具有一般交易的多资产期权定价问题

让我们回忆一下方程式（3.9），使得f（t，x，p，s，B）=-tr（A B）- rs·S+rp+G（S，B）（3.19）然后，通过应用标准计算并丢弃函数依赖关系，我们得到了thatDYF（t，x，p，S，B）=-Btr公司A、B+BG（S，B）（3.20）第一个导数随后回顾了迹函数的线性和矩阵A的对称性。然后，Btr公司A、B=A（3.21）二阶导数涉及对交易成本条款应用产品规则。然后BG（S、B）=BNXi=1Si√trπvuutNXj=1NXk=1BijAjkBkiZ+∞Cvuut2tNXj=1NXk=1BijAjkBkiy是的，是的-ydy公司=NXi=1Si√trπBvuutNXj=1NXk=1BijAjkBkiZ+∞Cvuut2tNXj=1NXk=1BijAjkBkiy是的，是的-ydy+vuutNXj=1NXk=1BijAjkBkiZ+∞卑诗省vuut2tNXj=1NXk=1BijAjkBkiy是的，是的-ydy公司（3.22）上述计算可通过分析两个导数来解决。第一个对应于（3.3）中定义的Ifunction。该项导数的计算在A中完成，并由下式给出BpΘi=Θ-1/2i[AB+BA]。（3.23）二阶导数对应于交易成本函数C相对于matrixB的导数。同样，完整的计算在A中给出。然后，关于矩阵B的导数等于卑诗省第2季度t（BAB）iiy= C（Hi（y））y[AB+BA]rtΘ-1/2i（3.24）现在，我们可以写出方程（3.20）asDYF（t，x，p，s，B）=-A+2NXi=1Si√trπΘ-1/2i[AB+BA]Z+∞C第2季度t（BAB）iiy是的，是的-ydy+[BA+AB]rtZ公司+∞C第2季度t（BAB）iiyye公司-ydy#DYF（t，x，p，s，B）=-A+[BA+AB]√trπNXi=1SiΘ-1/2英寸+∞C第2季度t（BAB）iiy是的，是的-ydy+rtZ公司+∞C第2季度t（BAB）iiyye公司-ydy#。（3.25）方程（3.25）定义了非线性抛物算子F的微分矩阵相对于二阶导数分量的最终状态。引理3.2和3.3中的广义Leland条件要求微分矩阵DYF为有限负。

事实上，我们可以检查，当N=1且交易成本C的函数为常数时，该条件是否减少到原始利兰条件。备注3.4。让我们证明，在交易成本不变的一维情况下，我们的条件有效地简化为Leland的条件。为此，我们在一维情况下指定A、Θ和C。那么，A=Sσ，Θ=五、SσS，Cp2级t（DV ADV）y=§C（3.26）如果我们将此定义应用于方程（3.25），则得到该DYFt、 x、p、s、，五、S= -Sσ+2五、SSσ2 S√trπИC五、SSσ-1/2=-Sσ+Sσsgn五、SS√trπИC2σS=Sσ“-1+～C√trπσsgn五、S#（3.27）那么，DYF为负当且仅当▄C√trπσ<1（3.28）3.3 Perron方法解的存在性让我们从设置框架开始，应用著名的Perron方法来推导粘度解的存在性。我们将首先应用变量的变化，以便用常数系数定义非线性算子F。然后，我们应用变量sxi=log（Si）的变化，使非线性算子F成为τ、 x、V、DV、DV= -NXi=1NXj=1σiσjρij五、xixj公司-NXi=1五、xir-σi+ rV+Gx、 DV, （3.29），非线性函数G变为Gx、 DV=NXi=1exi√trπpΘiZ+∞Cpt 2Θiy是的，是的-ydy，（3.30），带Θi=e-2xiNXj6=iNXk6=i五、xixj公司五、xixkσjσkρjk+2NXj6=i五、xixj公司五、xi-五、xiσiσj+五、xi-五、xiσi.（3.31）给定方程（3.29）和（3.30），我们的Dirichlet问题变成五、τ+Fτ、 x、V、DV、DV= 0英寸Ohm ×[0，T]V（0，x，…，xN）=V（x，…，xN）英寸Ohm （3.32）其中V（x，…，xN）是初始条件。因此，这项工作的主要定理定义为以下定理3.5。假设关于非线性算子F的Hessian矩阵的微分矩阵为负定义。然后，问题（3.32）至少有一个粘度解。在进行定理证明之前，我们将陈述一些重要的定义，这些定义将在之后使用。

