粗糙分数波动率模型中的短期近货币倾斜

因此，假设2.5意味着DNR（f）·（g，…，gN）H=ZZtsN（K˙f）（s）NYi=1（K˙gi）（s）K（s，t）ds！dt公司≤ ksNk公司∞NYi=1kK˙gik∞ZZtK（s，t）dsdt≤ ksNk公司∞C2NNYi=1kgikHZZsK（s，t）DTD≤ ksNk公司∞C2NZZsK（s，t）dtdsNYi=1kgikH。我们看到，多重线性映射DNR（f）的算子范数的界为DNR（f）≤ ksNk公司∞更准确地说，由于σ及其导数都不需要有界，因此我们实际上需要使用上述估计的局部版本，例如，用包含{（K˙f）（t）：0的超紧集替换max≤ t型≤ 1} 。RFV模型17中的短期近现金倾斜与f无关。来自f 7的连续性→ DNR（f），因此DNR（f）是第N个Fr’echet导数。定理5.7（零相关性）。假设ρ=0，能量I（x）（如第（5.1）节所述）在x=0附近是平滑的。证据通过构造，我们得到了dH（f，x）=idH-xA（f）表示A:H→ 由A（f）定义的L（H，H）：=R（f） DF公司-2（f）+f-2（f）DR（f）。在这里R（f） DF公司-2（f）· g=（DF-2（f）·g）{z}∈RR（f）|{z}∈H、 如上所述，H在Fr’echet意义上是平滑的。平凡地说，DH（0，0）=idHis可逆，H（0，0）=0。因此，隐函数定理暗示存在0的开放邻域U和V∈ 手动0∈ R、 分别为和asmooth map x 7→ fx从V到U，使得H（fx，x）≡ 0和FX在具有此属性的U中是唯一的。对于能量，我们证明了在x=0的邻域中，I（x）=Ix（fx）。首先，我们证明了极小化存在。如果没有，则有一个函数g∈ HwithIx（g）<Ix（fx）。对于足够小的x，这样的g必须在半径为的球内大约0∈ H、 同于Ix（g）≥kgkHand limx→0Ix（fx）=0。然后注意，对于任何g∈ HDI（0）·（g，g）=kgkH>0，其中DIx（f）表示f 7的二阶导数→ 九（f）。通过连续性，DIx（f）在（0，0）附近保持（x，f）的正定义。

如前所述，对于足够小的x，g和fx（以及连接它们的线）都位于该邻域中。对于h：=g- fx，这意味着IX（g）- Ix（fx）=DIx（fx）·h+ZDIx（fx+th）·（h，h）dt>0，因为DIx（fx）·h=0，DIx（fx+tsh）·（h，h）>0。这与Ix（g）<Ix（fx）的假设相矛盾，我们得出结论，fx确实是Ix的最小值，这意味着I（x）=Ix（fx）局部。最后，作为x 7→ fxis平滑且（f，x）7→ Ix（f）=x2F（f）+kfkh是光滑的，我们看到x 7→ I（x）=Ix（fx）在0附近是平滑的。（请注意，此参数依赖于σ（0）6=0，这意味着F（F）6=0表示F的邻域为0。）备注5.8。变分计算直接法中的经典反例表明，验证极小值存在性的步骤不应过于轻率。例如，函数lj（u）：=Z（美国）- 1） +u（s）Ds在H中没有极小值，但通过选择斜率| u |=1在0附近振荡的分段线性函数u，J可以任意接近0。我们参考18 C.拜耳、P.K.弗里兹、A.古利萨什维利、B.霍瓦思、B.斯坦佩托的任何关于变分法的教科书。在上述情况下，正定义二阶导数意义上的局部“凸性”阻止了这种现象。证明极小值存在的另一种方法是证明J在弱意义下是（下半）连续的。5.1.2。一般情况。