相对风险下最优投资的平均场与n-agent对策

如果我们有一个固定点，即一致性条件，E[X*T | FBT]=X，保持，然后π*是aMFE。直观地说，连续体中的每个代理都面临一个独立的噪声W、一个独立的类型向量ζ和相同的公共噪声B。因此，有条件地，在B上，所有代理都面临相同优化问题的i.i.d副本。启发性地，大数定律表明，全体人口的平均最终财富应该是E[X*T | FBT]。这种一致性条件说明了代表性代理面对的两个布朗运动W和B所起的不同作用。也许直觉上更清楚的是σ=0 a.s.的情况，因此没有常见的噪声项。在这种情况下，一致性条件可以替换为X=E[X*T] ，因为连续体中的每个代理都面临相同优化问题的i.i.d.副本。我们请读者参考文献[16]详细讨论常见噪声的平均场对策，并参考文献[12，39]了解n-agent对策极限的一般结果。或者，所谓的“精确大数定律”提供了另一种形式化方法，即在连续的（有条件的）独立代理上求平均值。2.2.2。平均场博弈的另一种形式。值得强调的是，优化问题（20）将类型向量ζ视为随机性的真正来源，以及布朗运动产生的随机性。

然而，下面给出的另一种解释也有助于解决制造问题。作为我们的起点，请注意，对于固定的FBT可测量随机变量x，我们有SUPπ∈AMFEh公司-e-δ（XT-θX）i=E[u（ζ）]，（21），其中u（·）是为类型空间Zebyu（ζ）：=supπE的（确定性）元素ζ=（X，δ，θ，u，ν，σ）定义的值函数- 经验值-δeXζ，πT- θX, （22）对于dexζ，πt=πt（udt+νdWt+σdBt），eXζ，π=x，其中上确界是平方可积过程，该过程相对于布朗运动W和B产生的过滤是可逐步测量的（注意，该过滤中没有随机变量ζ）。对于确定性类型向量ζ∈ Ze，数量u（ζ）可解释为ζ型试剂面临的优化问题（22）的值。另一方面，（21）左侧的原始优化问题给出了在时间0随机分配类型之前管理者面临的最佳期望值。这种新的解释将在下文第10项证明中隐晦地用于计算MFE。我们可以将u（ζ）=vζ（x，0）写为HJB方程解的时间零值，vζ（x，t），对于（x，t）∈ R×[0，T]。此符号中的最佳值有一些冗余，因为xis已经是向量ζ的一部分。当使用随机型向量ζ时，（21）的左侧是这些时间零值的期望值，e[vζ（ξ，0）]。同样，最优策略πζ，*in（22）取决于ζ的固定值。然后通过插入随机类型向量得到（21）左侧的最优策略，得到πζ，*∈ AMF。这正好解释了策略πζ，*作为向量ζ型agent选择的策略。2.2.3。解决平均值博弈。

接下来，我们给出了第二个主要结果，其中我们构造了一个常数MFE，并为其唯一性提供了条件。结果还证实了MFG公式确实是合适的，因为我们获得的MFE符合（18）意义上的n-主体平衡策略的限制。定理10。假设a.s.，δ>0，θ∈ [0，1]，u>0，σ≥ 0，ν≥ 0，σ+ν>0。定义常数Д：=EΔuσ+ν和ψ：=Eθσ+ν,我们假设这两种预期都存在并且是确定的。有两种情况：（1）如果ψ<1，则存在唯一常数MFE，由π给出*= Δuσ+ν+θσ+νν1- ψ。（23）此外，我们有恒等式[σπ*] =^11- ψ。（2） 如果ψ=1，则不存在常数MFE。接下来，我们重点介绍单个股票的情况，注意到解决方案的形式基本上与推论4中所示的n-agent博弈中的形式相同。推论11（单株）。假设（u，ν，σ）是确定性的，ν=0，u，σ>0。定义常数δ：=E[δ]和'θ：=E[θ]。有两种情况：（1）如果θ<1，则存在唯一常数MFE，由π给出*=δ+θδ1- θuσ。（2） 如果θ=1，则不存在常数MFE。定理10的证明。构造常数MFE的第一步是解决（20）中的随机优化问题，对于给定的X选择。首先，观察到它有助于限制我们对形式为X=E【XαT | FBT】的随机变量X的关注，其中Xα为一些可接受的策略α求解（19）∈ AMF。然而，由于我们只研究常数MFE，我们可以确定一个常数策略，即FMF可测量的随机变量α与e[α]<∞.可以方便地定义∈ [0，T]，Xt：=E[XαT | FBT]。注意到XT=X，关键思想是确定过程的动力学（XT）t∈[0，T]并将其纳入控制问题的状态过程（20）。

