关于Bouchaud-M\ezard网络模型中无稳态的问题

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英文标题：
《On absence of steady state in the Bouchaud-M\\\'ezard network model》
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作者：
Zhiyuan Liu and R. A. Serota
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最新提交年份：
2017
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英文摘要：
  In the limit of infinite number of nodes (agents), the It\\^o-reduced Bouchaud-M\\\'ezard network model of economic exchange has a time-independent mean and a steady-state inverse gamma distribution. We show that for a finite number of nodes the mean is actually distributed as a time-dependent lognormal and inverse gamma is quasi-stationary, with the time-dependent scale parameter.
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中文摘要：
在无限多个节点（代理）的限制下，经济交换的It“o-约化Bouchaud-M”ezard网络模型具有与时间无关的平均值和稳态逆gamma分布。我们证明，对于有限数量的节点，平均值实际上是以依赖于时间的对数正态分布的，而逆gamma是准平稳的，具有依赖于时间的尺度参数。
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分类信息：

一级分类：Physics        物理学
二级分类：Statistical Mechanics        统计力学
分类描述：Phase transitions, thermodynamics, field theory, non-equilibrium phenomena, renormalization group and scaling, integrable models, turbulence
相变，热力学，场论，非平衡现象，重整化群和标度，可积模型，湍流
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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PDF下载：
--> On_absence_of_steady_state_in_the_Bouchaud-Mézard_network_model.pdf (632.96 KB)

2022-5-31 08:14:41 上传

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关键词：Bouchaud 网络模型 ZAR AUD Mathematical

关于Bouchaud-M'ezard网络模型中不存在稳态，Zhiyuan Liua，R.A.Serotaa，1俄亥俄州辛辛那提市辛辛那提大学物理系，邮编：45221-0011抽象出有限数量节点（代理）的限制，经济交换的It^o约化Bouchaud-M'ezard网络模型具有与时间无关的平均值和稳态逆ga mma分布。我们表明，对于有限数量的节点，平均值实际上是以时间相关的对数正态分布，逆ga mma是准平稳的，具有与时间相关的尺度参数。关键词：Bouchaud-M'ezard，稳态，反gama，准平稳，对数正态1。简介Bouchaud-M'ezard（BM）经济交换网络模型[1]引发了人们对经济物理社区的极大兴趣，因为它有机地预测了“财富”的幂律尾-逆伽马（IGa）分布。最近，该模型中的松弛问题成为最前沿的问题【2、3、4、5】。对于恒常平均财富，文献[6]研究了累积量和整个分布的松弛时间。

在此，我们确定，对于任意数量的节点，平均值不应被视为常数和IGa asteady状态分布。对于总共M个网络节点中的节点i，完全连接的BM网络模型[1]可以简化为以下It^o过程：dwi=√2σwidBi+J（w-wi）dt（1），其中J是连接（交换）强度（假设所有节点之间相等），bi是维纳过程，σ是乘法随机性的强度，w=MMXiwi（2）是网络上的平均值。我们的主要结果是，网络中的准静态分布函数由p（w）=IGa（w；α，β）=wΓ（α）给出βwαe-βw（3），其中α=1+J/σ是形状参数（α+1是幂律尾部的指数），β（t）=w（t）J/σ是尺度参数，w（t）是分布为对数正态分布l（LN）的运行平均值。P（w，t）=√πtσMwexp-对数（w）+σMt√2tσM!（4） σM=σ√Mrα- 1α- 2（5）serota@ucmail.uc.eduPreprint2022年3月7日提交给Physica A，其中的分发被理解为通过BM网络系统。平均值的平均值和方差分别为hwi=1（6）hwi- hwi=exp2σMt- （6）中的1（7）单位是因为在相应的有限节点情况下，（1）和（3）中的w是常数，可以通过简单的重新缩放设置为单位。在我们的计算和模拟中，我们使用所有wi=1作为初始条件。本文的组织结构如下。秒。下面的2和3分别包含分析推导及其数值验证。我们同意讨论我们工作的可能扩展。2、分析推导在这里，我们首先对平均数的LN分布进行简单推导，然后提供平均数方差的详细分析推导，以独立验证LN结果。2.1。BM网络的平均值分布（1），来自等式。（1）和（2）dw=√2σMMXi=1widBi（8），即交换项被消除。

