太大而不能倒金融机构的系统性冲击模型

如果我们考虑随机变量szj=Yj∧ 那么，我们可以重写TjasTj=min最小值=0，。。。，di6=jYi，Zj（7） 每个Tjcan也可以建模为d个独立冲击到达时间中的第一个到达时间。由于Zjis'FZj（x）=^Cj的存活分布\'FYj（x），\'FXj（x）, x个≥ 0，因此，Tjis'FTj（x）=^Cj的存活分布\'FYj（x），\'FXj（x）\'FX（x）\'FYj（x），x≥ 更一般地说，T=（T，…，Td）的联合生存分布函数可以很容易地恢复，并且结果是由“FT（T，…，Td）=”FY给出最大值=1，。。。，dti公司dYj=1^Cj\'FYj最大值=1，。。。，dti公司,(R)FXj（tj）（8） 对于（t，…，td）∈ （0+∞)d、 这种生存分布所隐含的依赖性结构是由于系统性休克（这是马歇尔-奥尔金分布的依赖性特征）的发生导致生命可以同时结束这一事实以及系统中的每个元素都可以影响系统性休克发生这一事实的结果。备注3.1。如果^Cj（u，v）=uv，对于所有j=1，d、 我们得到“FT（t，…，td）=”FX最大值=1，。。。dti公司dYj=1？FXj（tj），这是广义马歇尔-奥尔金分布的一个特殊规范（见Li AndPellery，2011和Lin and Li，2014），只有一个独立的nt冲击到达时间X。示例3.1。假设随机变量Y，Y，Yd，Z，ZD生成的随机变量Tj（见（7））具有属于同一特定参数family的生存分布。更准确地说，我们假设'FYj（x）=Gγj（x），j=0，d和'FZj（x）=Gηj（x），j=1，其中G是具有支撑（0+∞), γj≥ 0（至少有一个j，其中γj>0）和ηj>0。自“FZj（x）”起≤\'FYj（x）我们有ηj≥ γj。我们设置λj=ηj- γj，对于j=1，d和λ=Pdj=0γj。

因此，FX（x）=Gλ（x）和FTj（x）=Gλ+λj（x）。因此（8）取f形式“FT（t，…，td）=Gλ最大值=1，。。。，dti公司dYj=1^CjGγj最大值=1，。。。，dti公司,(R)FXj（tj）其中“FXJSaties^Cj”Gγj（x），\'FXj（x）= Gηj（x）和关联生存copula为^CT（u，…，ud）=mini=1，。。。duγλ+λiidYj=1^Cj最小值=1，。。。duγjλ+λii，(R)FXjG-1.uλ+λjj.在^cj是阿基米德函数且s trict生成器φj的情况下，我们有'FXj（x）=φjφ-1j（Gηj（x））- φ-1j（Gγj（x））和'FT（t，…，td）=Gλ最大值=1，。。。，dti公司dYj=1φjφ-1jGγj最大值=1，。。。，dti公司+ φ-1j（Gηj（tj））- φ-1j（Gγj（tj））和^CT（u，…，ud）=mini=1，。。。duγλ+λiidYj=1φjφ-1j最小值=1，。。。duγjλ+λii+ φ-1juηjλ+λjj- φ-1juγjλ+λjj.Le t us setαj=λλ+λj，表示系统冲击强度与边缘冲击强度之间的比率，θj=γjλ，表示与每个河岸相关的冲击强度对系统冲击强度的贡献百分比，对于j=1，d、 θ是一些完全独立的外源性冲击的分配百分比。然后，我们可以将这首歌改写为^CT（u，…，ud）=mini=1，。。。duαiθidYj=1φjφ-1j最小值=1，。。。duαiθji+ φ-1ju1级-αj（1-θj）j- φ-1juαjθjj（9） 特别是o如果φjis适用于所有j=1，d参数为βj的Gumbel发生器≥ 1，则“FXj（x）=Gηβjj-γβjj1/βj（x）和^CT（u，…，ud）=mini=1，。。。duαiθiexp(-dXj=1θβjjmax=1，。。。，d{-αiln ui}βj+σj(- ln uj）βjβj），其中σj=（1- αj（1- θj））βj- αβjjθβjjo如果φjis对于所有j=1，d参数βj>0的Clayton生成器，然后是\'FXj（x）=1+克-ηjβj（x）- G-γjβj（x）-1/βjand^CT（u。

