多元几何期望值

，ξd对于ξ=ξ（φn，1，…，φn，d）的分量-1） 注意到kξk=1，我们观察到tk∧u（t）=rnξk+rnξk2rnrnhu，ξi+rnkξkuk，对于n收敛到零→ ∞ 对于任何序列（tn）∞n=1接近零。从Φuin（3）的定义可以清楚地看出Φuis是一个凸函数。虽然这对于使用几何期望值的损失函数∧也是如此，但从（5）中还不能立即明确。为了简化讨论，我们首先回顾了凸分析的一个众所周知的结果，例如Rudin【1976年】。引理4.1（中点凸性）。用f表示：Rd→ R连续函数。那么f是凸的当且仅当它是中点凸的，即0.5f（t）+0.5f（t）- f（0.5（t+t））>0对于所有t，t∈ Rd.为了进一步准备结果，我们首先提出了一个定理，推广了常见的平行四边形恒等式。虽然这是定理4.3中凸性证明的一个重要组成部分，但结果本身很有趣。定理4.2（平行四边形不等式）。用B={u表示∈ Rd:kuk6 1}对于任意固定向量x，y，Rd.中的closedunit球∈ Rdit认为-kx公司- yk6 2 kxkhu，xi+2 kykhu，彝族- kx+ykhu，x+yi 6 kx- yk（7）适用于所有u∈ B、 对于u，当且仅当x=y时，kuk<1等式在（7）中成立。我们首先考虑（7）的有界分量是u的函数，可以重写为fx，y（u）=hu，（2 kxk- kx+yk）x+（2 kyk- kx+yk）yi。首先，我们考虑两种特殊情况。对于x=y，（7）中所有边上的所有项均消失，且质量适用于所有u∈ B、 对于x=0 6=y，我们有f0，y（u）=kykhu，yi。因此-kyk6 f0，y（u）6 kykholds是Cauchy-Schwarz不等式的结果。

只有当kuk=1时，等式才成立。然后，对于一般情况，我们考虑y 6=x 6=0，定义（x，y）=k（2 kxk- kx+yk）x+（2 kyk- kx+yk）yk。对于Cauchy-Schwarz不等式和kuk6 1，我们得到了-L（x，y）6 fx，y（u）6 L（x，y），其中等式仅在kuk=1时成立。我们的索赔现在相当于L（x，y）6 kx- yk，或等效tokx- yk公司- L（x，y）>0。（8） 由于这两个术语的尺度不变性，因此SL（σx，σy）=σL（x，y），kσx- σyk=σkx- yk，对于任何σ>0，我们在不损失一般性的情况下考虑x和y，使得kx+yk=1。任何其他情况都可以通过σ=1/kx+yk重新缩放来处理。我们继续考虑（kxk，kyk）的极坐标∈ r等于kxk=r cos（θ）和kyk=r sin（θ），其中r>0和0 6θ6π/2，因为（kxk，kyk）的严格分量正性。此Yieldskx+yk=kxk+kyk+2 hx，yi=r+2 hx，yi=1，或者（2 hx，yi=1- r） 。对于kx- ykwe havekx- yk=kxk+kyk- 2 hx，yi=r- （1）- r） =2r- 1、对于（8）中的第一个术语，我们有kx- yk=（2r- 1） 。关于L（x，y），我们有L（x，y）=αkxk+βkyk+αβ2 hx，yi和α=（2 kxk- kx+yk）和β=（2 kyk- kx+yk）。根据r和θ，我们得到α=（2r cos（θ）- 1） β=（2r sin（θ）- 1） αβ=（2r cos（θ）- 1） （2r sin（θ）- 1） L（x，y）=αrcos（θ）+βrsin（θ）+αβ（1- r） 。根据r和θ重新计算（8），然后再计算yieldskx- yk公司- L（x，y）=2r（r cos（θ）+r sin（θ）- 1） （2r sin（θ）cos（θ）+sin（θ）+cos（θ）），考虑到θ的限制，它是非负的。给定引理4.1和定理4.2，我们现在可以建立∧u的严格凸性。定理4.3（∧u的严格凸性）。对于每个固定u∈ B（3）中定义的函数∧ude在Rd证明上是严格凸的。由于∧uand引理4.1的连续性，我们关注中点凸性。为此，定义D（x，y）=0.5∧u（x）+0.5∧u（y）- ∧u（0.5（x+y）），x，y∈ 其中∧u（0.5（x+y））=0.25 kx+yk+0.25 kx+ykhu，x+yi=0.25∧u（x+y）。