在一般情况下（参见命题5.2），我们定义了函数H:H×R→ HbyH（f，x）（t）：=英尺-ρ（x- ρG（f））nDσK˙f, 1[0，t]E+DσK˙f˙f，K1[0，t]Eoρf（f）+（x- ρG（f））ρf（f）D（σσ）K˙f, K1[0，t]E=英尺-ρ（x- ρG（f））ρf（f）（R（f）（t）+R（f）（t））+（x- ρG（f））ρf（f）R（f）（t），（5.5），其中R，R:H→ 定义为：R（f）（t）：=Dσ（K˙f），1[0，t]E，（5.6）R（f）（t）：=Dσ（K˙f）˙f，K1[0，t]E，（5.7）t∈ [0，1]。我们可以很容易地检查G，R，罕见的光滑。引理5.9。

函数G:H→ R、 R:H→ 手部R:H→ 从法语的角度来说，是Haresmooth。证据平滑度的证明是明确的。我们报告实际衍生产品。对于Gwe getDNG（f）·（g，…，gN）=*σ（N）K˙f˙f，NYi=1K˙gi+++NXk=1*σ（N-（1）K˙f, ˙gkYi6=kK˙gi+。对于Rand，R，我们分别得到DNR（f）·（g，…，gN）（t） =Ztσ（N）（K˙f）（s）NYi=1（K˙gi）（s）ds，和DNR（f）·（g，…，gN）（t） =*σ（N+1）K˙f˙fK1[0，t]，NYi=1K˙gi+++NXk=1*σ（N）K˙fK1[0，t]，˙gkYi6=kK˙gi+。定理5.10。设σ为光滑，σ（0）6=0。然后，能量I（x）如定义的（5.1）在x=0附近是平滑的。RFV模型中的短期近现金倾斜19Proof。该证明类似于定理5.7的证明。事实上，唯一的区别在于确定DH（0，0）的可逆性和极小值的存在。请注意，（5.5）包含三个术语。第一项的导数（f 7→ f） I始终等于idH。对于第二项，我们注意到（x- ρG（f））| x=0，f=0=0。因此，在方向g上计算的第二项导数的唯一非消失贡献∈ 帽子x=0，f=0和t∈ [0，1]是ρDG（0）·gρF（0）（R（0）+R（0））=ρσg（1）ρσ（σt+0）=ρρg（1）t。出于同样的原因，第三项在（F，x）=（0，0）处的导数为零。因此，（DH（0，0）·g（t）=g（t）+ρρg（1）t。很容易看出g 7→ DH（0，0）·g是可逆的。实际上，让我们构造预映像g=DH（0，0）-部分h的1·h∈ H、 在t=1时，我们得到ρ+ρρg（1）=H（1），这意味着g（1）=ρH（1）。为了0≤ t<1，我们得到g（t）+ρρg（1）t=g（t）+ρρρh（1）t=g（t）+ρh（1）t=h（t），或g（t）=h（t）- ρh（1）t。对于极小值的存在，请注意dj（0）·（g，g）=ρρg（1）+kgkH，这也是正定义。备注5.11。注意，如果我们只需要I的部分平滑，那么我们实际上不需要σ的有限平滑。事实上，很容易证明σ∈ CKI意味着∈ Ck公司-1（本地为0）。5.2。能源扩张。

建立了能量I的平滑度以及最小配置的平滑度x 7→ fx在x=0附近局部，我们可以继续计算x=0附近fx的泰勒展开式。我们将再次依赖命题5.2中给出的一阶最优性条件。将fx的泰勒展开插入到ix中，将得到I（x）的局部泰勒展开。5.2.1。扩展最小化配置。定理5.12。我们有fxt=αtx+βtx+Ox个,αt=ρσt，βt=2σσρK1，1【0，t】+K1[0，t]，1- 3ρt hK1，1i.20 C.拜耳，P.K.弗里兹，A.古利萨什维利，B.霍瓦思，B.斯坦佩雷马克5.13（非马尔可夫横截性）。