请注意，这意味着（8）在形式上与完全断开连接的网络（s e e附录A）相同。推测BM网络的平均值分布为LN，我们寻求用DW替换（8）的r.h.s=√2σMwdB（9），然后平方和等于方程式的r.h.s。（8） 和（9），当函数项为零时，我们得到σM=σMwMXi=1wi（10），以确定σMwe，我们做出了一个关键假设，该假设将在第。3–网络中的准平稳分布由（3）给出。然后重新安装GW=PMiwi/M和PMi=1wi/用分布（3）计算w和w的期望值，我们得到σM=σ√Mrα- 1α- 2（11）由于结果σMis与时间无关，因此通过It^o微积分（9）变为lnw=√2σMdB- σMdt（12），得到LN分布（4）。2.2。方差指定k均值的方差，设置hwi=1，我们得到k=hwi- hwi=hwi- 1（13）然后，使用（8）和w·威比= 0，我们得到dw=2wdw+（dw）=2w·√2σMMXi=1widBi+√2σMMXi=1widBi！=2.√2σw·widBi+2σwidBi（14），dκ=2σDwidBiE=2σ*MMXi=1widBi+（15） 因为，MMXi=1widBi=MMXi=1wi（dBi）+MMXi=1MXj=1，j6=iwiwjdbij（16），然后求平均值，替换（dBi）=dt，并消除因dbian和dbjbeingin独立而产生的有效诊断项，我们发现κ=2σM*MXi=1wi+dt=2σM*MMXi=1wi+dt（17），现在请注意*MMXi=1wi+=*MMXi=1（wi-w） +hwi（18）根据我们的推测（3），每条路径的方差为w/（α）- 2） ，因此（18）产生pe r（13）*MMXi=1wi+=hwiα- 2+hwi=α- 1α- 2·（κ+1）（19）减少（17），使用f（5），todκ=2σM（κ+1）dt（20）求解初始条件为κ=0的微分方程，当t=0时，我们最终得到（7）κ=exp2σMt- 1（21）3。数值模拟我们使用J=0.1、σ=0.05和M=2模拟（1）。时间步长为dt=2-6，即我们在两次“滴答”之间使用2步，t=1。

由于在有限节点BM系统中，固定平均值始终可以设置为单位，因此我们使用wi=1作为所有网络中所有节点的初始值。对于网络上的平均值和分布，我们使用2个网络。图1中的左栏显示了运行平均值的典型行为：增加、围绕单位振荡和减少。中间一栏显示了Kolmogorov-Smirnov（KS）统计数据与0 1 2 3 4 5 6 7x 10400.511.522.5时间wβ0 1 2 3 4 6 7x 10424681021416x 10-3时间统计0 1 2 3 4 6 7x 10411.522.533.54时间IGA参数αβ/w 0 1 2 3 4 5 6 7x 10400.511.522.533.544.5时间wβ0 1 2 3 4 5 5 6 7 x 104246810214x 10-3时间统计0 1 2 3 6 7x 10411.522.533.54时间IGA参数αβ/w0 1 2 3 45 6 7x 104051015250354045时间wβ0 1 2 3 4 5 6 7x 104246810214x 10-3timeks statistic0 1 2 3 5 6 7x 10411.522.533.54时间IGA参数αβ/w图1：每一行对应一个不同的网络。左列：β–顶（绿色）线和w–底（蓝色）线；Middlecolumn–符合IGa分布的KS统计；右栏：参数α–顶（红色）线和β/w–底（绿色）线。0 1 2 3 4 5 6 7x 10400.20.40.60.811.21.4时间变量图2：两个不同网络的单个网络平均值方差-顶（绿色）线和底（蓝色）线；网络平均值–中间（红色）线。IGa和右侧共同列示已安装IGa的参数。结果显然与我们的猜测（3）非常一致。图（2）中的顶部（绿色）和底部（蓝色）是单个网络中运行平均值W（t）方差的示例。中间（红色）线是整个网络的平均值。图（3）是等式（21）的测试。

