）z-x+ibνξ（z，x，s）+νξ（z，x，s）ds。作者：Lemma。2，这相当于下面的分数Riccati方程：Dαξ（z，x，t）=z-x+（ixν- λ） ξ（z，x，t）+νξ（z，x，t），I1-αξ（z，x，0）=0。我们在这一节结束时发表以下评论，这些评论将有助于证明命题4.1。备注5.2。

从kT的定义来看，R（kT（z，x，t））≤ 千吨级(R（z） ，0，t）。当T到达极限时，我们得到R（ξ（z，x，t））≤ ξ(R（z） ，0，t）=g(R（z） ，t），其中g在定理3.2中定义。备注5.3。从KT的一致有界性证明出发，利用Orem 3.2中g的不等式，我们得到了任何t∈ [0，t]，|ξ（z，x，t）|≤ c（1+p|R（z） |+I（z） +x），其中c是一个正常数，x∈ R和z∈ C使R（z） <a（t）。5.4命题证明4.1We fix S>0，t>0，ξ∈ V+α，λ和a>1，使得E[（St）a]<∞. 使用与推论3.3证明中相同的计算，我们得到l（a+ib，t，S，ξ）=exp（a+ib）日志+Zts-αΓ（1- α） h（a+ib，t- s） θξ（s）ds,其中h是推论3.2中分数Riccati方程的唯一连续解。此外，感谢s对Remark5.2的注意，对于任何t>0和b，我们都有它∈ RRh（a+ib，s）≤ q（b，s），s≤ t、 式中q（b，.）是以下分数Riccati方程的唯一连续解：Dαq（b，s）=a- 一-（1）- ρ） b类- （λ- ρνa）q（b，s）+νq（b，s），s≤ t、 I1-αq（b，0）=0。另请注意，对于大型| b |，a-一- （1）- ρ） bis负值，因此，使用Remark5.1，q（b，s）≤ M（b，s）=1-q1+ν（1-ρ） b类-（a）-a） （λ-ρνa）Fα，λ-ρνa（s）νλ-ρνaFα，λ-ρνa（s），s≤ t、 根据域收敛定理，我们得到了zts-αΓ（1- α） M（b，t- s） θξ（s）ds~b→∞-|b | p1- ρνZts-αΓ（1- α） θξ（s）ds。因此，对于任何b，存在c（t，ξ）>0这样的th∈ R、 | L（a+ib，t，S，ξ）|≤ Saexp公司- c（t，ξ）(-1+| b |）.此外，很容易看出，对于任何b∈ R、 L（a+ib，t，，，ξ）在S中是可微的SL（a+ib，t，S，ξ）=a+ibSL（a+ib，t，S，ξ）。利用（17）和支配收敛定理，我们得出结论，C在第一个变量S中是可微的，并且SC（t，S，ξ）=2πZb∈R^g(- b） a+ibSL（a+ib，t，S，ξ）db。现在让ζ∈ Vα、λ和ε>0，使得θξ（s）- 对于任何s，ε|θζ（s）|>0∈ [0，t]。

对于任何ε6=0，ε∈ (-ε、 ε），ε| L（a+ib，t，S，ξ+εζ）- L（a+ib，t，S，ξ）|（26）等于AExpZts公司-αΓ（1- α）R（h（a+ib，t- s） ）（θξ（s）- ε|θζ（s）|）dsε经验值Zts公司-αΓ（1- α） εh（a+ib，t- s） θζ（s）-ds公司- 经验值Zts公司-αΓ（1- α） εh（a+ib，t- s） |θζ（s）| ds.回想一下，对于大型| b |，Rh（a+ib，s）对于任何s均为非正≤ t、 因为存在c>0，所以对于任何z，z′∈ C使R（z）≤ 0和R（z′）≤ 0，| exp（z）- exp（z′）|≤ c | z- z′|，我们得出结论，（26）由CSA主导Zts公司-αΓ（1- α） | h（a+ib，t-s） | |θζ（s）| ds经验值Zts公司-αΓ（1- α）R（h（a+ib，t-s） ）（θξ（s）-ε|θζ（s）|）ds.使用与前面相同的参数，我们得到存在c（t，ξ，ζ，ε）>0 such thatexpZts公司-αΓ（1- α）R（h（a+ib，t- s） ）（θξ（s）- ε|θζ（s）|）ds≤ 经验值- c（t，ξ，ζ，ε）(-1+| b |）.从Remark5.3中，我们知道存在c（t）>0，因此对于任何s∈ [0，t]和b∈ R、 | h（a+ib，s）|≤ c（t）（1+b）。此外，请注意limε→0εL（a+ib，t，S，ξ+εζ）- L（a+ib，t，S，ξ）等于toL（a+ib，t，S，ξ）Ztχ（a+ib，t- s） ζsds。因此，根据支配收敛定理，C（t，S，.）在ζ方向上，在Fr'echet意义上是可区分的，并且VC（t，S，ξ）。ζ=2πZb∈R^g(-b） L（a+ib，t，S，ξ）Ztχ（a+ib，t- s） ζsds数据库。5.5理论证明4.1我们首先表明ZT-tχ（a+ib，s）E[VT-s | Ft]dS等于ztχ（a+ib，s）E[VT-s] ds公司-Ztχ（a+ib，T- s） Vsds+Zth（a+ib，T- s） νpVsdBs。（27）回想一下，从等式（15）中，我们得到Vs=E[Vs]+Zsλfα，λ（s- u） νpVudBu。这与随机Fub-ini定理一起给出了ztχ（a+ib，T-s） Vsds=Ztχ（a+ib，T-s） E[Vs]ds+ZtZt公司-uλfα，λ（s）χ（a+ib，T-u-s） ds公司νpVudBu。我们也有s的∈ [0，T- t] ，E[VT-s | Ft】=E【VT-s] +Ztλfα，λ（T- s- u） νpVudBu。

