漂移综合不确定性下的好交易套期保值与估值

Hencebξθ是模型QP中风险的市场价格θ，波动率σba1/2和Basatisfyinga≤ 文学学士≤ a、 Pdt-a.e。。LetMe（Q）：=Me（S，Q）表示模型Q中的等价局部鞅测度集。然后，标准论点（类似于Becherer和Kentia，2016，Prop.4.1）很容易得出以下引理3.2。对于任何P∈ P[a，a]和θ∈ Θ，set Me（QP，θ）等于tonQ~ QP，θdQ=（P）E（λ·WP，θ）dQP，θ，λ=-bξθ+η，η∈ Ker（σba1/2）o=nQ~ PdQ=（P）E（λ·WP）dP，λ=-bξ+η，η∈ Ker（σba1/2）o=Me（P）。备注3.3。P∈ P[a，a]θ∈测量Bqp，θ由Dbqp给出，θ=（P）E(-bξθ·WP，θ）dQP，θ在me（P）中，因为bξ和δ是统一边界的。这意味着我（Q）=对于anyQ∈ R.因此，市场满足了D.BECHERER和K.KENTIAQ提供的免费午餐∈ R、 我们将其解释为漂移和波动不确定性下的无套利概念（asin e.g.Biagini et al.，2015）。idi=1iSiFP[a，a]可积性属性，将变得精确。在这方面，与初始资本交易策略有关的财富过程V（以便（V，Д）准肯定地满足自我融资要求）将具有动态性，在[0，T]，VT=V+Zttrs（bsds+σsdBs）=V+Zttrsσs（ba1/2sbξsds+dBs），P[a，a]-q.s。。根据被积函数φ重新参数化交易策略：=σtrИ∈ Imσtrw。r、 t.B+r·ba1/2sbξsdsyields作为财富过程的动力学Vφ：=VνVφt=V+Ztφtrs（ba1/2sbξsds+dBs）=V+（P）Ztφtrsbas（Bξsds+dWPs），t∈ [0，T]，P-a.s.P∈ P【a，a】PPPP∈ P【a，a】定义为Φ（P）：=φ∈ H（FP，P）：φt（ω）∈ Imσtrt（ω），对于所有（t，ω）∈ [0，T]×Ohm.P∈ P[a，a]φ（P）R·φtrsdBs，P∈ P【a，a】“利润和损失”-将聚合（参见第5页）处理为单个过程，表示DR··φTRSDB。

为此，我们制定了定义3.4。包括所有过程φinHFP【a，a】带φt（ω）∈ Imσtrt（ω）表示所有（t，ω）∈[0，T]×Ohm 这样的家庭（P）R·φtrsdBs，P∈ P【a，a】将骨料聚合成一个单独的过程r·φtrsdBs。P【a，a】聚丙烯∈ P[a，a]VφPφ∈P∈ P【a，a】波动率的情景σba1/2。备注3.5。Nutz（2012a）中的φFσ集理论；参见备注2.7。对动态估值和对冲没有良好的交易限制和影响。由于不存在不确定性，我们认为（经典的）不好交易限制被定义为瞬时夏普比率的界限，对于通过其他衍生产品价格a-Requejo（2000）对市场的任何扩展。在没有跳跃的设置中，这样的约束相当于风险中性定价措施的约束。备注3.6中对该估价方法的特征进行了更详细的阐述。Becherer和Kentia（2016）研究了完全漂移不确定性下的稳健好交易套期保值。通过在Q中加入歧义来扩展该理论∈ RQ公司∈ RQngdQ MEQ参考优先级Q∈ R、 组合不确定性下的好交易套期保值和估值9为了解释好交易方法的想法，我们将首先不讨论漂移或波动性的模糊性，让我们考虑QP、θR制定一个规范，并给出波动性和漂移的θ，作为起点。在主要章节4.3.2.1中解释了问题。给定模型qp，θ下无不确定性的无优交易问题。Lethbe a fixedfqp，θRP∈ P[a，a]和θ∈Θ），我们考虑模型QP，θ中非好交易测度的集合Qngd（QP，θ）是由所有等价的局部鞅测度q组成的e（QP，θ）的子集，其Girsanovkernelsλw.r.t。QP，θ-布朗运动wp，θ在|λt（ω）|的意义下有界≤ ht（ω）表示所有（t，ω）∈ [0，T]×Ohm.

