相对风险下最优投资的平均场与n-agent对策

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英文标题：
《Mean field and n-agent games for optimal investment under relative
  performance criteria》
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作者：
Daniel Lacker and Thaleia Zariphopoulou
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最新提交年份：
2018
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英文摘要：
  We analyze a family of portfolio management problems under relative performance criteria, for fund managers having CARA or CRRA utilities and trading in a common investment horizon in log-normal markets. We construct explicit constant equilibrium strategies for both the finite population games and the corresponding mean field games, which we show are unique in the class of constant equilibria. In the CARA case, competition drives agents to invest more in the risky asset than they would otherwise, while in the CRRA case competitive agents may over- or under-invest, depending on their levels of risk tolerance.
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中文摘要：
我们在相对绩效标准下分析了一系列投资组合管理问题，这些问题是针对拥有CARA或CRRA公用事业并在对数正常市场中的共同投资期内交易的基金经理。我们构造了有限总体对策和相应的平均场对策的显式常数均衡策略，我们证明了它们在常数均衡类中是唯一的。在CARA案例中，竞争促使代理人在风险资产上的投资超过其他情况，而在CRRA案例中，竞争代理人可能过度投资或投资不足，这取决于他们的风险承受能力。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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关键词：agent Age Mathematical Quantitative mathematica

相对绩效准则下最优投资的平均场和N-AGENT博弈Daniel LACKER*和THALEIA ZARIPHOPOULOU+摘要。我们分析了在相对绩效基准下的一系列投资组合管理问题，这些问题是针对拥有CAR a或CRRA公用设施并在对数正常市场中的共同投资范围内交易的基金经理。我们为有限预测博弈和相应的平均场博弈构造了明确的常数均衡策略，我们证明了它们在常数均衡类中是唯一的。在CARA案例中，竞争促使代理人在风险资产上的投资超过其他情况，而在CRRA案例中，竞争代理人的投资可能过高或过低，这取决于他们的风险承受能力。1、导言本文是对有限人口和平均场博弈理论的贡献，也是对竞争和相对绩效标准下的最优投资组合管理的贡献。对于前者，我们为n人博弈和平均场博弈构造了经验解，提供了一系列新的可处理解。对于后者，我们针对具有指数（CARA）和幂（CRRA）效用的代理，针对有限数量和连续的代理，提出了一类新的竞争和相对性能最优投资问题。有限人口案例由n名基金经理（或代理人）组成，他们在普通无风险债券和个人股票之间进行交易。每个股票的价格被建模为由两个独立的布朗运动驱动的对数正态过程。第一个布朗运动对所有价格都是一样的，代表着一种常见的市场噪音，而第二个布朗运动则是特殊的，特定于每支股票。准确地说，ithfund专门研究价格（Sit）为t的股票i≥0由dsitsit=uidt+νidWit+σidBt给出，（1）恒定市场参数ui>0，σi≥ 0和νi≥ 0，σi+νi>0。

（一维）标准布朗运动B，W，W，Wn是独立的。当σi>0时，过程B在股票之间产生相关性，因此我们称B为公共噪声和Wian特殊噪声。我们的设置涵盖了所有基金在同一股票中交易的重要特殊情况；也就是说，对于所有i=1，…，ui=u，νi=0，σi=σ，n、 对于某些u，σ>0取决于i。在这种情况下，所有股票都是相同的，该模型被解释为n个代理人投资一只普通股。这些代理人的风险偏好不同，但在其他方面面临相同的市场机会。为了简单起见，我们选择使用一维股票，但我们的分析将采用纯粹的符号化方法，以涵盖代理i可用的每个Siisa股票向量的情况。在这种多维环境中，“单一股票”案例将模拟大量代理在同一股票向量中交易的现实情况。*哥伦比亚大学工业工程与运营研究所。部分由国家科学基金会资助，奖项编号：DMS 1502980；d和iel。lacker@columbia.edu.+DPT。德克萨斯大学奥斯汀分校数学与IROM学院和牛津大学数学研究所；zariphop@m ath。尤特克斯。埃杜。所有基金经理都有一个共同的时间范围，T>0，目标是在T最大化他们的预期收益。效用函数U，Unare-agent-specific function of terminal wealth，XiT，and a“competition comp on ent”，XT，这取决于所有代理的终端财富。我们研究了两个与流行的指数和电力实用程序相关的代表性案例。对于指数情况，我们假设竞争会对财富产生相加的影响，并通过所有代理人的算术平均财富（Ui）进行建模XiT，XT= -e-δi（XiT-θiXT），其中xt=nnXk=1XkT。