，ud）=最小值=1，。。。duαiθidYj=1“最大值=1，。。。，杜邦-αiiθjβj+u-（1）-αj（1-θj））βjj- u-βjαjθjj#-βj（10）注意，由于“FYj（x）=”Fγj/λx（x），我们恢复了样本2.1中考虑的相同框架。从（9）中，与（Ti，Tk）相关的生存copula是^CTi，Tk（ui，uk）==（min（uαii，uαkk））1-θi-θkYj=i，kφjφ-1j（min（uαii，uαkk））θj+ φ-1ju1级-αj（1-θj）j- φ-1juαjθjj其中，s ettin gαi=1，我们恢复与（X，Tk）^CX，Tk（ui，uk）=min（ui，uαkk）（min（ui，uαkk））θkφk相关的生存copulaφ-1公里（min（ui，uαkk））θk+ φ-1公里u1级-αk（1-θk）k- φ-1公里uαkθkk注意，当αk≈ 0 THNCX，Tk（ui，英国）≈uiuθkiφkφ-1公里uθki+ φ-1k（英国）其为（4）型，g（u）=uθ（见示例2.1）：观测寿命与系统性休克到达时间的依赖结构基本上与风险的特质成分和系统性成分之间的依赖结构一致；事实上，αk≈ 0，λjis大，分辨率为λ，这对应于xj相对于X的生存分布较低的情况。备注3.2。如果每个特异性休克与相应的系统性休克分量之间存在pe rfect依赖性，即j=1，…，时^Cj（u，v）=min（u，v），d、 我们得到“FT（t，…，td）=”FY最大值=1，。。。，dti公司dYj=1min\'FYj最大值=1，。。。，dti公司,(R)FXj（tj）.在示例3的特定框架中。1，我们有，作为minGγj（x），\'FXj（x）=Gηj（x），如果ηj>γj，那么'FXj（x）=Gηj（x），如果我们假设ηj>γj，所有j=1，d、 我们可以写“FT（t，…，td）=Gγ最大值=1，。。。，dti公司dYj=1minGγj最大值=1，。。。，dti公司, Gηj（tj）.相反，如果ηj=γj，则'FXj（x）≥ Gγj（x）不是唯一确定的，如果ηj=γjforall j=1，d英尺（t。

，td）=FX最大值=1，。。。，dti公司.3.1同时违约的概率通过构造，T的分布有一个奇点，该奇点是由系统中所有元素同时违约的发生产生的，也就是说，事件{T=T=····=Td}具有正概率。无论是从理论角度还是从应用角度来看，衡量整个系统在给定时间范围内崩溃的概率都很重要。提案3.1。如果随机向量T具有类型（8）的生存分布，则P（T=T=····=Td>T）=-Z+∞tdYj=1’FZj（x）d’FY（x）+-dXj=1Z+∞t’FY（x）Yi6=j’FZi（x）^Cj\'FYj（x），\'FXj（x）FYj（x）（11）证明。P（T=T=···=Td>T）=EP（X>X，…，Xd>X | X）1{X>t}=-Z+∞tdYj=1^Cj\'FYj（x），\'FXj（x）财政年度（x）+-Z+∞t'FY（x）dXj=1^Cj\'FYj（x），\'FXj（x）Yi6=j^Ci\'FYi（x），\'FXi（x）d’FYj（x）。如果每个^cj是阿基米德类型，具有严格的生成器φj，且hj=φ′jo φ-1j，我们有p（T=T=···=Td>T）=-Z+∞tdYj=1’FZj（x）d’FY（x）+-dXj=1Z+∞t’FY（x）Yi6=j’FZi（x）hjo(R)FZj（x）hjo“FYj（x）d”FYj（x）。具体而言，在实施例3.1的f ramework中，（11）采用形式p（T=T=···=Td>T）=γ^λG^λ（T）+dXj=1γjZG（T）y^λ-λj-1hj（yηj）hj（yγj）dy（12），其中^λ=Pdi=0λj。因此o在克莱顿情况下（即φj（x）=（1+x）-βj＞0且hj（x）=-βjx1+βj，对于j=1，d） 我们有p（T=T=···=Td>T）=γ^λG······=λ（T）+dXj=1γj····+λjβjG····=λjβj（T=T=···=Td）=γ·+dXj=1γj····+λjβj==θPdi=1α-1i- （d）- 1） +dXj=1θjPdi=1α-1i- d+βj（α-1j- 1） ，o在Gumbel情况下（即φj（x）=e-xβjwithβj≥ 1和hj（x）=-βjx(- ln x）1-βj，对于j=1。