更准确地说，使用引理3.2，我们定义了ngd（QP，θ）：=nQ~ QP，θdQdQP，θ=（P）Eλ·WP，θ, 对于F-可预测λ=-bξθ+η，带|λ|≤ η为h∈ 克尔σbao、 （3.4）在续集中，选择θ（不一定可测量）来满足bξθt（ω）≤ ht（ω），对于所有（t，ω）∈ [0，T]×Ohm, θ∈ Θ。（3.5）bQP，θQngdQP，θP∈ P[a，a]，θ∈Θ。除此之外（3.5）还将用于证明2BSDE的合理性，该解决方案将描述稳健的好交易估值约束和对冲策略（参见TheoremsP∈ P[a，a]θ∈QngdQP，θm-稳定）。后一种属性，在经济文献中也被称为矩形性，即对先验的期望；一般研究见Delbaen（2006）。对于FIXEDP∈ P[a，a]和θ∈Θ，索赔的上好交易边界∈ 对于给定的漂移和波动率规格，模型QP，θ中的L（FPT，P）定义为πu，P，θt（X）：=Pess supQ∈Qngd（QP，θ）EQt[X]，t∈ [0，T]，每年。。（3.6）备注3.6。QngdQP，θQS，SS（局部）Q-鞅，扩展市场不仅没有套利，而且不允许动态交易的机会，具有非常有吸引力的报酬风险比。更准确地说，qngdqp，θ产生的瞬时夏普比超过了边界（见Bj¨ork和Slinko，2006，第3节上πu，P，θt（X）和下-πu，P，θt(-十） 好的交易边界决定了在任何时候，超好交易的次间隔机会。十、∈ LPQP，θ′φP，θ∈PρP，θ来自于市场中的持有X和动态交易。由于卖方收取保费πu，P，θ·（X）Xπu，P，θρP，θ10 D.BECHERER和K.KENTIAρP，θ相干风险度量ρP，θt（X）：=Pess supQ∈Pngd（QP，θ）EQt[X]，t∈ [0，T]，P-a.s.，带（3.7）Pngd（QP，θ）：=nQ~ PdQdQP，θ=（P）Eλ·WP，θ, λF-程序|λ|≤ 惠普公司 dt-a.e.o.PngdQP、θQP、θQP、θ价格过程（但它们是w.r.t.市场，只有无风险资产≡1） 。

这意味着qngdqp，θPngdQP，θ∩ MeQP，θρP，θtX≥ πu，P，θtX，t∈, T、 PX∈ LPQngdQP，θPngdQP，θP∈ P[a，a]θ∈风险度量ρP，θ：L（FPT，P）→ L（FPt，P）是时间一致的。对于固定参考指标qp，θ，卖方对x的套期保值问题∈ 然后，L（FPT，P）即为‘φP，θ’∈Φ（P）使得P几乎可以确定所有t∈ [0，T]保持πu，P，θT（X）=Pess infφ∈Φ（P）ρP，θt十、-（P）ZTtφtrsbasbξsds+dWPs= ρP，θt十、-（P）ZTt（(R)P，θs）trbasbξsds+dWPs.（3.8）可以显示（参见Becherer（2009）中的Cor.5.6）或道具。Becherer和Kentia（2016）中的4）指出，对于P[a，a]中的P和θinΘ，跟踪（或对冲）误差r′φP，θ（X）：=πu，P，θ·（X）- πu，P，θ（X）-（P）Z·（°P，θs）trbasbξsds+dWPs(R)φP，θQ∈ PngdQP、θPngdQP、θ广义情景（参见Artzner等人，1999年）。QP，θP∈ P【a，a】a∈ S> 0na（t，ω）·a，⊥（t，ω）·子空间上的正交投影σt（ω）atrandKer公司σt（ω）aofRn，t，ω∈, T×a∈ S> 0nt∈, Tωz的投影∈ r由∏at（z）=（σta1/2）tr（σtaσtrt）给出-1（σta1/2）z和∏a，⊥t（z）=z- 在（z）处∏。特别是我们定义了∏（t，ω）（·）：=∏bat（ω）（t，ω）（·）和b∏⊥（t，ω）（·）：=πbat（ω），⊥（t，ω）（·）。ForP公司∈ P[a，a]和θ∈Θ，让我们考虑P下的标准BSDE，Yt=X-ZTtbFθs（Ys，ba1/2sZs）ds-（P）ZTtZtrsdBs，t∈ 【0，T】，P-a.s.，（3.9）数据X∈ L（FPT，P）和发电机-bFθt（ω，·）=-Fθ（t，ω·∧t、 ·，bat（ω）），其中fθ（t，ω，z，a）：=- ∏a，⊥（t，ω）θt（ω）tr∏a，⊥（t，ω）（z）+bξtrt（ω）∏a（t，ω）（z）-ht（ω）-bξt（ω）+∏a（t，ω）（θt（ω））∏a，⊥（t，ω）（z）（3.10）对于所有（t，ω，z，a）∈[0，T]×Ohm×Rn×S>0n。

