粗糙分数波动率模型中的短期近货币倾斜

这些成分都不依赖马尔可夫结构（或相关的PDE参数）。因此（以及这项工作的动机），在H<1/2的分馏布朗运动驱动的粗糙微分方程（非马尔可夫）背景下，也获得了此类展开式。然而，我们的情况是不同的，因为调用价格维纳函数不符合Azencott和其他人研究的形式，事实上，我们也不能期望类似的扩展：示例3.3给出了Black-Scholes调用价格的形式常数乘以e的扩展-cε（ε+…）。尽管如此，Azencott的想法与我们非常相关：我们已经在定理3.2中使用了Girsanov公式，以获得J的可伸缩表达式。因此，“只”剩下进行本地化和局部分析。我们再次满足于草图，并留下完整的技术细节以及即将发布的技术说明的一些扩展。提案7.3。在定理3.4的上下文中，让x>0。那么因子J可以忽略不计，因为对于每一个θ>0，εθlog J（ε，xε2β）→ 0为ε→ 0。证据（草图）。第1步。本地化一表明j（ε，x）：=Ee-I（x）bεbUε经验值εbεbUε- 1.eI（x）RεbUε≥0可以替换，即错误| Jε、 xε2β- Jδε、 xε2β| 指数小（参见[BA88，Lemme 1.32]），jδ（ε，x）：=Ee-I（x）bεbUε经验值εbεbUε- 1.eI（x）RεbUε∈[0，bδ].28 C.拜耳，P.K.弗里兹，A.古利萨什维利，B.霍瓦思，B.斯坦佩伦（B.STEMPERUnlike）[Aze82，BA88]的作品，然而，这不仅仅是大偏差（或此处：中等偏差）上限估计的简单结果，而是需要相应的买入价估计（iiic），如引理7.1所述。第2步。局部分析。回想一下buε分解为高斯随机变量和余数Rε。

为了在不对σ（.）施加有界性假设的情况下控制该余数，我们可以证明，它很好地集中在概率空间的相关部分，即“局部剩余尾估计”（参见[Aze82，Prop.4.3]），formP的|Rε|>R，bεbB∞;[0,1]<κ. e-（const）r.（正是在这一步中，我们利用σ的C-正则性，它允许根据局部鞅写入剩余的，在离开零的κ-邻域后停止，然后可以估计其二次变化，并得到claimedtail估计。）然后从上面分别在{bε| bB上估计Jδ|∞;[0,1]<κ}（使用上述估计）及其补码，使用Fernique估计。对于下界，再次使用局部余数尾部估计，再加上一些公式7的元素微积分估计→ （欧盟- 1） pe公司-I（x）bεpu≥ （const）u1/p，对于某些正常数，u/bε足够小。隐含波动率展开的证明定理3.2就绪后，我们现在转向定理3.6中的隐含波动率展开的证明。定理3.6的证明。我们将使用[GL14]中获得的无量纲简化方差vt=tσimpl（kt，t），t>0的渐近公式。根据【GL14】中备注7.3中的第一个公式，（8.1）Vt-kt2Lt=OktLt（kt+| log kt |+log Lt）, t型→ 0，其中Lt=-对数c（kt，t），t>0。我们需要在定理3.4的证明中建立以下公式：（8.2）Lt=I（ktβ）t2H+O（t-θ） 作为t→ 0，对于所有x≥ 0和β∈ [0，H）和任何θ>0。让我们首先假设2hn+1≤ β<2Hn。利用能量展开式，我们从（8.2）中得出lt=nXi=2I（i）（0）i！kitiβ-2H+Ot型-θ=I（0）kt2β-2H×”1+nXi=32I（i）（0）i！i（0）ki-2t（i-2） β+Ot2H型-2β-θ#（8.3）作为t→ 如果n=2，则（8.3）右侧括号中的第二项消失。RFV模型中的短期近现金倾斜29备注8.1。假设n≥ 2和2HN+1≤ β<2Hn。