函数∧uis则凸当且仅当h:Rd×Rd→ R、 （x，y）7→ h（x，y）=4D（x，y）=2∧u（x）+2∧u（y）- ∧u（x+y）为非负。对于h，我们有h（x，y）=2 kxk+2 kxkhu，xi+2 kyk+2 kykhu，yi- kx+yk- kx+ykhu，x+yi=kx- yk+2 kxkhu，xi+2 KKKHU，彝族- kx+ykhu，x+yi，其中我们使用平行四边形恒等式2 kxk+2 kyk=kx+yk+kx- 得到第二个等式。条件h（x，y）>0等于-kx公司- yk6 2 kxkhu，xi+2 kykhu，彝族- kx+ykhu，x+yi，定理4.2成立。由于指数u假设位于开放球中，即kuk=1，因此∧uis严格凸的事实是不允许的。到目前为止，我们已经确定∧uis在t=0的固定点是可微分的。此外，∧u的严格凸性保证了∧u至多存在一个全局最小值。为了最终确保这种最小值的存在，我们建立了∧u定义4.1的强制力（Rd上的强制函数）。实值函数f:Rd→ 如果limn→∞f（xn）=∞ 对于所有序列（xn）∞n=1如此限制→∞kxnk=∞.矫顽力在优化理论中起着重要作用，因为它保证了一大类实值函数至少存在一个极小值。这一事实在下面的定理中被形式化。定理4.4。用f表示：Rd→ R是强制凸函数。然后存在一个元素x∈ rdf（x）=infx∈Rdf（x）。证据

证明源自Barbu和Precupanu【2012】中更一般的定理2.11和备注2.13，适用于反射Banach空间上的下半连续函数。Tuy【2016】中的命题2.3保证了f的必要连续性，该命题指出RDI上的一个适当凸函数在其有效域的每个内点上都是连续的。为了最终将所有部分连接在一起，我们在以下定理中建立了∧uin的矫顽力。考虑到定理4.3中建立的∧u的严格凸性，应用定理4.4可确保存在唯一的全局极小值。根据我们以前的观察，特别是定理4.1，我们知道对于每个给定的u，这个最小值都位于0∈ B、 定理4.5（矫顽力∧u）。函数∧uis在Rd.Proof上是强制的。考虑到kuk=s<1，Cauchy-Schwarz不等式意味着hu，xi>-s kxk。因此∧u（x）>0.5 kxk（1- s） 这证明了这一说法。4.2。利用∧uin place的性质，我们现在可以处理eα的性质。在（6）中，有必要确保目标函数（即预期损失）是有限的。与单变量情况类似，我们发现边际分布的有限二阶矩条件是有效的。因此，我们引入了d维随机向量X的条件（C），假设E[Xj]<∞ 对于所有j∈ {1，…，d}以便于参考。这将导致以下结果。定理4.6。如果（C）对d维随机向量X=（X，…，Xd）成立，则0 6 E[λu（X- c） ]<∞ 对于每个c∈ RDA和u∈ B、 证明。

我们使用Jensen不等式和kuk<1来获得| E[kXkhu，Xi]| 6 E[kXk，hu，Xi |]6 E[kXk]。对于给定的c∈ RDA和u∈ B、 这导致toE[λu（X- c） ]=|E[u（X）- c） ]| 6 E[kX- ck]+E[kX- ck | hu，X- ci |]6 2E[kX- ck]=2dXj=1E[（Xj- cj）]<∞,对于所有（u，t），as∧u（t）>0∈ B×Rd和E【Xj】<∞.现在，预期损失的完整性得到了解决，我们转向eα的存在性和唯一性。为此，我们将Lehmann【1983】中定理6.8的证明改编为更一般的设置。为此，设φ（c）=E[λα（X- c） （9）表示（6）中使用的目标函数，并回顾概率收敛到一致性。定义4.2（概率收敛到∞). 正随机变量序列（Yn）∞n=1概率接近∞, 如果，对于每K>0，limn→∞P【Yn>K】=1。为了显示φ的矫顽力，我们首先讨论∧α（X）的概率行为- c） 当KCK朝∞.引理4.2。对于向量序列（cn）∞n=1使kcnk→ ∞ 对于固定的随机向量X，序列∧α（X- cn））∞n=1概率接近∞.证据根据定理4.5的证明，我们得到∧α（t）>0.5（1-s） ktk，其中s=kαk。因此，几乎可以肯定∧α（X- c） >0.5（1- s） kX公司- ck。（10） 对于反三角形不等式，我们也有0.5（1- s） | kXk- kck | 6 0.5（1- s） kX公司- ck，（11）几乎可以肯定。对于任意固定的K>0，我们定义了setsAn（K）={ω∈ Ohm : 0.5（1- s） | kXk- kcnk |>K}，Bn（K）={ω∈ Ohm : 0.5（1- s） kX公司- cnk>K}，Cn（K）={ω∈ Ohm : ∧u（X- cn）>K}，导致An（K） Bn（K） Cn（K）基于不等式（10）和（11）。对于An（K）和每K>0，我们得到p[An（K）]=1- P[0.5（1- s） | kXk- kcnk | 6 K]，=1- P“| kXk- kcnk | 6r2K1- s#，=1-FkXkkcnk+r2K1- s- FKXKCNK-r2K1- s→ 1，对于n→ ∞.

