一类新的离散时间相关随机波动率模型

模型如下所示：rt=K1tJ1t+expht公司εt，ht+1=K2tJ2t+α+φ（ht- α） +σηt，（4）其中（εt，ηt）遵循相同的双变量正态分布，平均值为零，方差为1，相关性为ρ，跳跃系数套件~ N（νi，τi），跳跃分量Jit~ Ber（πi）、andKit、JIT均相互独立，且具有εtandηt。符合emhre要求E[K1t]=0，即ν=0。为简单起见，我们还假设本文所有结果的E[K2t]=ν=0和τ=τ=1，然而，这些结果可以很容易地推广到一般的ν、τ和τ。对数波动过程中的跳跃成分影响ht的边缘分布，不再是正态分布，但其长期平均波动率仍然为α，方差变为（σ+π（1- π） ）/（1- φ） 。表1总结了[rt | Ft]边缘分布的中心时刻-1] 。事实上，跳跃成分能够捕捉到暂时的价格变化，即未来回报的分布不受当前观察到的极端价值的影响。最近，Liu和Li（2014）为上述带跳跃的SVM开发了贝叶斯单位根检验。毫无疑问，基于ht+1的支持向量机在过去几年的发展是广泛的，然而，支持向量机有几个基本方面需要进一步研究。例如，如表1所示，对于M2.1和M2.3，第三中心力矩E（rt）以及由此由E（rt）/（V ar（rt）3/2测量的偏斜为零，而不是M2.2。这可能看起来很自然，因为只有M2.2包含了一个倾斜的t分量，然而，这与最近发现的强瞬时杠杆不一致（参见Ait Sahalia et al.（2013）和Wang&Mykland（2014）等）。此外，Cov（rt，rt）=E（rt）=0与Bollerslev et al.（2006）提出的确定杠杆率的同期相关性的基础相矛盾。

接下来，我们提出了一类新的基于ht的具有相关误差的支持向量机。3新的基于ht的支持向量机在本节中，我们建议对第2节中介绍的基于ht+1的支持向量机M2.1、M2.2和M2.3进行修改。主要思想是将层次模型的第二阶段从“ht+1作为（ht，ηt）的函数”更改为“HTA作为（ht）的函数-1，ηt）”。然而，这种修改会导致非零边际预期收益E（rt | Ft-1） ，这是不可接受的，因为违反了有效市场假说，并可能导致套利机会。因此，我们还建议在层次模型结构的第一阶段进行平均值校正，以确保E（rt | Ft-1） =0。这一想法受到Jacquier等人（2004）的启发，作者修改了Taylor（1982）的模型（1），然而，正如Yu（2005）所指出的，提议的修改也违反了EMH。最近，Mukhoti&Ranjan（2016）开发了一个正确修改的基于ht的基础模型。在本文中，我们将这种改进的SVM表示为M3.1，并提供了一些其他有趣的特性。我们还扩展了Mukhoti&Ranjan（2016），并开发了两个新的基于ht的模型，分别对应于M2.2和M2.3，分别称为M3.2和M3.3。（M3.1）基本模型：Mukhoti&Ranjan（2016）提出以下平均修正SVM是最简单但具有理想性质的广义模型：rt=u+expht公司εt，（5）ht=α+φ（ht-1.- α） +σηt，其中（εt，ηt）遵循双变量正态分布，平均值为零，方差为1，相关性为ρ。Mukhoti&Ranjan（2016）表明，在|φ|的正则条件下≤ 1，σ>0和-∞ < α<∞, 平均校正项为u=-ρσexpα+σ8（1- φ）,本文第四节表1总结了RTI无条件边际分布的高阶矩。

