漂移综合不确定性下的好交易套期保值与估值

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英文标题：
《Good Deal Hedging and Valuation under Combined Uncertainty about Drift
  and Volatility》
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作者：
Dirk Becherer and Klebert Kentia
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最新提交年份：
2017
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英文摘要：
  We study robust notions of good-deal hedging and valuation under combined uncertainty about the drifts and volatilities of asset prices. Good-deal bounds are determined by a subset of risk-neutral pricing measures such that not only opportunities for arbitrage are excluded but also deals that are too good, by restricting instantaneous Sharpe ratios. A non-dominated multiple priors approach to model uncertainty (ambiguity) leads to worst-case good-deal bounds. Corresponding hedging strategies arise as minimizers of a suitable coherent risk measure. Good-deal bounds and hedges for measurable claims are characterized by solutions to second-order backward stochastic differential equations whose generators are non-convex in the volatility. These hedging strategies are robust with respect to uncertainty in the sense that their tracking errors satisfy a supermartingale property under all a-priori valuation measures, uniformly over all priors.
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中文摘要：
我们研究了在资产价格漂移和波动的组合不确定性下，良好交易套期保值和估值的稳健概念。好的交易边界由风险中性定价措施的子集决定，这样不仅排除了套利机会，而且通过限制瞬时夏普比率，也排除了太好的交易。模型不确定性（模糊性）的非支配多先验方法会导致最坏情况下的好交易边界。相应的对冲策略作为适当的一致性风险度量的最小值出现。可测索赔的好交易边界和套期保值的特征是二阶倒向随机微分方程的解，其生成元在波动率中是非凸的。这些对冲策略在不确定性方面是稳健的，因为它们的跟踪误差在所有先验估值度量下均满足超鞅性质，在所有先验上都是一致的。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Optimization and Control        优化与控制
分类描述：Operations research, linear programming, control theory, systems theory, optimal control, game theory
运筹学，线性规划，控制论，系统论，最优控制，博弈论
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Probability        概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Portfolio Management        项目组合管理
分类描述：Security selection and optimization, capital allocation, investment strategies and performance measurement
证券选择与优化、资本配置、投资策略与绩效评价
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PDF下载：
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关键词：套期保值 不确定性 不确定 确定性 Optimization

漂移和波动性的组合不确定性下的良好套期保值和估值Dirk BECHERER和KLEBERT KENTIAAbstract。模型不确定性（模糊性）的非支配多先验方法会导致最坏情况下的良好交易边界。相应的对冲策略作为适当的一致性风险度量的最小值出现。可测索赔的好交易边界和套期保值的特征是二阶倒向随机微分方程的解，其生成元在波动率中是非凸的。这些对冲策略对于不确定性是稳健的，在所有先验条件下都是如此。1、简介波动率模型不确定性（模糊性）下的套期保值和估值是一个重要的研究方向。最近，在二阶倒向随机微分方程（2BSDE）、G-期望和相关随机演算、次线性条件期望和非线性核控制等主题上取得了一些进展，使用了随机控制的各种不同方法，准SureAlysis和能力理论，或期望空间和偏微分方程理论，见Denis和Martini（2006）；Denis等人（2011年）；Nutz（2012b）；Nutz和Soner（2012）；Soner等人（2012年）；Nutz和van Handel（2013）；Hu等人（2014a）；Possamai等人（2015年）以及其中更多的参考文献。这项研究具有挑战性（而且富有成效），因为人们必须（在概率设置中）处理非支配概率测度族，也称为多重先验，它们可以是相互奇异的。对于单一参考概率测度，可以在绝对连续的测度的支配框架中处理。本论文的主要贡献有两个方面。