（28）然后类似地，ZT-tχ（a+ib，s）E[VT-s | Ft]Ds等于Zt-tχ（a+ib，s）E[VT-s] ds+ZtZT公司-tλfα，λ（t- s- u） χ（a+ib，s）dsνpVudBu。这也可以是wr ITTENTZTTχ（a+ib，T- s） E[Vs]ds+ZtZT公司-ut公司-uλfα，λ（s）χ（a+ib，T- u- s） ds公司νpVudBu。最后得到ztχ（a+ib，T- s） Vsds+ZT-tχ（a+ib，s）E[VT-s | Ft]dS等于ztχ（a+ib，T- s） E[Vs]ds+ZtZT公司-uλfα，λ（s）χ（a+ib，T- u- s） ds公司νpVudBu。因此（27）是从最后的关系式和（16）直接推导出来的。现在使用（27）和Ito公式，我们导出了ptt（a+ib）=PT（a+ib）+Zt（a+ib）PTs（a+ib）pVsdWs+ztps（a+ib）h（a+ib，T-s） νpVsdBs。然后通过（17）结合随机Fubini定理和命题4.1，我们得到Ct=C+ZtSC（T-u、 Su，E【V.+u | Fu】）dSu+2πZtZb公司∈R^g(-b） PTu（a+ib）h（a+ib，T-u） 数据库νpVudBu。此外，再将（16）与Fubini-th-eorem结合使用，我们得到了2πZtZb公司∈R^g(-b） PTu（a+ib）h（a+ib，T- u） 数据库νpVudBuis等于zt2πZT-uZb公司∈R^g(- b） PTu（a+ib）χ（a+ib，T- u- s） dbdsλfα，λ（s）νpVudBu。由于（28），最后一个数量可以用前向方差曲线表示。感谢Jim Gatheral进行了许多有趣的讨论。附录A分数阶计算我们定义了r阶分数阶积分∈ 函数f asIrf（t）=Γ（r）Zt（t）的（0，1- s） r-1f（s）ds，无论何时积分存在，d都是r阶的分数阶导数∈ [0，1）asDrf（t）=Γ（1- r） ddtZt（t- s）-rf（s）ds，无论何时存在。在本节中，我们收集了一些与分数阶微积分相关的有用技术结果。A、 1 Mittag-Le-fluer函数集（α，β）∈ （R）*+). 定义了Mittag-Le-fluer函数Eα，β，并用于z∈ C byEα，β（z）=Xn≥0znΓ（αn+β）。对于（α，λ）∈ （0，1）×R+我们还定义了α，λ（t）=λtα-1Eα，α(-λtα），t>0，Fα，λ（t）=Ztfα，λ（s）ds，t≥ 函数fα，λ是R+上的密度函数，称为Mittag-Le-fluer密度函数。fα，λ和fα，λ的下列性质可在[14，17，18]中找到。

我们有fα，λ（t）~t型→0+λΓ（α）tα-1，fα，λ（t）~t型→∞αλΓ（1- α） t型-（α+1）和fα，λ（t）=1- Eα，1(-λtα），Fα，λ（t）~t型→0+λΓ（α+1）tα，1- Fα，λ（t）~t型→∞λΓ（1- α） t型-α。还要注意的是，通过明显的计算，我们得到了I1-αfα，λ=λ（1- Fα，λ）。最后，对于α∈ （1/2，1），fα，λ是平方可积的，并给出了z的拉普拉斯变换≥ 0乘以^fα，λ（z）=z∞fα，λ（s）e-zsds=λλ+zα。A.2维纳-霍普夫方程下列结果使我们能够求解维纳-霍普夫型方程，详情见示例[3]。引理A.1。设g是从R到Rd的可测局部有界函数，φ：R+→Md（R）是一个具有可积分量的矩阵值函数，其谱半径为∞φ（s）ds严格小于1。然后，从R到Rdsolution off（t）=g（t）+Ztφ（t），存在唯一的局部有界fu nc tionf- s） 。f（s）ds，t≥ 0给定byf（t）=g（t）+Ztψ（t- s） 。g（s）ds，t≥ 0，其中ψ=Xk≥1φ*k、 A.3分数微分方程我们现在给出了一些关于分数微分方程的有用结果。n ext引理可以在[20]中找到。引理A.2。Le t h是从[0，1]到R，α的连续函数∈ （0，1）和λ∈ R、 方程dαy（t）=λy（t）+h（t），y（0）=0的唯一解由y（t）=Zt（t）给出- s） α-1Eα，αλ（t- s） αh（s）ds。我们还得到了以下结果，其证明可在[10]中找到。引理A.3。Le t h是从[0，1]到R的非负连续函数，如anyt∈ [0，1]，h（t）≤ ε+CZtfα，λ（t-s） h（s）ds，对于某些ε≥ 0和C≥ 0。那么对于任何t∈ [0，1]，h（t）≤ C′ε，其中C′=1+CλZsα-1Eα，αλ（C- 1） sαds>0。特别是，如果ε=0，则h=0。回想一下φ*1=φ和φ*k（t）=Rtφ（t- s） 。φ*k-1（s）ds。A、 4进一步结果引理A.4。