太大而不能倒金融机构的系统性冲击模型

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英文标题：
《A systemic shock model for too big to fail financial institutions》
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作者：
Sabrina Mulinacci
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最新提交年份：
2017
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英文摘要：
  In this paper we study the distributional properties of a vector of lifetimes in which each lifetime is modeled as the first arrival time between an idiosyncratic shock and a common systemic shock. Despite unlike the classical multidimensional Marshall-Olkin model here only a unique common shock affecting all the lifetimes is assumed, some dependence is allowed between each idiosyncratic shock arrival time and the systemic shock arrival time. The dependence structure of the resulting distribution is studied through the analysis of its singularity and its associated copula function. Finally, the model is applied to the analysis of the systemic riskiness of those European banks classified as systemically important (SIFI).
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中文摘要：
在本文中，我们研究了寿命向量的分布特性，其中每个寿命被建模为特殊冲击和普通系统冲击之间的首次到达时间。尽管与经典的多维Marshall-Olkin模型不同，这里只假设了一个影响所有生命期的唯一公共冲击，但允许在每个特殊冲击到达时间和系统冲击到达时间之间存在某种依赖性。通过对其奇异性及其相关copula函数的分析，研究了所得分布的依赖结构。最后，将该模型应用于被归类为系统重要性银行（SIFI）的欧洲银行的系统风险分析。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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PDF下载：
--> A_systemic_shock_model_for_too_big_to_fail_financial_institutions.pdf (235.25 KB)

2022-5-31 08:09:50 上传

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关键词：金融机构 系统性 Mathematical distribution Quantitative

太大而不能倒金融机构的系统性冲击模型*摘要在本文中，我们研究了寿命向量的分布特性，其中每个寿命被定义为特质性休克和常见系统性休克之间的首次到达时间。尽管与经典的多维al-Marshall-Olkin模型一样，这里只假设了一个影响所有寿命的唯一共同冲击，但允许在每个特殊冲击到达时间和系统冲击到达时间之间存在某种依赖性。通过对其奇异性及其相关copula函数的分析，研究了所得分布的依赖结构。最后，将该模型应用于被归类为系统重要性（SIFI）的欧洲银行的系统风险分析。JEL分类：C51；G32关键词：马歇尔-奥尔金分布；肯德尔函数；Kendall\'s tau；系统风险1简介在这篇论文中，我们考虑了多维马歇尔-奥尔金分布（Marshall and Olkin，1967）的一个特殊推广，在这种特殊情况下，除了特殊的情况外，只考虑一个共同的冲击，其发生会导致所有生命的同时终结。更具体地说，如果（X，X，…，Xd）是代表某些冲击到达时间的正随机变量，那么我们将radomvariables T，…，作为结果寿命，t定义为Tj=最小值（X，Xj），j=1，d、 在Marshall-Olkin模型中，假定潜在冲击ar ival时间是独立的，呈指数分布。文献中存在许多扩展，以考虑不同于指数分布的边际分布，并包括潜在冲击到达时间之间的某种依赖性，即使在更一般的情况下，涉及寿命T子集的额外系统性冲击。

，tD为假定值。其中，在Li（2009）中产生的马歇尔-奥金分布的尺度混合是通过一个正随机变量，一个根据马歇尔-奥尔金分布分布的随机向量进行尺度缩放得到的：这相当于假设潜在冲击*博洛尼亚大学统计系，Via delle Belle Arti 41，40126 Bologna，Italy。电子邮件：sabrina。mulinacci@unibo.itarrival时间有一个由阿基米德copula和一个生成器给出的依赖结构，它是混合变量的拉普拉斯变换。Mai等人（2013年）也考虑了马歇尔-奥尔金分布的比例混合，其中，在交换酶中，提出了一种不同的结构，涉及列维从属关系。另一方面，Li和Pellery（2011）在双变量情况下研究了允许一般边际分布代替指数分布，甚至保持独立性的方法，并在Lin和Li（2014）中扩展到多维情况：他们称其分布广义Marshall-Olkin分布。Mulinacci（2015）中考虑了广义马歇尔分布的比例混合，目的是再次在潜在冲击到达时间之间引入特定的阿基米德相关性（生成器再次由混合变量的拉普拉斯变换给出）：Mulinacci（2017）分析了具有完全通用生成器的潜在阿基米德相关性的情况。Charpentier等人（2014）也研究了Marshall-Olkin和阿基米德依赖结构的结合。所有这些扩展的主要缺点是，它们都假定了基础的可交换依赖性。

