相对风险下最优投资的平均场与n-agent对策

仍然假设θ和δ不相关，请注意k的值可以在1和δ之间，因为θ在0和1之间变化。因此，如果θδ>1，则存在一个临界值，θcrit:=（θδ- 1） /（δ- 1） ，此时δ对π的影响*更改标志。当人口高度竞争时（即θ>θcrit），投资π*正如人们所预料的那样，风险资产随着风险容忍度δ的增加而增加。另一方面，当总体竞争力较低时（即θ<θcrit），π*在δ中减少。这一影响如图2所示。在（δ，θ）对π的联合作用中出现类似的跃迁*, 当其他参数固定时。当k≤ 1（相当于δ≤ 1如果我们假设θ和δ不相关），那么风险投资π*对于θ的任何值，风险容限δ都在增加。另一方面，如果k<1，则π*如果θ<1/k，则δif和ly增加。图3中显示了这种情况。注意，如果δ和θ正相关，这些影响更为显著，如果它们负相关，则不太显著。有两种方法可以解释前两段中描述的反直觉现象，即π*对于其他参数的某些（固定）值，δ可能会降低。当1<kθ时，该区域正好发生。再次假设θ和δ不相关，后一个不等式等价于θ>δ（1-θ） +θ。0.51.50.5图2。单只股票案例（推论20）：π*相对于δ和θ，θ=3/4，δ=2，u=5，σ=1。这里，θ和dδ不相关，θcrit=1/2-20-100.5图3。单只股票案例（推论20）：π*相对于δ和θ，θ=1/5，δ=2，u=5，σ=1。这里δ和θ不相关，k=5/3。为了论证，假设δ非常大。

在极限δ内→ ∞, 我们看到1<kθ当且仅当θ>θ，以及π的表达式*变为π*=1.-θθδ+θθuσ。有两个即时观察结果：（i）如果θ<θ且δ较大，则π*是正的和大的。也就是说，golong代理商竞争力较低。（ii）如果θ>θ且δ较大，则π*非常消极。也就是说，竞争对手做空了。第一种情况是θ<θ，这是很自然的：竞争力较低的代理更像默顿投资者，具有π*δ增加。另一方面，我们可以解释第二个区域，θ>θ，如下所示。尽管平均风险承受能力非常大，但我们从（i）中了解到，大多数代理人将在股票中持有大量多头头寸。如果我们的代表代理人是golong，他就无法承担足够的风险，与其他投资者一样长的时间。然后，如果股票价格上涨，代表代理人可能会取得较高的绝对业绩，但相对业绩会有所改善，因为其他在股票上投资更多的代理人将获得更高的回报。因此，一种自然的策略是做空股票，当股价下跌时，关注表现优于竞争对手的收益，而不是关注绝对表现。如果代表代理人本身具有相当的风险承受能力，愿意作为更像默顿的投资者接受相反方向的风险，这仍然是合理的。注意，这些影响不太明显，但仍存在于渐近区域δ之外→ ∞.根据【3，第13-14页】的精神，还有另一种解释。风险厌恶型代理通常希望通过比风险容忍型代理投资更少的股票来最小化波动性。然而，相对性能问题提供了额外的波动性。然后，风险规避机构可能会大量投资该股票，以减轻因表现优异而造成的损失。3.3.3。

