一类新的离散时间相关随机波动率模型

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英文标题：
《A New Class of Discrete-time Stochastic Volatility Model with Correlated
  Errors》
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作者：
Sujay Mukhoti and Pritam Ranjan
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最新提交年份：
2017
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英文摘要：
  In an efficient stock market, the returns and their time-dependent volatility are often jointly modeled by stochastic volatility models (SVMs). Over the last few decades several SVMs have been proposed to adequately capture the defining features of the relationship between the return and its volatility. Among one of the earliest SVM, Taylor (1982) proposed a hierarchical model, where the current return is a function of the current latent volatility, which is further modeled as an auto-regressive process. In an attempt to make the SVMs more appropriate for complex realistic market behavior, a leverage parameter was introduced in the Taylor SVM, which however led to the violation of the efficient market hypothesis (EMH, a necessary mean-zero condition for the return distribution that prevents arbitrage possibilities). Subsequently, a host of alternative SVMs had been developed and are currently in use. In this paper, we propose mean-corrections for several generalizations of Taylor SVM that capture the complex market behavior as well as satisfy EMH. We also establish a few theoretical results to characterize the key desirable features of these models, and present comparison with other popular competitors. Furthermore, four real-life examples (Oil price, CITI bank stock price, Euro-USD rate, and S&P 500 index returns) have been used to demonstrate the performance of this new class of SVMs.
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中文摘要：
在一个有效的股票市场中，收益率及其随时间变化的波动率通常由随机波动率模型（SVM）联合建模。在过去几十年中，有人提出了几种支持向量机，以充分捕捉收益率与其波动率之间关系的定义特征。在最早的支持向量机中，Taylor（1982）提出了一种层次模型，其中当前收益率是当前潜在波动率的函数，进一步将其建模为自回归过程。为了使支持向量机更适合复杂的现实市场行为，在Taylor支持向量机中引入了杠杆参数，但这违反了有效市场假设（EMH，防止套利可能性的收益分布的必要平均零条件）。随后，开发了一系列替代支持向量机，目前正在使用。在本文中，我们对泰勒支持向量机的几种推广提出了均值修正，这些推广既能捕捉复杂的市场行为，又能满足有效市场假说。我们还建立了一些理论结果来描述这些模型的主要理想特征，并与其他流行的竞争对手进行了比较。此外，还使用了四个实际示例（油价、花旗银行股价、欧元兑美元汇率和标准普尔500指数收益率）来演示这类新型支持向量机的性能。
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分类信息：

一级分类：Statistics        统计学
二级分类：Applications        应用程序
分类描述：Biology, Education, Epidemiology, Engineering, Environmental Sciences, Medical, Physical Sciences, Quality Control, Social Sciences
生物学，教育学，流行病学，工程学，环境科学，医学，物理科学，质量控制，社会科学
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Statistical Finance        统计金融
分类描述：Statistical, econometric and econophysics analyses with applications to financial markets and economic data
统计、计量经济学和经济物理学分析及其在金融市场和经济数据中的应用
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PDF下载：
--> A_New_Class_of_Discrete-time_Stochastic_Volatility_Model_with_Correlated_Errors.pdf (1.15 MB)

2022-5-31 06:34:11 上传

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关键词：波动率模型 离散时间 波动率 Applications epidemiology

具有相关误差的一类新的离散时间随机波动模型Sujay Mukhoti和Pritam Ranjan运营管理和定量技术，印度管理学院印度印多尔M.P.，453556(sujaym@iimidr.ac.in，则，pritamr@iimidr.ac.in)摘要在一个有效的股票市场中，收益率及其随时间变化的波动率通常由随机波动率模型（SVM）联合建模。在过去几十年中，提出了几种支持向量机，以充分捕捉收益率与其波动率之间关系的定义特征。在最早的支持向量机中，Taylor（1982）提出了一种层次模型，其中当前收益率是当前潜在波动率的函数，进一步将其建模为自回归过程。为了使支持向量机更适合复杂的现实市场行为，在泰勒支持向量机中引入了杠杆参数，但这违反了有效市场假设（EMH，防止套利可能性的回报分布的必要平均零条件）。随后，开发了一系列替代支持向量机，目前正在使用。在本文中，我们对泰勒支持向量机的几种推广提出了均值修正，这些推广既能捕捉复杂的市场行为，又能满足有效市场假说。我们还建立了一些理论结果来描述这些模型的主要理想特征，并与其他流行的竞争对手进行了比较。此外，还使用了四个实际示例（油价、花旗银行股价、欧元兑美元汇率和标准普尔500指数收益率）来演示这类新型支持向量机的性能。关键词：随机过程，杠杆效应，鞅差，偏度，波动不对称。1简介在过去几十年中，资产回报的时变波动性在金融统计中引起了极大的关注。

