具有一般交易的多资产期权定价问题

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英文标题：
《On a pricing problem for a multi-asset option with general transaction
  costs》
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作者：
Pablo Amster and Andres P. Mogni
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最新提交年份：
2018
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英文摘要：
  We consider a Black-Scholes type equation arising on a pricing model for a multi-asset option with general transaction costs. The pioneering work of Leland is thus extended in two different ways: on the one hand, the problem is multi-dimensional since it involves different underlying assets; on the other hand, the transaction costs are not assumed to be constant (i.e. a fixed proportion of the traded quantity). In this work, we generalize Leland\'s condition and prove the existence of a viscosity solution for the corresponding fully nonlinear initial value problem using Perron method. Moreover, we develop a numerical ADI scheme to find an approximated solution. We apply this method on a specific multi-asset derivative and we obtain the option price under different pricing scenarios.
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中文摘要：
我们考虑一个Black-Scholes型方程，该方程产生于具有一般交易成本的多资产期权定价模型。因此，利兰的开创性工作以两种不同的方式展开：一方面，问题是多方面的，因为它涉及不同的基础资产；另一方面，交易成本不假定为常数（即交易量的固定比例）。在这项工作中，我们推广了Leland条件，并利用Perron方法证明了相应的完全非线性初值问题粘性解的存在性。此外，我们发展了一个数值ADI格式来寻找近似解。我们将此方法应用于一个特定的多资产衍生工具，并获得了不同定价场景下的期权价格。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Computational Finance        计算金融学
分类描述：Computational methods, including Monte Carlo, PDE, lattice and other numerical methods with applications to financial modeling
计算方法，包括蒙特卡罗，偏微分方程，格子和其他数值方法，并应用于金融建模
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Analysis of PDEs        偏微分方程分析
分类描述：Existence and uniqueness, boundary conditions, linear and non-linear operators, stability, soliton theory, integrable PDE\'s, conservation laws, qualitative dynamics
存在唯一性，边界条件，线性和非线性算子，稳定性，孤子理论，可积偏微分方程，守恒律，定性动力学
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PDF下载：
--> On_a_pricing_problem_for_a_multi-asset_option_with_general_transaction_costs.pdf (1.46 MB)

2022-5-31 08:07:49 上传

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关键词：期权定价 Quantitative Applications Conservation Transaction

具有一般交易成本的多资产期权定价问题。Amster1,2和A.P.Mognidepartmento de Matem\'atica，Facultad de Ciencias Exactas y NaturalesUniversidad de Buenos Aires andIMAS-CONICETCiudad Universitaria，Pabell\'on I，1428 Buenos Aires，Argentina邮件：pamster@dm.uba.ar-amogni@dm.uba.arAbstractWe考虑一个Black-Scholes型方程，该方程产生于具有一般交易成本的多资产期权的定价模型。因此，利兰的开创性工作以两种不同的方式展开：一方面，问题是多方面的，因为它涉及不同的基础资产；另一方面，交易成本不假定为常数（即交易量的固定比例）。在这项工作中，我们推广了Leland的条件，并利用Perron方法证明了相应的全非线性初值问题的粘性解的存在性。此外，我们开发了一个数值ADI格式，以找到近似解。我们将此方法应用于特定的多资产衍生工具，并获得不同定价方案下的期权价格。关键词：非线性抛物微分方程、期权定价模型、利兰模型、交易成本、佩龙方法、ADI拆分方案2010 MSC:35K20、35K55、91G20、91G601简介Black-Scholes模型[3]依赖于不同的假设，如波动率和利率的常数值、股息收益率的不存在、，市场的效率和交易成本的不存在，等等。按照Leland的方法【15】，通过应用离散时间复制策略，交易成本可以包含在定价方法中。