，d），我们有p（T=T=···=Td>T）=γλ+λdXj=1γj1+λjγj1.-βj！Gλ（t）和p（t=t=···=Td）=γλ+γλdXj=1γj1+λjγj1.-βj==θPdi=1α-1i- （d）- 1） +dXj=1θjPdi=1α-1i- （d）- （1）1+1- αjαjθj1.-βj。。3.2 Kendall函数和K endallτ在本节中，我们通过研究成对Kendall函数和成对Kendallτ来分析随机向量T的成对依赖结构。为了简化我们设置的符号，对于i，k=1，d，i 6=k，Pi，k（x）=FX（x）–FYi（x）–FYk（x）。可以很容易地检查成对（Ti，Tk）的生存分布是'Fi，k（Ti，Tk）=Pi，k（max（Ti，Tk））Yj=i，k^Cj\'FYj（最大值（ti，tk）），\'FXj（tj）.提案3.2。让我们假设^cian和^ckk对于每一个量都是严格增长的。那么，对于t∈ [0，1]，Ki，k（t）=t- tln（\'FZi·Pi，k）o\'\'F-1Ti（t）（\'FZi·Pi，k）（zt）！+ln（(R)FZk·Pi，k）o\'\'F-1Tk（t）（\'FZk·Pi，k）（zt）+-Z'F-1Ti（t）zt'FZiPik（x）^Ck\'FYk（x），\'FXk（ht（x））FYk（x）+-Z'F-1Tk（t）zt？FZkPik（x）^Ci\'FYi（x），\'FXi（gt（x））d'FYi（x），其中zt是'Fi，k（zt，zt）=t，ht（·）的解，求出'Fi，k（x，ht（x））=t，表示zt<x≤\'\'F-对于zt<y，1Ti（t）和gt（·）求解'Fi，k（gt（y），y）=t≤\'\'F-1Tk（吨）。证据由于'Fi，k（x，x）='FZi（x）'FZk（x）Pi，k（x）严格递减，给定∈ [0，1]，\'Fi，k（x，x）=t（用zt表示）的解定义得很好。如果我们限制为ti>tk，则“Fi，k（ti，tk）=”FZi（ti）^Ck\'FYk（ti），\'FXk（tk）Pi，k（ti）（13），相对于tk严格递减∈ [0，ti）对于任何给定的ti。

因此，对于x∈（zt，’F-1Ti（t）]和任何t∈ [0，1]，函数HTF满足\'Fi，k（x，ht（x））=t定义良好。通过类似的论证，该语句的功能GT也得到了很好的定义。如果我们用Ki，k表示与配对（Ti，Tk）相关的Kendall函数，并在生存联合分布函数的项中重写它，我们得到Ki，k（t）=P（(R)Fi，k（Ti，Tk）≤ t） ==(R)FTi（zt）- P（（Ti，Tk）∈ D） +英尺（zt）- P（（Ti，Tk）∈ D）- twered={（ti，tk）：zt<ti≤\'\'F-1Ti（t），0≤ tk公司≤ ht（ti）}和d={（ti，tk）：zt<tk≤\'\'F-1Tk（t），0≤ ti公司≤ gt（tk）}。让我们开始计算P（（Ti，Tk）∈ D） 。由于ZT和ht的定义，这里（13）成立，我们有P（（Ti，Tk）∈ D） =Z'F-1Ti（t）zt（P（Tk>ht（x）| Ti=x）- 1） d'FTi（x）==Z'F-1Ti（t）ztP（Tk>ht（x）| Ti=x）d'FTi（x）- t+(R)FTi（zt）==Z'F-1Ti（t）ztt·d（\'FZi·Pik）（x）\'FZi·Pik（x）+Z'F-1Ti（t）zt'FZi·Pik（x）·^Ck\'FYk（x），\'FXk（ht（x））FYk（x）- t+(R)FTi（zt）=t ln（(R)FZi·Pi，k）o\'\'F-1Ti（t）（\'FZi·Pi，k）（zt）++Z'F-1Ti（t）zt'FZiPik（x）·^Ck\'FYk（x），\'FXk（ht（x））FYk（x）- t+(R)FTi（zt）。自P（（Ti，Tk）∈ D） 可以类似地计算，我们得到ki，k（t）=t- tln（\'FZi·Pi，k）o\'\'F-1Ti（t）（\'FZi·Pi，k）（zt）！+ln（(R)FZk·Pi，k）o\'\'F-1Tk（t）（\'FZk·Pi，k）（zt）+-Z'F-1Ti（t）zt'FZiPik（x）·^Ck\'FYk（x），\'FXk（ht（x））FYk（x）+-Z'F-1Tk（t）zt'FZkPik（x）·^Ci\'FYi（x），\'FXi（gt（x））供参考（x）。如果我们考虑^Ciand^Ckare阿基米德copulas分别具有严格生成器φi和φk的情况，我们有ki，k（t）=t- tln（\'FZi·Pi，k）o\'\'F-1Ti（t）（\'FZi·Pi，k）（zt）！+ln（(R)FZk·Pi，k）o\'\'F-1Tk（t）（\'FZk·Pi，k）（zt）+-Z'F-1Ti（t）zt'FZi·Pik（x）hkt’FZi·Pi，k（x）香港o\'FYk（x）d\'FYk（x）+-Z'F-1Tk（t）zt'FZk·Pik（x）hit’FZk·Pi，k（x）你好o“FYi（x）d”FYi（x）与“FZj（x）=φjφ-1j（(R)FYj（x））+φ-1j（(R)FXj（x））hj=φ′jo φ-1j，对于j=i，k。示例3.2。让我们考虑与示例3.1相同的框架。