资产回报的波动性通常被定义为回报的标准差或方差，并被假定为不可观察的。对于本文的理论和实证结果，我们使用收益率的方差作为波动率。如果风险资产（如股票或股票）的价格包含关于它的所有可用信息，则称金融市场有效，这被称为有效市场假说（EMH）。在这样的市场中，资产的风险是通过其回报波动性来衡量的。随机波动率模型（SVM）是描述资产收益率与其时变波动率之间关系的一类流行的层次模型。让ε和ηt忽略收益率和对数波动率过程中的误差，然后本文重点研究具有相关收益率-波动率关系的虚拟机，即ρ=Corr（εt，ηt）6=0。尽管连续时间支持向量机中相关收益率和波动率的概念可以追溯到Black（1976），但直到最近，离散时间相关支持向量机的研究才很多。在本文中，我们还研究了当前收益率与拉格多铅波动率之间的相关模式，并提出了一套新的离散时间支持向量机。。假设Pt表示时间t时风险资产的价格，则平均调整收益率Rt=log（Pt/Pt-1） ，可以使用SVM建模。虽然有大量SVM用于描述收益，但最简单但最流行的离散时间SVM之一是givenby Taylor（1982），其中收益过程RTI是两个独立随机过程的非线性产物，即。i.i.d.误差过程εt和潜在对数波动过程ht，进一步建模为AR（1）。也就是说，rt=expht公司εt，ht=α+φ（ht-1.- α） +σηt，t=1，2。

，（1）其中α=E（ht）是长期对数波动率，φ表示对数波动率过程的平稳性，σ表示ht的可变性，ε和η表示不相关的i.i.d.N（0，1）误差。注意，在这种情况下，rtis是一个鞅差序列，因此E[rt | Ft-1] =0，其中Ft-1是用r，…，生成的空间（σ-场）。。。，rt公司-1、换言之，过去的观察结果无法预测回报，因此符合EMH。Black（1976）指出，高波动率伴随着价格下跌（或负回报），低波动率伴随着价格上涨（或正回报）。收益率与其波动率之间的这种负相关性被称为“杠杆”效应（参见Nelson（1991））。其中，Jacquier、Polson和Rossi（2004）建议使用相关参数ρ=Corr（εt，ηt）来捕捉更现实的市场行为。然而，结果表明，一个非零ρ参数使E[rt | Ft-1] 非零，违反EMH（Yu 2005）。这给模型（1）的进一步扩展和推广带来了障碍。或者，收益率和对数波动率之间的关系可以建模为RT=expht公司εt，ht+1=α+φ（ht- α） +σηt（2），其中ηtandεtisρ之间的相关性，在层次结构的第二个层次中，与模型（1）相比，ht+1是（ht，ηt）的函数，其中，ht是针对（ht）建模的-1，ηt）中（详见Ghysels、Harvey&Renault（1996）和andOmori、Chib、Shephard&Nakajima（2007））。

由于在模型（2）中，Ht取决于ηt-1，ηt-2.很容易证明E[rt | Ft-1] =0，确保与EMH一致。在过去的几年里，人们提出了一系列这种支持向量机的推广模型（2），以使该模型更加真实，能够捕捉回归过程的复杂特征。例如，Duffee，Pan&Singleton（2000年）和Eraker，Johanners&Polson（2003年）在收益和波动过程中使用了对冲成分来捕捉极端收益及其由类似崩盘事件引起的持续影响，这种情况并不罕见。Aas&Haff（2006）使用广义双曲斜t分布来明确解释收益分布中的偏态和重尾；Abanto Valle、Bandyopadhyay、Lachos和Enriquez（2010年）使用了法线的比例混合；Abanto Valle、Lachos&Dey（2015）使用扭曲的tdistribution对收益进行建模。我们将支持向量机分为两类，（a）基于ht+1的模型-模型（2）的推广，（b）基于ht的模型-模型（1）的推广。尽管有大量基于ht+1的泛化，但迄今为止开发的基于ht的支持向量机并不多。根据我们的理解，缺乏基于ht的归纳的主要原因是（1）在满足EMH方面存在相关错误。为了解决这一问题，Mukhoti&Ranjan（2016）提出了（1）的平均修正版本，其中包含相关错误。本文的主要重点是扩展Mukhoti&Ranjan（2016）的工作，并开发基于广义ht的支持向量机，对应于基于广义ht+1的模型，该模型具有偏t误差（Abanto Valle et al.2015）和跳跃分量（Eraker et al。