与相应的基于ht+1的模型（M2.1）类似，htis N的边际分布（α，σ/（1- φ） ）。与M2.1相反，即使误差的正态分布（ηt，εt）也给出了非零的三阶中心矩rt，即（5）中的rt分布可以捕获一定程度的偏态，进而能够在一定程度上解释杠杆作用。然而，只有同期相关误差Corr（ηt，εt）=ρ可能无法解释非对称收益波动率关系（参见Figlewski&Wang（2001））。这就需要开发一种新的模型，该模型具有同时相关的错误以及（略微）倾斜的反转。（M3.2）斜t模型：与M2.2一样，该模型强制执行回报的斜t分布，以捕获重尾和不对称。模型由t=u+exp给出ht公司ωU-1/2t“δWt-rπ+√1.- Δεt#，（6）ht=α+φ（ht-1.- α） +σηt，其中（εt，ηt）遵循相同的双变量正态分布，均值为零，方差为1，相关性为ρ，常数ω为V ar（rt | ht）=exp（ht），δ=λ/√1+λ，Ut~ Γ（ν/2，ν/2）和wt~ N+（0，1）（半正常）。请注意，启用SEMH的附加平均校正项由u=-ρσ√1.- δ·ωξν经验值α+σ8（1- φ）,式中ξν（k）=EU-千吨级. 如M2.2和M3.1所示，这里还有htisN的边际分布（α，σ/（1-φ） ）。rt边际分布的前四个中心矩见表1。δ=0的特例简化了M3.2，仅关注重尾分量。尽管力δ=0，但第三阶矩并不等于零，并且与基础模型M3.1一样，简化模型在一定程度上解释了偏斜度。当然，一般情况下包含额外的术语，具体解释了偏度（见表1）。（M3.3）带跳跃的模型：我们现在提出了基于平均值校正ht的M2.3版本。

该新模型能够（i）解释非零同期相关性和收益偏斜，以及（ii）产生极端收益，随后在接下来的短期内产生类似值，对未来波动率分布产生持续影响。modelstatement由t=u+K1tJ1t+exp给出ht公司εt（7）ht=K2tJ2t+α+φ（ht-1.- α） +σηt，其中（εt，ηt）遵循双变量正态分布，平均值为零，方差为1，相关系数为ρ，跳跃系数套件~ N（νi，τi），跳跃分量Jit~ Ber（πi）和Kit、JIT相互独立，且与εtandηt相关。如M2.3中所述，我们假设ν=ν=0和τ=τ=1，然而，由于在波动性建模部分，ht+1被HT1取代，ht和εtar现在相互关联（与M2.3不同），因此ν=0不足以促进EMH。随后，平均校正项由u=-ρσexpα+σ8（1- φ）P,其中P（d）=∞Yj=01.- π+πexpdφ2j.表1总结了rt无条件边际分布的前四个中心矩。与M2.3类似，HTS的边际分布不再是正态分布，但其平均值为α，方差为（σ+π（1- π） ）/（1- φ） 。4理论比较本节根据六种支持向量机校正捕获偏度、峰度和超前滞后相关性的能力，对它们进行了比较。这些汇总统计数据衡量杠杆率、可预测性、收益波动率不对称互动和极端观察等关键财务特征。由于此处提供的所有支持向量机均满足EMH，因此RTI的第一个无条件矩为零，原始矩和中心矩相同。设m（i.j）kdenote为[rt | Ft]的k阶矩-1] 在Mi下。j、 对于i=2，3和j=1，2，3。那么偏度和峰度是，Sk（i，j）=m（i.j）m（i.j）（3/2）和κ（i.j）=m（i.j）m（i.j）,分别地

