相对风险下最优投资的平均场与n-agent对策

事实上，通过匹配系数，可以直接表明XiT（X(-i） T）-θ′i；δ′i= ciUXiTX-θiT；δi,对于某些常数ci>0（不影响最优策略），当θi∈ [0，1]和δi>0由δi=δ′iδ′i定义- （δ′i- （1）1+n-1θ′iθi=θ′in-1n+nθ′i。然而，只有当（1- 1/δ′i）1+n-1θ′i< 1，确保δi>0。这当然适用于足够大的n。我们赞成我们的原始参数化，因为定理14和推论15中的公式相对简单，并且因为n中没有差异→ ∞ 限度定理14的证明。这个证明类似于定理3，所以我们只强调主干步骤。固定代理i和常量策略αk∈ R、 对于k 6=i.定义：=Yk6=iXkt1/n，其中xkt用恒定权重αk和Xk=Xk求解（32）。设置∑k：=σk+νk，我们推导出对数Xkt=ukαk-∑kαkdt+νkαkdWkt+σkαkdBt。反过来，d（log Yt）=nXk6=id log Xkt=cuα-d∑αdt+nXk6=iνkαkdWkt+cσαdBt，其中我们缩写为cuα：=nXk6=iukαk，cσα：=nXk6=iσkαk，d∑α：=nXk6=i∑αkand \\（να）：=nXk6=iνkαk。因此，过程YtsolvesdYtYt=ηdt+nXk6=iνkαkdWkt+cσdBt，Y=Yk6=ixk1/n，（37），η：=cuα-d∑α- cσα-n \\（να）.然后，ithagent解决优化问题supπi∈埃胡（XiT）1-θi/nY-θiT；δii、 （38）其中dxit=πitXit（uidt+νidWit+σidBt），Xi=Xi，带（Yt）t∈[0，T]求解（37）。然后我们得到值（38）等于v（Xi，Y，0），其中v（x，Y，t）解出HJB方程vt+maxπ∈R（σi+νi）πxvxx+π（uixvx+σicσαxyvxy）（39）+cσα+n \\（να）yvy y+ηyvy=0，对于（x，y，t）∈ R+×R+×[0，T]，带终端条件V（x，y，T）=U（x1-θi/ny-θi；δi）。应用一阶条件，通过πi获得（39）中的最大值，*（x，y，t）=-uixvx（x，y，t）+σicσαxyvxy（x，y，t）（σi+νi）xvxx（x，y，t）。（40）反过来，等式（39）减少到vt-（uixvx+σicσαxyvxy）（σi+νi）xvxx+cσα+n \\（να）yvy y+ηyvy=0。

