粗糙分数波动率模型中的短期近货币倾斜

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英文标题：
《Short-time near-the-money skew in rough fractional volatility models》
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作者：
Christian Bayer, Peter K. Friz, Archil Gulisashvili, Blanka Horvath,
  Benjamin Stemper
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最新提交年份：
2018
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英文摘要：
  We consider rough stochastic volatility models where the driving noise of volatility has fractional scaling, in the \"rough\" regime of Hurst parameter $H < 1/2$. This regime recently attracted a lot of attention both from the statistical and option pricing point of view. With focus on the latter, we sharpen the large deviation results of Forde-Zhang (2017) in a way that allows us to zoom-in around the money while maintaining full analytical tractability. More precisely, this amounts to proving higher order moderate deviation estimates, only recently introduced in the option pricing context. This in turn allows us to push the applicability range of known at-the-money skew approximation formulae from CLT type log-moneyness deviations of order $t^{1/2}$ (recent works of Al\\`{o}s, Le\\\'{o}n & Vives and Fukasawa) to the wider moderate deviations regime.
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中文摘要：
我们考虑在赫斯特参数$H<1/2$的“粗糙”区域中，波动驱动噪声具有分数标度的粗糙随机波动率模型。从统计和期权定价的角度来看，这一制度最近引起了很多关注。在关注后者的同时，我们将Forde Zhang（2017）的大偏差结果锐化，使我们能够放大资金，同时保持完全的分析可跟踪性。更准确地说，这相当于证明高阶中等偏差估计，只是最近才在期权定价背景下引入。这反过来又允许我们将已知的货币倾斜近似公式的适用范围从CLT型对数货币度偏差$t ^{1/2}$（Al`{o}s、Le \\{o}n&Vives和Fukasawa最近的工作）推到更广泛的中等偏差制度。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Pricing of Securities        证券定价
分类描述：Valuation and hedging of financial securities, their derivatives, and structured products
金融证券及其衍生产品和结构化产品的估值和套期保值
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Probability        概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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PDF下载：
--> Short-time_near-the-money_skew_in_rough_fractional_volatility_models.pdf (657.72 KB)

2022-5-31 06:22:25 上传

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关键词：波动率模型 波动率 Maintaining Statistical Volatility

粗糙分数波动率模型中的短期近货币倾斜c。拜耳，P.K.FRIZ，A.GULISASHVILI，B.HORVATH，B.STEMPERAbstract。在Hurst参数H＜1/2的“粗糙”区域，我们考虑了波动驱动噪声具有分数标度的粗糙随机波动率模型。从统计和期权定价的角度来看，这一制度最近引起了很多关注。在关注后者的同时，wesharpen对Forde Zhang（2017）的大偏差结果进行了分析，使我们能够放大资金的范围，同时保持完全的分析可跟踪性。更准确地说，这相当于证明高阶中等偏差估计，只是最近才在期权定价背景下引入。这反过来使我们能够将已知的货币偏差近似公式的适用范围从t1/2阶CLT型对数货币偏差（Al\'os、Le\'on&Vives和Fukasawa的最新作品）推到更广泛的中等偏差制度。内容1、导言12。阐述和假设33。主要结果64。模拟结果115。能量膨胀证明135.1。能量平滑度145.2。能源扩张196。定价公式证明237。中等偏差扩展的证明268。隐含波动率展开的证明28附录A.辅助引理30参考文献311。简介自Gathereal、Jaisson和Rosenbaum【GJR14a】的开创性工作以来，过去两年的波动率建模逐渐发生转变，主导日期：2018年3月12日。2010年数学学科分类。91G20、60H30、60F10、60H07、60G22、60G18。关键词和短语。粗糙随机波动率模型，欧式期权定价，小时间渐近，中等偏差。我们非常感谢DFG研究资助FR2943/2和BA5484/1（C.Bayer，P.K.Friz，B。