Pinto和Kolev（2015）研究了当d=2时，X和X相互依赖，而外部冲击Xis独立于（X，X）的情况，旨在考虑不对称的基础依赖。本文中提出的马歇尔-奥尔金分布的具体推广是以向量（X，…，Xd）的对称依赖性为特征的，相对于Pinto和Kolev（2015）：X，假设xD是独立的，而假设在每个Xj之间存在特定的成对依赖，j=1，d和X。假设X=minj=0,1，…，两两相关的结果，。。。，Dyjy，其中Y，YD相互独立，而每个YJI与Xj相关，j=1，d、 该模型的一个可能应用分支是对机电系统的可靠性建模，从而对由此产生的操作和实际风险进行建模。例如，考虑d工作机器（或电子元件）Mj，j=1，d、 所有机器都与同一台机器单独连接，如果机器停止工作，其他所有机器也会立即停止工作。假设classicalMarshall-Olkin模型，单台机器的故障Mj，j=1，d不影响剩余Mi的机器Mor故障，i=1，d、 i 6=j。相反，在我们的模型中，Mj之一的失效，j=1，d会影响M的故障概率，进而影响整个系统的崩溃。这种情况下，Mj中的一个出现电子或机械故障，j=1，d、 如果与M相连，可能会恶化或中断Mto的功能状态，而Mto可能会出现故障。该模型的另一个应用分支是信用风险。

关于马歇尔-奥尔金模型的应用及其对信贷和精算风险的推广，已有广泛的文献（见Giesecke，2003，Lindskog和McNeil，2003，Elouerkhaoui，2007，Mai和Scherer，2009，Baglioni和Cherubini，2013，Bernhart et a l.，20 13和Cherubini和Mulinacci，2014）。鉴于特定类型的假设相关性，本文分析的概率模型似乎特别适合于分析所谓的系统重要性金融机构（SIFI）的联合寿命，其中一个机构的违约（或其近因）与整个系统的崩溃直接相关。在本文中，我们首先讨论了生命期基本向量（X，…，Xd）的生存分布：我们研究了相关的copula函数，并恢复了对（X，Xj），j=1，…，的Kendall函数和Kendallτ的表达式，d、 然后，我们关注由此产生的生命期联合生存分布（T，…，Td）：我们通过分析成对的Kendall函数和Kendall的ta u来分析所有生命期同时结束的可能性（即分布的奇异性）和依赖性。原则上，我们不，关于潜在冲击到达时间和潜在依赖结构的maginal分布的任何假设：然而，为了获得闭合公式，我们将分析限制在特定类别的边缘分布（包括作为特殊情况的指数分布）和阿基米德双变量copula。

最后，我们介绍并讨论了金融稳定委员会（Financial Stability Board）将欧洲银行分类为SIFI的系统风险分析的一个应用：当然，本文中建模的系统风险类型非常特殊，该方法是作为一种额外工具来分析与现有系统风险相关的系统风险。这篇论文的结构如下。在第2节中，我们提出并分析了冲击到达时间模型。在第3节中，我们推导了受到冲击后的寿命分布，通过构造，寿命是奇异的：我们计算奇异的概率，并通过识别成对的肯德尔函数和肯德尔的τ公式来分析依赖结构。在第4节中，我们提出了一个应用程序，用于分析SIFI型欧洲银行的系统性风险，而第5节得出结论。2冲击到达时间模型让我们考虑一个一般系统，其部件寿命用T，Td。我们假设，每个生命周期都会受到一种特殊冲击的影响，这种冲击只会导致该组件的违约，而系统性冲击则会导致所有组件的同时违约。系统性冲击波到达时间被建模为d+1冲击波到达时间中的第一个到达时间：其中一个是完全独立的（如马歇尔-奥尔金模型），而每一个主要冲击波都与一个特殊的生命周期分量相关。更正式地说，让(Ohm, F、 P）是一个概率空间，且（Y，X）=（Y，Y，…，Yd，X，…，Xd），是一个具有严格正元素的2d+一维随机向量：我们将X中的随机变量Xj（j=1，…，d）解释为冲击的到达时间，该冲击只会导致系统中第j个元素的dafault，而Yj（j=0，1，…）。