在给定的时间t，我们评估网络上w（t）的方差。平滑（青色）线是理论结果，锯齿（红色）线是数值模拟结果。0 1 2 3 4 5 6 7x 10400.511.522.533.54时间变量图3：网络上瞬时w（t）的方差：理论结果（21）-平滑（青色）线；数字模拟–锯齿（红色）线。最后，图4显示了KS统计数据，用于拟合LN随时间变化的网络上W（t）的分布。0 1 2 3 4 5 6 7x 10400.010.020.030.040.050.060.070.08timeks统计图4：KS统计作为通过LN网络拟合瞬时w（t）的时间函数。结论我们探讨了B-ouchaud-M’ezard网络模型中的松弛，并表明对于任何有限数量的节点，其本身都不存在稳态。长期以来，节点值的分布由具有固定形状参数的aquasi统计IGa分布描述，该分布定义了幂律尾的指数，以及与运行平均值成比例的可变尺度参数。B-ouchaud-M'ezard网络系统的运行平均值分布为LN（w；-第二季度，√Q） ，其中Q在时间上是线性的，与节点数成反比。对于有限数量的节点，问题归结为标准IGa过程，之前已经探索了用常数平均值（总是可以设置为统一值）松弛IGa分布的方法[6]。这项工作的一个明显扩展是部分连通网络——随机网络和正则网络——由广义逆伽马分布描述【7】。

我们的数值结果与我们对完全连通网络的发现平行，即我们有一个准平稳的广义逆伽玛分布和一个与时间相关的重尾平均分布（可能也是对数正态分布）。然而，我们还没有一个明确的分析推导方法。扩展到其他被认为具有稳态分布的随机过程中的弛豫过程是本研究的另一个明显方向。附录A.断开连接的网络断开连接的网络允许对Sec制定的形式主义进行独立检查。2.2。在连接的网络中，J=0，dwi=√2σwidBi（A.1）每个节点都有LN分布（w，t）=√πtσwexp-对数（w）+σt√2tσ!（A.2）平均值和方差由（6）和（7）给出，其中σMis替换为σ。由于所有节点都是独立的，网络平均值（2）的分布由独立同分布（i.i.d.）LN随机变量的平均值决定。因此，根据中心极限定理（CLT），人们期望平均值的方差为≈ 经验值2σt/M表示大M。所有步骤（18）以秒为单位。此处的2.2相同，其余的如下：*MMXi=1wi+=e2σt- 1.+ （κ+1）=e2σt+κ（A.3）dκ=2σMκ+e2σtdt（A.4），其确实产生κ=M- 1.e2σt- e2σtM≈e2σtM（A.5）对于较大的M。LN分布的总和可以很好地近似为LN分布[8]，因此很容易认为M LN分布的平均值可以近似为√M-窄LN分布，在保持LN重尾特征的同时，变为非正态（N）分布[9]。（顺便提一下，i.i.d.IGa随机变量之和很好地近似于IGa分布，因此再次尝试将M IGa分布的平均值近似为a√M-较窄的IGa分布，倾向于N，同时保持IGa肥尾的特征【10】。

当然，在BM模型中，网络平均值总和中的变量不是独立的。）对数正态LN（w；-第二季度，√Q） ，其中Q=log（κ+1），需要方差和单位均值。在大M极限下，其显式形式如下：P（w，t）=r2πlogM+e2σtMwexp-对数（w）+对数M+e2σtM日志M+e2σtM（A.6）参考文献[1]J.-P.Bouchaud，M.M'ezard，《简单经济模型中的财富凝聚》，Physica A：统计力学及其应用282（3）（2000）536–545。[2] T.Ma，R.Serota，《股票收益率和波动率模型》，Physica A：统计力学及其应用398（2014）89–115。[3] J.-P.Bouchaud，《增长最优税率与财富不平等问题》，统计力学杂志：理论与实验（2015）内政部：10.1088/1742–5468/2015/11/P11011。[4] X.Gabaix，J.-M.Lasry，P.-L.Lions，B.Moll，《不平等的动态》，计量经济学84（6）（2016）2071–2111。[5] Y.Berman，O.Peters，A.Adamou，《远离均衡：美国的财富再分配》，arX iv:1605.05631。[6] Z.Liu，R.Serota，《具有厚尾稳态分布的随机过程的相关和松弛时间》，Physica a：统计力学及其应用474（2017）301–311。[7] T.Ma，J.G.Holden，R.Serota，《经济网络模型中的财富分配》，Physica a：统计机制及其应用392（10）（2013）2434–2441。[8] N.B.Mehta，J.Wu，A.F.Molisch，J.Zhang，用对数正态近似随机变量之和，无线通信上的IEEETransactions 6（7）。[9] H.Lam，J.Blanchet，D.Burch，M.Z.Bazant，《重尾概率密度中心定理的修正》，《理论概率杂志》24（4）（2011）895–927。[10] M.Dashti，R.A.Serota，未出版。