在RL fBM情况下，K（t，s）=√2H | t- s |γ，γ=H- 1/2 1计算1，K1【0，t】=（1+γ）（2+γ）n1- （1）- t） 2+γo∈ C[0，1]。有趣的是，从马尔可夫环境（q=0，很容易转化为˙fx=0）中已知的横截性条件在这里仍然有效（对于ρ=0），至少在x阶，在这个意义上˙fx t≈ βtx=（常数）（1- t） 1+γ| t=1=0定理5.12的证明。一阶展开：直到获得一阶项所需的阶数，我们有fxt=αtx+O（x），˙ftx=˙αtx+O（x），σ（K˙fx）=σ+σK˙αx+O（x），σ（K˙fx）=σ+σK˙αx+O（x），F（fx）=hσ（K˙fx），1i=σ+O（x），G（fx）=hσ（K˙fx），˙fxi hσ，˙αix+O（x）。因此，hσ（K˙fx），1[0，t]i=σt+O（x），hσ（K˙fx）˙fx，K1[0，t]i=O（x），hσ（K˙fx），K1[0，t]i=O（1），x- ρG（fx）=（1- ρσα）x+O（x），（x- ρG（fx））=O（x）。这产生了（5.2）αt=ρ（1）中的一阶项- ρσα）ρσt。设置t=1，我们得到α=ρρσ-ρρα，由α=ρσ求解。将该项插入αt的方程中，我们得到（5.8）αt=ρσt。二阶展开式：使用（5.8）和ansatz fxt=αtx+βtx+O（x），我们重新计算（5.2）中出现的相关项。在RFV模型21中，我们有σ（K˙fx（s））=σ+σρσ（K1）（s）x+O（x）短期近货币倾斜，类似地，σ替换为σ，σ。

这意味着dσ（K˙fx），1[0，t]E=σt+σρσK1，1【0，t】x+O（x），Dσ（K˙fx）˙fx，K1[0，t]E=ρσK1[0，t]，1x+O（x），Dσσ（K˙fx），K1[0，t]E=σσK1[0，t]，1+ O（x）。使用前面介绍的符号，我们得到f（fx）=σ+2σρhK1，1ix+O（x），G（fx）=ρx+σβ+ρσσhK1，1ix+O（x）。这直接意味着X- ρG（fx）=ρx- ρσβ+ρσσhK1，1ix+O（x），（x- ρG（fx））=ρx- 2ρρσβ+ρσσhK1，1ix+O（x）。接下来，我们计算（5.2）中出现的一些辅助项。N： =ρ（x- ρG（fx））Dσ（K˙fx），1[0，t]E+Dσ（K˙fx）˙fx，K1[0，t]E= ρρσtx+ρρσK1，1【0，t】+K1[0，t]，1- ρσσt hK1，1i-ρσtβx+O（x）对应的分母是ρF（fx）。使用公式ax+ax+O（x）b+bx+O（x）=abx+ab- abbx+O（x），我们得到（5.9）NρF（fx）=ρσtx+ρσσK1，1【0，t】+K1[0，t]，1-ρρ+2ρσσt hK1，1i-ρρβtx+O（x）对于（5.2）中的第二项，letN：=（x- ρG（fx））D（σσ）（K˙fx），K1[0，t]E=ρσσK1[0，t]，1x+O（x）。相应的分母是ρF（fx）=ρσ+O（x）。因此，（5.10）NρF（fx）=ρσσK1[0，t]，1x+O（x）。22 C.拜耳、P.K.弗里兹、A.古利萨什维利、B.霍瓦思、B.斯坦佩尔科姆（5.9）和（5.10），我们得到fxt=ρσtx+ρσσK1，1【0，t】+K1[0，t]，1-ρρσt hK1，1i-ρρβt- 2ρσt hK1，1i+ρσσK1[0，t]，1x+O（x）我们接下来将计算β。取两边的二阶项，lettingt=1，我们得到β=ρσ2 hK1，1i-ρρσhK1，1i-ρρβ- 2ρσhK1，1i+ρσhK1，1i。将β移动到另一侧，用1+ρρ=ρ，并在右侧收集项，我们得到ρβ=σhK1，1i2ρ-ρρ- 2ρ+ρ=1.- 2ρρσhK1，1我们得出结论，β=2（1- 2ρ）σhK1，1因此，我们得到βt=2σρK1，1【0，t】+K1[0，t]，1- 3ρt hK1，1i. 5.2.2。一般情况下的能量膨胀。现在，我们计算命题5.1中定义的I（x）的泰勒展开式。我们从第二学期开始。