一些其他特殊情况。其他一些特殊情况值得讨论。如果σ=0a。s、 ，没有常见噪音。在这种情况下，ψ=ψ=0，反过来MFE等于梅顿投资组合，这意味着代理根本没有竞争力。另一方面，如果ν=0 a.s.，则不存在独立噪声。在这种情况下，Д=E[δu/σ]和ψ=E[θ（δ- 1） ，最优投资组合变为π*= Δuσ-θ（δ- 1） σ（1+E[θ（δ- 1） ]Ehδ||σi。最后，如果所有代理都具有相同的类型向量（即ζ是确定性的），则π*是确定性的，而且是π*=Δu（1+θ（δ- 1） ）σ+ν。结论和扩展我们考虑了有限人口和有限人口在相对绩效关注下的最优投资组合管理问题。代理人有一个共同的投资方向和CARA或CRRA风险偏好，他们在共同噪声和特殊噪声驱动下以对数正态动力学交易个股。他们面临的竞争是，他们的个人效用标准既取决于他们的个人财富，也取决于其他人的财富。我们明确构建了相关的常数纳什和平均场平衡。我们的研究为未来的研究指出了几个方向。第一个方向是利用差异评估的概念进一步分析有限的人口问题。事实上，正如我们在定理3的证明中所提到的，我们可以将竞争的影响确定为一种责任，进而解决一个差异估值问题。类似地，对于CRRA案例，可以将竞争与乘法责任因素联系起来。当然，经典的差异定价问题与本文中的差异定价问题之间存在着根本的差异；也就是说，责任本质上是内生的，因为它取决于代理人的行动。

尽管如此，通过将均衡策略与差异对冲策略联系起来，使用差异估值参数有望对均衡策略产生更清晰的财务解释。它还将使用所谓的相对差异评估中的参数，对不同代理人群体规模的敏感性影响进行分析。这些问题留给今后的工作。在此，基金经理只关心终端财富的效用最大化（无论是绝对的还是相对于其他代理的），但也可以将中间消费纳入其中。有两种自然的方法可以做到这一点，仅针对混凝土的CRRAmodel进行讨论。首先，可以将消费效用项添加到优化标准（33）中，并将个人财富过程修改为xit=πitXit（uidt+νidWit+σidBt）- Citdt公司。虽然计算可能很繁琐，但我们希望这个问题是可以处理的。一种更有趣的方法是在FIRS t的基础上加入相对消费标准，以消费率下限的形式建模，其本身可能取决于其他代理的消费。这种设置将反映出更现实的情况，即个人消费标准受到其他代理行为的影响。本文模型的一个重要假设是，每个代理都拥有每个其他代理的个人偏好和市场参数的完整信息。这也是[3]中的主要建模成分，部分原因是基金经理公开发布他们的回报，而从这些信息中，某些信息反过来又可以被他们的竞争对手发现。虽然这无疑是一个值得考虑的建模限制，但我们的结果为现有问题提供了新的解决方案，尤其是对于具有非二次标准的平均场游戏。

此外，如果在公开发布的竞争对手参数周围引入模糊性，那么这种常识假设可能会放松。例如，这种模糊性可以通过依赖于各个视图的误差裕度来建模。这将产生一类有趣的带过滤的平均场游戏。在不同的方向上，我们模型的自然泛化将允许代理人投资任何股票，而不仅仅是分配给他们的单个股票。[3]和[2]最近根据远期性能标准对这种情况进行了分析。竞争对资产专业化的影响产生了重要的问题。虽然这种概括可能难以适用于有限的人口环境，但平均场公式可以为研究竞争与资产熟悉度、专业化和竞争的互动作用提供更易于处理的框架。最后，可以将当前模型扩展到动态变化的市场和滚动的视野。这种推广可以在向前的性能标准下进行分析，扩展了[2]的结果，自然会导致一类新的平均场游戏。它还允许进一步扩展[47]中引入的远期标准下的基准概念。确认。作者感谢Michalis Anthropelos、Mihai Sir bu，尤其是Gon,calo dos Reis的有益评论。这项工作于2017年在西雅图举行的第八届西方数学金融会议上发表；2017年爱丁堡SPDE、BSDE及其应用国际研讨会；以及2017年的动力学理论会议。作者感谢与会者提出的宝贵意见和建议。参考文献1。五、 Agarwal，N.D.Daniel和N.Y.Naik，《对冲基金中的流量、绩效和管理激励》，EFA2003年年度会议文件第501号，2003.2。

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