粗糙分数波动率模型中的短期近货币倾斜

相反，我们将给出一个直接引理（引理7.1），以了解（iiia-b）如何暗示（iiic）。在续集中，我们将对内核使用另一个温和的假设。假设2.5。内核K具有以下属性（i）bBt=RtK（t，s）dbs在[0，1]上有一个连续（in t）版本。（二）t型∈ [0，1]：RtK（t，s）ds<∞.注意，Riemann-Liouville核K（t，s）=√2H（t- s） γ，γ=H- 1/2满意度假设2.5。备注2.6。假设2.5意味着Cameron-Martin空间H ofbB由Hunder K的图像给出，即H={K˙f | f∈ H} 。详见引理5.3和备注5.4。假设2.5（i）的参考和有效条件见【2005年12月，第3节】。3、主要结果以下结果可以看作是大岛（Osajima）[Osa15]工作的非马尔可夫扩展。这里的陈述结合了定理5.10和下面的命题（5.14）。回想一下，σ=σ（0）代表即期波动率。我们还设置σ≡ σ（0）。定理3.1（能量膨胀）。（2.7）中的速率函数（或能量）I在x=0（按货币）附近是光滑的，它的形式是x=σx-6ρσσZZtK（t，s）dsdtx3！+O（x）。RFV模型中的短期近现金倾斜7下一个结果是看涨期权价格的精确表示，在非马尔可夫一般性中有效，并且可以进行中偏差和大偏差分析（下面的定理3.4）以及完全渐近展开，这将在未来的工作中探索。定理3.2（定价公式）。对于固定的原木走向x≥ 0且到期时间t>0，设置bx：=εbεx，其中ε=t1/2，bε=tH=ε2H，如前所述。

那么我们有c（bx，t）=Eh（exp（Xt）- exp bx）+i=e-I（x）bεeεbεxJ（ε，x），（3.1），其中j（ε，x）：=ee-I（x）bεbUε经验值εbεbUε- 1.eI（x）RεbUε≥0andbUε是一个随机变量，形式为BUε=bεg+bεRε（3.2），以ga为中心的高斯随机变量，在下面的方程式（6.3）中明确给出，Rε是一个（随机）余项，在bε的随机泰勒展开意义上，请参阅引理6.2了解更多详细信息。示例3.3（Black-Scholes模型）。我们确定波动率σ（·）≡ σ>0，H=1/2，因此可以忽略bε=ε和所有b。能量由I（x）=x2σ和uε=εg+εRε给出≡ εσW- εσ/2，Rε=R≡ -σ/2与ε无关。此外，J（ε，x）=Ee-I（x）εUεeUε- 1.eI（x）RUε≥0= Ee-I（x）εgeεg-εσ- 1.{g≥εσ}= Ee-αWeεσW-（εσ）- 1.{W≥εσ}= e-（εσ）M(-α+εσ）-M级(-α） （3.3）α：=I（x）σε=σ（x/ε），根据标准高斯cdfΦ，M（β）：=EheβW{W≥εσ}i=eβ/2Φβ-εσ.使用膨胀Φ(-y） =y√2πe-是/2（1- y-2+…），作为y→ ∞ 对于固定x>0，我们推断出渐近关系，如ε→ 0，（3.4）J（ε，x）~e-x/2√2πεσx。我们对用ex=xε2β替换x感兴趣（参见定理3.4）→ β>0时为0。这使得eα=σ（x/ε1-2β）和上述分析，现在基于eα→ ∞, remains8 C.BAYER，P.K.FRIZ，A.GULISASHVILI，B.HORVATH，B.STEMPERvalidforβ处于“中等”状态β∈ [0，1/2），我们得到（3.5）x>0，β∈ [0，1/2）：Jε、 xε2β~√2πε3-4βσx。为了完整起见，让我们指出，对于β>1/2，类似的展开式是无效的。要看到这一点，首先请注意（3.1）意味着J（ε，x）| x=0正是从到期时间t=ε开始的TM买入价格。众所周知的ATM渐近性意味着J（ε，x）| x=0~√2πεσasε→ 当o（t1/2）=o（ε）超出货币时（在[FGP17]的术语中“几乎在货币上”），这些渐近性不变，这很容易暗示x>0，β>1/2:Jε、 xε2β~√2πεσ=常数×ε最后，我们得到了边界情况β=1/2，或ex=xε。来自，例如。