因为（ξ，u，σ，ν，α），W和B是独立的，我们必须有xt=ξ+uαt+σαBt，其中我们对可积r和dom变量M使用符号M=E[M]。反过来，对于π∈ AMF，我们定义，用于∈ [0，T]，ZπT：=XπT- θXt，带（Xπt）t∈[0，T]求解（19）。那么，dZπt=（uπt- θuα）dt+νπtdWt+（σπt- θσα）dBt，Zπ=ξ- θξ。因此，我们将吸收X作为受控状态过程的一部分。因此，我们可以等价地解决Merton型问题supπ，而不是解决原始控制问题（20）∈AMFE公司- 经验值-δZπT. （24）如第2.2.2节所述，上述上确界等于E[v（ξ- θξ，0）]，其中v（x，t）是HJB方程vt+maxπ的唯一（光滑、strictly凹且在x中严格递增）解νπ+（σπ- θσα）vxx+（μπ- θuα）vx= 0，（25），终端条件v（x，T）=-e-x/δ。我们强调HJB方程是随机的，因为它取决于FMF可测量的类型参数（δ、θ、u、ν、σ）。方程式（25）简化为VT-（uvx- θσσαvxx）（σ+ν）vxx- θuαvx+（θσα）vxx=0。使ansatz v（x，t）=-e-x/δf（t），ab-ove减少tof′（t）- ρf（t）=0，f（t）=1，ρ由FMF可测随机变量ρ给出：=u+θδσα2（σ+ν）-θΔuα-θδσα. （26）因此，f（t）=e-ρ（T-t） ，和v（x，t）=-e-x/δf（t）。此外，在（25）中达到最大值的最佳反馈控制由π给出*（x，t）=-uvx（x，t）- θσσαvxx（x，t）（σ+ν）vxx（x，t）=Δuσ+ν+θσσ+νσα，（27）实际上，π*= π*（x，t）是可测量的FMF，不依赖于（x，t）。π的最优性*问题（24）如下。回顾定义9，我们发现候选控制α是常数MFE，我们需要α=π*. 根据（27），π*是常数MFE，如果它解方程π*= Δuσ+ν+θσσ+νσπ*. （28）将两侧乘以σ并求平均值，得出σπ*必须满足σπ*= EΔuσ+ν+ Eθσ+νσπ*= ψ+ψσπ*.

（29）然后我们有以下情况：（i）如果ψ<1，上述结果产生σπ*= ^1/（1）- ψ） ，并利用方程（28）证明了第（1）部分。（ii）如果ψ=1，但Д6=0，则方程（29）没有解，并且作为结果，不可能存在恒定MFE。（iii）其余情况为ψ=1和Д=0。然而，这不可能发生。如果是这种情况，则φ=0，对参数的限制意味着σ=0<νa.s.，这反过来会产生ψ=0，这是一个矛盾。这就完成了第（2）部分的证明。备注12。注意，上述证明为代表性代理的平衡值函数提供了一个易于处理的公式。由于受控过程（Zπt）t∈[0，T]从Zπ=ξ开始- θξ，代表剂的时间零值（在第2.2.2节中也称为u（ζ））为nbyv（ξ- θξ，0）=- 经验值-δ（ξ- θξ）- ρT. （30）现在需要使用uα和σα的值显式计算（26）中的ρ。实际上，ρ=2（σ+ν）u+θΔД1- ψσ-θδeψ+eДД1- ψ, （31）式中，常数eψ和ψ由ψ=e定义Δuσ+ν和eД=eθuσ+ν.值得注意的是，在单一股票的情况下，这进一步简化为ρ=1+Δθδ（1- θ）!u2σ。备注13。方程（30）基本上提供了所谓主方程的解；有关制造理论中主方程的介绍，请参见【4】或【14】。事实上，主方程是一个PDE，提供函数U=U（x，m，t），其中（x，t）∈ R×[0，T]和m是R上的概率度量。U（x，m，T）的值自然地被解释为一个代表性代理人在时间tf时的值，当其他代理人的财富分布为m时，从财富Xt=x开始。在我们的例子中，这个值只不过是U（x，m，T）=v（x- θ'm，t）=- 经验值-δ（x- θ'm）- ρ（T- t）,其中，m是度量值m的平均值。