插入最佳路径fxt=αtx+βtx+O（x）（并使用dβ，1E=βasβ=0）我们得到了˙fx，˙fxE=ρσx+ρσβx+O（x）。插入β=2（1- 2ρ）σhK1，1i转化为（x）的上述公式- ρG（fx）），我们得到（x- ρG（fx））=ρx- 2ρρσhK1，1ix+O（x）。回想一下分母2ρF（fx）=2ρσ+4ρσρhK1，1ix+O（x）。使用分数x+ax+O（x）b+bx+O（x）=abx+ab的展开式- abbx+O（x），RFV模型中的短期近现金倾斜23我们从（x）中获得- ρG（fx））2ρF（fx）=ρ2ρσx++-2ρρσhK1，1i2ρσ- ρ4ρσρhK1，1i4ρσx+O（x）=ρ2σx- 2ρρσhK1，1ix+O（x）。我们注意到ρσβ- 2ρρσhK1，1i=（1）- 2ρ）- 2（1- ρ）ρσσhK1，1i=-ρσσhK1，1i。加上这两个条件，我们得到了建议5.14。三阶能量展开式给定si（x）=2σx- ρσσhK1，1ix+O（x）。5.2.3。Riemann-Liouville核的能量展开。让我们专门研究命题5.14中给出的黎曼-刘维尔fBm的能量展开。选择γ=H-回想一下，内核K的形式是K（t，s）=（t-s） γ。我们得到（K1）（t）=ZtK（t，s）ds=Zt（t- s） γds=t1+γ1+γ。能量膨胀中出现的关键项hK1，1i现在给出hK1，1i=Z（K1）（t）dt=Zt1+γ1+γdt=（1+γ）（2+γ）=（H+1/2）（H+3/2）。将公式（5.2.3）插入能量展开式中，我们得到了Riemann-Liouville分数布朗运动的能量展开式i（x）=2σx-ρ（H+1/2）（H+3/2）σx+O（x）。为了完整性，让我们也充分描述二阶项βt在最优轨迹fxt展开中的时间依赖性。与First ordertime不同，这里不再有线性运动。的确K1，1【0，t】=Zt（K1）（s）ds=Zts1+γ1+γds=t2+γ（1+γ）（2+γ），（5.11）K1[0，t]，1=（1+γ）（2+γ）1.- （1）- t） 2+γ.（5.12）6。定价公式FIX的证明≥ 0和bx=εbεx，其中ε=t1/2和bε=tH=ε2H。我们有c（bx，t）=E（exp（Xt）- exp bx）+=E（exp（Xε）- exp bx）+=E经验值εbεbXε- 经验值εbεx+24 C.拜耳，P.K.FRIZ，A.GULISASHVILI，B.HORVATH，B。