，d）在Y中表示导致整个系统故障的冲击的到达时间。我们假设子向量X中的随机变量与Y中的随机变量相互独立，而对于j=1，…，允许对（Yj，Xj）存在某种依赖性，d、 所有随机变量Xjin子向量X有一个生存分布函数，用“FXj”表示，对于j=1，d、 在（0+∞). 对于子向量或Y中的随机变量，为了允许在没有与系统中某个元素的特异寿命成分相关的休克到达时间的情况下，或在没有独立休克到达时间的情况下，我们假设生存分布函数“FYjofeach Yj，对于j=0，d、 在（0+∞): 然而，我们假设存在j∈ {0，…，d}因此'FYjis不等于（0+∞).更准确地说，（Y，X）的生存分布函数为“F（Y，X）（Y，Y，…，yd，X，…，xd）=”FY（Y）dYj=1^Cj\'FYj（yj），\'FXj（xj）式中，n^Cj（u，v）oj=1，。。。，dis是一个二元copula函数族：与Y不同，所有其他Yj，当j=1，d、 与液压冲击到达时间Xjand^cj相关，代表了这一对的生存依赖结构（Yj，Xj）。从上述设置开始，我们定义Random variableX=minj=0,1，。。。，DYJ表示导致整个系统崩溃的冲击波的首次到达时间。由于这些假设，其生存分布函数的类型为“FX（x）=dYj=0”FYj（x），“FX在（0+∞).现在让我们考虑d+一维随机向量S=（X，X，…，Xd），其生存分布函数为'FS（X，X，…，Xd）=P（Y>X，Y>X，…，Yd>X，X>X。

，Xd>Xd）=FY（x）dYj=1^Cj\'FYj（x），\'FXj（xj）由于Sklar定理，诱导生存依赖结构由survivalcopula^C（u，u，…，ud）=FY给出o\'\'F-1X（u）dYj=1^Cj\'FYjo\'\'F-1X（u），uj（1） 备注2.1。因为，对于j=0，d、 gj=(R)FYjo\'\'F-1X：[0，1]→ [0，1]严格递增或等同于1，且qdj=0gj（v）=v，（1）表示Liebscher（2008）引理2.1中引入的连接函数家族的特定规范。虽然田园式冲击波到达时间（X，…，Xd）是独立的，但通过构造，某些依赖性可能仅存在于每个田园式冲击波到达时间Xj，j=1，d、 更准确地说，i=1，…，每对（X，Xi）的存活分布，d是'F（X，Xi）（X，Xi）=^Ci\'FYi（x），\'FXi（xi）dYj=0，j6=i'FYj（x）==^Ci\'FYi（x），\'FXi（xi）“FX（x）”FYi（x）和相应的双变量生存连接函数为^C0，i（u，ui）=^Ci？供参考o\'\'F-1X（u），用户界面供参考o\'\'F-1X（u）。（2） 请注意，虽然copulas^ciparameterize了田园式冲击与影响整个系统的冲击到达时间yi之间的依赖关系，但“FYi”o\'\'F-1x测量冲击i对系统冲击到达时间X的贡献。为了分析（2）引起的依赖结构，我们计算了C（u，v）=C（g（u），v）ug（u）（3）型copula C的Kendall\'s函数，其中g:[0，1]→ [0，1]正在严格增加。我们认为，二元copula C（u，v）的Kendall函数定义为随机变量C（u，v）的累积分布函数，其中随机变量su和v均匀分布在区间[0，1]上，它们的联合分布函数由所考虑的copula C（u，v）给出。更精确地说，二元copula C的Kendall函数是函数K：[0，1]→ [0，1]定义的asKC（t）=P（C（U，V）≤ t） ，对于t∈ [0，1]（见Nelsen 2006，p。