根据（Becherer，2009，Thm.5.4），组合不确定性11YP，θ，ZP，θ下的估值上限πu，P，θ·X'φP，θQP，θ好交易套期保值和估值∈ DFP，P×HFP，Pπu，P，θ·XYP，θ和bat′φP，θt=b∏tbatZP，θt+∏⊥t型batZP，θtqht公司-bξt+b∏tθtbξt+b∏tθtP dt-a.e。。由于漂移不确定性可以包含在具有一个主要参考度量的设置中，Becherer和Kentia（2016）将上述标准BSDE对良好交易边界和对冲策略的描述扩展到仅存在漂移的不确定性。在不确定的情况下，后者在这样一个典型的非支配的设置中。4、组合不确定性下的良好交易套期保值和估值相对应的套期保值概念是稳健的w.r.t.组合漂移和波动不确定性。根据Barrieu和El Karoui（2009）的精神，我们对ρ进行ρ测量，以允许在不确定性条件下与市场进行最佳风险分担。就估值而言，将不确定性厌恶视为对不好交易限制的惩罚似乎是很自然的，因为它意味着不确定性下的好交易界限比不确定性更宽，例如Gilboa和Schmeidler（1989）；Hansen和Sargent（2001年）。这种想法是，对于实际漂移和波动率的模糊性持反对态度的代理人，可以保守地选择最坏情况下的估值方法，以补偿在其置信度设置中所有可能的先验条件下，在最大的上（或最小的下）好交易边界下可能存在金融风险的损失。

考虑到非支配性可能产生的技术困难，特别是在编写基本suprema时，我们定义了金融风险X的最坏情况下良好交易上限πu·（X）∈ LP[a，a]作为唯一过程πu·（X）∈ DFP【a，a】（如果存在）满足πut（X）=Pess支持∈P[a，a]（t，P，F+）Pess supθ∈πu，P，θt（X），t≤ T、 P-a.s.，P∈ P[a，a]，（4.1）πu，P，θ·Xπl·X-πu·-X研究上限。福尔克斯∈ L（F+），我们在第4.1节中显示，（4.1）确实定义了一个单过程πu·（X），可以将其识别为特定2BSDE溶液的组成部分。XP【a，a】ρ在市场中的持有和交易。作为一个为X收取溢价πu·（X）的卖家，她希望上好的交易一定是最小的资本，以使她的头寸ρ始终可以接受，从而πu·（·）成为与ρ·（·）相对应的市场一致性风险度量。投资者的第二个目标是稳健性（对冲和估值）w.r.t.ρπu·XX的模糊性∈ L（F+）在（4.1）和对冲问题（3.8）中，在没有不确定性的情况下，我们定义ρ·（X）12 D.BECHERER和K.Kentia for X∈ LP[a，a]是D中唯一的过程FP【a，a】（如果存在）满足以下条件：∈ [0，T]，ρT（X）=Pess支持∈P[a，a]（t，P，F+）Pess supθ∈ρP，θt（X），P-P的a.s∈ P【a，a】，（4.2）对于ρP，θ·（·）定义于（3.7）。上述考虑因素导致了一个很好的交易对冲问题，即F或有索赔∈ L（F+）写入：查找‘’φ∈Φ，以便所有P∈ 几乎可以肯定的是∈ [0，T]，πut（X）=Pess infφ∈Φρt十、-ZTtφtrsba1/2sbξsds+dBs= ρt十、-ZTt？φtrsba1/2sbξsds+dBs.（4.3）PngdPngdQQ∈ Rvolatilities，我们定义了策略φ的跟踪误差Rφ（X）∈ Φ用于索赔X∈ L（F+）asRφ（X）：=πu·（X）- πu（X）-Z·φtrsba1/2sbξsds+dBs. （4.4）RφtXXφtπuheging策略‘（X）用于索赔鲁棒w.R.t。