[MKN11，Thm3.1]，我们看到c（xε，ε）~ a（x；σ）ε具有正常数a（x；σ）。看看（3.1）就会发现x>0:J（ε，xε）~ a（x；σ）εex2σ=常数×ε。对于大/中偏差制度下的买入价扩张，β∈ [0，1/2），（3.5）ε-行为中的多项式意味着定价公式中的J项在中/大偏差范围内可以忽略不计，在任何θ>0的意义上，我们有εθlog J（ε，xε2β）→ 0为ε→ 因此，当kt=ktβ时，对于t=ε，k>0，β∈ [0，1/2），我们得到了“适度”的Black-Scholes看涨期权价格扩张，-对数cBS（kt，t）=t1-2βk2σ（1+o（1））作为t↓ 虽然上述内容可以通过Black–Scholes公式的初等分析得到证实，但以下定理将其作为一般原理的一个实例加以展示。参见[FGP17]了解一般差异声明。定理3.4（中等偏差）。在粗糙波动率区域H∈ （0，1/2），考虑形式kt=kt的原木走向-常数k的H+β≥ 0.（i）对于β∈ （0，H），每θ>0，我们有-对数c（kt，t）=I（0）t2H-2βk+O（t3β-2H）+O（t-θ） 作为t↓ 0.（ii）对于β∈ （0，H），每θ>0，我们有-对数c（kt，t）=I（0）t2H-2βk+I（0）t2H-3βk+O（t4β-2H）+O（t-θ） 作为t↓ 此外，I（0）=σ，I（0）=-6ρσσZZtK（t，s）dsdt=-6ρσσhK1，1i，其中h·，·i是L（[0，1]）中的内积。Φ的扩展需要更多的术语。RFV模型中的短期近现金倾斜9备注3.5。原则上，进一步的术语（tiβ级-2H）可以添加到对数买入价格的扩展中，因为能量具有充分的规律性，参见定理3.6。我们还注意到，对于足够小的β，误差项O（t-θ） 可以省略。在任何情况下，都可以用（更粗糙的）误差界来代替加性误差界，其中展开式中最右边的项乘以（1+o（1）），如[FGP17]中所述。定理3.4的证明。我们应用定理3.2，其中bx=kt=kt1/2-H+β，即x=ktβ=kε2β。

特别地，我们得到，当bε=than，ε=t1/2，c（kt，t）=e-I（x）bεeεbεxJε、 kε2β.技术主张7.3断言，对于固定k>0，因子J可以忽略，因为对于每个θ>0，εθlog J（ε，kε2β）→ 0为ε→ 0。该定理现在紧随I（x）在x=0附近的泰勒展开式（见定理3.1），插入x=ktβ。事实上，用（I）、（ii）中的泰勒杰替换I（x），会导致错误项O（t3β-2H），分别。O（t4β-2H）。固定实数k>0、0<H<、0<β<H和整数n≥ 2、预测t>0，设定kt=kt-H+β，表示φn，H，β，θ（t）=maxnt2H-2β-θ、 t（n-1） 这里，θ>0可以任意小。很明显，对于所有小的t和θsmallough，φn，H，β，θ（t）=t2H-2β-θ<=> 2小时- 2β≤ （n）- 1） β<=>2Hn+1≤ β、 φn，H，β，θ（t）=t（n-1） β<=> 2小时- 2β>（n- 1） β<=> β<2Hn+1。下面的语句提供了隐含方差的渐近公式。定理3.6。假设0<β<2Hnandθ>0足够小。然后作为t→ 0，σimpl（kt，t）=n-2Xj=0(-1） jjI（0）j+1nXi=3I（i）（0）i！ki公司-2t（i-2） β！j+O（φn，H，β，θ（t））。（3.6）（3.6）中的O-估计取决于n、H、β、θ和k。它在[0，∞) 关于变量k，备注3.7。使用多项式公式，我们可以用t的某些幂表示（3.6）左侧的表达式。然而，系数变得相当复杂。备注3.8。设整数n≥ 2固定，假设我们只想对2使用导数I（I）（0）≤ 我≤ 公式（3.6）中的n近似为σimpl（kt，t）。那么，β的最佳范围如下：2Hn+1≤ β<2Hn。另一方面，如果β在区间[2Hn+1,2Hn]之外，则在10 C.拜耳，P.K.弗里兹，A.GULISASHVILI，B.HORVATH，B.HORVATH时，能量函数的更多导数。

