一类新的离散时间相关随机波动率模型

其他定义样本力矩为标准偏差=0.1141×10-1，偏度（Sk=-0.5659）和峰度（κ=5.7315）。从图1和汇总统计数据中可以清楚地看出，数据来自重尾分布，经验超前-滞后相关性Corr（rt，rt）在k=0时最小化。经验同期相关性为-0.3526。简单巴特利特置信区间（-0.05635,0.05635）表明同期相关性显著。我们进一步研究了结果，并将模型估计的超前滞后相关性与经验超前滞后相关性进行了比较（见图2）。根据图2，所有支持向量机似乎都在捕获总体性质方面做着类似的工作。然而，更深入的调查显示，M3.1和M3.3给出了更好的经验值近似值。表3中报告了通过JAGS实现的六个符合ORB回报的支持向量机的参数估计（后验平均值和95%可信区间）。为了更彻底地比较常用参数（α、φ、σ、ρ），图3通过方框图显示了后验概率。表3和图3显示，在两种类型的支持向量机（基于ht的支持向量机与基于ht+1的支持向量机）中，大多数估计模型参数具有可比性（即，在统计上不可区分），并且与其他文献中报告的结果一致（见Vo（2009））。表3和图3中有几个有趣的发现如下：（A）收益序列（b）密度图（c）经验超前滞后相关性（d）正常QQ图图图1：从欧佩克获得的2010年1月1日至2016年1月1日期间每日ORB收益价格的探索图。与基于ht的模型M3.1相比，基于ht+1的模型M2.1中的长期波动率（α）估计较低。

MCMC对对数波动率过程波动率的估计（用σ衡量）显示出一种有趣的模式，即σ（i.1）>σ（i.3）>σ（i.2），以及当i=2、3和j=1、2、3时，σ（2.j）<σ（3.j）。结果表明，估计φ接近1的高波动率聚类在所有模型中都是常见的，除M3.3外，所有模型的误差相关性ρ均接近-0.3。图2：ORB：使用ht±k的MCMC实现对模型估计的超前-滞后相关性Corr（rt，eht±kΘ，r）和所有六种支持向量机的经验值Corr（rt，rt）进行比较。表3：基于ht和ht+1的SVMs参数M2.1 M2.2 M2.3 M3.1 M3.2 M3.3α-7.88-7.53-8.5-9.23-8.087-7.9936（-9.2，-6.45）（-8.389，-6.568）（-9.37，-7.06）（-9.61，-8.86）（-8.93，-7.14）（-9.37，-6.37）σ0.19 0.1228 0.14 0.15 0.18 13,0.26）（0.08,0.17）（0.066,0.22）（0.13,0.27）（0.10,0.20）（0.09,0.26）φ0.985 0.982 0.977 0.97 0.987 0.982（0.969,0.99）（0.96,0.99）（0.95,0.99）（0.95,0.9897）（0.98,0.99）（0.96,0.99）ρ-0.28-0.41-0.42-0.28-0.41-0.017（-0.43，-0.11）（-0.59，-0.24）（-0.80，-0.14）（-0.48，-0.18）（-0.58，-0.22）（-0.034，-0.0032）ν-14.83-15.43-（6.68,26.43）26）（7.17,26.68）λ–-0.005–-0.012–-0.01，-0.0013（-0.029,0.056）π–-0.0015–-0.0011（0.00002,0.036）（0.00005,0.0036）π–-0.023–-0.0187M3.3对数波动过程中的（0.0012,0.049）（0.0004,0.043）成分掩盖了ε和ηt之间的相关性影响。

这一观察结果也与其他数据集一致（见图6、9、12）。（a） α（b）σ（c）对数（φ/（1-φ） ）（d）ρ图3：油价数据：使用第2节和第3.5.2节花旗价格数据中所有六个模型的JAGS中获得的MCMC实现，对α、σ、φ、ρ进行后验分布。从纽约证券交易所（NYSE）获得的花旗银行（以下简称花旗）日股价使用此处考虑的六个支持向量机进行建模。CITIreturns rt=log（Pt）-日志（Pt-1） ，其中Pt表示2010年1月1日至2016年1月1日之间的1509日价格，见图4。（a） 收益率序列（b）密度图（c）经验超前滞后相关性（d）正常QQ图图图4:2010年1月1日至2016年1月1日期间花旗每日收益的探索图。平均调整收益率序列的重要汇总统计为：标准差0.218×10-1，偏度，Sk=-0.4365，峰度，κ=8.7734。也就是说，返回分布似乎呈负偏斜，尖峰和厚尾。图4（c）中的经验超前滞后相关图显示ρ=-0.1755是最大震级，超出了Bartlett关于零的95%置信区间，因此意义重大。图5显示，与基于HTBasedSVM的模型相比，基于ht+1的模型估计的超前滞后相关性更接近于经验超前滞后相关性。