由于P[An（K）]6 P[Bn（K）]6 P[Cn（K）]，limn→∞P[Cn（K）]=1，表示每个K>0。在第二步中，我们证明了定理4.3中建立的∧u的严格凸性转移到φ。定理4.7（φ的严格凸性和连续性）。如果（C）适用于随机向量Xthenφ：Rd→ [0，∞), c 7→ φ（c）=E[λα（X- c） ]对于每个固定α，在Rd上严格凸且连续∈ B、 证明。假设X的边缘二阶矩是有限的，定理4.6保证φ对于每个c∈ Rd.带λ∈ [0，1]和c，c∈ Rd使得c6=cwehaveφ（λc+（1- λ） c）=E[λα（X- （λc+（1- λ） c））]，=E[λα（λX+（1- λ） X个- λc- （1）- λ） c）]，=E[λα（λ（X- c） +（1- λ） （十）- c） ）]，<E[λ∧∧α（X- c） ]+（1- λ） ∧α（X- c） ]，=λφ（c）+（1- λ） φ（c）。连续性源于这样一个事实，即RDI上的每个适当凸函数都是其有效域的一个连续内点，例如，见Tuy【2016】的命题2.3。在确定φ在所有rds上都是严格凸的之后，权利要求如下。结合引理4.2和定理4.7，现在我们可以确保几何期望的存在性和唯一性。定理4.8（eα的存在性和唯一性）。如果（C）对d维随机向量X成立，则存在唯一解eα（X）=argminc∈每个固定α的Rdφ（c）∈ B、 证明。首先，我们证明φ是强制的，fix是序列（cn）∞n=1使kcnk→ ∞.为了证明φ（cn）发散，我们假设任意K>0，且定义n（K）={ω∈ Ohm : ∧α（X- cn）>K}。假设∧α为正，则φ（cn）=E[∧α（X- cn）]=ZCn（K）∧α（X- cn）dP+ZOhm\\Cn（K）∧α（X- cn）dP>ZCn（K）∧α（X- cn）dP>KP[cn（K）]。引理4.2产生KP[Cn（K）]→ K为n→ ∞, 这表明φ是发散的，也就是说φ是强制的。注意，从定理4.7中，φ也是连续且严格凸的。然后应用EOREM 4.4。在建立了几何期望值的基本属性之后，我们现在讨论它们在数据转换下的行为。

正如Chaudhuri（1996）对VaRα（X）所做的那样，很容易说明几何期望值在基础随机向量X的平移、旋转和重缩放方面的表现。将确定性量添加到不确定位置只会根据相干风险度量的平移不变性，简单地改变产生的风险度量。命题4.1（翻译不变性）。如果（C）适用于d维随机向量，则eα（X+a）=eα（X）+a适用于所有a∈ Rd证明。通过定义，我们得到eα（X）=argminc∈RdE[λα（X-c） 】。因此，E[λα（X-（c）-a） ）]将通过eα（X）+a最小化。比例转换下的合理行为确保基本度量单位的变化（例如，从美分到美元）适当反映在风险度量的行为中。对于几何期望值，如下所示。这与一致风险度量的正同质性相似。命题4.2（正同质性）。如果（C）适用于d维随机向量，则对于每个正标量σ>0，eα（σX）=σeα（X）。证据∧α（σX- c） =kσX- ck（kσX- ck+hα，σX- ci）=σ十、- σ-1c级σ十、- σ-1c级+ σα、 X个- σ-1c级= σ∧α（X- σ-1c）。假设eα（X）最小化σe[λα（X- c） ，因为正因子σ只改变目标函数的值，而不改变最优值的位置，我们得到σeα（X）使∧α（σX）最小化- c） ，即eα（σX）=σeα（X）。可以合理预期，X的组成部分的排列应该像最终风险度量的条目排列一样。几何期望值不仅在置换下表现良好，而且在一般正交旋转下表现良好。命题4.3（正交矩阵旋转）。如果（C）对d维随机向量X成立，则eAα（AX）=每个正交矩阵a的Aeα（X）∈ Rd×d证明。