欧洲研究委员会CoG-683166（P.K.Friz）和SNF早期博士后流动性拨款165248（B.Horvath）。2 C.BAYER，P.K.FRIZ，A.GULISASHVILI，B.HORVATH，B.STEMPERaway从经典的离散随机波动率模型到所谓的粗糙波动率模型。这个术语是在[GJR14a]和[BFG16]中创造的，它本质上描述了一系列（连续路径）随机波动模型，其中波动过程的驱动噪声具有比布朗运动更低的规律性，通常通过将波动过程的基本噪声创新建模为分数布朗运动，Hurst指数（和henceH¨older正则性）H<1/2来实现。在此，我们还想提及[ALV07]和[Fuk11]中粗糙波动率模型的开创性workon渐近。这种粗糙波动率模型的一个主要表现在于，它们有效地从统计角度（GJR14a，BLP16）和期权定价角度（BFG16）捕捉了金融市场的几个典型事实。特别是，就后一种观点而言，股市中一个广泛观察到的经验现象是“短期微笑的陡度”，描述了这样一个事实，即随着到期时间变小，经验隐含波动率偏斜遵循负指数幂律，因此在零附近变得任意大。

虽然具有连续路径的标准随机波动率模型难以捕捉这一现象，而是预测短期内货币隐含波动率行为的常数[Gat11]，但分数随机波动率族中的模型（以及更具体的所谓粗糙波动率模型）构成了一类，短期期权的经验隐含波动率。通常，资产定价模型的流行取决于有效的数值定价方法的可用性。在差异的情况下，包括蒙特卡罗估计、偏微分方程离散化方案、渐近展开和变换方法。由于分数布朗运动是半鞅框架之外过程的主要例子，目前最流行的期权定价方法——尤其是假设半鞅性或马尔可夫性的方法——可能不容易推广到粗糙集。事实上，分数布朗运动的记忆性质（又称非马尔可夫性）排除了偏微分方程方法、热核方法和所有涉及费曼-卡克-typeAnsatz的相关方法。因此，之前的工作重点是找到有效的蒙特卡罗模拟方案[BFG16、BLP17、BFG+17]，或者——在拉夫赫斯顿模型的特殊情况下——对数价格特征函数的显式公式（见[ER16]），因此在该特定模型中，使定价适用于基于四层的方法。在我们的工作中，我们依赖于期权价格的小成熟度近似值。这是一个研究得很好的话题。例如，参见[ALV07、GVZ15]（ATM）制度）或[DFJV14a、DFJV14b、GJR14b、GHJ16、GVZ15]（使用大偏差结果的缺钱（OTM）制度）。我们还请读者参考有关大偏差的论文[Fuk11、Fuk17、FZ17]，并参考[MT16、Osa07、MS03、MS07]进行相关工作。Friz et al。

【FGP17】最近引入了另一种称为“适度缺钱”（MOTM）的制度，从某种意义上讲，这种制度通过根据到期时间重新调整罢工规模，有效地在上述两种制度之间导航。这种方法有各种优点。一方面，它反映了市场现实，即随着到期时间接近于零，具有可接受的买卖价差的罢工往往会更接近货币（更多详细信息，请参见[FGP17]）。另一方面，它允许我们以高分辨率放大围绕货币的隐含效用的期限结构。更具体地说，我们的论文从两个方面对现有文献进行了补充。首先，我们将大阪能量扩张[Osa15]的RFV模型3中的短时近货币倾斜推广到非马尔可夫情形，并使用新的扩张，我们将[FGP17]的分析扩展到这种情形，其中波动性由粗糙（H<1/2）分数布朗运动驱动。事实上，本着Ben Arous【BA88】和Bisit【Bis84】的精神，维纳空间上的Laplaceapproximation方法在目前的情况下仍然有效，我们的分析是在分数环境下基于此框架进行的。其次，我们使用Azencott[Aze85]的渐近展开，绕过了推导基础过程密度的渐近展开以获得期权价格的渐近性的需要。我们通过将其应用于我们的特定模型，展示了这种方法的潜在威力，并直接推导出买入价格的渐近性，而不考虑相应的密度渐近性。