可能需要STEMPERzero来获得公式（3.6）中隐含方差的良好近似值。接下来，我们将从定理3.6中推导出几个关于隐含可用性的渐近公式。在下一个推论中，我们取n=2。推论3.9。作为t→ 0，σimpl（kt，t）=σ+O（φ2，H，β，θ（t））。（3.7）推论3.9来自定理3.6，其中n=2，等式（3.8）I（0）=σ-2根据定理3.4和泰勒展开式√1+h=1+O（h）作为h→ 在下一个推论中，我们考虑n=3的情况。推论3.10。假设β<2H。然后，作为t→ 0，σimpl（kt，t）=σ+ρσhK1，1iktβ+O（φ3，H，β，θ（t））。（3.9）推论3.10源自定理3.6，其中n=3，公式（3.8），等式（3.10）I（0）=-6ρσσhK1，1i（见定理3.4）和展开式√1+h=1+h+O（h）作为h→ 使用推论3.10，我们在中等偏差制度下建立了以下隐含波动率偏斜公式。推论3.11。设0<H<，0<β<H，x y，z>0，y 6=z。然后t→ 0，（3.11）σimpl（yt-H+β，t）- σimpl（zt-H+β，t）（y- z） t型-H+β~ ρσσhK1，1itH-.备注3.12。推论3.11补充了Al\'os等人【ALV07】和Fukasawa【Fuk11，Fuk17】的早期工作。例如，以下公式可在[Fuk17，第6页]中找到，也可参见[Fuk11，第14页]：（3.12）σimpl（yt，t）- σimpl（zt，t）（y- z） t型~ ρC（H）σtH-.在公式（3.12）中，我们使用了本文中使用的符号。我们的分析表明，斜近似公式的适用范围绝不局限于1/2阶的中心极限定理型对数货币偏差。它还包括t1/2级的中度偏差状态-H+β。之前的利率显然是 t1/2as t→ 备注3.13（对称性）。为“It^o型图”Φ（W，B，bB）写入Φ（W，B，bB；ρ；σ）：=Zσ（bB）d（ρW+ρB）。它在法律上等于Φ（W，-B-bB；-ρ；σ(-·)), 实际上，我们所有的公式在这个变换下都是不变的。

特别是，当对（ρ，σ）被替换为(-ρ，-σ） 。RFV模型114中的短期近现金倾斜。模拟结果我们用一种与本文所考虑的一般粗糙波动率框架非常吻合的粗糙Bergomimodel[BFG16]的变体对我们的理论结果进行了数值验证。与之前一样，已对模型进行规范化，使S=1和r=0。设（W，B）为两个独立的布朗运动，ρ∈ (-1，1），ρ=1-ρ，使得Z=ρW+ρB是另一个与B具有常数相关性ρ的布朗运动。对于某些现货波动率σ和波动率参数η的波动率，我们假设某些资产S的以下动力学：dStSt=σ（bBt）dZt（4.1）σ（x）=σexpηx（4.2）其中BB是BBT给出的Riemann-Liouville fBM=√2HZt | t- s | H-1/2分贝。我们感兴趣的量的蒙特卡罗模拟所采用的方法是最初在原始粗糙Bergomi pricingpaper【BFG16】中探索的方法。也就是说，利用它们的联合高斯性，我们使用众所周知的Cholesky方法模拟离散网格D上（Z，bB）的联合路径。如果（4.2）是粗糙驱动的显式函数，则对D上的Ito SDE（4.1）进行EULERDISCRETION，然后得出价格路径的估计。Cholesky算法在很大程度上取决于（Z，bB）的联合协方差矩阵的可用性和显式可计算性，我们很容易在下面计算其项。引理4.1。为方便起见，定义常数γ=-H∈ [0，）和DH=√2HH+并定义辅助函数G:[1，∞) → R byG（x）=2H1.- γx-γ+γ1- γx-（1+γ）2- γF（1，1+γ，3- γ、 x个-（1）（4.3）其中f表示高斯超几何函数【Olv10】。