STEMPERwhere we recallbXε≡bεXε=Zσ（bεbB）bεd（ρW+ρb）-εbεZσbεbBtdt。考虑Xε的Cameron-Martin摄动。也就是说，对于Cameron Martinpath，h=（h，f）∈ H×H考虑到对应于变换bε（W，b）bε（W，b）+（H，f）（将布朗运动转化为带漂移的布朗运动）的测度变化，我们得到了Girsanov密度gε=exp-bεZ˙hsdWs-bεZ˙fsdBs-2bεZ˙hs+˙fsds公司.（6.1）在新测量下，bXε变为Bzε，其中Bzε=Zσ（bεbBt+bft）[bεd（ρWt+ρBt）+d（ρht+ρft）]-εbεZσ（bεbBt+bft）dt。定义6.1。对于固定x≥ 0，写入（h，f）∈ KxifΦh、 f、bf= x、 将此类（h，f）称为可容许到达对数走向x。将（hx，fx）称为最便宜的可容许控制，即达到SI（x）=infh，f∈HZ˙hdt+Z˙fdt：Φh、 f、bf= x个,其中，我们记得bf=K˙f和Φ（h，f，bf）=Zσ（bf）d（ρh+ρf）。对于任何Cameron-Martin路径（h，f），扰动随机变量bzε相对于bε服从随机Taylor展开。引理6.2。固定（h、f）∈ kx和definebzε。然后（6.2）bZε=x+bεg+bεRε，其中gis是一个高斯随机变量，由（6.3）g=Z{σ（bft）d（ρWt+ρBt）+σ（bft）bBtd（ρht+ρft）}和（6.4）Rε=Zσ明确给出bft公司bBtd（ρWt+ρBt）-εbεZσ（bεbBt+bft）dt+2bεZbεZσζbBt+bftbBt[bεd（ρWt+ρBt）+d（ρht+ρft）]（bε- ζ） dζ。RFV模型中的短期近现金倾斜25Proof。

用随机泰勒展开法求解受控过程bzεtwith控制（h，f）∈ 定义6.1中的Kxas和σ∈ C、 在t=1bZε=Zσ（bεbB+bf）[bεd（ρW+ρb）+d（ρh+ρf]-εbεZσ（bεbBt+bft）dt=Zσ（bf）d（ρh+ρf）+bεZ{σ（bf）d（ρW+ρb）+σ（bf）bBd（ρh+ρf）}++bεZσbft公司bBtd（ρWt+ρBt）-εbεZσ（bεbBt+bft）dt+ZbεZσζbBt+bftbBt[bεd（ρWt+ρBt）+d（ρht+ρft）]（bε- ζ） dζ。用bε的幂和（6.3）中的随机变量气体收集项（重新校准bε∈ O（bε）），我们有bzε=Zσ（bf）d（ρh+ρf）+bεg+O（bε），此外，因为（h，f）∈ Kx，通过Φ的定义，它认为zσ（bf）d（ρh+ρf）=x。这证明了陈述（6.2）和gis高斯是直接从形式（6.3）开始的陈述。最后我们确定了选项的Girsanov密度Gε的显式形式，其中（6.1）中的（hx，fx）被选为最便宜的容许控制（参见定义6.1）。与Azencott、Ben Arous和其他人的经典著作类似，例如参见[BA88]，我们表明，在最小配置（hx、fx）。引理6.3。我们有Z˙hxtdWt+Z˙fxtdBt=I（x）g证明。见引理A.2。有了这些准备工作，我们现在可以证明第3节中的定价公式。定理3.2的证明。具有Girsanov因子（所有积分在[0，1]上）Gε=e-bεR˙hdW-bεR˙fdB-2bεR（˙h+˙f）dt和（以最小值计算）Gε|*= e-I（x）bεe-I（x）g（ω）bε，26 C.拜耳，P.K.弗里兹，A.古利萨什维利，b.霍瓦思，b.斯坦佩尔韦，设置buε：=bZε- x=bεg+bεRεc（bx，t）=E经验值εbεbZε- 经验值εbεx+Gε|*= eεbεxE经验值εbεbUε- 1.+Gε|*= e-I（x）bεeεbεxE经验值εbεbUε- 1.+e-I（x）gbε= e-I（x）bεeεbεxE经验值εbεbUε- 1.e-I（x）bεbUεeI（x）RbUε≥0.= e-I（x）bεeεbεxJ（ε，x）。7.