对于连续时间内的不完全市场，我们解决了关于漂移和It^o过程波动性的组合不确定性下的稳健套期保值和估值问题，It^o过程描述了金融市场基础非马尔可夫模型中可交易资产价格的演变。此外，我们还调查了toliterature（参见Cochrane和Sa'a-Requejo（2000））；Cern\'y和Hodges（2002）；Bj¨ork和Slinko（2006））提供了更窄的估值界限和更少的极端对冲，而不是通过超级复制及其相应的无套利估值界限进行几乎确定对冲的更基本方法。关于连续时间模型中波动不确定性下套期保值的有效应用，至少Avellanda等人（1995）规定了这一点；Lyons（1995），迄今为止的文献几乎完全关注超级复制方法，因为不确定性存在，而超级复制的概念是随机过程理论和2010年数学学科分类的基础。60G44、60h30、91G10、93E20、91B06、91B30。二阶BSDE，随机控制。讨论和有益的建议。2 D.BECHERER和K.KENTIAmeasures，如Soner等人（2012年）。最近，Tevzadze等人（2013年）在《Nutzdrifts and volatilities》（Nutzdrifts and volatilities）中注意到并解决了这一问题；Biagini和Pinar（2017）；Neufeld和Nutz（2016），其中一些对具有特定参数结构的模型取得了非常明确的结果。在仅有一种类型的不确定性下的效用优化的许多有趣贡献中，参见Chen和Epstein（2002）；Quenez（2004）；Garlappi等人（2007年）；Schied（2007）；Oksendalfrom superreplication。我们将研究在波动率和漂移的组合模糊性下，连续时间内无好交易套期保值方法的稳健扩展。

如果没有模型的不确定性，goodof“无好交易”风险中性价格，由此产生的估值界限比classicalSlinko（2006）更为严格。对于没有跳跃的模型，这相当于对最优对冲施加约束，参见Becherer（2009），其中（好交易）对冲策略被定义为某种动态一致风险度量的最小值，符合Barrieu和El KarouiBj¨ork和Slinko（2006）的精神；Becherer（2009）对概率模型的假设很敏感。准确地说，已知的财务模型最有用，但理想化的简化现实，稳健的模型模糊性方法与好交易理论相关。一般适定性结果在组合不确定性（如一致连续性）或马尔可夫框架下很适合当前应用。这就抓住了漂移和波动的综合模糊性。让我们注意到，与组合不确定性市场下的良好交易套期保值和估值相比，即使仅低于（任何）一个人之前的水平。这不仅意味着，为了尽可能简单地解释好交易方法的想法，首先需要了解的是存在可用性。根据经典的好交易理论，好交易限制由与市场最优风险分担下的约束定义。我们推导了动态估值界和对冲策略的2BSDE特征。我们证明了在所有先验估值测度下，对所有先验的跟踪误差均满足超鞅性质。该套期保值依赖鞍点参数，通过aminmax恒等式确定稳健的好交易套期保值策略。最后，我们用一个简单但有启发性的例子来结束第4节，该例子是关于不完全市场中非交易（但相关）资产的hedginga看跌期权。

这就允许了一个基本的闭式解，从而为一般但抽象的主要定理4.6提供了直觉。例如，它说明了好交易对冲策略通常与theDenis和Martini（2006）非常不同；Nutz和Soner（2012）；Neufeld和Nutz（2013）；Vorbrink（2014）。具体案例研究还说明，在一个基本的马尔可夫例子中，额外的复杂性是如何从组合不确定性中产生的。数学框架和预备知识，FFT，P，F{ω∈ C（[0，T]，Rn）：ω（0）=0}的连续路径，从0开始，赋以normkωk∞:=支持∈[0，T]|ω（T）| FFtt∈[0，T]BtωTω∈PF+F+tt∈[0，T]FF+T=Ft+：=∩s> tFs。对于概率度量EQ，条件期望给定了Twill beEQt·PBF，pHBipppP，这产生了hBi w.r.t密度ba的路径定义。Lebesgue度量为Bat（ω）：=lim sup&0hBit（ω）- hBit公司-（ω）, （t，ω）∈ [0，T]×Ohm.PWPbaPS>0n Rn×nn×注意，如Soner等人（2011年）所述，WCW中的度量值可以是相互单一的。对于anyP∈ PW，过程wp：=（P）R·ba-SDBS是一个布朗运动。为了计算波动率不确定性，我们只关注子类PS PWof测量值α：=Po （Xα）-1，其中Xα：=（P）Z·α1/2sdBs，S>0n-FαRT |αt | dt<∞, P-a.s.子类概述了以下聚合特性（参见Soner et al.，2011，Lem.8.1，Lem.8.2）。引理2.1。ForP公司∈ PW，Letfp表示自然过滤fwpofwp的过滤fandfwpp的增强。ThenBhas鞅表示性质w.r.t.（FP，P）P∈ PSPP∈ PWFPFWPPP、 任何P的0-1定律∈ PS.4 D.BECHERER和K.KENTIARemark 2.2。P∈ PSEPtXEPX | F+tP-a.s.XL（P），t∈[0，T]。特别是，任何f+t-可测随机变量都有aFt-measurep版本。让a，a∈ S> 0n。