我们不想让这更精确，因为对于具有不同类型试剂的模型，主方程的概念尚未解决。2.3。平衡的讨论。我们将大部分讨论集中在定理10和推论11的平均场平衡上，因为定理3和推论4的n-主体平衡基本上具有相同的结构。首先回顾一下MFEπ*FMF是可测量的，或等效地，ζ-可测量的，其中ζ=（ξ，δ，θ，u，ν，σ）是类型向量。ζ的随机性捕获了群体中类型向量的分布，而ζ的单个实现可以解释为单个代表性代理的类型向量。因此，我们解释投资策略π*作为具有类型向量ζ的代理所采用的平衡策略。平衡p-Portfolioπ*由两部分组成。第一种，Δu/（σ+ν），是在没有相对执行问题的情况下的经典默顿投资组合。第二个分量总是非负的，只有在没有竞争的情况下，即θ=0时才消失。它随竞争权重θ线性增加，因此我们发现竞争总是增加风险资产的价值。代表代理人的策略π*其他代理通过数量Д/（1）对ly产生影响- ψ） =E[σπ*]. 这个数量可以看作是总财富的波动性。的确，让X*表示与π相对应的财富过程*（即（19）的解）。t时人口的平均财富∈ [0，T]是Yt：=E[X*t | FBT]。使用ζ、W和B的独立性进行的直接计算yieldsYt=E[ξ]+E[uπ*]t+E[σπ*]Bt.或者，我们可以解释比率Д/（1- ψ） 在类型分布方面。定义值=σ/（σ+ν），这是由共同噪声B驱动的代表代理人股票方差的分数。

然后，通过将每个代理的夏普比率乘以其风险容忍度参数和权重R，然后对所有代理进行平均，计算出Д=E[Rδu/σ]。类似地，ψ=E[Rθ]是平均竞争参数，由R加权。几个重要因素将导致ν/（1）增加- ψ） ，从而增加了投资π*在风险资产中。即π*随着其他代理变得更具风险承受能力（平均δ更高），随着其他代理变得更具竞争力（平均θ更高），或随着其他股票质量的提高，如夏普比率（平均u/σ更高）所测，增加。在Corolulary11的单只股票案例中，竞争的一些影响更加透明。使用MFEπ*与默顿投资组合非常相似，但具有有效的风险容忍度参数δeff：=δ+θδ1- θ。如果θ>0，我们总是有δe ff>δ，而差值δe ff- δ随θ、δ和θ增加。也就是说，如果代表代理人更具竞争力，如果其他代理人倾向于更具风险承受力，或者如果其他代理人倾向于更具竞争力，那么代表代理人会在风险资产上投资更多。在后一种情况下，wh enδ和θ增加，我们可以解释π的增加*作为一种帮助，代表代理人“跟上”更愿意冒险的人群。在极端端，当θ和θ都接近1时，π*爆炸得很快；也就是说，在一群高度竞争的代理人中，一个高度竞争的代理人在风险集合中投入了大量资金。下面的图1对此进行了说明。其他一些特殊情况值得讨论。如果σ=0 a.s.，则无常见噪声。在这种情况下，ψ=ψ=0，反过来，MFE等于默顿投资组合。所有代理都不具有竞争力，不考虑竞争对手的表现。0.80.80.60.60.40.40.20.2图1。

单个股票案例（推论11）：π*与θ和θ相对，δ=5，(R)δ=6，u=σ=1。另一方面，如果ν=0 a.s.，则不存在独立噪声，我们有简单化ψ=E[θ]和Д=E[Δu/σ]。如果E[θ]<1，则π*= Δuσ+θσ（1- E[θ]）EhΔuσi。如果ν=0 a.s.，并且E[θ]=1，则θ=1 a.s.，ψ=1。在这种情况下，每个代理都与相对而非绝对性能密切相关，并且不存在均衡。另一种退化情况是当所有代理都具有相同的类型向量时，即当ζ是确定性的。然后，MFE对于所有代理都是通用的，并且（假设θ<1）减少到π*=Δu（1- θ） σ+ν。最后，我们评论了定理3中给出的种群规模对n-主体博弈均衡的影响。与平均场设置相比，唯一真正的差异是重新校准νkby（1- θk/n），无论它出现在定理3中的任何地方，在推论4的单股票情况下都不存在重标度。目前尚不清楚如何正确解释这种重定标度，值得注意的是，备注5中讨论的变量变化并没有显著改变这种情况。解读平均财富n-1Pj6=iXjTas正如我们之前提到的，作为独立估值问题中的责任条款，似乎很有希望，但我们在此不再进一步探讨。3、CRRA风险偏好在本节中，我们重点关注电力和对数（CRRA）公用事业。考虑到电力风险偏好的同质性，我们选择使用多重因子而非加性因子来衡量相对绩效。在【3】和【2】中，根据前向相对性能标准，对此类案例进行了双代理设置分析。3.1。n-代理游戏。我们考虑一个与第2.1节类似的n-代理博弈，但其中每个代理都有一个CRRA实用程序。