中等偏差扩展的证明在第2节中，我们指出，如果启发式地应用于xε2β，则（iiic）正是从（买入价）大偏差（2.8）中得到的结果。现在，我们根据适度偏差勾画出一个适当的方案。引理7.1。假设（iiia-b）来自假设2.4。然后，对于通话和数字通话，中等偏上偏差估计值均成立。也就是说，每个β都有（iiic）∈ （0，H），且每固定x>0，且bxε：=xε1-2H+2β，E[（eXε- ebxε）+]≤ 经验值-x+o（1）2σε4H-4β以及（7.1）P[Xε>bxε]≤ 经验值-x+o（1）2σε4H-4β.证据（草图）召回σ（.）平滑但无边界，并调用bxε：=xε1-2H+2β。在β=0且H=1/2的情况下，（Xεbε/ε）的大偏差原理（LDP）通过指数等价，可导出为随机It^积分族的LDP，该族由σ（bεbB）bεdZ给出，对于某些布朗Z，ρ-与b相关。因此，有许多方法可建立该族的LDP。一种特别方便的方法，不需要σ的增长限制，在适当的度量中使用关于粗糙路径（B，Z，RBdZ）=（B，Z，RbBdZ）的随机积分的连续性，LDP已知【FH14，Ch 9.3】。在[BFG+17]中指出，当H<1/2时，类似的推理是可能的，然后用（B，Z）的“更丰富的增强”替换粗糙路径，其精确大小取决于H，对于H，同样有LDP。（Xεbε/ε）的中等偏差原则（MDP）是（ε）的LDP-2βXεbε/ε）表示β∈ （0，H）。这可以简化为LDP，ε：=ε-2βbε=ε2H-2β，对于ε-2βZσ（bεbB）bεdZ=Zσ（bεbB）εdZ≡Zσε（εbB）εdz，速度ε。此外，σε（·）≡ σ（ε2β·）局部一致收敛于常数函数σ，可以检查ε-2βRσ（bεbB）指数等价于σεZ给出的（高斯）族，定律N（0，σε）=N（0，σε4H-4β）给出（7.1），即使相等。

（在没有增长限制的情况下，可以再次对σ进行指数等效性显示。）RFV模型中的短期近现金倾斜27我们尚未使用任何一种假设（iiia-b）。为了将估计值（7.1）扩展到真实的催缴股款支付情况，这些变得非常重要。我们可以遵循一个众所周知的论点（Forde Jacquier，Pham，…）“中等”警告沿系数ε2β进行。事实上，这在精神上接近于粗糙波动率已经发生的情况，即必须携带系数bε/ε=ε2H-1、剩下的细节基本上遵循[FZ17]中的“附录C.推论4.13的证明，第（ii）部分上限”，注意到作者可能使用他们的假设来证明我们简单假设为条件（iiib）的有效性，并且始终使用二次速率函数I（0）x=x2σ。备注7.2。通过类似于[FZ17]中“附录C.推论证明4.13，第（i）部分下限”的简单论证，我们可以看出，买入价格上限（iiic）的有效性意味着相应的数字买入价格上限（7.1）因此，我们在第2节中只强调了（iiic），而没有强调（7.1）。在经典著作Azencott[Aze82]（另见[Aze85]，[BA88，Th'eor'eme 2]）中，得到了维纳空间上拉普拉斯型泛函的渐近展开式，即“E”[exp(-F（Xε）/ε）]”，用于小噪声差Xε。这定义了Freidlin–Wentzell关于小噪声扩散的大偏差（相当于拉普拉斯）原则。简而言之，对于固定的X=X，Azencott得到了形式的展开式-c/ε（α+αε…）。他的思想（几乎所有后续工作都在这个方向上使用）是Girsanov变换，以使最小化路径“典型”，然后围绕最小化进行局部化（通过良好的大偏差原则进行调整），最后在最小化附近进行局部（随机Taylor）类型分析。