本图的第二个面板显示，估计模型隐含的潜在客户相关性呈指数增长。图5：CITI：所有六种支持向量机的模型估计超前-滞后相关性Corr（rt，e^ht±k |，r）与MCMC估计的ht±k的经验值Corr（rt，rt±k）的比较。表4提供了后验均值和95%可信区间的参数估计，图6描述了常见参数的后验分布。表4：基于ht和ht+1的SVMS参数M2.1 M2.2 M2.3 M3.1 M3.2 M3.3α-7.47-6.5-7.66-8.18-7.19-7.66（-8.108，-6.75）（-7.25，-5.77）（-8.16，-7.1）（-8.604，-7.72）（-7.79，-6.56）（-8.17，-7.05）σ0.152 0.1081 0.098 0.144 0.11（0.1116,0.1988）（0.079,0.138）（0.006,0.14）（0.1056,0.189）（0.095,0.16）（0.066,0.1539）φ0.9858 0.9853 0.985 0.9845 0.98780.9843（0.9776,0.99）（0.9769,0.99）（0.9768,0.99）（0.9756,0.99）（0.9833,0.99）（0.97,0.9899）ρ-0.25-0.4655-0.343-0.31-0.4181-0.0031（-0.46，-0.043）（-0.6749，-0.2589）（-0.66，-0.02）（-0.51，-0.09）（-0.676，-0.122）（-0.0095,0.0029）ν–8.95––8.98–（5.33,13.39）（5.61,14.3）λ–-0.0081––0.0016–（-0.014，-0.0031）（-0.05,0.05）π––0.0015––0.0014（0.00003,0.0035）（0.00005,0.0033）π–0.016–0.0149（0.0023,0.03）（0.0024,0.031）（a）α（b）σ（c）对数（φ/（1-φ） ）（d）ρ图6:CITI数据：基于第2节和第4节中所有模型的MCMC实现的α、σ、φ、ρ的后验分布。参数估计和相应的可信区间与文献一致。我们发现类似的模式，如ORB价格数据分析结果。

图6还表明，基于HTM和ht+1的支持向量机对大多数关键参数都会产生统计上难以区分的后验分布，M3.3中的ρ除外（类似于ORB数据）。5.3欧元兑美元汇率汇率是一国投资的主要决定因素之一。众所周知，外汇市场比股票市场大得多，因此与之相关的风险至关重要。早期有关汇率波动建模的文献描述，一种货币价值的增加相当于另一种货币价值的减少。外汇的这种双边性质支持了对称收益波动关系，这进一步证明了汇率收益对称分布的假设（Bollerslev，Chou&Kroner，1992）。然而，最近的文献表明，汇率收益率分布数据存在偏态。Diebold&Nerlove（1989）和最近的Patton（2006）以及Beine、Lahaye、Laurent、Neely&Palm（2007）报告了在不同时间间隔观察到的不同汇率回报的正偏态和负偏态。在本节中，我们将所有六种支持向量机应用于2010年1月1日至2014年12月31日期间观察到的1826年报表onEuro兑美元汇率。图7总结了数据的有趣特性。平均调整收益率序列的重要汇总统计为：标准差，0.0394×10-1，偏度（Sk）=-0.2404，峰度=5.1829。也就是说，回报分布略微呈负偏态，且呈轻薄曲线。图7（c）中的经验超前滞后相关图显示了滞后零点处的最大值（量级），即。