我们有zt=G-1.t1/（λ+λi+λk）和'F-1Tj（t）=G-1.t1/（λ+λj）, j=i，k。在与示例3.1相同的符号下，我们恢复ki，k（t）=t- t英寸tαi（1- αk）（1- αiθk）αi+αk- αiαk+αk（1- αi）（1- αkθi）αi+αk- αiαk-- θkZtαitαiαkαi+αk-αiαky1-αiαihk泰-1.-θkαiαihk（yθk）dy+- θiZtαktαiαkαi+αk-αiαky1-αkαkhi泰-1.-θiαkαkhk（yθi）dy.Le t us考虑Clayton和Gumbel copulas特殊情况。克莱顿情形（φj（x）=（1+x）βj，βj>0，j=i，k）。如果我们设置τMOik=αkαiαk+αi- αkαi是马歇尔-奥尔金二元协整的肯德尔τ，参数αi和αkρrs=1- αsαsτMOrs，r，s=i，jwe getKi，k（t）=t1+θkβkαi+θiβiαk- t ln t（（1- θkαi）ρik+（1- θiαk）ρki）+-θkβkαitρikβk+1-θiβiαktρkiβi+1。注意，上述Kendall函数可以分解为Kik，k（t）=Kik（t）+k（i）0，k+k（k）0，i- 2KI（t），其中kik（t）=t-1.- τMOikt ln t，（14）K（i）0，K=t1+θkαiβk- （1）- θkαiρik）t ln t-θkαiβkt1+βkρik，（15）k（k）0，i=t1+θiαkβi- （1）- θiαkρki）t ln t-θiαkβit1+βiρki（16）和ki（t）=t- ln t.（17）注意：（14）是参数αi和αk的马歇尔-奥尔金copula的肯德尔函数；（15） 是一个具有参数θ=θkαiρik和β=βkρik的（5）型Kendall函数（该函数表示yk和Xkon之间的依赖性影响，从而产生（Ti，Tk）的依赖结构）；简单地说，（16）是（5）型Kendall函数，参数θ=θiαkρkiandβ=βiρki；（17） 是肯德尔在独立共和国的职能。