得到了期权价格的非线性偏微分方程，用V（S，t）表示；即五、t+^σS五、SS五、S+rS五、S- rV=0，（1.1），其中^σ是根据交易成本函数定义的。例如，如果交易成本由固定利率C确定，则^σ由^σ给出S五、S= σ1.- 勒斯根S五、S=（σ（1- Le）如果五、S> 0σ（1+Le）如果五、S<0，其中Le=qπCσ√这是利兰的号码。不同的作者扩展了最初的方法。文[4]通过建立一个具有恒定交易成本的二项式期权定价模型，研究了离散近似。文献[9]给出了Leland方法论在期权组合中的推广，并研究了解的存在性。在[7]中，使用上下解的方法来研究原始平稳问题。此外，对原始对冲策略的分析见【6】，并在【16】中考虑了对策略的修改，以确保近似误差在限值内消失。交易成本函数的不同选择导致部分微分方程的非线性项发生变化。在[1]中，作者提出了一个非递增线性函数，并找到了平稳问题的解。在[19]中，对交易成本函数的概念进行了推广，并对交易成本函数进行了所谓的均值修正。这种变换允许作者通过求解等价的拟线性Gamma方程来建立一个广义的一维Black-Scholes方程。此外，还研究了在期权定价框架中引入交易成本所产生的非线性问题的粘性解。[5]的开创性工作是通过比较作者可用的最大效用来确定期权价格，从而解决两个随机最优控制问题。

这些问题的值函数是唯一的粘度解。此外，[2]的工作使用效用函数和偏微分方程的无症状分析来量化欧洲看涨期权问题对偏好的依赖性。上述著作的主要区别在于，它们都只考虑了偏微分方程中的一种资产。在[20]和[21]中，作者推广了Leland方法，以涵盖不同类型的多资产期权，发展了非线性偏微分方程，并数值求解了一系列示例。本文证明了具有一般交易费用函数的多资产期权定价问题的粘性解的存在性。我们推导出以下非线性问题-Vτ+LV=G（V）inOhm ×[0，T]V（x，…，xN，0）=V（x，…，xN）英寸Ohm （1.2）其中Ohm = RN，V是期权价格，L是椭圆算子，G是非线性项，是初始条件。这个问题可以用一个非线性椭圆算子F重写为-Vτ+F V=0英寸Ohm ×[0，T]V（x，…，xN，0）=V（x，…，xN）英寸Ohm （1.3）本演示有助于我们介绍Perron方法，以确定粘度溶液。事实上，在我们的工作中，我们证明了Leland条件的推广是必要的，这样非线性算子F就可以生成椭圆，并且可以找到解。通过正确定义问题（1.3）的子解和上解，并回顾比较原则，我们使用Perron方法来推导解的存在性。在工作的第二部分，我们开发了一种数值方法，以便使用迭代方法找到解决方案。为此，在分裂算子族中选择了交替差分隐式（ADI）格式。

不同的著作【12、13、18、17】研究了这种方法在处理离散化的混合导数项时的适用性。在多维问题上，与经典的Crank-Nicholsonscheme相比，ADI方法可以通过应用三对角矩阵算法有效地解决PDE问题。在本节中，我们提供了有关数值格式收敛性、最终输出对时间参数选择的敏感性以及期权价格中交易成本的影响的结果。本文的结构如下。在第2节中，我们推导了非线性偏微分方程，该方程解释了考虑一般交易成本函数的多资产衍生工具期权价格的动态性。在第3节中，我们应用所有必要的步骤，用Perron方法证明粘性解的存在性。最后，在第4节中，我们开发了ADI框架，以找到一个强大的解决方案，并为特定的多资产衍生产品定价。2多个资产和一般交易成本的PDE推导functionlet∏是包含δiof asset Si和时间t时这些资产的期权V的投资组合。该投资组合可以用∏=V+NXi=1δiSi表示。（2.1）如果我们确定 作为过程的一步变化（即yt=yt- 年初至今-1） ，通过应用It^o公式overV，我们得到五=五、t型t+NXi=1五、Si公司Si+NXi=1NXj=1σiσjρijsij五、Si公司Sj公司t、 （2.2）交易成本在计算时出现π，表示每次t时投资组合的变化。具体而言，投资组合的变化表示为∏=V+NXi=1δiSi+NXi=1T Ci，（2.3）其中T ci是购买或出售δiassets of Si时的交易成本金额。取δi=-VSi，Weget∏=五、-NXi=1五、Si公司Si公司-NXi=1T Ci。（2.4）按照【19】中的方法，可以看出T Ci=SiC(|δi |）|δi |，（2.5），其中C是交易成本函数。