表1总结了所有六种支持向量机的三种汇总统计（方差、偏度和峰度）的理论表达式。鉴于三阶和四阶矩以及偏度和峰度之间的等效性，我们没有明确报告rtdistribution的三阶和四阶矩。由于长度限制，详细的推导和证明尚未报告。M3.2和M3.3的偏度和峰度表达式保留在各自的较低阶矩方面，由于过长的繁琐项，尚未明确计算出来。尽管如此，表1中的表达式提供了两类支持向量机之间的现成比较。下面是一些简短的评论：表1:rt | Ft的方差、偏度和峰度-1] 在六种型号Mi下。j、 M2.1 M3.1m（i.1）扩展α+σ2（1-φ） oexpnα+σ2（1-φ） o×1+ρσ-ρσ×expn-σ4（1-φ） oSk（i.1）ρσexpn3α+9σ8（1-φ） 哦-ρσ扩展-3σ4(1-φ） o+3+9σρ-1+ρσexpn公司-σ2（1-φ） oi公司（m（3.1））3/2κ（i.1）3 expnσ（1-φ） oexpn2α+2σ（1-φ） oh3+16ρσ- 9ρσ1+3ρσ×扩展-3σ4（1-φ） o-3ρσexpn-3σ2（1-φ） o+24ρσ+3ρσ（1+ρσ）表达式-5σ4（1-φ） oi公司（m（3.1））M2.2 M3.2m（i.2）expnα+σ2（1-φ） oωξν（1）h1-2Δπiexpnα+σ2（1-φ） oωξν（1）×h1.-2Δπ+ ρσ（1- δ） 我- uSk（i，2）expn3σ8（1-φ） oξνδqππ- 1.h3um3.2+u+ωξν（3/2）exp3α+9σ8（1-φ）×ξν（1）h1-2Δπi-3/2×nδqππ- 1.+ρσ1.-πδ√1.- δ+ρσ（1-δ） 3月2日1+ρσm（3.2）3/2κ（i.2）expnσ（1-φ） oh3+8δπ-12Δπ-12Δπi n4um3.2- u- 6um3.2+ωξν（2）expn2α+2σ1-φo×ξν（2）ξν（1）h1-2Δπi-2×hδ3.-π-π+ 8ρσδ√1.- δqππ- 1.+6δ（1- δ）1.-π（1+4ρσ）+（1- δ） ×（3+6ρ- 3ρ+24ρσ+16ρσ）m（3.2）M2.3 M3.3m（i.3）π+扩展α+σ2（1-φ） oP（1）π+表达式α+σ2（1-φ） o1+ρσP（1）- uSk（i.3）h3m3.3u+u+3ρσπexpnα+σ8（1-φ） oP公司+9ρσ1+3ρσP表达式3α+9σ8（1-φ） oi公司（m（3.3））3/2κ（i.3）h3π+6πexpnα+σ2（1-φ） oP（1）h4um3.3- u- 6um3.3+3π+expnα+σ2（1-φ） o+3 expn2α+2σ1-φoP（2）i（m（2.3））×6πP（1）（1+ρσ）+expn2α+2σ1-φoP（2）×（3+6ρ- 3ρ+24ρσ+16ρσ）（m（3.3））备注1。

M2.1和M2.3下的边际收益分布是对称的，与包括ρ在内的参数值无关。这可能是不可取的，因为对称性反转分布意味着V ar（rt | rt>0）=V ar（rt | rt<0），即没有杠杆作用。备注2。基于ht+1模型（即M2.1、M2.2和M2.3）下的边际收益分布的汇总统计（方差、偏度和峰度）均不依赖于ρ。虽然这是一个有趣的观察结果，但并不奇怪，因为Rt取决于Ht和εt，而Ht取决于ηt-1和εtandηt-1不相关。虽然杠杆效应在文献中被认为是回报偏斜背后的原因，但表1显示了基于ht+1模型的相互矛盾的结果。此外，模型M2.2中的回归偏度由δ=λ引导/√1+λ，这是returnvolatility反应机制的外因。备注3。假设不相关误差（εt，ηt），所有基于ht的支持向量机（M3.1，M3.2，M3.3）都不需要平均校正，即ρ=0意味着u=u=u=0。更重要的是，将表达式中的ρ=0替换为M3的方差、偏度和峰度。j在M2下给出相应的表达式。j、 换言之，在基于ht+1的模型下，杠杆在解释预期未来波动率跳跃导致的极端回报方面没有贡献，而基于ht的模型则解释了杠杆效应在波动率跳跃情况下产生极端回报的贡献。备注4。在比较两类支持向量机的汇总统计数据时，备注3暗示κ（3.1）≥ κ（2.1）。为了证明这一结果，有必要证明包含ρ的κ（3.1）的项为正，即24ρσ+16ρσ- 9ρσ1+3ρσ经验值-3σ4（1- φ）-ρσexp-3σ2（1- φ）+ρσ（1+ρσ）exp-5σ4（1- φ）≥ 这源于以下事实：(-x）≤ 1表示任何实x。