ρ=-0.108（如前所述，根据巴特利特间隔，这是重要的）。图8描述了两类支持向量机超前-滞后相关性的彻底比较（模型估计和经验）。与前面的示例一样，超前-滞后相关图（图8）显示，与其他模型相比，M3.1和M3.3给出了经验值的良好近似值（在本示例中，事实上非常好）。表5总结了两类支持向量机参数的后验均值和95%可信区间，图9中的方框图描述了常见参数的完整后验分布，即。α、 φ，σ，ρ。表5和图9显示，与前面的示例不同，σ、φ和ρ的估计值显示出不同的模式。在这种情况下，M3.1和M3.3中的估计σ大约是其他模型下的10倍。有趣的是，表3.1和M3.3中的α估计值非常大。据估计，在ht+1基础模型下，波动率聚类φ相对较低（M3.1为0.44，M3.3为0.46）（a）收益序列（b）密度图（c）经验超前滞后相关性（d）正常QQ图图图7：2010年1月1日至2014年12月31日期间欧元兑美元日收益的探索图。然而，基于HTM的模型显示出相当高的波动性聚类。从ρ的95%可信区间中可以注意到一个更有趣的事实，即在三分之二基于ht的模型下，ρ不显著，而在基于ht+1的模型下，ρ显著。

另一个需要注意的重要点是，M3.1和M3.3中超前-滞后相关性的非常好的近似值可能归因于σ的较大值。图8：欧元-美元：所有六种支持向量机的模型估计相关性Corr（rt，eht±k |，r）与经验值Corr（rt，rt）的比较，使用ht±k的MCMC实现。表5：基于ht和ht+1的SVMs参数M2.1 M2.2 M2.3 M3.1 M3.2 M3.3α-10.67-9.56-10.75-11.77-10.13-11.87（-11.31，-9.94）（-10.08，-9.01）（-11.29，-10.13）（-11.93，-11.63）（-10.56，-9.69）（-11.87，-11.56）σ0.068 0.094 1.24 0.09 1.2（0.088,1 0.181）（0.05,0.088）（0.006,0.137）（1.06,1.43）（0.07,0.12）（1.01,1.4）φ0.9873 0.9859 0.9855 0.44 0.9890.46（0.9814,0.99）（0.978,0.99）（0.976,0.99）（0.3277,0.5535）（0.9869,0.99）（0.34,0.57）ρ-0.0037-0.24 0.1027-0.05-0.2473-0.044（-0.18,0.18）（-0.4，-0.084）（-0.178,0.3965）（-0.089，-0.015）（-0.48，-0.011）（-0.0677，-.013）ν–4.34––4.16–（4,4.92）（4,4.48）λ–-0.0064––0.015–（-0.012，-0.002）（-0.042,0.071）π––0.0016––0.00105（1.2×10-4,0.0034）（2.75×10-5,0.0025）π–0.015–0.0207（0.002,0.031）（3.19×10-4,0.049）。（a） α（b）σ（c）对数（φ/（1-φ） ）（d）ρ图9：欧元-美元数据：基于第2节和第4.5.4节标准普尔500指数数据中所有模型的MCMC实现的α、σ、φ、ρ的后验分布标准普尔500指数的时变波动率在文献中得到了广泛讨论（例如，Erakeret al.（2003）、Bolleslev et al.（2006）、Abanto Valle et al.（2010））。在此，我们考虑了2010年1月1日至2015年12月31日期间的1509S&P500回报，并将上述六个模型应用于数据。图10总结了数据。这是一个有趣的数据集，包含专家报告的各种发现/结果。

例如，French、Schwert&Stambaugh（1987）和Campbell&Hentschel（1992）发现pos（a）收益序列（b）密度图（c）经验超前滞后相关性（d）正常QQ图图图10：2010年1月1日至2015年12月31日期间的每日SNP收益探索图。市场指数回报率与其波动性之间存在直接关系，而Glosten、Jagannathan和Runkle（1993）发现这种关系呈负相关。收益率与其波动率之间的零相关性也未被排除（见Bekaert&Wu（2000））。在我们的实施中，我们使用了一个flat previor over(-1，1）以避免任何偏差。回归序列的汇总统计（标准差，0.178×10-1，偏度，Sk=-0.1095，峰度，κ=4.8811）表明数据有轻微的负偏斜，带有重尾（与之前的数据相比较轻）。图10（c）中的超前-滞后相关性没有表现出任何明显的趋势（与前面的示例不同）。与其他示例不同，最大值（inmagnitude）位于滞后零点，略为正值，ρ=0.065。图11显示了经验相关性和模型估计相关性的模型比较。图11：SNP：使用ht±k的MCMC实现的模型估计超前-滞后相关性Corr（rt，eht±kΘ，r）与所有六种支持向量机的经验值Corr（rt，rt）的比较。图11显示，除M3.2外，所有模型都给出了正的同期相关性，并且没有明确的最佳模型。