2003年）。此外，Mukhoti&Ranjan（2016）将超前滞后相关性定义为Corr（rt，ht±k），而在本文中，我们遵循更传统的方法，并使用Corr（rt，eht±k）量化超前滞后相关性（注意，htis为对数波动率，ehtis为波动率）。对于每日频率数据，Bollerslev、Litvinova和Tauchen（2006）报告了RTA和波动率代理rt±k之间的（无模型）相关性（因为Ht是不可观察的），并证明收益率（rt）与其波动率（eht）之间的同期相关性是负的，且在量级上是最大的，并且Corr（rt，eht+k）相对于k>0呈指数增长。Ait Sahalia，Fan&Li（2013）提供了当波动率代理是realizedvolatility时，同期回报-波动率相关性的估计偏差。这两篇论文将同期相关性确定为杠杆效应。根据不同的SVM规范，即模型隐含杠杆，我们没有遇到任何其他关于杠杆的研究。在本文中，我们使用Bollerslev et al.（2006）和Model Emulated Corr（rt，eht）中的两种方法推导杠杆率（或同期相关性）。我们进一步推广这一点，以发现k>0时，eht±k与eht之间的超前-滞后相关性。我们还提供了回报分布的前四个无条件矩的闭合形式表达式。这些矩进一步用于计算偏度和峰度，从而量化收益分布中所需的不对称性和尾部丰度。虽然推导（三阶和四阶矩和超前-滞后相关性）不太复杂，但我们没有意识到其在文献中的存在。这些汇总统计数据有助于将拟议的基于ht的模型与相应的基于ht+1的支持向量机进行比较。

考虑到手稿的长度，这里没有包括推导和证明。除了理论比较外，我们还将这两类模型放在四个真实生活数据集上，即。每日石油参考篮子（ORB）价格、花旗银行股价、标准普尔500指数和欧元-美元汇率，并比较不同的模型特征。这些数据集是专门用来表示不同类型的风险资产的。对于模型实现，我们在另一个Gibbs Sampler（JAGS）软件下使用了贝叶斯框架。手稿的其余部分组织如下：第2节简要回顾了三种流行的基于ht+1的支持向量机（基本模型（2）、具有倾斜t回报的模型和具有跳跃分量的模型）。第3节首先简要回顾了Mukhoti&Ranjan（2016）中的（基础模型）结果，然后我们提出了新的基于均值校正的ht模型，该模型具有倾斜t回报分布和跳跃分量。第4节概述了动量和超前-滞后相关性的一些理论结果，这些结果比较了两类支持向量机（基于ht和基于ht+1）的关键特征。第5节总结了六个模型在四个实际应用程序上的实现结果，第6节最后给出了一些重要的评论。2流行的基于ht+1的支持向量机在本节中，我们简要回顾了三种流行的基于ht+1的支持向量机，它们具有相关误差ε和ηt。第4节介绍了rt前四个矩的闭合表达式，以及这些模型下RTA和eht±kunder之间的超前-滞后相关性。推导并不复杂，然而，据我们所知，文献中没有明确提供三阶和四阶矩以及超前-滞后相关性的闭合形式表达式。（M2.1）基本模型：尽管第一个离散时间SVM是由Taylor（1982）正式提出的，如（1）所示，Ghysels等人。