那么，公式（8.3）是最优的。接下来，假设n≥ 2和0<β<2Hn+1。在这种情况下，存在m≥ n+1，例如2hm+1≤ β<2Hm，因此（8.3）适用于m而不是n。然而，我们可以用n代替m，使误差项更差。不难看出，下面的公式适用于所有n≥ 2和0<β<2Hn+1：Lt=nXi=2I（i）（0）i！kitiβ-2H+Ot（n+1）β-2小时=I（0）kt2β-2H×”1+nXi=32I（i）（0）i！i（0）ki-2t（i-2） β+Ot（n-1） β#（8.4）作为t→ 0，前提是我们选择的θ足够小。让我们继续证明定理3.6。自kt起≈ t型-H+β和Lt≈ t2β-2有t→ 0，（8.1）表示（8.5）Vt=kt1-2H+2β2Lt+Ot1+2H-2β-θ, t型→ 接下来，使用函数u 7的泰勒公式→1+u，设置u=nXi=32I（i）（0）i！I（0）ki-2t（i-2） β+氧（t2H-2β-θ） ，我们从（8.3）中得出（2Lt）-1=t2H-2βkI（0）n-2Xj=0(-1） juj+O（联合国-（1）作为t→ 0。从2hn+1开始≤ β<2Hnthat（n- 1） β≥ 2小时- 2β，因此（2Lt）-1=t2H-2βkI（0）n-2Xj=0(-1） juj公司+ O（t4H-4β-θ） =t2H-2βkI（0）n-2Xj=0(-1） jnXi=32I（i）（0）i！I（0）ki-2t（i-2） β！j+ O（t4H-4β-θ） 作为t→ 0。现在，（8.5）给定时间=tI（0）n-2Xj=0(-1） jnXi=32I（i）（0）i！I（0）ki-2t（i-2） β！j+ Ot1+2H-2β-θ作为t→ 最后，通过取消前面公式中的系数t，我们得到了2hn+1的公式（3.6）≤ β<2Hn。β的证明≤2 Hn+1类似。在此，我们考虑备注8.1。这就完成了定理3.6的证明。30 C.BAYER，P.K.FRIZ，A.GULISASHVILI，B.HORVATH，B.STEMPERAppendix A.辅助引理在本节中，我们提供并证明了一些辅助引理，它们用于定理3.2的证明准备工作。我们从一个技术引理开始，它正好证明了推导过程。引理A.1。假设σ（.）>0和|ρ|<1。那么Kxis是h附近的Hilbert流形：=（h，f）∈ Kx公司 H： =H×H.证明。类似于铋[Bis84，p。

25]我们需要证明DД（h）是满射，其中Д（h）：h→ R，其中φ（h）=φ（h，f）=Zσ（bf）d（ρh+ρf）。从Д（h+δh）=Zσ（bf+δbf）d（ρh+ρf+δ（ρh+ρf））=Д（h）+δZσ（bf）d（ρh+ρf）+δZσ（bf）bfd（ρh+ρf）+o（δ）。可以显式计算函数导数D（h）。事实上，即使计算（DД（h），（h，0））=ρZσ（bf）dh也足以保证DД（h）的满射性。我们现在提供引理6.2的证明，该引理确定了最小化配置（定义6.1）的Girsanov测度变化（6.1）的形式，表示为（hx.fx）∈ Kx。引理A.2。（i） 任何最优控制h=（hx，fx）∈ Kxis a临界点h=（h，f）7→ -我^1h+khkH；（ii）它认为Z˙hxdW+Z˙fxdB=I（x）g.Proof。（步骤1）写入h=（h，f）和Д（h）=Д（h，f）=Zσ（bf）d（ρh+ρf）。设h=（hx，fx）∈ Kxan最优控制。ThenKerD^1h类= 厚度X=h类∈ H： DД（H）=0.（这要求Kxto是h附近的Hilbert流形，如上一个引理所示。）（步骤2）对于固定h∈ H、 定义（t）：=-我Иh+th+h+thH≥ 0 RFV模型31中的短期近现金倾斜，t=0时相等（因为x=手I（x）=h类H） 和所有t的非负性，因为H+th是达到ex=ДH+th的容许控制（因此i（ex）=inf{…}≤h+thH、 ）（步骤3）我们注意到˙u（0）=0是u的结果∈ Cnear 0，u（0）=0和u≥ 换句话说，他是H3 h 7的临界点→ -我^1h+khkH。（步骤4）因此，该映射在hm处的函数导数必须为零。特别是，对于所有h∈ H、 0个≡ -我^1hD^1h类, h类+h、 h类= -I（x）D^1h类, h类+h、 h类.（步骤5）h=（hx，fx）和h=（h，f）D^1h类, h类=ddεε=0Zσ（bfx+εbf）d（ρhx+ρfx+ε（ρh+ρf））=Zσ（bfx）d（ρh+ρf）+Zσ（bfx）bfd（ρhx+ρfx）通过连续延伸，将h=（h，f）替换为上述（W，B），并注意D^1h类, （W、B）= g自g=Rσ（bft）d（ρWt+ρBt）+σ（bft）bBtd（ρht+ρft）。HenceZ˙hxdW+Z˙fxdB=I（x）g。参考文献【ALV07】Elisa Al\'os、Jorge A Le\'on和Josep Vives。

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