我们认为，要显示κ（3.j）可能不太困难≥ k（2.j）表示j=2和3。由于κ（3.2）和κ（3.3）的表达式是各自低阶矩的复杂函数，因此需要进行繁琐的计算来分离包含ρ的项。我们现在使用RTA和eht±K之间的超前-滞后相关性来比较两类支持向量机的充分性。本着Bollerslev等人（2006）的精神，我们将模型隐含的铅滞后相关性定义为模型Mi下的ρ（i.j）±k=Corr（rt，eht±k）。j、 对于i=2，3和j=1，2，3。然后，ρ（i.j）±k=Cov（rt，eht±k | Ft-1） pV ar（rt | Ft-1） pV ar（eht），其中V ar（rt | Ft）的闭合形式表达式-1） 对于不同的支持向量机，见表1。由于Ht的无条件分布不依赖于t，因此ρ（i.j）±kcontainsV ar（eht）和非V ar（eht±k）的公式。此外，M2.1、M3.1、M2.2和M3.2的HTM边际分布相同，即N（α，σ/（1- φ） ，在这种情况下，V ar（eht）=exp2α+σ1- φ经验值σ1- φ- 1., （8） 而对于M2.3和M3.3，HTS的边际分布是相同的，但不是正态分布。然而，长期平均值仍然是α，方差是（σ+π（1-π） ）/（1-φ） 。一条运河表明，在这两种跳跃模型下，V ar（eht）=exp2α+σ（1- φ）经验值α+σ1- φP（2）- P（1）. （9） 因此，得出Cov（rt，eht±k | Ft-1） 有助于发现不同的超前-滞后相关性。此外，由于E（rt | Ft-1） =0，所需协方差简化为E[rteht±k | Ft-1] 在此之后，表示为γ（i.j）±kfor Mi。j和k≥ 表2总结了超前-滞后协方差表达式（由于长度限制，已省略证明和推导）。以下是一些快速观察结果：备注5。对于第2节中介绍的所有基于ht+1的支持向量机，同时协方差和滞后协方差均为零，因此相关性为零，即ρ（i.j）-k=0表示k≥ 0

简单地说，基于ht的SVM比相应的基于ht+1的SVM具有更大的同期相关性，即对于每个j=1、2、3，ρ（3.j）>ρ（2.j）。仔细看下表，所有超前和滞后协方差以及相应的相关性都会随着k逐渐趋近于零→ ∞.备注6。对于j=1，2，3，（a）γ（2.j）+φk的kare倍数-1、（b）γ（3.j）±khave非常特殊，是一个涉及exp(-σφk/（2（1- φ） ）），对于所有k，正在根据额外的平均值校正项进行调整。备注7。对于固定的非零k，尽管γ2之间的比较。j±K和γ3。j±kc可在一定程度上进行，ρ2之间的比较。j±Kρ3。j±K需要模型参数的条件，因为Ht和Rt的边际方差可能因模型而异。表2：两类虚拟机的超前滞后协方差γ（i.j）±k列表，对于i=2，3和j=1，2，3。这里，ρσexpn3α+σ（5+4φk）（8（1-φ） ）ois是每个表达式中的公共因子。M2.1 M3.1γ（i.1）-经验值-σ2（1-φ）γ（i.1）+kφk-1.φk+-经验值-σφk2（1-φ）γ（i.1）-k-经验值-σφk2（1-φ）M2.2 M3.2γ（i.2）ω√1.- Δξν（）-经验值-σ2（1-φ）γ（i.2）+kφk-1.ω√1.- Δξν（） ω√1.- Δξν（）φk+-经验值-σφk2（1-φ）γ（i.2）-kω√1.- Δξν（）-经验值-σφk2（1-φ）M2.3M3.3γ（i.3）P- P（1）P经验值-σ2（1-φ）γ（i.3）+kφk-1便士φk+主键-1（1）φk+Pφk+主键-1（1）- P（1）P经验值-σφk2（1-φ）γ（i.3）-kP公司φk+1主键-1.- P（1）P经验值-σφk2（1-φ）5实际数据的应用与比较在本节中，我们比较了两类支持向量机在四个实际数据集上的实施性能，（a）石油输出国组织（OPEC）提供的石油参考篮子（ORB）价格，（b）花旗银行的股票价格，（c）英国Eurovs。美元汇率和（d）标准普尔500指数。