给定一个开放集OhmT RN+1，我们记得对于所有序列（sn，yn），V在（t，x）处是下半连续（LSC）或上半连续（USC）→ （t，x），V（t，x）≤ lim信息→∞V（sn，yn）（LSC）V（t，x）≥ lim支持→∞V（sn，yn）（USC）。此外，我们定义了V*V的下半连续包络是位于V和V之下的最大下半连续函数*对应的V上半连续包络是位于V上的最小上半连续函数。让我们继续介绍粘度溶液的定义，这是我们将寻找的解决方案类型。让我们回忆一下OhmT=[0，T]×r和函数V∈ C1,2(OhmT） 。然后，我们有以下定义。定义3.6。如果U是上半连续的，则U是（3.32）的次分辨率，如果，对于所有（t，x）∈ OhmTand所有测试函数φ，使U≤ φ在（t，x）和U（t，x）=φ（t，x）的邻域中，我们有φτ+Fτ、 x，φ，Dφ，Dφ≤ 0。（3.33）U是（3.32）的上解，如果U是下半连续的，如果，对于所有（t，x）∈ OhmTand所有测试功能φ，使U≥ φ在（t，x）和U（t，x）=φ（t，x）的邻域中，我们有φτ+Fτ、 x，φ，Dφ，Dφ≥ 0。（3.34）最后，如果U既是子解又是上解，则U是（3.32）的解。现在我们可以介绍Perron方法来找到问题的解决方案（3.32）。首先，我们要求非线性算子F是退化椭圆的。然后，Perron方法定义如下。定理3.7。假设w是问题（3.32）的子解，v是问题（3.32）的上解，因此w≤ v、 假设问题（3.32）有一个满足边界条件u的下解u和上解u*（t，x）=u*（t，x）=g（t，x）。那么，W（t，x）=sup{W（t，x）：u≤ w≤ u和w是（3.32）}的一个子解。

（3.35）为了应用Perron方法，我们首先必须设置问题的下解和上解（3.32）。然后，我们必须构造一个最大子解，使其位于子解和上解之间。最后，我们必须确定适当的比较原则，以便定理3.7中定义的边界条件成立。因此，让我们从回顾等价的“Black-Scholes”线性问题开始。如果我们将线性椭圆算子表示为Fτ、 x、V、DV、DV= -NXi=1NXj=1σiσjρij五、xixj公司-NXi=1五、xir-σi+ rV，（3.36）则存在问题的唯一解∧五、τ+~Fτ、 x、V、DV、DV= 0英寸Ohm ×[0，T]V（0，x，…，xN）=V（x，…，xN）英寸Ohm （3.37）基于此唯一解∧的存在性，我们将构造我们的子解和上解。然后，下面的引理给出了问题（3.32）的子解和上解。引理3.8。设F为方程（3.29）中定义的非线性椭圆算子。然后，以下函数是问题（3.32）的子解和上解。V=∧+CτV=∧- Cτ，其中∧是问题（3.37）的唯一解，C是正常数suchC≥ supx公司∈Ohm|Gx、 D∧| （3.38）证明。让我们看一下，V是（3.32）的一个子解。首先，V的上半连续性来自解∧（τ，x）的连续性。让我们看到，对于所有测试函数φ，V≤ φ在（τ，x）和V（τ，x）=φ（τ，x）的邻域中，如下所示φτ+Fτ、 x，φ，Dφ，Dφ为负。设φ为测试函数，使得V≤ φ。那么，我们有φτ（τ，x）=五、τ（τ，x）Dφ（τ，x）=DV（τ，x）Dφ（τ，x）≥ DV（τ，x）现在我们使用算子F退化椭圆的条件。此条件意味着φτ+Fτ、 x，φ，Dφ，Dφ≤五、τ+Fτ、 x、V、DV、DV≤ Gτ、 D∧- C≤ 0使用条件3.38，最后一个不等式成立。现在我们来证明V实际上是一个上解。