通过A的正交性，对于每个x，y∈ Rd，我们有hAx，Ayi=hx，yi和kaxk=kxk。通过A>A的转置表示，因此得到∧Aα（AX- c） =kAX- ck（kAX- ck+hAα，AX- ci）=十、- A> c类十、- A> c类+α、 X个- A> c类= ∧α（X- A> c）。假设eα（X）最小化e[λα（X- c） ]，E[λα（X）的极小值- A> c）]由AEα（X）给出。综上所述，命题4.1–4.3保证eα（X）在最相关的数据转换中表现良好。在这种情况下，很自然会问是否存在suitableordering 对于随机向量，例如X Y表示eα（X）@eα（Y）为可能的不同顺序@。虽然这一点非常有趣，但事实证明，很难得出合适的结果，因此我们将其作为有待进一步研究的开放问题。在下面的推论4.1和命题4.4中，我们将一元期望值的著名对称性推广到多元设置。我们首先建立X的几何期望值和-X作为命题4.3的一个集合。推论4.1（向量符号对称）。如果（C）对d维随机向量Xthen eα成立(-十） =-e-α（X）表示所有α∈ B、 证明。用A=-一、 其中I是适当的单位矩阵，并且-α和重新排列术语。对于径向对称分布，参见McNeil等人【2015】第7章，当改变下垫指数α的符号时，预期值也遵循对称关系。命题4.4（索引符号对称性）。如果（C）适用于具有平均向量u的d维径向对称性向量X，则u=（eα（X）+e-α（X））表示所有α∈ B、 证明。对于α∈ B我们有-α（X- c） ]=E[kX- ck]+E[kX- ckh公司-α、 X个- ci]=E[k-（c）- 十） k]+E[k-（c）- 十） khα，c- Xi]=E[λα（c- 十） ]=E[λα(-（十）- c） ）]对于所有c∈ Rd。

根据平移不变性（命题4.1）和径向对称X- ud=-（十）- u）因此我们有-α（X- （2u- eα（X））]=e[λα(-（十）- u）- eα（X）+u）]=e[λα（（X- u）- （eα（X）- u））]=E[λα（（X- u）- eα（X- u））]，其中右手侧最小化，这意味着-α（X）=2u- eα（X）。在单变量环境中，预期值由于其可引出性，在可能的风险度量中是一个有吸引力的选择。正如Gneiting（2011）所述，在考虑点预测时，可引出性是统计泛函的一个属性。用F表示具有有限次边缘矩的rds上的概率分布类，我们用T表示统计函数，即T:F→ Rd，F 7→ T（F）。通常，统计泛函可以是集值映射，例如分位数。然而，我们将在这里集中讨论它们在欧几里德空间中取值的情况，因此我们将Gneiting【2011】中给出的可引出性定义调整为该情况。定义4.3（可引出性）。一个统计函数T被称为相对于F类的可导函数，如果1）存在一个评分函数S:Rd×Rd→ [0，∞), （x，y）7→ S（x，y），使得有一个表示t（F）=argminc∈RdE[S（c，X）]，对于每F∈ F其中X~ F，and 2）E[S（T（F），X）]=E[S（c，X）]表示c=T（F）。因此，如果函数T可以表示为适当评分函数的Bayes规则的唯一极小值，则它是可导出的。对于几何期望值，我们可以定义α∈ B、 一个相关的功能性TαasTα：F→ Rd，F 7→ X的eα（X）~ F、 其中定理4.8保证Tα（F）不是集值的。从eα的定义可以清楚地看出，评分函数α：Rd×Rd，（x，y）7→ ∧α（x- y） 使Tα相对于类F可引出。

在这里，定理4.8在具有有限二阶矩的边际的联合分布假设下起着至关重要的作用。在单变量情况下，可引出性允许评估和比较不同竞争模型的预测性能，有关讨论，请参见Nolde和Ziegel【2017】。在实际设置中，这允许根据预期点预测性能选择最佳模型，并针对实际数据实施有意义的基于预期的回溯测试过程。几何期望值的可引出性现在可能为实现模型选择和回溯测试程序打开了大门，这些程序只适用于与边际分布相反的潜在联合分布。从理论角度来看，几何期望通过证明一个不是单变量评分函数线性组合的评分函数，也有助于进一步理解多元可诱导性；有关深入讨论，请参见Fissler和Ziegel【2016年】。与几何期望值相关的评分函数Sα进一步为二阶正齐次函数，如下面的命题4.5所示。Efron[1991]强调了在估计环境中正同质性或尺度不变性的必要性。尺度不变性和尺度估计也是稳健统计理论的核心；例如，参见Huberand Ronchetti【2009年】。巴顿（Patton）[2011]进一步论证了预测排名的同质性，因为从同质评分函数获得的排名对于基础数据的重新缩放不变性。参见Gneiting【2011】和Nolde and Ziegel【2017】对单变量预期的讨论。通过建立Sα的正同质性，我们在多变量情况下也准备了同样的应用。命题4.5（2阶Sα的正同质性）。对于c>0和（x，y）∈ Rd×Rd，Sα（cx，cy）=cSα（x，y）。证据