（41）与定理3的证明一样，我们推导出上述HJB方程有一个非唯一的解（在一类适当的时间可分和空间齐次解中），并且（40）中的最优反馈控制减少到πi，*=δiui- σicσαθi（δi- 1） （σi+νi）（δi- （1）- θi/n）（δi- 1） ）。（42）我们在两种情况下证明了这一点：（i）假设δi6=1。使ansatzv（x，y，t）=U（x1-θi/ny-θi；δi）f（t）=（1- 1/δi）-1（x（1-θi/n）y-θi）1-1/δif（t）将等式（41）减少到（1- 1/δi）-1f′（t）+ρf（t）=0，其中f（t）=1，其中ρ：=（ui（1- θi/n）- σicσαθi（1- θi/n）（1- 1/δi））2（σi+νi）（1- θi/n）（1- （1）- θi/n）（1- 1/δi））- ηθi+cσα+n \\（να）θi（1+θi（1- 1/δi））。我们很容易推导出（41）isv（x，y，t）=（1）的解- 1/δi）-1（x（1-θi/n）y-θi）1-1/δieρ（1-1/δi）（T- t） （40）得到（42）。（ii）假设δi=1。使ansatzv（x，y，t）=U（x1-θi/ny-θi；δi）+f（t）=1.-θ英寸日志x- θilog y+f（t）将方程（41）简化为f′（t）+ρ=0，其中f（t）=0，ρ：=ui（1- θi/n）2（σi+νi）- θiη+θicσα+n \\（να）.反过来，（41）的解由v（x，y，t）给出=1.-θ英寸日志x- θilog y+ρ（T- t） ，和（40）减小到πi，*= ui/（σi+νi），这与δi=1时的（42）一致。我们得出如下结论。对于（α，…，αn）是常数平衡，我们必须有πi，*= αi，对于每个i=1，n、 使用（42）和缩写σα：=nnXk=1σkαk=cσα+nσiαi，我们推断αi=ui- σiσαθi（1- 1/δi）+σiαi（θi/n）（1- 1/δi）（σi+νi）（1- （1）- θi/n）（1- 1/δi））。求解αi场，αi=ui- σiσαθi（1- 1/δi）（σi+νi）（1- （1）- θi/n）（1- 1/δi））1.-σi（θi/n）（1- 1/δi）（σi+νi）（1- （1）- θi/n）（1- 1/δi））-1=ui- σiσαθi（1- 1/δi）（σi+νi）（1- （1）- θi/n）（1- 1/δi））- σi（θi/n）（1- 1/δi）=ui- σiσαθi（1- 1/δi）σi/δi+νi（1- （1）- θi/n）（1- 1/δi））=uiδi- σiσαθi（δi- 1） σi+νi（1- θi/n+δiθi/n）。（43）将两侧乘以σi，并在i=1上取平均值。

，n给出σα=Дn- ψnσα，（44），其中ψn，ψnare如（34）和（35）所示。由于1+ψn>0，方程（44）成立的充要条件是σα=Дn/（1+ψn）。然后我们从（43）中推导出平衡策略αi=πi，*是givenby（36）。备注17。注意，上面的等式（43）对所有参数值都有唯一的解。相反，指数情况下的类似方程（29）没有特定参数值的解，这就是为什么定理3中有两种情况。值得强调的是，对于CRRA的情况，我们假设相对绩效是乘性的，而不是累加的。这有两个原因。首先，正如导言中所讨论的，这在建模偏好时是很自然的，因为偏好依赖于相对回报，而不是相对财富；有关讨论，请参见[3]。第二个原因是数学可伸缩性。我们已经看到，使用几何平均值可以得到显式解。要使用算术平均值来描述类似问题，我们可以考虑以下两种可能性。首先，我们可以将优化标准修改为formUXiTnPni=1XiT；δi！。这里的挑战是，第一个参数中出现的比率不能表示为一维SDE的解。定理14和19的证明都利用了几何布朗运动的几何平均数仍然是几何布朗运动的事实，而算术平均数没有这样的性质。或者，我们可以使用形式为U（XiT）的优化准则-nPni=1XiT；δi），但会遇到更严重的问题，因为U（x，δi）定义得很好，只有f或x>0（或x≥ 如果δi>1，则为0）。