127），其中P是由C诱导的概率。这个概念的相关性依赖于这样一个事实，即它通过相应的一维到阶，诱导二元copula集合中的偏序：请特别注意，如果C（u，v）≤ C（u，v）表示所有（u，v）∈ [0，1]，然后是KC（t）≥ 所有t的KC（t）∈ [0，1]（详见Nelsen，2003）。让我们简化符号设置C（u，v））=uC（u，v）表示任何copula C（u，v）。提案2.1。设g：[0，1]→ [0，1]是严格递增和可区分的，并且对于任何u，C群（u，v）相对于v是严格递增的。那么，类型（3）isK（t）的连接函数C的Kendall函数=t- t ln t+t ln（g（t））+ZtC（u，lt（u））g′（u）g（u）uduwhere lt（u）solve s？C（u，lt（u））=t.证明。由于对于给定的u，C（u，v）相对于v严格递增，因此对于所有t∈ （0，u）]和满意度C（g（u），lt（u））=g（u）ut。应用Genest和Rivest（2001）中的（6），经过直接计算，我们得到了k（t）=t+Zt~C（u，lt（u））du==t- t lntg（t）+Zt公司C（u，lt（u））g′（u）g（u）udu。现在我们假设二元e copula函数^Cj，对于j=1，d为阿基米德型，具有严格的生成器φj:t，即φj:[0+∞) → （0，1）满足度φj（0）=1，limx→+∞φj（x）=0，且严格递减且在[0]上是凸的+∞) （见McNeal andNeˇslehov\'a，2009）。因此，^C0，iin（2）的形式为^C0，i（u，ui）=φiφ-1i（供参考o\'\'F-1X（u））+φ-1i（ui）供参考o\'\'F-1X（u）。根据一般情况，该copula是▄C（u，v）=φ类型copula的一个特殊规范φ-1（g（u））+φ-1（v）ug（u）。（4） 考虑到现在lt（u）=φ，可以立即从命题2.1中恢复此类copula的Kendall函数表达式φ-1.g（u）ut- φ-1（g（u））.事实上，验证推论2.1是一个简单的计算。

如果g：[0，1]→ [0，1]是严格递增和可区分的，~C（u，v）是（4）型的一个种群，φ是一个严格的阿基米德基因算子，那么▄CisK（t）=t的肯德尔函数- t ln t+t ln（g（t））+Zthg（u）uth（g（u））g′（u）g（u）udu，h（x）=φ′o φ-1（x）。Kendall函数与广泛使用的一致性度量knownas Kendall的tau严格相关（见Nelsen，2006年第5.1.1节）。事实上，通过τ=3可以从Kendall函数中获得Kendallτ- 4ZK（t）dtExample 2.1。设（4）中的函数g的类型为g（v）=vθ，带θ∈ （0，1）（这一特殊情况于Khoudraji，1995年首次引入）：请注意，在我们的模型（见（2））中恢复了这种情况，其中n’FYi（x）=’Fθx（x）。在这种情况下，我们得到k（t）=t- t ln t+θt ln t+θZthuθ-1吨h（uθ）段τ=θ- 4θZZthuθ-1吨h（uθ）dudt。特别是，克莱顿情况，即φ（x）=（1+x）-β、 β≥ 0：自h（y）=-βy1+β，我们有k（t）=t1+θβ- （1）- θ） t英寸t-θβt1+β（5）和τ=ββ+2θ=τCβθ（6），其中τCβ是参数为β的Clayton copula的Kenda ll\'s tau；oGumbel情形，即φ（x）=e-xβ，带β≥ 1： 自h（y）=-βy(- ln y）1-β、 我们有k（t）=t- t ln t“1- （β- （1）θ1- θβZ+∞θ1-θzβ（z+1）dz#和τ=1.-β“βθ1- θβZ+∞θ1-θzβ（z+1）dz#=τGβ“βθ1- θβZ+∞θ1-θzβ（z+1）dz#其中τGβ是带有参数β的Gumbel copula的Kenda ll\'s tau。注意，当θ=1时，我们恢复阿基米德情况：在我们的模型中，这种情况对应于“FYi=”FX，即唯一允许的致命常见电击是电击i。3寿命模型在本节中，我们研究观察到的寿命（T，T，…，Td）的联合分布，每个定义为相应的特异性休克和系统性休克之间的首次到达时间。更准确地说，对于j=1，d、 letTj=min（Xj，X）是系统中第j个元件的寿命。