（漂移和波动性）不确定性ifRφ（X）是（FP，Q）-每个Q的上鞅∈ Pngd（QP，θ）对所有P一致∈ P[a，a]和θ∈ Θ。备注4.1。如果跟踪误差rφ（X）是任何QinPNGD（QP，θ）的（FP，Q）-上鞅，那么在模型QP，θ中，策略φ被称为“至少平均自我融资”，类似于SECT。2，在最小鞅测度下进行估值），对应于aQP，θP∈ P[a，a]θ∈Θ，这可以解释为|φ的鲁棒性（参见Becher和Kentia，2016）w.r.t.关于漂移和波动性的模糊性。我们在第4.2节中表明，对于组合不确定性，稳健的好交易套期保值策略“φ”可以通过πurobast获得。该策略与第4.3.4.1节中的几乎确定对冲（即超级复制）策略有很大不同。好交易估值界限。对于每个HP∈ P【a，a】，t∈[0，T]和p∈ P[a，a]（t，P，F+），模型中漂移不确定性下的最坏情况良好交易边界∈ L（FPT，P）乘以πu，Pt（X）：=Pess supθ∈πu，P，θt（X），P-a.s.，因此（4.1）重写FT可测X∈ L（F+）为πut（X）=Pess supP∈P[a，a]（t，P，F+）πu，Pt（X），t∈ [0，T]，P-a.s.，P∈ P【a，a】。（4.5）漂移不确定度πu，P·（X）forP∈ P【a，a】是标准BSDE在终端条件X和发电机下的数值过程-bF（t，ω，·）=-F（t，ω·∧t、 ·，bat（ω）），其中f（t，ω，z，a）：=infθ∈ΘFθ（t，ω，z，a），对于所有（t，ω，z，a）∈ [0，T]×Ohm ×Rn×S>0n，（4.6）组合不确定度13andFθ下的良好套期保值和估值由（3.10）给出，每个选择θ为Θ。用（4.5）和上述BSDE表示πu，P·（X），P∈ P[a，a]，稳健的好交易界πu·（X）也可以像（Soner等人，2013年，等式（4.12）和Prop）中一样公式化。4.10）（或者Possamai等人，2015年，等式（2.6）和Lem。3.5）作为非线性核随机控制问题的值过程。

粗略地说，这意味着写下πut（X）（ω）=supP∈Pt[a，a]πu，P，t，ωt（X）表示所有（t，ω）∈ [0，T]×Ohm, （4.7）式中，πu，P，t，ω·（X）由标准BSDEs下的解给出∈ Pt【a，a】，终端值X和生成器如（4.6）所示，但定义在正则空间上Ohmt： ={ω∈ C（[t，t]，Rn）：（移位的）正则过程bt，（移位的）自然过滤ft和关联pt[a，a]t的（移位的）路径中的（ω（t）=0}∈, 任意（T，ω）和P的Tπu，P，T，ωtxinded常数∈ Pt【a，a】（如第2部分备注4.3所示），因此，点界πut（X）更好地反映了后者背后的经济直觉，并且作为一个随机控制问题，对于文献来说更为经典，它可能不太适合处理套期保值问题（4.3），而本质上确界公式（4.5）似乎更为合适。（4.7）类控制问题的值过程可以描述为πu·X2BSDEYt=X-（P）ZTtZtrsdBs-ZTtbFs（ba1/2sZs）ds+KPT- KPt，t∈ [0，T]，P[a，a]-q.s，（4.8），发电机F由（4.6）给出，终端条件X。我们有以下定理4.2。XFTLF+Y、Z、KPP∈P【a，a】∈ DFP【a，a】×小时FP【a，a】×IFP公司P∈P【a，a】YP公司∈ P[a，a]保持πut（X）=Yt，t≤ T、 P-a.s。。证据我们的目标是应用第1部分。证明2BSDE（4.8）解的存在性和唯一性。为此，由于XISFT可测量且inL（F+）it需要检查XFBF≡（iv）明显有效。