因此，该标准将强制硬约束XiT>nPni=1XiTa。s、 ，这就提出了两个自然的问题，即该约束如何传播到以前的时间，以及这是否会导致一类重要的解决方案。简而言之，使用算术平均值标准会产生相互依赖的状态和控制约束，这可能会使问题变得难以解决，最坏的情况下，可能会导致平凡或无意义的解决方案。3.2。平均场游戏。本节研究的极限为n→ ∞ 上一节分析的n-p层博弈，类似于第2.2节中指数情况的处理。我们继续进行一些非正式的讨论。回想一下，agent i的类型向量是ζi：=（xi，δi，θi，ui，νi，σi）。与之前一样，类型向量产生了一个经验度量，即概率度量onZp：=（0，∞) ×（0，∞) ×【0，1】×（0，∞) ×[0，∞) ×[0，∞) （45）由mn（A）=nnXi=1A（ζi）给出，对于Borel集A Zp。类似于指数情况，对于给定的主体i，平衡策略πi，*在Orem 14中的计算只取决于她自己的类型向量ζi和类型向量的分布mn，这使得通过达到极限。现在假设mn有一个弱极限m，在sens e thatRZpf dmn中→RZpf-dm，用于Zp上的每个边界连续函数f。设ζ=（ξ，δ，θ，u，ν，σ）表示分布为m的随机变量。然后，最优策略πi，*（参见（36））应收敛到→∞πi，*= δiuiσi+νi- θi（δi- 1） σiσi+νiД1- ψ、 （46）式中Д：=limn↑∞^1n=EΔuσ+ν和ψ：=limn↑∞ψn=Eθ（δ- 1） σσ+ν.与指数情况一样，我们将证明这种限制策略确实是平均场博弈的均衡，我们对第2.2.1节进行了详细阐述。回想一下，W和B是独立的布朗运动，随机变量ζ=（ξ，δ，θ，u，ν，σ）与W和B无关。

对于幂情况，典型向量ζ现在取空间Zp中的值。此外，过滤Fmfi是满足通常假设的最小值，其中ζ是可测量的FMF，d W和B适用。最后，回想一下fb=（FBt）t∈[0，T]表示由布朗运动B生成的自然过滤。代表代理人的财富过程solvesdXt=πtXt（udt+νdWt+σdBt），X=ξ，（47），其中投资权重π属于满足ERT |πT | dt<∞. 注意，对于所有可容许π，财富过程（Xt）t∈[0，T]是严格正的，因为ξ>0 a.s。我们表示byX是一个FMF可测量的随机变量，表示代理人连续统中的几何平均财富。然后，代表代理人的目标是最大化预期收益∈AMFEhU（XTX-θ；δ） i，（48）其中（Xt）t∈[0，T]由（47）给出。平均场平衡的定义类似于定义9。然而，我们需要将几何平均的概念适当地扩展到代理的连续统。（0，∞) 最自然地定义为expz（0，∞)日志y dm（y）！，当log y是m-可积的。事实上，当m是n个点（y，…，yn）的经验度量时，这将减少到通常的定义（yy··yn）1/n。定义18。Letπ*∈ AMFbe是一种可接受的策略，并考虑FBT可测量的随机变量X：=exp E[log X*T | FBT]，其中（X*t） t型∈[0，T]是（47）中对应于策略π的财富过程*.

我们说π*是平均场平衡（MFE），如果π*对于与此X选择相对应的优化问题（48）是最优的。常数MFE是FMF可测量的随机变量π*如果πt：=π*对于allt∈ [0，T]，然后（πT）T∈[0，T]是MFE。以下定理描述了常数MFE，恢复了从n-主体平衡中导出的极限表达式。定理19。假设a.s.，δ>0，θ∈ [0，1]，u>0，σ≥ 0，ν≥ 0，σ+ν>0。定义常数Д：=EΔuσ+ν和ψ：=Eθ（δ- 1） σσ+ν,我们假设这两种预期都存在并且是确定的。存在唯一常数MFE，givenbyπ*= Δuσ+ν- θ（δ- 1） σσ+νД1+ψ。（49）此外，我们还有恒等式[σπ*] =ψ1+ψ。在单株情况下，溶液的形式基本上与n-AgentName中的形式相同，见推论15：推论20（单株）。假设（u，ν，σ）是确定性的，ν=0，u，σ>0。确定常数δ：=E[δ]和θ（δ- 1） ：=E[θ（δ- 1） 】。存在唯一常数MFE，givenbyπ*=δ-θ（δ- 1） δ1+θ（δ- 1） 哦！uσ。定理19的证明。与指数情况一样，我们首先将最优控制问题（48）简化为低维马尔可夫问题。为此，必须限制我们对X=exp E[log XαT | FBT]的随机变量X的关注，其中Xα是（47）的财富过程，具有可接受的常数策略α。