我们将使用P[a，a]定义的子类P[a，a]：=P∈ PS：a≤ 文学学士≤ a、 P dt-a.e。（2.1）Denis和Martini（2006）的能力框架如下。定义2.3。一个属性被称为在同一个可测空间上的一系列qof测度的Q准处处（简称Q-Q.e.），如果它在一个集合之外，该集合是Q.P[A，A]确定意义下的一个零集（简称writenp[A，A]-Q.s.），而P[A，A]中的正-渐进过程之间的不等式将是 dt-q.e.sense，用于P【a，a】 dt：=P dt，P∈ P【a，a】. 现在我们引入空间和p[a，a]XXtt∈[0，T]，FTXPXPt公司t型∈[0，T]P∈ 考虑以下函数空间：LP[a，a]XTLXT，PXT-XkXkLP[a，a]=支持∈P【a，a】EP|X个|< ∞响应。kXkL（P）=EP|X个|< ∞,b） X的H（X）（分别为H（X，P））-可预测Rn-值进程Z，其中kzkh=supP∈P【a，a】EPhZTbatZt公司dti公司<∞响应。kZkH（P）=EPhZTbatZt公司dti公司<∞,c） allX的D（X）（分别为D（X，P））-progressiveR valued ProcessyWith c\'adl\'ag pathsP[a，a]-q.s.（分别为P-a.s.），以及令人满意的kD：=支持∈[0，T]| Yt|LP【a，a】<∞响应。kY kD（P）：=支持∈[0，T]| Yt|L（P）<∞,d） L（X）LP[a，a]（XT）的子空间，由随机变量X满足kxkl：=supP∈P【a，a】EPhPess支持∈[0，T]Pess支持∈P[a，a]（t，P，X）EP|X个|Xt公司i<∞,对于度量集P[a，a]（t，P，X）：=P∈ P[a，a]：在Xt上P=P,九、 PXKPKP-a.s.kKkI（P）EPKT<∞.我XP系统P∈P【a，a】元组族（KP）P∈P【a，a】s.t.KP∈ I（XP，P）表示anyP∈ P【a，a】和SUPP∈P[a，a]kKPkI（P）<∞.（尽管符号略有不同）对于特定的测量集合系列（t，ω）：=P[a，a]t，ω∈, T×Xde以上空间的定义为FP【a，a】=FP【a，a】tt型∈[0，T]，其中FP[a，a]T：=TP∈P【a，a】FPt，t∈ [0，T]。二阶倒向随机微分方程。F、 T××R×Rn×S>0n→ 径向基函数ω，y，zFt（ω·∧t、 y，z，bat（ω））和bFt：=bFt（0,0）。