在这种情况下，下半连续性源自解∧的连续性。让我们看到，对于所有测试函数φ，V≥ φ在（τ，x）和V（τ，x）=φ（τ，x）的邻域中，如下所示φτ+Fτ、 x，φ，Dφ，Dφ是积极的。设φ为∧的测试函数≥ φ。那么，我们有了φτ（τ，x）=五、τ（τ，x）Dφ（τ，x）=DV（τ，x）Dφ（τ，x）≤ DV（τ，x）现在我们使用算子F的退化椭圆条件和条件3.38。这两种情况都意味着φτ+Fτ、 x，φ，Dφ，Dφ≥五、τ+Fτ、 x、V、DV、DV≥ Gx、 D∧+ C≥ 那么，V是问题（3.32）的上解。备注3.9。根据定义，V仍然有效≤ 五、备注3.10。给定“Black-Scholes”解∧，非线性项Gx、 D∧对于每x in有界Ohm. 根据复制投资组合的构造，可以观察到交易成本与期权的二阶导数成比例。此外，从线性问题的解中，我们知道当价格太小或太大时，二阶导数趋于零。然后，在这些场景中，复制投资组合几乎没有重新平衡，因此交易了少量股票，从而对交易成本函数的贡献很小。根据文献[11]中的引理2.3.15，存在一个函数U，使得V≤ U≤ V和U*是（3.32）和U的次分辨率*是（3.32）的上解。然后，为了最终证明定理3.5，我们需要确认*（τ，S）=U*（τ，S）。为此，我们将考虑[11]中所述的比较原则。提案3.1（比较原则）。如果u是问题（3.32）的子解，v是问题（3.32）的上解Ohm串联u≤ 抛物线边界上的vpOhmT、 然后u≤ v英寸OhmT、 因此，我们的最后一个引理如下：引理3.11。

设Vand V为问题（3.32）的子解和上解，U为Emma 2.3.15从[11]中获得的函数，使得V≤ U≤ 五、然后，U*（τ，S）=U*（τ，S）。证据让我们首先观察一下，不平等U*≤ U*通过定义半连续封套保持。对于另一个不等式，让我们回忆一下引理3.8中定义的V和V，利用线性解∧的连续性，我们得到了（V）*= V=（V）*五、*= 五=五、*特别是在抛物线边界中，我们发现子解和上解都等于∧。那么，这是有效的五、*≤ （五）*在里面pOhmT（3.39）此外，对于引理2.3.15，从[11]，V≤ U≤ 五、利用这个结果和前面的不等式，可以得出*≤ U*在里面pOhmT（3.40）最后，通过比较的主结果得到期望不等式。4数值实现4.1数值框架在本节中，我们推导了一个数值框架，用于找到问题（1.2）的近似解。该解决方案将帮助我们了解交易成本的存在如何影响特定金融期权的定价。为此，我们开发了一个迭代方案，使得在每一步上都能找到一个近似解。然后重复每个步骤，直到方案收敛。通过回顾非线性问题，我们提出以下迭代过程-Unτ+LUn=G联合国-1.在里面Ohm ×[0，T]Un（0，x，…，xn）=U（x，…，xn）英寸Ohm （4.1）U（τ，x，…，xn）=0，尺寸Ohm = 2和U（τ，x）=V（τ，x），如方程（3.32）所定义。为了数值方便，我们用离散的1^近似原始平滑域OhmT 【a，b】×【a，b】×【0，T】，设置a和b以涵盖一组可行的股票价格。空间变量的步长统一设置为x=（b- a） /Sx，是Sx x方向上网格点的数量。

时间变量的步长也统一设置为τ=T/tx是τ方向上网格点的数量。我们定义n为迭代问题的步骤，给定n，m为每个时间步骤。因此，我们将n步迭代问题的解定义为Umij=U（xi，yj，mτ） 其中0≤ i、 j≤ SX和0≤ m级≤ Tx.在每个步骤n，我们必须解决一个涉及U的二阶导数和混合导数的线性问题。如果我们直接应用有限差分格式，可逆矩阵将不会是三对角的，因为必须考虑混合空间导数。因此，我们采用交替方向隐式（ADI）方法和有限差分法（FD）。我们按照【14】中介绍的步骤确定程序的两个阶段。ADI方法的主要思想是在步骤m和m+1之间生成中间步骤m+1/2。前半步隐式沿x方向进行，显式沿y方向进行。另一半步骤隐式地在y方向上执行，显式地在x方向上执行。首先，我们拆分时间导数，如（4.2）Uτ\'Um+1ij所示- Umij公司t=Um+1ij- Um+ijt+Um+ij- Umij公司t。