也就是说，α是满足E[α]<∞.定义：=经验E[对数Xαt | FBT]。注意，对于t，Yt=exp E[对数Xαt | FBt∈ [0，T），因为（Bs-Bt）s∈[t，t]和Xα皮重无关。与指数情况类似，我们确定Y的动力学，并将其视为一个附加（非受控）状态过程。为此，首先使用It^o公式计算d（log Xαt）=uα-（σ+ν）αdt+ναdWt+σαdBt。定义ˇXαt：=E[对数Xαt | FBT]，并注意，与上面的y一样，ˇXαt=E[对数Xαt | FBT]，对于t∈ 设置∑：=σ+ν，注意（ξ，u，σ，ν，α），W和B是独立的，我们计算了ˇXαT=uα-∑αdt+σαdBt，（50），其中，我们再次使用符号M=E[M]表示一般可积随机变量M.Inturn，dYt=deˇXαt=Yt（ηdt+σαdBt），Y=ξ，（51），其中η：=uα-（α∑）- σα）。为了解决随机优化问题（48），我们等价地求解supπ∈AMFEhU（XTY-θT；δ） i（52），dxt=πtXt（udt+νdWt+σdBt），和（Yt）t∈[0，T]求解（51）。然后，如第2.2.2节所述，（52）的值等于E[v（ξ，ξ，0）]，其中v=v（x，y，t）是HJB方程vt+maxπ的唯一光滑（严格凹且严格递增）解∈R∑πxvxx+π（uxvx+σσαxyvxy）+σαyvy y+ηyvy=0，（53），终端条件v（x，y，T）=U（xy-θ；δ） 。请注意，此HJB方程是随机的，因为它依赖于FMF可测类型参数。应用一阶条件，通过π获得（53）中的最大值*（x，y，t）=-uxvx（x，y，t）+σ∑αxyvxy（x，y，t）∑xvxx（x，y，t）。（54）反过来，等式（53）减少到vt-（uxvx+σσαxyvxy）2∑xvxx+σαyvy+ηyvy=0。（55）接下来，我们声称，对于所有（x，y，t），π*（x，y，t）=∑-1（uδ- θ（δ- 1） σσα）。（56）我们在两种情况下证明了这一点：（i）假设δ6=1。

使ansatzv（x，y，t）=U（xy-θ；δ） f（t）=（1- 1/δ）-1x1-1/δy-θ（1-1/δ）f（t），将方程（55）简化为f′（t）+ρf（t）=0，其中f（t）=1，其中ρ：=（uδ- θ（δ- 1） σσα）2∑（δ- （1）- ηθ（1- 1/δ）-1+σαθ（θ+（1- 1/δ）-1） 。我们很容易推导出（55）isv（x，y，t）=（1）的解- 1/δ）-1x1-1/δy-θ（1-1/δ）exp（ρ（T- t） （54）得到（56）。（ii）假设δ=1。很容易检查，（55）的解v由v（x，y，t）=log x给出- θlog y+ρ（T- t） ，ρ：=u2∑- ηθ+θσα。在这种情况下，（54）变成π*（x，y，t）=u/∑，这与δ=1时的（56）一致。回顾定义18，我们发现候选控制α是一个常数MFE，weneedα=π*. 根据（18），π*是常数MFE，如果它解方程π*= ∑-1.uδ- θ（δ- 1） σσπ*. （57）将两侧乘以σ并求平均值，得出σπ*必须满足σπ*= 呃Δ∑∑i- Eθ（δ- 1） ∑∑σπ*= ^1- ψσπ*.然后我们推导出σα=Д/（1+ψ），将其推到（56）中，我们得到（49）。3.3。平衡的讨论。平衡态的一些结构性质与第2.3节中的CARA模型中观察到的相似。我们在此再次将讨论重点放在定理19和推论20的平均场情况上，因为定理14和推论15的n-主体平衡基本上具有相同的结构。唯一的区别是νkby（1+（δk）的重标度- 1） θk/n）出现在第14条中的任何地方。在集中讨论推论20.3.3.1的单一股票案例之前，我们首先讨论第19项的一般情况。一般情况。MFEπ*可以写成两个分量的和，π*= π*（1） +π*（2） ，其中π*（1） =Δu/（σ+ν）是经典的默顿投资组合，π*（2） ：=-θ（δ- 1） σσ+νД1+ψ。第二分量π*（2） 分离竞争参数θ的线性影响。