然而，M2.3和M3.1似乎捕捉了大多数经验数据趋势。表6和图12总结了参数估计。表6：SNP：基于ht和ht+1的SVMs参数M2.1 M2.2 M2.3 M3.1 M3.2 M3.3α-8.15-7.4083-8.19-8.23-7.64-8.1968（-8.33，-7.96）（-7.9995，-6.83）（-8.37，-8.00）（-8.39，-8.06）（-7.99，-7.31，-8.375，-8.016）σ0.2 0.1034 0.1652 0.2236 0.1069 0.19（0.12,0.28）（0.068,0.1448）（0.005,0.25）（0.13,0.34）（0.067,0.15）（0.007,0.31）φ0.93 0.9579 0.92 0.910.9675 0.91（0.87,0.98）（0.9264,0.99）（0.86,0.9738）（0.83,0.97）（0.94,0.99）（0.8268,0.9749）ρ-0.17-0.3785-0.2057-0.014-0.199 3.5×10-5（-0.38,0.035）-0.6357，-0.1355（-0.51,0.1021）-0.1956,0.16（-0.518,0.119）（-0.002,0.021）ν–6.75––6.44–（4.58,9.2）（4.51,9.06）λ–-0.005–-0.004–（-0.029，-0.002）（-0.06,0.05）π–0.0017––0.0016（3.6×10-5,0.0039）（3.48×10-5,0.0037）π–0.019–0.018（8.5×10-4,0.04）（7.6×10-4,0.041）（a）α（b）σ（c）对数（φ/（1-φ） ）（d）ρ图12：SNP数据：基于第2节和第4节中所有模型的MCMC实现的α、σ、φ、ρ的后验分布。与前面的示例一样，除了M3.3.5.5结果讨论中的ρ值外，两类模型（即M2.j vs.M3.j）的共同参数α、σ、φ和ρ估计值是可比较的。我们现在讨论应用于所有六种支持向量机的所有四个示例的总体结果。尽管有一些有趣的观察结果，但以下是一些重要的评论：（1）所有参数估计表和箱线图都表明，当收益分布假定为偏态t时，ρ（Mi.2）>ρ（Mi.1），ρ（Mi.3），对于i=2和3。

这可能意味着，如果不考虑偏度，则ε和ηt之间的相关性，或等效的杠杆效应，变得显著。（2） 四分之三的例子（ORB价格、欧元兑美元汇率和标准普尔500指数）表明，在偏态t模型中，σ的估计值最小，即σ（Mi.2）<σ（Mi.1），σ（Mi.3），i=2和3。（3） M3.3（在所有示例中）ρ的显著差异后验分布可能如下所示。由于所有例子的返回过程中估计的跳跃概率（π）都很小，所以让π等于零。进一步假设波动率大幅上升 发生在时间t，即J2，t=1和J2，t-1=0。然后，根据M3.3在该跳变时间t isrt=exp的电流返回经验值α+φ（ht-1.- α） +σηtεt。因此，杠杆的一部分（或收益波动率平衡）由 术语和剩余部分由相关性ρ捕获。换句话说，与其他模型相比，|ρ|的较小值在某种程度上是可以预期的。然而，对于M2.3，currentreturn将bert=expα+φ（ht-1.- α） +σηt-1.εt，其中ht=K2，t-1J2，t-1+α+φ（ht-1.- α） +σηt-1和J2，t-1=0（根据我们对时间t发生跳跃的假设）。因此，术语包含 在M2.3的返回表达式中没有出现，并且没有混淆效应。6结论数十年来，风险资产回报率随时间变化的波动性建模和分析一直是人们感兴趣的话题。研究人员已经提出了大量的连续时间-仓促波动率模型，然而，对于离散时间设置，仍然需要更多的创新努力。其中，Ghysels et al.（1996）、Jacquier et al.（2004）和Abantovale et al.（2015）提出了一些流行的离散时间模型，我们称之为基于ht+1的支持向量机（见第2节）。