（4.2）然后，我们离散线性算子l=NXi=1NXj=1σiσjρijUxixj+NXi=1Uxir-σi- rU，设置Ux\'Umi+1，j- Umi，jx，Ux\'Umi，j+1- Umi，jx，Ux\'Umi+1，j- 2Umi，j+Umi-1，jx，Ux\'Umi，j+1- 2Umi，j+Umi，j-1.x，Uxx\'Umi+1，j+1+Umi-1，j-1.- Umi公司-1，j- Umi，j-14x、 如【14】第2.1节所述，我们将运算符L的离散化拆分为nLx=σUm+i+1，j- 2Um+i，j+Um+i-1，jx+σUmi，j+1- 2Umi，j+Umi，j-1.x+σσρUmi+1，j+1+Umi-1，j-1.- Umi公司-1，j- Umi，j-14x个+r-σUm+i+1，j- 嗯+我，jx个+r-σUmi，j+1- Umi，jx个-rUm+ijandLy=σUm+i+1，j- 2Um+i，j+Um+i-1，jx+σUm+1i，j+1- 2Um+1i，j+Um+1i，j-1.x+σσρUm+i+1，j+1+Um+i-1，j-1.- 嗯+我-1，j- 嗯+我，j-14x个+r-σUm+i+1，j- 嗯+我，jx个+r-σUm+1i，j+1- Um+1i，jx个-rUm+1包含两阶段完整模式的作业- Umij公司t=LxUm+ij，Um+1ij- Um+ijt=碱液+1ij。由于问题（4.1）包含线性函数G，我们在程序的第二阶段添加该项- G、 Um+1ij- Umij公司t=LxUm+ij+LyUm+1ij- G（·）=LxUm+ij+~LyUm+1ij。建议的框架用于先计算Um+，然后计算Um+1。ADI方法最重要的优点是，它只需要在每个时间步解两个三对角方程组。4.2数值结果为了实现第3节中提出的框架，我们选择了一种多资产期权和一种交易成本函数。首先，我们对两种资产的现金或无现金最优看涨期权进行定价。如果资产或高于或等于执行价格X，则该期权支付预先确定的现金金额K。

闭式公式在[8]ascbest=Ke上给出-rT[M（y，z；-ρ） +百万(-y、 z；-ρ） ]（4.3）y=ln（S/S）+σTσ√T、 σ=qσ+σ- 2σσρz=ln（S/X）+σTσ√T、 z=ln（S/X）+σTσ√Tρ=σ- ρσ，ρ=σ- ρσ，其中Sand是股价，σ和σ是波动率，ρ是两种资产之间的相关性，即到期日和M（a，b；ρ）isM（a，b；ρ）=2πp1- ρZa-∞Zb公司-∞经验值-x+y- 2ρxy2（1- ρ）dx dy.其次，给定（3.30）中定义的非线性函数G，我们选择指数递减的交易成本函数asC（x）=Ce-~k x每个资产x。因此，通过回顾（2.9），我们可以看到EHC√t |Φi||Φi | i=Z+∞Ce公司-~k√tx2 x√2πΘie-x/2Θidx=CrπZ+∞e-k√txx公司√Θie-x/2Θidx=CrπZ+∞e-k√tΘiypΘiye-y/2dy=CpΘirπ“1- ektΘi/2ΘkptΘiERFCΘkrtΘi！#。然后，GS、 DV= CrπXi=1SitpΘi“1- ektΘi/2ΘkptΘiERFCΘkrtΘi！#。（4.4）表1给出了为数值实现选择的参数。然后，通过改变股票价格、波动性、利率和罢工等价值，应用三种不同的测试。我们分析了实现的ADI算法的不同方面以及提出的一般事务成本模型的动态。我们关注以下三点：1。衡量期权价格中交易成本的影响。2、给定实现收敛的最佳迭代次数，分析最终输出对以下选择的敏感性：tT C.3。

给定（4.1）中提出的迭代程序，确定n的最佳数目，以实现收敛，并确定误差如何随着步骤的增加而减小。参数测试1测试2测试3资产1资产2资产1资产2资产1资产2资产1资产2σ0.30 0.15 0.05 0.1 0.2 0.2ρ0.5-0.3 0.2r 0.08 0.02 0.1T 1年1年K 5 8 6 x 30 40 15x 1 1 1tT C1/261 1/261 1/261C0.005 0.001 0.003k 1 0.5 0.7表1：数字实施参数4.2.1交易成本影响图（1）至图（3）显示了交易成本函数和期权价格的结果，交易成本为t=0。通过回顾（4.2）中的交易成本函数G，可以注意到成本与资产现货价格、期权价格的二阶导数（即伽马）的大小以及每项资产的波动性成比例。测试1是基于X=30的罢工和K=5的溢价确定的。图（1a）显示了指数交易成本函数，其中在履约价值附近达到最大值。这种行为被认为是在货币价格下，伽马的最大值出现在货币附近。当这些衍生品在资金短缺或资金短缺时收敛到零，交易成本函数就消失了。图（1b）描述了考虑交易成本函数时期权价格的动态。0600.050.1600.15交易成本400.2资产2价格0.2540资产1价格0.320000（a）t=0.0601260时的交易成本403资产2价格440资产1价格5202000（b）t=0时的期权价格。图1：测试1。测试2框架的结果如图（2）所示。确定了X=40时的执行价值，K=8时支付的溢价，以及两项低波动性资产。图（2a）所示的交易成本函数显示了其价值在货币区域的类似增长模式。