值得注意的是，π*（2） θ=0时消失。有趣的是，CRRA模型中的竞争效应与CARAmodel中的竞争效应截然不同，从某种意义上说，竞争现在导致一些代理机构在风险资产上的投资比在没有竞争的情况下要少。实际上，π的符号*（2） 与（1）相同- δ） ，假设θ>0，σ>0。因此，δ<1的代理随着θ的增加投资更多，而δ>1的代理投资更少。特别是，我们有π*（2） δ=1时=0；也就是说，具有对数效用的代理不具有竞争性，这也很容易从原始问题公式中推断出来。事实上，具有高度风险承受能力和竞争力的代理人可能会选择做空股票。也就是说，如果δ>1，θ接近1，π*可能是负数。这通常发生在δ远高于其总体平均值时，或者换句话说，当代表性代理相对于其他代理具有很强的风险容忍度和竞争力时。代表代理人的策略π*受其他因素影响，通过数量Д/（1+ψ）=E[σπ*], 而且，如第2.3节所述，我们可以将该数量视为总财富的波动性。的确，让X*表示与π对应的财富过程*（即，使用策略π求解（47*). 当时人口的几何平均财富∈ [0，T]是Yt：=对数E[exp（X*t） | FBT]，并且，正如我们在定理19的证明中所看到的，它满足dyt=Yt（ηdt+E[σπ*]dBt）。或者，可以根据类型分布直接解释比率Д/（1+ψ）。定义R=σ/（σ+ν），并注意：Д=E[Rδu/σ]和ψ=E[Rθ（δ- 1） 】。请注意，参数范围上的假设确保1+ψ>0。如前所述，通过夏普比率衡量，当其他股票的质量增加时，分子Д增加。

然而，在这种情况下，随着分子和显性分子的增加，theratioД/（1+ψ）可能不会随着人群变得更具风险耐受性（即δ平均值的增加）而增加。ψ/（1+ψ）的依赖性和π的依赖性*关于类型分布是相当复杂的。竞争权重θ的分布仅通过ψ出现，其影响由风险容忍度δ介导。粗略地说，θ的总体平均值可以对π产生积极或消极的影响*（2） 取决于（1）的“典型”标志- δ） 。这些复杂性在单个股票案例中更容易解决。3.3.2。单个库存箱。根据推论20的结果，我们可以将单一股票情况下的均衡组合写成π*= （（1- kθ）δ+kθ）uσ，（58），其中k：=？δ1+θ（δ- 1） 。（59）平衡π*因此可以写成默顿投资组合，π*= δe effu/σ，有效风险公差参数δe eff：=（1- kθ）δ+kθ=δ-θ（δ- 1） δ1+θ（δ- 1） 。（60）这种表示简化了π的一些复杂依赖关系*上一段所述的类型分布。例如，假设θ和δ不相关，那么θ（δ- 1） =θ（δ-1） 。如果δ>1，则δeff-δ|在θ中减小。也就是说，如果平均风险耐受性很高，那么，随着人群变得更具竞争力（即θ增加），代表性行为的竞争力会降低，因为δeff更接近δ。另一方面，如果δ<1，则|δeff- δ|在θ中增加。也就是说，如果平均风险承受能力较低，那么，随着人口变得更具竞争力，代表性代理人的行为更具竞争力，即δe ff远离δ。同样，如果δ=1，那么θ和θ不起任何作用。更有趣的是（δ，θ）对π的联合作用*, 当其他参数固定时。