最后，使用一个版本的“粗糙Bergomi模型”【BFG16】，我们在数值上证明，我们的隐含波动率渐近性很好地捕捉了隐含波动率的期限结构在各种自然度上的几何结构，延伸到一年。本文的组织结构如下：在第2节中，我们设定了场景，描述了框架中包含的模型类别（（2.1）和（2.2）），并回顾了一些已知的结果（（2.4）和（2.7）），这是我们分析的起点。最重要的是，我们认为，出于小时间考虑，有必要将我们的注意力限制在一类形式为（2.3）的随机波动率模型上，该模型的avolatility过程由高斯-沃尔泰拉过程驱动，如（2.2）。我们对Volterra核（假设2.1和2.5）和（2.3）中的函数σ（假设2.4）提出了一般假设，在此假设下，我们的结果是有效的。在第3节中，我们收集了关于能量高阶展开（定理3.1）的主要结果，以及相应调用价格的一般展开公式。我们利用上面提到的后一个结果，导出了看涨期权价格的经典Black-Scholes展开式。此外，在第3节中，我们制定了适度偏差展开式，这允许我们推导出隐含波动率和隐含波动率偏斜的相应渐近公式。最后，第4节显示了我们的模拟结果。第5、6和7节分别对能量膨胀、价格膨胀和适度偏差膨胀进行了证明。在附录中，我们收集了一些用于区分的辅助引理。2.

阐述和假设我们考虑一个粗糙的随机波动率模型，标准化为r=0和S=1，其形式为Forde Zhang[FZ17]（2.1）dStSt=σ（bBt）d（ρWt+ρBt）。这里（W，B）是两个独立的标准布朗运动ρ∈ (-1，1）相关参数，ρ=1- ρ。那么ρW+ρB是另一个标准布朗运动，它与因子B具有常数相关ρ，驱动随机波动率σstoch（t，ω）：=σ（bBt（ω））≡ σ（bB）。此处σ（.）是一些实值函数，通常是光滑但无界的，我们将用σ表示：=σ（0）现货波动率，用BB a高斯（Volterra）过程4 C.拜耳，P.K.弗里兹，a.古利萨什维利，B.霍瓦思，B.斯坦佩罗的形式（2.2）bBt=ZtK（t，s）dBs，t≥ 0，对于某些内核K，应在下面的假设2.1和2.5中进一步说明。原木价格Xt=原木（St）满意度（2.3）dXt=-σ（bBt）dt+σ（bBt）d（ρW+ρB），X=0。回想一下，通过布朗标度，对于固定t>0，（Bts，Wts）s≥0定律=ε（Bs，Ws）s≥0，其中ε≡ ε（t）≡ t1/2。因此，经典的短时SDE问题可以分析为单位时间范围内的小噪声问题。在我们的分析中，在高斯过程bb（更准确地说，在（2.2）中的核K）上施加这样的标度特性也将是至关重要的：假设2.1（小时间自相似性）。存在一个0<t的数字≤ 1和函数t 7→ bε=bε（t），0≤ t型≤ t、 这样（bBts：0≤ s≤ t） 定律=（bεbBs：0≤ s≤ t） 。事实上，我们总是有bε≡ bε（t）≡ tH=ε2H，其中包括感兴趣的示例，特别是标准分数布朗运动BB=BHor Riemann-Liouville fBM，具有显式核K（t，s）=√2H | t- s | H-1/2。

（即使从自相似过程的一般角度来看，这也是很自然的，请参见[Lam62]。）我们坚持认为，不需要（全局）自相似性B，因为对于任意小的t问题，只需要B |[0，t]。备注2.2。在本文的结果中，可以用一个分数阶的Ornstein-Uhlenbeck过程来代替分数阶布朗运动。直观地说，这种替换会产生一个可以忽略不计的扰动（对于t 1） OFFBM环境。事实上，在[CF10]中也遇到了类似的情况，在接近零的时候分数缩放很重要。为了量化扰动，【CF10】的作者引入了一种易于验证的耦合条件（见【CF10】中的推论2）。可以在本文中使用此条件的一个版本来证明上述替换的合理性。然而，我们不会在这里进一步探讨这一点。备注2.3。在本文中，可以通过取K来考虑经典（马尔可夫，扩散）随机波动率设置≡ 1，或等效H≡ 1/2，只需忽略续集中的所有帽子（b·）。