然后，接合过程（Z，bB）具有零均值和协方差结构，由Var【bBt】=t2H，对于t≥ 0，Cov【bBsbBt】=t2HG（s/t），对于s>t≥ 0，Cov【bBsZt】=ρDH上海+- （s）- 最小（t，s））H+, 对于t，s≥ 0，Cov[ZtZs]=最小值（t，s），对于t，s≥ 数值模拟证实了上一节中获得的理论结果。特别是，如图1所示，隐含波动率的渐近公式（3.9）很好地捕捉到了注释期限结构的几何结构，即在原始定价文件【BFG16】中已经计算了完全相同情景的表达式，但在该版本中，fBMbB的自相关表达式是不正确的。为了完整起见，我们计算并在此处陈述所有相关术语。用于运行模拟的Python 3代码可以在github上找到。com/RoughStochVol。RFV模型中的短期近现金倾斜13隐含波动率，对于更高的H值和更差的结果特别好↓ 令人惊讶的是，尽管它是一个渐近公式，但它似乎对一系列长达一年的到期日都非常准确。能量膨胀系数dx=-对于固定Volterra内核，σ（Y）dt+σ（Y）d（ρdW+ρdB），X=0dY=dbB，Y=0wherebBt=RtK（t，s）dbs（回顾上一节中的（2.3））。我们研究了小噪声问题（Xε，Yε），其中W、 B、bB由替换εW，εB，BεbB. 下面的命题大致上是这样说的Xε≈εbεx≈ 经验值-I（x）bε.提案5.1（Forde Zhang【FZ17】）。在适当的假设下（参见。

第2节），重新缩放的流程bεXε：ε≥ 0满足LDP（速度bε）和速率函数（5.1）I（x）=inff∈H“（x- ρG（f））2ρf（f）+E（f）#≡ inff公司∈HIx（f），其中g（f）=ZσK˙f（s）˙FSD≡DσK˙f,˙fE≡Dσ（bf），˙fEF（f）=ZσK˙f（s）ds公司≡DσK˙f, 1E级≡Dσ（bf），1EE（f）=Z˙f（s）ds公司≡D˙f，˙f本节其余部分专门分析（5.1）中定义的函数I。首先，我们推导出上述最小化问题的一阶最优性条件。命题5.2（一阶最优性条件）。对于任何x∈ R我们有一个函数Ixin（5.1）的任何局部极小值f=fx，即（5.2）fx=ρ（x- ρG（fx））nDσK˙外汇, 1[0，t]E+DσK˙外汇˙fx，K1[0，t]EoρF（fx）+（x- ρG（fx））ρF（fx）D（σσ）K˙外汇, K1[0，t]E，对于所有t∈ [0，1]。14 C.拜耳，P.K.弗里兹，A.古利萨什维利，B.霍瓦思，B.斯坦佩普罗夫。我们表示a≈ 对于小参数δ，当a=b+o（δ）时为b。我们展开（f+δg）≈ E（f）+2δD˙f，˙gEF（f+δg）≈ F（F）+δDσK˙f, K˙gEG（f+δg）≈ G（f）+δnDσK˙f, ˙gE+DσK˙f˙f，K˙Geo如果f=fx是最小值，则δ7→ 对于所有g，Ix（f+δg）的最小值为δ=0。我们扩展Ix（f+δg）=（x- ρG（f+δG））2ρf（f+δG）+E（f+δG）≈x个- ρG（f）- ΔρnDσK˙f, ˙gE+DσK˙f˙f，K˙gEo2ρhF（f）+δD（σ）K˙f, K˙gEi+E（f）+δD˙f，˙gE≈（十）- ρG（f））- δ2ρ（x- ρG（f））nDσK˙f, ˙gE+DσK˙f˙f，K˙gEo2ρf（f）h1+δf（f）D（σ）K˙f, K˙gEi+E（f）+δD˙f，˙gE≈（十）- ρG（f））- δ2ρ（x- ρG（f））nDσK˙f, ˙gE+DσK˙f˙f，K˙gEo2ρf（f）-（十）- ρG（f））2ρf（f）δf（f）DσK˙f, K˙gE+E（f）+δD˙f，˙gE。因此，我们必须有，对于f=fx和每个˙g∈ L[0，1]0=ddδ{Ix（f+δg）}δ=0=-ρ（x- ρG（f））nDσK˙f, ˙gE+DσK˙f˙f，K˙gEoρf（f）-（十）- ρG（f））ρf（f）D（σσ）K˙f, K˙gE+D˙f，˙gE。回想fx=0，任意x。我们现在用˙g=1[0，t]测试固定t∈ [0，1]并获得fxt=ρ（x- ρG（fx））nDσK˙外汇, 1[0，t]E+DσK˙外汇˙fx，K1[0，t]EoρF（fx）+（x- ρG（fx））ρF（fx）D（σσ）K˙外汇, K1[0，t]E。5.1。能量的平滑度。