对于适配性，我们需要满足以下假设2.1组合的生成器和终端条件X。（i） -（ii）和假设3.1。在Possamai等人（2015年）（对于κ=p=2）。假设2.4。（i） X是FT可测量的，组合不确定性下的好交易套期保值和估值5（ii）F是联合Borel可测量的，F-在（t，ω）中累进（y，z，a），（iii）C>0，这样对于所有（t，ω，a）∈ [0，T]×Ohm ×S>0n，y，y∈ R、 z，z∈ 注册护士，Ft（ω，y，z，a）- Ft（ω，y，z，a）≤ C|y- y |+| z- z|,（四）满足感RT | bFs | ds1/2∈ L（F+）。备注2.5。假设2.4-（iv）满足假设2.4-（ii）保持且b有界P[a，a]-q.s。。它意味着支持∈P【a，a】EPhZT | bFs | dsi<∞.二阶BSDE是Yt=X型的随机积分方程-ZTtbFs（Ys，ba1/2sZs）ds-（P）ZTtZtrsdBs+KPT- KPt，t∈ [0，T]，P[a，a]-q.s。。（2.2）BP[a，a]公式可以在更一般的框架中使用，其中包含正则定义的半鞅定律。5.1）。定义2.6。Y、 Z，KPP∈P【a，a】∈ DFP【a，a】×小时FP【a，a】×IFP公司P∈P【a，a】P【a，a】-q.s。KP，P∈ P【a，a】满足最低条件KPT=Pess infP∈P[a，a]（t，P，F+）EPt[KPT]，t∈ 【0，T】，P-a.s.，适用于所有P∈ P【a，a】。（2.3）如果族{KP，P∈ P[a，a]}可以聚合为单个进程K，即KP=K，P-a.s.forall P∈ P[a，a]，然后（Y，Z，K）被称为解2BSDE。备注2.7。（P）R·ZtrsdBsP∈ P[a，a]P[a，a]R·ZtrsdBsZ{KP，P∈ P[a，a]}对于2BSDE解（Y，Z，（KP）P∈P[a，a]）将自动聚合为单个进程k：=Y- Y+R·bFs（Ys，ba1/2sZs）ds+R·ztrsbs生成2BSDE溶液（Y，Z，K）。对于解（Y，Z，K），族（P）R·ZtrsdBs，P∈ P【a，a】还包括骨料。F、 XYvalue过程和ZA为控制过程。以下命题提供了本文关注的良好结果，以及标准BSDE解决方案方面的价值过程表示。

该证明依赖于（Possamai等人，2015年，第4.1条，第4.2条）对特定测量系列的应用[a，a]，详情请参见附录。我们使用标准BSDE生成器的经典符号约定，根据该约定，下面BSDE（2.5）的生成器为-bF（即带有减号）。然而，相关2BSDE发电机的惯例仍然如前所述，例如2BSDE（2.2）具有发电机F。提案2.8。如果X∈ L（F+）和假设2.4，则2BSDE（2.2）具有a1。唯一解决方案（Y，Z，（KP）P∈P【a，a】）∈ DFP【a，a】×小时FP【a，a】×IFP公司P∈P【a，a】2、对于任何P∈ P【a，a】，解的Y部分具有表示形式ys=Pess supP∈P[a，a]（s，P，F+）YPs（t，Yt），s≤ t型≤ T、 P-a.s.，（2.4）6 D.BECHERER和K.Kentia，其中（YP（τ，H），ZP（τ，H））表示标准BSDEYPt=H的唯一溶液-ZτtbFs（YPs，ba1/2sZPs）ds-（P）Zτt（ZPs）trdBs，t≤ τ、 P-a.s.，（2.5），带参数(-bF，H），对于FP停止时间τ和H∈ L（FPτ，P）。备注2.9。Possamaiet al.（2015）的ωaFresults总结在命题2.8中。后者是我们所需要的，因为Soner等人（2012）的结果可能不适用于这种情况；参见备注4.3第1部分，了解详细的调整。请注意，广义理论也适用于Soner等人（2012）所要求的终端条件函数。3.