（2） 参数δi>0和θi∈ [0，1]表示ithagent的绝对风险承受能力和绝对竞争权重，θide的小（高）值表示低（高）相对性能问题。该模型与埃斯皮诺萨（Espinosaan）和图兹（Touzi）的模型相似，并在很大程度上受到其启发。对于power情况，竞争会对财富产生乘数效应，并通过所有代理的几何平均财富Ui进行建模XiT，XT=1.- 1/δiXiTX-θ它1.-1/δi，其中xt=nYk=1XkT！1/n.（3）现在，参数δi>0和θi∈ [0，1]代表ITH代理的相对风险承受能力和相对竞争权重。这里使用几何平均值主要是因为它的易处理性，但它也承认一种自然的解释：形式er的数量，ernhave geometric Meansexp（nPni=1ri），这表明财富的几何平均数只是收益算术平均数的指数。从这个意义上讲，代理人在衡量相对绩效时使用的是回报而不是绝对财富。目的是确定纳什均衡，即找到投资策略（π1，*t、 ，πn，*t） t型∈[0，T]使得πi，*这是ithagent针对所有其他竞争对手的战略选择进行的最优库存分配，i=1，n、 与指数和幂风险偏好的情况一样，πi，*它分别被视为绝对财富和投资于ithstock的财富份额。值πi，*t可能为负数，表示代理人做空股票。基金经理之间的竞争在mutualand对冲基金的投资实践中都有很好的记录；例如，参见[1、3、11、19、22、27、37、41、52]。正如这些著作所述，竞争可能源于职业发展动机、从客户那里寻求更高的收入、优惠的薪酬合同等。

在这些工作中，大多数都只考虑了两名经理的情况，并且是在离散时间（或两个周期）模型中，标准的变化涉及风险中性、相对于绝对基准或临界阈值的相对绩效，或者对经理的风险厌恶参数的限制。最近，作者在[3]中提出了一个连续时间对数正态模型，用于两个具有电力实用程序的有趣的数据管理器。资产专业化在金融文献中也有很好的记录，从Brennan开始[10、20、44]。其他代表作品包括[9、36、42、45、48、49、56]。正如这些著作所述，各种因素促使管理者专注于单个股票或资产类别，如熟悉度、学习成本降低、模糊厌恶、偿付能力要求、交易成本和约束、清算风险和信息摩擦。对于可跟踪性，我们只搜索投资策略为常数（即在时间零点选择）的纳什均衡。考虑到股票价格的对数正态性、CARA和CRRA实用程序的缩放特性以及相关竞争组件的形式，这种限制是很自然的。为了构建这样一个均衡，我们首先解决每个单个代理的优化问题，给出竞争对手恒定策略的任意（但固定）选择。将竞争分量x作为一个附加的非受控状态过程，得到了一个Hamilton-Jacobi-Bellman（HJB）方程，该方程具有唯一的可分离的lesmooth解。再加上一阶条件，这将生成封闭形式的候选策略。然后，我们通过一组相容条件来构造平衡点，这也为存在和唯一性提供了标准。

作为中间步骤，我们使用差异评估的论证来获得这些平滑解决方案的验证结果。具体而言，我们将每个HJB方程解释为由竞争组成部分确定的个人责任的作者解决的方程。每个模型中唯一的常数纳什均衡是两个分量的和。第一种是传统的默顿投资组合（见[43]），它最适合于不存在任何相对性能问题的双向预期效用问题。第二个组成部分取决于单个竞争参数和其他涉及所有代理的风险承受能力和竞争参数以及所有股票的市场参数的数量。自然，当没有竞争时，第二个组成部分就会消失。在指数模型中，竞争总是导致风险资产的更高投资。然而，功率模型并非如此，主要是因为第二个分量的符号可能并不总是固定的。该符号取决于相对风险公差的值，尤其是它是否大于或小于1；考虑到CRRA公用事业公司及其最佳港口的众所周知的性质，这是可以预期的（例如，参见[38]中所谓的“nirvana”案例）。在一只股票的值得注意的特殊情况下，所有代理人都有，均衡策略更简单。对于指数和幂次情形，纳什均衡均为梅顿型，但风险容忍度有所改变，风险容忍度与个体风险容忍度和竞争参数呈线性关系，该线性函数的系数取决于这些参数的总体平均值。当代理数n趋于不确定时，平衡策略的表达式会简化。