至于（iii）关于nz的一致Lipschitz连续性，足以证明函数fθ，对于θ∈Θ，对于所有（t，ω，a）都是相等的Lipschitz∈[0，T]×Ohm×S>0n。后者由Minkowski和Cauchy-Schwarz不等式得出Fθ（t，ω，z，a）- Fθ（t，ω，z，a）≤∏a，⊥（t，ω）θt（ω）·∏a，⊥（t，ω）（z）- z）+bξt（ω）·πa（t，ω）（z- z）+ht（ω）-bξt（ω）+∏a（t，ω）（θt（ω））∏a，⊥（t，ω）（z）- z）≤ δt（ω）z- z+bξt（ω）z- z+ ht（ω）z- z≤ Cz- z,θ∈C∈, ∞,δhFFFFt，ωz∈ Rn，a∈ S> 0n[0，T]×Ohm×Rn（t，ω，θ）7→ Fθ（t，ω，z，a）从（3.10）中定义，通过（省略对ω的依赖性以简化符号）Fθ（t，·，z，a）=-θtrz+θtraσtrt（σtaσtrt）-1σtaz+bξtrtaσtrt（σtaσtrt）-1σtaz-ht公司-bξt+aσtrt（σtaσtrt）-1σtaθ|z|- ztraσtrt（σtaσtrt）-1σtaz（4.9）在θ和（t，ω）中是连续的，因为σ，h，bξ是可预测的。自通信FZ以来∈ Rn×S>0nF·，·，z，aF14 D.Becher和K.KENTIAFθz，a∈Ft，ω，z，aFθz，a（t，ω）t，ω，z，ainfθ∈Θt（ω）Fθ（t，ω，z，a）表示所有（t，ω）∈[0，T]×Ohm. 现在考虑：【0，T】×Ohm×Rn×S>0nRn，a在其最后两个参数中为常数的响应，并定义为Θt（ω，z，a）：=所有（t，ω，z，a）的Θt（ω）∈[0，T]×Ohm×Rn×S>0n。则为aP（F）B（Rn）B（S>0n）-可测对应fpffmeasurability ofF，它通过与tot、ω、z、a7上的参数类似的可测选择参数来实现→ infθ∈eΘt（ω，z，a）Fθt，ω，z，aB，t 英尺 BRn公司 BS>0不可测量。表明（t，ω，z，a，θ）7→ Fθ（t，ω，z，a）是一个Carath'eodory函数，表示θ7→ Fθt，ω，z，at，ω，z，a仅表示（t，ω，z，a）7→ Fθ（t，ω，z，a）对于每个θ都是可联合测量的。首先注意fθ（·，·，z，a）是b（[0，T]）FT可测量（z、a、θ）∈ Rn×S>0n×Rn，因为它是可预测的。x个∈ Rn×k，y∈ Rn×pk，p∈ NRn×n3 a 7→ X射线∈ Rk×pa 7→ 一-1a 7→ 行列式运算符的连续性序列。

因此，从（4.9）可以推断贴图>0n3 a 7→ Fθ（t，ω，z，a）是连续的。总的来说，因为fθ在（t，ω，a）中是Lipschitz，在（z，a）中是连续的。作为Carath'eodory函数，（t，ω，z，a）7→ Fθ（t，ω，z，a）是联合可测的，这意味着联合可测性关闭。总的来说，我们已经证明F符合假设2.4。因此，该定理的第一个主张在第1部分之后。第二项权利要求来自第2部分。第2.8条中，回顾了良好交易约束和使用的表达式（4.5）（Becherer和Kentia，2016年，第4.11条）。备注4.3。x）的一些连续性，生成函数f在ω中是凸的（ina）和一致连续的（UC），这在σ，h的UC假设下是成立的。然而，在当前具有组合不确定性的情况下，只要考虑（4.6）得出的f的非零连续性，则两者都不是。E、 g.，它的一个有效条件是族（Fθ）θ∈Θ是等连续的（ω），这似乎是限制性的。P∈ P[a，a]πu·X∈ DFP【a，a】十、∈ LF+πu·XFP[a，a]πuXFP[a，a]-可测量的因此，根据引理2.1的零一定律，πu（X）是确定性常数，其中πu（X）=supP∈P[a，a]πu，P（X）。3、根据命题2.8，好交易界πu·（·）满足了L（F+）中每个Borel可测索赔X的动态规划原则：对于任何P∈ P[a，a]保持πus（X）=Pess supP∈P[a，a]（s，P，F+）πu，Ps（πut（X））=πus（πut（X）），s≤ t型≤ T、 P-a.s。。t、 X7级→ πutXtime一致性动态一致性风险度量。4.2。稳健的好交易对冲。我们现在根据第2.1节的2BSDE理论研究稳健的好交易对冲策略。到（4.2），我们得到了X∈ ρt（X）=Pess supP的LP[a，a]∈P[a，a]（t，P，F+）ρPt（X），t∈ [0，T]，P-a.s。