通过定义riT Cto为单位时间间隔内交易成本变化的预期值t和price Si，我们看到rit C=E[T Ci]Sit=E[C(|δi |）|δi |]t、 因此，我们通过交易成本函数的预期值来近似交易成本，该函数应用于购买或出售的资产金额，并再次乘以这些金额。然后将该值乘以资产Si的价格，以获得货币形式的交易成本。应用（2.4）中的（2.5）并使用V，我们获得∏=五、t+NXi=1NXj=1σiσjρijsij五、Si公司Sj公司t型-NXi=1SiriT Ct、 （2.6）根据假设∏=r∏t和（2.6），我们得到RV+NXi=1 IT CSi=五、t+NXi=1NXj=1σiσjρijsij五、Si公司Sj+rNXi=1五、SiSi（2.7），其中riT CSi=E[T Ci]t=E[C(|δi |）|δi | Si]t、 方程（2.7）是非线性偏微分方程，表示在定义一般交易成本函数时，多资产期权的期权价格行为。为了得到偏微分方程的完整表达式，我们必须计算δi。根据前面的步骤，我们知道δi=-五、Si公司~NXj=1五、Si公司Sj公司SJ只接受订单条款t1/2。注意到Sj公司~ σjSjφj√t、 φj作为标准正态变量，我们发现|δi |=NXj=1五、Si公司Sj公司Sj公司=NXj=1五、Si公司Sj公司√tσjSjφj=√t型NXj=1五、Si公司SjσjSjφj.设置Φi=PNj=1五、Si公司SjσjSjφj，我们得到Φi~ N（0，Θi），Θi=NXj=1NXk=1五、Si公司Sj公司五、Si公司SkσjσkρjkSjSk。（2.8）其中ρjk是φjandφk之间的相关参数。因此，riT CSi=E[T C]t=E[C(|δi |）|δi | Si]t型=√t EhC公司√t |Φi||Φi | Siit=Si√tEhC√t |Φi||Φi | i.（2.9）使用（2.7）中的（2.9），我们发现以下非线性偏微分方程对多资产期权的动态进行建模。rV+NXi=1Si√tEhC公司√t |Φi||Φi | i=五、t+NXi=1NXj=1σiσjρijsij五、Si公司Sj+rNXi=1五、西西。

（2.10）3所得PDE3.1解的存在性定义非线性问题设C为可测有界交易成本函数，使得C:R+→ R+，C∈ LR+设C，C＞0，使得每x的C＜C（x）＜C∈ R+。此外，我们表示Ohm = 注册护士，Ohm+= RN+，OhmT=[0，T]×RNandOhm+T=[0，T]×RN+。让我们定义G为非线性算子S、 DV=NXi=1Si√tEhC公司√t |Φi||Φi | i（3.1）=NXi=1Si√trπpΘiZ+∞Cpt 2Θiy是的，是的-ydy（3.2），其中Θiis由Θi=NXj=1NXk=1给出五、Si公司Sj公司五、Si公司SkσjσkρjkSjSk。（3.3）其中ρjk是φjandφk之间的相关参数，这两个标准正态变量。此外，设usdenote L为以下抛物线算子L（τ，S，V）=-rV-五、τ+NXi=1NXj=1σiσjρijsij五、Si公司Sj+rNXi=1五、西西。（3.4）然后，我们定义了多资产期权定价问题的非线性偏微分方程，一般交易成本为ofL（τ，S，…，SN，V）=GS序号，DV在里面Ohm+×[0，T]V（0，S，…，SN）=V（S，…，SN）inOhm+（3.5）我们的目标是找到问题（3.5）的粘度解决方案。为此，我们将把问题（3.5）重写为与[11]符号匹配的问题。因此，我们将非线性抛物方程重新定义为五、τ+Fτ、 S、V、DV、DV= 0（3.6），其中fτ、 S、V、DV、DV= -NXi=1NXj=1σiσjρijsij五、Si公司Sj公司- rNXi=1五、SiSi+rV+GS、 DV. （3.7）备注3.1。方程式（3.6）可以按照矩阵形式重写。