这些数据已选择PK-1（d）=Qk-1j=01.- π+π表达式φ2jo以这种方式，经验同期相关性同时取正值（S&P500）和负值（对于其他三个数据集）。继Jacquier et al.（2004）、Berg et al.（2004）和Liu&Li（2014）之后，我们使用贝叶斯框架来估计这些支持向量机中涉及的参数。正如Nakajima&Omori（2009）所述，我们的马尔可夫链蒙特卡罗（MCMC）算法对六个模型中的公共参数（α、φ、σ和ρ）使用了以下先验条件：α~ N（0，1），φ+1~ β（20，1.5），σ~ Γ（2.5，0.025），ρ~ U型(-1，1）。对于偏态t模型（M2.2和M3.2），自由度参数ν与支持重尾收益分布的平均超参数10具有指数先验，而偏态参数λ具有相当非信息先验（即均值为0且单位方差为正态）。对于跳跃模型（M2.3和M3.3），我们观察到跳跃是罕见的，因此我们假设β（2100）优先于跳跃概率π和π。所有模型实现代码均在4核3.7GHz加速处理单元（APU）上运行，仅使用另一个Gibbs采样器（JAGS-3.4.0），并从R内进行并行处理。通过首先抛出10000个初始后验实现的awaya老化，然后让MCMC运行，直到链收敛，即，多变量潜在标度折减因子（psrf）值接近1（Gelman&Rubin 1992）。使用Raftery和Lewis标准（Raftery和Lewis 1992）计算链的最终长度。

对于对数波动率估计（^ht），使用不可计算的超前-滞后相关性，我们对每个收益时间点使用30000次后验实现。我们从时变波动率的持续性、收益率和波动率之间的超前-滞后相关性、收益分布的偏斜性和重尾性来衡量绩效比较。根据Bollerslev et al.（2006）、Ait Sahalia et al.（2013）和Wang&Mykland（2014）的发现，我们比较了收益波动率相关模型。在实证方面，我们假设RTA是不可观测波动率的代理，并通过Corr（rt，rt±k）近似超前滞后相关性（称为经验相关性）。或者，我们使用HTM的MCMC实现来估计Corr（rt，eht）（称为模型估计相关性）。5.1 ORB价格数据油价作为宏观经济指标发挥着重要作用。例如，油价大幅上涨（或正回报）导致生产成本上升，从而导致GDP下降（Rotemberg&Woodford，1999）。与股票金融衍生品类似，石油回报的波动性在决定石油衍生品价格方面也起着至关重要的作用。在本例中，我们将上述六个模型应用于从欧佩克获得的ORB价格。ORB价格是从不同产油国获得的一篮子石油价格的加权平均值。RTA和HTA之间的相关性可以证明是合理的，因为油价下跌增加了石油出口国收入减少的风险，这些国家在参考篮子中的贡献。我们分析了2010年1月1日至2016年1月1日期间1289个每日ORB价格的回报率和对数差异。图1给出了经验总结。返回数据具有平均值-0.3260×10-3，对其进行调整以获得平均零序列。