（1996）记录了一种最简单的基于yetrealistic ht+1的支持向量机，它可以捕获杠杆效应和回报-波动率关系中的波动率聚类。我们将（2）作为这类支持向量机的基础模型。在该模型中，我们假设（εt，ηt）遵循均值为零、方差为1、相关系数为ρ的双变量正态分布。rt的无条件中心矩（见第4节）可用于测量偏度和峰度。此外，由于ht+1可表示为ht+1- α=σ∞Xj=0φjηt-j、 htis N（α，σ/（1））的边缘分布- φ） ）。该模型（2）是近期文献中若干应用和方法研究的基础。例如，Omori et al.（2007）将基于马尔可夫链蒙特卡罗（MCMC）的参数估计技术用于东京证交所每日收益率的模型。Asai和McAleer（2009）讨论了这种基本SVM的多元扩展。Du、Yu和Hayes（2011）使用上述模型来解释原油回报波动率的关系。Yu（2012）提出了该支持向量机中经典leveragestructure的半参数化推广，其中使用每日和每周观察的P500指数和微软股票收益率数据证明了该模型的有效性。M2.1中使用的（εt，ηt）的双变量正态分布不足以解释极端回报，极端回报偶尔出现在许多实际情况中，例如，在2008年雷曼兄弟事件等类似acrash的时期。因此，需要进一步更新/扩展（2）。一种自然的替代方法是使用重尾分布代替高斯分布来模拟收益。

Chib、Nardari和Shephard（2002）通过用t分布建模收益，即rt=ωexp（ht/2）U，推广了DM2.1-1/2tεt，其中Ut~Γ（ν/2，ν/2），εt/√UT遵循具有ν自由度的t分布，选择ω，使V ar（rt | ht）=exp（ht）。Berg、Meyer&Yu（2004）和Asai（2008）比较了几个具有不同重尾收益分布的LSVM。Abanto Valle等人（2010年）提出了一种稳健的贝叶斯支持向量机，该支持向量机使用正态分布的尺度混合来计算收益的厚尾。Wang，Chan&Choy（2011）将（εt，ηt）建模为双变量t分布，这可能是有疑问的，因为η的矩母函数和随后的任何Rt边际矩都不存在。然而，如果我们感兴趣的是（比如）rt | ht的条件分布，而不是边际分布，那么这就不是一个问题。当然，平均回报率为零的必要假设（E[rt | Ft-1] =0，根据EMH），对于任何可接受的SVM，都不能保证回报分布是对称的。事实上，如Black（1976）所示，V ar（rt | rt>0）<V ar（rt | rt<0），这导致回报分布不对称。因此，SUCHSVM中呈现的典型高斯分布或t分布无法捕捉这种不对称性。rt分布的三阶矩及其在M2.1下的偏度也为零（见第4节表1）。Tsiotas（2012）开发了一种具有杠杆和偏t误差的SVM，但它不符合EMH（即，e[rt | Ft-1] 6=0），Abanto Valle等人（2015）提出了一个基于倾斜t的模型，但没有相关误差。接下来，我们将介绍Abanto Valle等人对SVM的自然推广。

（2015），并包括相关收益率和波动率误差。（M2.2）倾斜t模型：回报率可建模为RT=expht公司ωU-1/2t“δWt-rπ+√1.- Δεt#（3）ht+1=α+φ（ht- α） +σηt，其中（εt，ηt）遵循双变量正态分布，平均值为零，方差为1，相关性为ρ，权重常数为δ=λ/√1+λ，Ut~ Γ（ν/2，ν/2），重量~ N+（0，1）（半正态）和ω的选择应确保V ar（rt | ht）=exp（ht）。这里，St=ωU-1/2δWt公司-p2/π+√1.- Δεt服从歪斜t分布，歪斜度由（Wt）定义-p2/π）/√Ut和εt/√UTA通过t分布计算重尾部分。如前所述，HTS的边际分布为N（α，σ/（1- φ） ）和第4节总结了RTA的无条件中心力矩。或者，Aas&Ha ffi（2006）、Nakajima&Omori（2012）和Takahashi、Watanabe&Omori（2016）使用广义超对数偏态t分布对尾部脂肪度和收益偏度进行了建模，Abanto Valle et al.（2010）使用了正态标度混合，而Delatola&Griffin（2011）和Jensen&Maheu（2010）使用Dirichlet过程混合来捕捉收益偏度和峰度。请注意，上述DSVM都无法捕捉到在碰撞（或繁荣）期间观察到的收益突然下降（或上升）。回报的这种（非平稳）变化可以用回报分布的跳跃来更好地解释（Nakajima&Omori，2009）。（M2.3）具有跳跃的模型：Eraker et al.（2003）提出了最流行的SVM之一，其跳跃组件包括在收益和对数波动过程中，以适应产生此类极端收益所需的高波动性。