因此，我们对Kendall的τ进行了非常有意义的分解：τik=τMOik+？（i）0，k+？（k）0，i其中τ（i）0，k=αiρikθkρi，kβkρi，kβk+2和τ（k）0，i=αkρkiθiρk，iβi+2是具有适当修改参数的（6）型Kendallτ。因此，τTk，X=αk+（1- αk）θk（1- αk）βk（1- αk）βk+2==τMOTk，X+τ*0，k（18），其中τMOTk，Xis是马歇尔-奥尔金模型中观察寿命和系统冲击到达时间之间的克恩达尔τ，以及τ*0，kis是（6）型Kendall\'s tau，参数由系数1重新标度- αk.2。Gumbel情形（φj（x）=e-xβj，βj≥ 1，j=i，k）。IfI（a，b，β）=Zbazβ（z+1）dz，Ki，k（t）=t- t ln t（1- τMOik+τMOik“θk1-θkαk1- αk（1- θk）βk-1+-θi1-θiαi1- αi（1- θi）βi-1#+-（βk- （1）αiθk1- αiθkβkIαiθk1- αiθk，αiθkτMOikθk（1- αiθk）- 1，βk+-（βi- （1）αkθi1- αkθiβiIαkθi1- αkθi，αkθiτMOikθi（1- αkθi）- 1，βi)和τi，k=τMOik- τMOik“θk1-θkαk1- αk（1- θk）βk-1.- θi1-θiαi1- αi（1- θi）βi-1！#++（βk- （1）αiθk1- αiθkβkIαiθk1- αiθk，αiθkτMOikθk（1- αiθk）- 1，βk++ （βi- （1）αkθi1- αkθiβiIαkθi1- αkθi，αkθiτMOikθi（1- αkθi）- 1，βi即使像克莱顿案例一样，我们可以认识到由此产生的依赖性是马歇尔-奥尔金一元和二元不同贡献的总和，这些贡献是由YK和Xk之间的Yi和Xiand之间的假设依赖性产生的，但与该案例不同的是，后者不能以封闭形式写入，作为示例2.1中相应贡献的修改。此外，我们有τTk，X=αk- αkθk1-θkαk1- αk（1- θk）βk-1！++（βk- （1）θk1- θkβkIθk1- θk，1- αk（1- θk）αk（1- θk），βk4应用于欧洲银行系统的系统性风险分析在本节中，我们将前几节中介绍和讨论的模型应用于分析欧洲银行系统中所谓的大到不能倒银行的风险。

我们将系统性风险定义为银行在银行系统中引发系统性危机（崩溃）的能力：在我们的模型中，这可以通过银行违约风险的特殊成分与导致系统中所有银行同时违约的系统性休克到达时间之间的依赖程度来衡量，即通过KendallτX，向量（X，Xj）的Xjof。对于实证分析，我们仅限于示例3.1和3.2中考虑的设置。更具体地说，我们考虑这样一种情况，即所有二元基础copulas（模拟每个特质成分和相关系统冲击成分之间的依赖结构）都是克莱顿类型。由于Clayton copula存在较低的尾部依赖性，因此我们假设在发生概率非常高的情况下，每个特质冲击到达时间xjan与相应的系统成分相对应时间yjj之间存在较强的依赖性：这符合众所周知的事实，即依赖性往往在危机期增加。这种选择还有一个优势，那就是让我们能够处理非常好和有意义的公式。在假设的设置中，双变量Kendall’s tau（Ti，Tk）取决于参数sΘ=（α，…，αd，θ，…，θd，β，…，βd）的集合：αj表示系统冲击强度与边缘o ne之间的比率；θj测量每个银行对系统冲击强度的贡献，而θ测量一些完全独立冲击的贡献；参数β是所涉及的二元copula的参数。如（10）所示，这些参数充分表征了观测生命期T向量的依赖结构。估计技术将采用基于矩的方法，通过这种方法，理论上的二元Kendallτ将与经验上的τ相匹配。

一旦估计出参数，我们就可以使用（6）来估计每家银行的系统风险。4.1数据集我们的数据集包括从2009年1月1日至2016年1月31日至2月31日，金融稳定委员会将欧洲银行分类为SIFI的每日5年期CDS报价。数据从数据流下载。我们假设所有到达时间都是指数分布的，即在示例3.1和3.2中，G（x）=e-x： 因此，可观测寿命也呈指数分布，强度λ+λjj为j=1，d、 我们还假设违约情况下的固定利率和成本损失。由于这些假设，生存概率和强度可以很容易地从CDS利差中提取出来（见Brigo和Mercurio，第735-6页）。由于没有违约时间样本，我们无法从违约时间中恢复经验Kendall的τ。然而，Kendall的τ是一致和不一致观测对比例之间的差异，违约强度的增加对应于违约时间提前发生的感觉：在缺乏更合适的数据的情况下，我们从CDSspreads数据集中恢复强度，并假设根据强度估计的强度为经验Kendallτ。因此，我们的分析将基于CDS隐含的信息。4.2估算程序，d- 1，k=i+1，d是估计的成对经验肯德尔τ，τik（αi，αk，θi，θk，βi，βk）是相应的理论值。通过求解^Θ=argminΘd估计参数-1Xi=1dXk=i+1（^τi，k- τi，j（αi，αk，θi，θk，βi，βk））。