金融市场模型和良好交易约束我们将第2.1节的2BSDE理论应用于或有确定性的良好交易估值和对冲，2BSDE是描述当前最坏情况估值的合适工具。考虑好的交易限制，作为金融市场中夏普比率的界限（相当于Becherer，2009年的最佳增长率的界限），并通过进一步的（衍生）波动和风险市场价格扩展。3.1。具有漂移和波动综合不确定性的金融市场。金融市场由可交易股票组成（d≤ n） 贴现价格过程（Si）di=1=Smodelbydst=diag（St）（btdt+σtdBt），t∈ [0，T]，P[a，a]-q.s.，s∈ （0，∞)d、 式中，b（resp.σ）是aRd值（resp.Rd×n值）F-可预测一致有界过程，σ是这样的：familyn（P）Z·σsdBs，P∈ P[a，a]o聚合为单个进程z·σsdBs。（3.1）此外，我们还假设σ∑tris一致椭圆，即存在Υ，∧∈ （0，∞) 使得ΥId×d≤ σσtr≤ ∧Id×d，P【a，a】 dt-q.e.，（3.2），其中ID×D表示D×D实体矩阵。尤其是σba1/2isP【a，a】最大rankd的dt-q.e≤ n、 由于σbaσtris一致椭圆且有界（由（2.1）、（3.2））。备注3.1。Sbe准确定定义为单个流程。后者在这里由聚合条件（3.1）来保证，聚合条件乍一看似乎是限制性的，但如果σ是c ` adl\'ag，则可以保证，其中的caser·σsdbsc甚至可以像Karandikar（1995）那样按路径构造。市场模型捕获了股价波动的不确定性，即σba1/2P∈ （St）t的动力学∈P下的[0，T]∈ P[a，a]isdSt=diag（St）σtba1/2t（bξtdt+dWPt），其中bξ：=ba1/2σtr（σbaσtr）-1个基点∈ P[a，a]bξRnF可预测且一致有界于一个常数，该常数仅依赖于a，a，∧，Υ和uniformbound onb。

因此，所描述的金融市场对于任何参考指标而言都是不完整的∈ P【a，a】表示波动率σba1/2ifd<n。在实践中，σσtr的边界a、’a和统一边界可被视为描述未来波动率值的某个置信区域，这可能有助于在组合不确定性7b下进行套期保值和估值，例如根据专家对历史或未来（隐含）波动率场景范围的意见。bξθ是以bξ为中心的径向集，也就是说，我们考虑nbξθ：=bξ+b∏（θ）θF-可预测，θt（ω）|≤ δt（ω），（t，ω）∈ [0，T]×Ohmo、 （3.3）b∏（t，ω）zσtωba1/2tωtrσtωbatωσtrtω-1σtωba1/2tωzz∈ RnImba1/2tωσtrtω，t∈, TδF-可预测过程。风险市场价格集（3.3）对应于风险资产价格漂移不确定性的椭球区域，因此模糊漂移可以在LipsoIDsnx中获得值∈ 研发部：x个- bt（ω）tr公司σt（ω）bat（ω）σtrt（ω）-1.x个- bt（ω）≤ δt（ω）o，t，ω∈, T×多元高斯设置，参见例如Garlappi等人（2007）；Biagini和Pinar（2017）。我们用Θ：[0，T]×表示Ohm   RN对应（集值映射）Θt（ω）：=nx∈ Rn：| x |≤ δt（ω）o，对于（t，ω）∈ [0，T]×Ohm,FδFF 注册护士-1F{t，ω∈, T×Tω∩ F 6级}FFFθθtω∈tω，t×。，T×Rnλ∈λFλt（ω）∈ Γt（ω）表示所有（t，ω）∈ [0，T]×Ohm.由（通常为非支配）setR捕获：=nQ:Q~ P、 dQ=（P）Eθ·WP某些θ的dP∈ Θ和P∈ P【a，a】o（P）EMexpM- M-hMiPMPQ公司∈ RPQ∈ P[a，a]，θQ∈Θ使得分解为br·ba1/2sθQsdsR·ba1/2sdwqwp的标准过程双aQ半鞅-R·θQsdsQQP，θQ∈ 卢比∈ P[a，a]θ∈请注意，pandθ的规格范围分别说明了挥发度和漂移的不确定性。S在QPθ下演化∈ R、 P-a.s.，asdSt=诊断（St）σtba1/2t（bξθtdt+dWP，θt），其中WP，θ：=WP-R·θsdsis aQP，θ-布朗运动。