在（5.1）中正式确定了最小值的一阶条件后，我们现在将显示能量x 7→ I（x）是一个平滑函数。更准确地说，我们将使用隐函数定理来证明最小配置fx是x中的光滑函数（局部在x=0时）。AsIxis也是一个平滑函数，这意味着x 7的平滑度→ Ix（fx）=I（x），至少在0附近。RFV模型15中的短期近现金倾斜随着processbB的Cameron-Martin空间H不断嵌入C（[0，1]），K将H连续映射到C（[0，1]），即存在一个常数C>0，使得对于任何f∈ Hwe有（5.3）K˙f∞≤ C kf kH。这个结果将遵循引理5.3。Let（Vt:0≤ t型≤ 1） 是一个连续的、以高斯为中心的过程，并击中Cameron-Martin空间。然后我们得到了连续嵌入H→ C[0，1]。也就是说，对于某些常数C，khk∞≤ C khkH。证据利用Fernique的一个基本结果，将V定律应用于Banach空间（C[0，1]，k·k）上的高斯测度∞), 随机变量kV k∞具有高斯可积性。特别是σ：=E（kV k∞) < ∞,另一方面，泛型元素h∈ H可以写成ht=E【VtZ】，其中Z是方差为khkH的中心高斯随机变量，参见，例如，【FH14，第150页】。作者：Cauchy–Schwarz，| ht |≤ E[| Vt |]1/2公里小时≤ σkhkHand通过在t上接管l.h.s.得出结论∈ [0，1]。备注5.4。假设V为Volterra形式，即Vt=RtK（t，s）dBs。然后可以显示（见【2005年12月，第3节】）H是mapK下的Lunder图像：˙f 7→bf（高炉）：=t 7→ZtK（t，s）˙fsds和K˙fH类=˙f五十、 尤其是在h=K˙f时应用上述公式∈ H、 给予K˙f∞≤ CK˙fH=C˙fL=C kfkH。5.1.1。不相关案例。

我们从ρ=0的情况开始，因为在这种情况下公式要简单得多。根据命题5.2，函数Ix的任何局部优化器f=fx:H→ Rin在不相关的情况下，ρ=0满足任何t∈ [0，1]ft=xF（f）D（σσ）K˙f, K1[0，t]E.我们定义了一个映射H:H×R→ Hby（5.4）H（f，x）（t）：=英尺-xF（f）D（σσ）K˙f, K1[0，t]E。因此，对于给定的x∈ R、 任何局部优化器f必须解H（f，x）=0。由于一个特定的解是由对（0，0）给出的，因此我们处于隐函数定理的领域。我们需要证明o（f，x）7→ H（f，x）是局部光滑的（在Fr'echet的意义上）；oDH（f，x）：=fH（f，x）在（0，0）中是可逆的。16 C.拜耳，P.K.弗里兹，A.古利萨什维利，B.霍瓦思，B.斯坦佩尔诺，可逆性应保持足够小的x，因为DH（f，x）=idH-XRF对于某些R，只要R有一个有界范数，则R是可逆的。备注5.5。本节中的证明方法在H中完全是局部的。因此，我们只需要σ在0附近局部光滑。然而，请注意，第6节中使用的随机泰勒展开实际上需要σ的全局平滑度。引理5.6。函数F:H→ R和R:H→ C（[0，1]）由R（f）（t）定义：=D（σσ）K˙f, K1[0，t]E，t∈ [0，1]在Fr'echet的意义上是平滑的。证据对于N≥ 1我们注意到F满足度的Gateaux导数dnf（F）·（g，…，gN）=ZdNdxNσ（K˙F）K˙g···K˙gNds。通过引理5.3，我们可以DNF（f）·（g，…，gN）≤ constZ | K˙g |··········································································································································≤ 常数kK˙gk∞···kK˙gNk∞≤ const CNKKH···kgNkH，用于const=dndxnσ∞.因此，DNF（f）是hw上的一个具有算子形式的多线性形式DNF（f）≤dndxnσ∞CNF独立于f.As f 7→ DNF（f）是连续的，我们得出结论，如上所述的DNF（f）实际上是Fr'echet导数。接下来让我们考虑函数R。注意DNR（f）·（g，…，gN）（t） =DsN（K˙f）K˙g···K˙gN，K1[0，t]Efor sN（x）：=dNdxNσ（x）σ（x）。