极限表达式仅取决于类型向量ζi=（xi，δi，θi，ui，νi，σi）的经验分布极限，对于i=1，n、 我们表明，这些限制策略可以作为适当的平均场博弈（MFG）的均衡内在地存在。直观地说，有限的代理集成为一个连续统一体，每个代理都在普通债券和其个人股票之间进行单独交易，同时还通过影响其预期终端效用的相对性能函数与（有限）人群中的最高级竞争。虽然我们的n-agent游戏有明确的解决方案，但MFG f框架在这方面值得引入，部分原因是它自然地扩展到更复杂的模型，例如涉及投资组合约束或一般效用函数的模型。在这样的模型中，我们期望theMFG框架比n-agent游戏更易于处理。例如，[8、23、25]studyn代理模型与我们的CARA实用模型相似，但显著地包括了公平原则和投资组合约束，导致了复杂的n维二次BSDE系统。MFG公式可能更容易处理，至少可以减少问题的维数，尽管本文中我们没有处理这样的分析。根据在时间零点分配一个随机类型向量ζ=（ξ，δ，θ，u，ν，σ），确定初始财富ξ、偏好参数（δ，θ）和市场参数（u，ν，σ）中的制造商。类型向量的随机性编码了代理类型的分布（连续体）。对于指数情况，制造问题是找到一对π*, 十、具有以下特性。投资策略π*与（2）类似，优化supπEh-e-δ（XT-十） i，（4）式中，X是代表代理人的财富，X是代理人连续性的平均财富。

此外，在此最佳状态下，一致性条件X=E[X*T | FBT]必须保持，其中（FBT）T∈[0，T]是公共噪声B和X产生的过滤*是由π决定的最佳财富*.对于power情况，总财富X必须与其（3）中的n-代理形式一致。记住这一点，请注意，正随机变量Y的几何平均值可以写为exp E[log Y]，无论Y的分布是否离散。这就指向了找到一对的制造问题π*,十、, 这样π*优化SSUPπE1.- 1/δXTX公司-θ1.-1/δ, （5） 此外，一致性条件X=exp E[log X*T | FBT]有效。虽然它在平均场博弈论中的应用似乎是新的，但度量的几何平均值的概念本质上是经过充分研究的广义平均值概念的特例（见[30，第三章]）。正如在有限人口CARA和CRRA案例中一样，我们关注的是策略π*时间是恒定的。这种策略仍然是随机的，相对于（时间零点可测量）随机类型向量是可测量的。我们直接求解MFG问题，构造出与n-代理博弈极限表达式一致的平衡点。在每个模型中，求解技术类似于n-agent设置，因为我们将聚集财富项视为一个不受控制的状态过程，找到单个HJB方程的光滑可分离解，然后强制执行一致性条件。

由此产生的MFG策略与n-agent对应策略具有相似但明显简单的形式，并表现出上述相同的均衡行为和双组分结构。最早在[40]和[32]中引入的平均场博弈，目前已在经济学和金融领域发现了许多应用，尤其包括收入不平等模型[26]、经济增长模型[35]、限额订单形成模型[28]、系统风险模型[17]、最优执行模型[34、13]和寡头市场模型[18]，仅举几例。最接近我们的工作是[29，第6节]的静态模型，它是马科维茨模型的竞争变体，以及[33]的随机增长模型，它具有一些与我们的电力效用模型相同的数学特征。也就是说，我们的工作似乎是制造理论首次应用于投资组合优化。我们的结果增加了两个显式可解制造模型的新示例。除了[5，15，17]的线性二次模型之外，此类示例很少，尤其是在存在公共噪声的情况下。我们所知道的唯一其他例子是[29，第5节和第7节]以及最近的[53]中的例子，除了平方根扩散项外，它是线性二次的。事实上，我们的模型允许显式求解所谓的主方程（参见[14]）。此外，我们希望通过如上所述随机化ζ=（ξ，δ，θ，u，ν，σ），强调我们加入不同类型药物的方式。

之前关于MFG的几项工作（例如，[32]）通过跟踪平均场相互作用的向量，将许多类型合并在一起，每种类型一个，但我们的方法具有无缝合并（不可数）许多类型的优势。虽然随机化类型是具有连续代理的静态游戏中的标准技术，但这一想法在（动态）MFG文献中几乎没有出现；据我们所知，它只出现在[13]中。本文的组织结构如下。在第2节中，我们给出了指数模型，并研究了n-agent博弈和MFG。在第3节中，我们给出了幂和对数效用的类似结果。对于这两类，我们分别在第2.3节和第3.3节中对纳什均衡和平均场均衡进行了定性评论。我们在第4节中总结了存在的问题和未来的研究方向。2、CARA风险偏好我们考虑具有指数风险偏好和恒定独立（绝对）风险容忍度的基金经理（此后称为代理人）。代理商还关心如何衡量他们的绩效与竞争对手的绩效之间的关系。这是一个基于平均财富的可加性项，并通过投资者特定的比较参数进行加权。我们从指数类开始分析，因为它具有加性标度特性，允许次瞬时可跟踪性。此外，指数类提供了与差异估值的直接联系，用于解决基础HJB方程。2.1。n-代理游戏。我们引入了一个由n个代理人组成的博弈，他们在一个共同的investmenthorizon[0，T]中进行交易。每个代理人在“个人”股票和无风险债券d之间进行交易。