我们研究了第2.1节中相同的过滤概率空间，并假设n个股票具有与（1）中相同的动力学。n个代理在一个共同的投资范围内进行交易。正如电力效用模型中常见的那样，策略π被视为代理人在时间t投资于股票的财富的分数（与金额相反）。然后，她的贴现财富由dxit=πitXit给出uidt+νidWit+σidBt, （32）初始捐赠Xi=Xi。可接受策略的类别与之前一样，是一组自融资F-逐步可测过程（πt）t∈[0，T]满足ERT |πT | dt<∞.ithagent的实用程序是一个函数Ui:R+→ 她的个人财富x的R和所有代理人的几何平均财富m。具体而言，Ui（x，m）：=U（xm-θi；δi），其中U（x；δ）由U（x；δ）定义为x>0和δ>0：=(1.-δ-1x1-δ、 对于δ6=1，对数x表示δ=1。常数参数δi＞0和θi∈ [0，1]分别是个人相对风险承受能力和竞争权重参数。如果代理i=1，n cho ose容许策略π，πn，代理人i的报酬由ji给出（π，…，πn）：=EhUXiTX-θiT；δii、 其中xt=nYk=1XkT！1/n.（33）注意，与指数效用模型不同，代理人使用几何平均值而不是算术平均值来衡量相对财富。用几何平均值代替算术平均值使问题变得容易处理，因为它允许我们利用效用函数的h均匀性。上述预期效用可以更说明性地重写为asJi（π，…，πn）=EhU（XiT）1-θi（RiT）θi；δii、 式中，RiT=XiT/Xt是代理i的相对回报。这说明了竞争权重θias对代理i的绝对财富和相对财富之间的权衡的作用，如在指数效用模型中。

与之前一样，θiis值较高的代理人更关心相对财富，而不是绝对财富。（纳什）均衡的概念与定义1中的定义完全相同，但使用了上文（33）中定义的新目标函数。我们在下面的定理中找到了一个唯一的常数均衡，随后我们将其专门用于单个股票的情况。对于CRRA实用程序，更常见的是使用相对风险规避参数γi=1/δi，但我们的参数选择确保相对风险容限精确为δi=-Ux（x；δi）xUxx（x；δi）。定理14。假设所有i=1，n我们有xi>0，δi>0，θi∈ [0，1]，ui>0，σi≥ 0，νi≥ 0，σi+νi>0。确定常数νn：=nnXk=1δkukσkσk+νk（1+（δk- 1） θk/n）（34）和ψn：=nnXk=1θk（δk- 1） σkσk+νk（1+（δk- 1） θk/n）。（35）存在唯一的常数平衡，由πi给出，*= δiuiσi+νi（1+（δi- 1） θi/n）- θi（δi- 1） σiσi+νi（1+（δi- 1） θi/n）Дn1+ψn.（36）此外，我们有恒等式ynnxk=1σkπk，*=νn1+ψn.推论15（单株）。假设所有i=1，n我们有ui=u>0、σi=σ>0和νi=0。确定常数δ：=nnXk=1δkandθ（δ- 1） ：=nnXk=1θk（δk- 1） 。存在唯一的常数等式，由πi给出，*=δi-θi（δi- 1） δ1+θ（δ- 1） 哦！uσ。证据应用定理14，注意简化公式Дn=Δu/σ和ψn=θ（δ- 1） 。备注16。正如指数效用模型中的备注5所示，人们可能会修改我们的支付结构，以便主体i将自身从几何平均值XT中排除。也就是说，可以用Ehu在（33）中定义的支付功能代替XiT（X(-i） T）-θ′i；δ′ii、 其中X(-i） T型=Yk6=iXkT1/（n）-1） ，对于某些参数θ′i∈ [0，1]和δ′i>0。通过修改偏好参数，我们可以将这种支付视为我们的特例。