尤其是bε≡ 1在所有后续公式中。关于Banach空间[DS89]上高斯测度大偏差的一般事实，如路径空间C（[0，1]，R），意味着三重{bε（W，b，bB）：bε>0}的大偏差原理成立，速度为bε，速率函数为（2.4）（khkH+KKKH，f，h∈ Handbf=K˙f+∞, 否则，RFV模型中的短期近现金倾斜，其中k˙f（t）：=ZtK（t，s）˙f（s）dsf∈ H、 Lderivative（2.5）H的绝对连续路径空间：=f：[0，1]→ R连续kfkH：=Z˙f（s）ds<∞, f（0）=0.这使我们能够推导出（2.3）中X的大偏差原理：bb的（局部）小时间自相似性（假设2.1）意味着Xtlaw=Xε，其中dxεt=σ（bεbBt）εd（ρWt+ρBt）-εσ（bεbBt）dt，Xε=0。对于以下内容，可以方便地考虑（2.3）dbXεt的重新缩放版本≡ dbεXεt= σ（bεbBt）bεd（ρWt+ρBt）-εbεσ（bεbBt）dt，bXε=0。在函数σ的线性增长条件下，Forde–Zhang[FZ17]使用扩展收缩原理建立了速度为bε的（bXε）的大偏差原理。更精确地说，当（2.6）Д（h，f）：=Φ（h，f，bf）=Zσ（bf）d（ρh+ρf）时，速率函数由i（x）=infh，f给出∈HZ˙hdt+Z˙fdt：Д（h，f）=x= inff公司∈Hx个- ρDσ（bf），˙fEρDσ（bf），1E+Z˙fdt,（2.7）式中，h·，·i表示L上的内积（[0，1]，dt）。自[JPS17，BFG+17，Gul17]以来，出现了一些其他证明（低估σ的假设）。事实上，正如下文（iiic）所强调的，本文依赖于中等偏差，而非大偏差。

为此，让我们做出假设2.4。（i） （正点体积）假设σ：R→ R是光滑的，σ：=σ（0）>0。（ii）（粗糙度）赫斯特参数H满足H∈ （0，1/2），（iiia）（鞅性）价格过程S=exp X是鞅。（iiib）（短时）m<∞ t>0:E（Smt）<∞.虽然条件（iiia）几乎不需要调整，但我们强调，条件（iiia-b）仅在其暗示以下条件（iiic）的情况下使用（因此，如果更具技术性，可以替代（iiia-b）作为替代假设）。我们明确指出这一点的原因是，所有条件（iiia-c）都是函数σ（.）上的隐式（增长）条件。例如，（iiia-b）被视为在线性增长假设下成立[FZ17]，而对数正态波动率情况（想想σ（x）=ex）是复杂的。例如，马丁尼性需要ρ≤ 0和6 C.拜耳，P.K.弗里兹，A.古利萨什维利，B.霍瓦思，B.斯坦佩瑟这是一个关键时刻m*= m级*（ρ） ，即使ρ<0。对于H=1/2的情况，请参见【Sin98、Jou04、LM07】，对于一般粗糙情况，请参见即将进行的工作【FG18】∈ （0，1）。我们将（iiic）简单地视为一种更灵活的条件，在（iiib）失败的情况下，它可以保持信念。（iiic）（买入价格中上界）每β∈ （0，H），且固定x>0，且bxε：=xε1-2H+2β，E[（eXε- ebxε）+]≤ 经验值-x+o（1）2σε4H-4β.这种情况让人想起在[FZ17]（2.8）E[（eXε）中获得的大偏差估计的“上部”- exε1-2H）+]=经验-I（x）+o（1）ε4H.如果事实是这样的，如果一个人正式应用x，用xε2β代替x，然后泰勒展开速率函数，I（xε2β）~I（0）xε4β=2σxε4β，很容易得出估计值（iiic）。不幸的是，（2.8）中的o（1）=ox（1），这是使这个论点严格化的一个严重障碍。