如果我们将矩阵A表示为（A）ij=σiσjρijsij（3.8），那么函数F可以设置为Fτ、 S、V、DV、DV= -tr公司DV- rDV·S+rV+GS、 DV（3.9）对于对应于函数G的非线性项，我们首先注意到Θiis的值等于乘积DV A DV对角线的第i项，即Θi=DV A DVii（3.10）那么，函数G以矩阵形式表示为GS、 DV=NXi=1Si√trπq（DV A DV）iiZ+∞Cqt 2（DV A DV）iiy是的，是的-ydy（3.11）3.2退化椭圆度和Leland的条件3.2.1导出这些条件我们将使用Perron方法证明问题（3.6）的粘性解的存在性。该方法的主要思想是构造一个u形下解-非线性抛物型方程的上解，如-≤ u+。此外，还可以构建一个位于-和u+，可以看到下解的下半连续包络是上解。在应用Perron方法之前，我们需要对非线性算子F设置不同的条件。让我们首先介绍退化椭圆的定义。为此，我们将SNas表示为N维平方对称矩阵的空间。定义3.1。一个非线性函数F:[0，T]×Ohm+×R×RN×SN→ R是退化椭圆ifX≤ Y型==> F（t，x，p，s，x）≥ F（t，x，p，s，Y）。（3.12）考虑到退化椭圆的定义，我们必须设置相应的条件，使非线性函数F符合条件（3.12）。

让我们首先指出函数F对二阶导数分量Y的微分为dyf（t，x，p，s，B）=F（t，x，p，s，Y）YY=B（3.13）根据定义3.1，给定一个正定义矩阵U，我们希望看到dyf（t，x，p，s，Y）（U）≤ 0如果此条件已满足，我们可以使用中值定理证明算子F是退化椭圆（t，x，p，s，Y）-F（t，x，p，s，x）=DYF（t，x，p，s，B）·（Y- 十） （3.14）=0，其中B∈ （X，Y）和Y- X是正定义矩阵。让我们回顾一下Leland条件，它存在于具有常数transactioncosts函数的一维问题中。该条件的目的实际上是定义一个退化椭圆算子，使得对应于二阶导数的系数矩阵为有限正。在我们的工作中，广义德兰条件将起到相同的作用，并将从以下两个引理中推导出来。第一个引理表明，如果微分矩阵DYF是对称的，则评估任何有限正矩阵上的微分就等于计算微分矩阵和相应有限正矩阵之间的乘积轨迹。引理3.2。设U为正定义矩阵，D为关于分量Y的微分矩阵。然后，T r（D U）=D（U）证明。让我们通过使用Frobenius内积的定义来了解结果。从D和正定义矩阵U之间的积迹的定义以及矩阵D的对称性，我们得到了tr（D U）=NXi=1NXj=1DijUji=NXj=1NXi=1djujinow，我们可以安排项，使tr（D U）=D·U=D（U）第二个引理表示，我们可以表征微分矩阵特征值的符号DYF和有限正矩阵U之间乘积迹的符号DYFin项。引理3.3。设U为正定义矩阵。

那么DYF是负定义的当且仅当T r（DYF U）≤ 0对于所有U≥ 0.证明。让我们开始观察，由于DYF是一个对称矩阵，因此存在对角矩阵D和基矩阵C的变化，使得D=C-1DC。那么，我们得到Tr（DYF U）=TrC-1D C U= Tr公司C-1D C U C-1C级. （3.15）如果我们表示W=C U C-1，可以重写前面的方程asr（DYF U）=TrC-1D W C= Tr公司D W, （3.16）式中，W为正定义矩阵。利用最后一个等式，我们可以证明我们的陈述。如果Tr（DYF U）≤ 0对于所有U≥ 0，让我们选择一个稀疏矩阵U，使得列j对应于标准向量ej。然后，W=U和DW=λj。使用T r（DYF U）的事实≤ 0，我们推断每个λj<0。现在我们假设DYF为负定义。然后，TrD W=NXi=1DiiWii<0（3.17），因为每个DiiWii都是负的，每个wii都是正的。引理3.2和3.3都可以在以下行中恢复：如果微分矩阵DYF是对称的，对于所有矩阵U≥ 0以下等效值有效yf≤ 0<==> Tr（DYF U）≤ 0<==> DYF（U）≤ 0回顾（3.14），矩阵Y-X定义为正，因此通过丢弃依赖关系，不等式变得- FX=DYF（Y- 十） 。（3.18）因此，如果微分矩阵DYF是对称负微分，则非线性算子F是退化椭圆的。在下一节中，我们将看到对称定义为负的条件是针对具有恒定交易成本的一维问题定义的利兰条件的推广。3.2.2微分矩阵计算在本节中，我们计算关于非线性项F的二阶导数的微分矩阵。