漂移综合不确定性下的好交易套期保值与估值

对于所有P∈ P【a，a】，（4.10），其中ρPt（X）：=Pess supθ∈ρP，θt（X），t∈ [0，T]。PngdQP，θP∈ P[a，a]，θ∈Sθ∈ΘPngdQP，θρPLP→ 组合不确定性下的LP、FtGOOD DEAL套期保值和估值15ρPtX≥ πu，PtX，t∈, T、 PX∈ LP，FT发电机功能F：[0，T]×Ohm ×Rn×S>0n→ 定义的byF（t，ω，z，a）：=-（ht+δt）| z |，对于所有（t，ω，z，a）∈ [0，T]×Ohm ×Rn×S>0n，（4.11）和相关的2BSDEYt=X-（P）ZTtZtrsdBs-ZTtbFs（ba1/2sZs）ds+K0PT- K0Pt，t∈ [0，T]，P[a，a]-q.s。。（4.12）下面的命题4.4给出了ρ·（X）的2BSDE描述，类似于第3部分-4、注释4.3对于πu·（·），意味着ρ定义了一个动态风险度量（类似于πu·（·）），该度量在所有ft可测量xinl（F+）上是时间一致的。该证明类似于定理4.2，其细节包含在附录中。提案4.4。LetXbe aFT可测量索赔inL（F+）。然后存在唯一解（Y，Z，（K0P）P∈P【a，a】）∈ DFP【a，a】×小时FP【a，a】×IFP公司P∈P【a，a】至2BSDE（4.12）。此外，该过程非常令人满意（4.10），并且对于所有P∈ P[a，a]保持ρt（X）=Yt，t∈ [0，T]，每年。。仅存在漂移不确定性情况下的良好交易估值和套期保值结果注释∈ P【a，a】，P∈P[a，a]（t，P，F+）和X∈ L（FPT，P）一个有，P-a.s.在t上∈ [0，T]，πu，Pt（X）=Pess infφ∈Φ（P）ρPt十、-（P） ZTtφtrsba1/2sbξsds+dBs.FTXLF+P∈ P[a，a]psuren，πut（X）=Pess支持∈P[a，a]（t，P，F+）Pess infφ∈Φ（P）ρPt十、-（P） ZTtφtrsba1/2sbξsds+dBs, t型∈ [0，T]。（4.13）家庭\'\'φP∈ Φ（P），P∈ P【a，a】满足每个P的交易策略∈ P[a，a]，πut（X）=Pess供应∈P[a，a]（t，P，F+）ρPt十、-（P） ZTt（°Ps）trba1/2sbξsds+dBs, t型∈ [0，T]，每年。。

（4.14）此外，为每个P提供了φPis∈ P[a，a]bybat？φPt=b∏tbatZP，Xt+∏⊥t型batZP，Xtqht公司-bξt+b∏t°θPtbξt+b∏t°θPt, P dt-a.e.，其中（YP，X，ZP，X）with YP，X=πu，P·（X）是标准BSDE底层的解决方案∈ P【a，a】带数据(-bF（ba·），X）用于（4.6）中定义的FD，以及“θPis aFP可预测选择的Θ满足BFT（batZP，Xt）=bF“θPt（batZP，Xt）=F”θP（t，batZP，Xt，bat）P dt-a.e.，对于θ=(R)θP，F'θP如（3.10）所示。备注4.5。在没有波动不确定性的情况下（如Becherr和Kentia，2016年所研究的），P【a，a】{P}aaIn×n'φPXXLP【a，a】FTLF+LFT，PP【a，a】πu·Xπu，P·Xρ=ρP。然而，在存在波动不确定性的情况下，情况更为复杂，因为每个策略φ和风险度量ρP只能定义为每个（非支配）度量P的空集∈ P【a，a】。因为我们正在寻找一个单一的过程∈Φ套期保值问题的解决方案（4.3），一种方法是研究{φP，P∈ P[a，a]}可聚合16 D.BECHERER和K.KENTIA'φ∈\'\'φ\'\'φPP dt-a.e.P∈ P[a，a]（4.14）将为任何P编写∈ P[a，a]为πut（X）=Pess supP∈P[a，a]（t，P，F+）ρPt十、-ZTt？φtrsba1/2sbξsds+dBs, t型∈ [0，T]。P-a.s.=ρt十、-ZTt？φtrsba1/2sbξsds+dBs, t型∈ [0，T]，P-a.s.，φπu··≤ ρ··就2BSDE的Z部分而言，聚集条件具有一定的限制性和高度的技术性（参见Soner等人，2011年）（参见下文（4.15））解决了好交易对冲问题。仅在漂移不确定性的较简单框架中，存在最坏情况下的测量值“P”∈ r如πu·（·）=πu，P·（·）成立，好交易对冲策略“φ”锁定模型“Pis鲁棒w.r.t.辅助（较大）估值界，相关对冲策略自动满足该估值界的鲁棒性，然后通过鞍点结果（参见。

Becherer和Kentia，2016年，Thm。4.13）通过将辅助界限和套期保值策略与标准的良好交易界限进行识别，但这种最坏情况的衡量标准不太可能适用于一般索赔。相反，引理5.1（4.15）中的候选策略确实满足了所需的稳健性属性。您的证明没有使用2BSDE的任何比较定理（例如，在Kentia，2015年，第4.1.3节）。这将需要终端财富srtφtrsdbsa作为2BSDEs成为L（F+）的可能终端条件，而φ可能不是这种情况∈ Φ。对于L（F+）中的Borel可测量索赔X，考虑由BAT定义的过程“φ：=”φ（X）’φt：=b∏tbatZt公司+∏⊥t型batZt公司qht公司-bξt+b∏t\'θtbξt+b∏t\'θt, P【a，a】 dt-q.e.，（4.15）对于唯一解（Y，Z，（KP）P∈P[a，a]）到2BSDE（4.8），“θ”是aFP[a，a]-可预测的过程，带有|θt（ω）|≤ δt（ω）表示所有（t，ω）∈ [0，T]×Ohm 满足bft（batZt）=bF′θt（batZt）=F′θ（t，batZt，bat），P[a，a] dt-q.e。。（4.16）’θ∈在定理4.2的证明中，使用zisfp[a，a]-可预测，ΘisF可预测和pf这一事实 PFP【a，a】.如果家庭（P）R·ZtrsdBs，P∈ P【a，a】“盈亏”流程合计。定理4.6（组合不确定性下的稳健好交易对冲）。对于anFT可测xinl（F+），设（Y，Z，（KP）P∈P[a，a]）是唯一解inDFP【a，a】×小时FP【a，a】×IFP公司P∈P【a，a】（P）R·ZtrsdBs，P∈ P【a，a】processR·ZtrsdBs。然后：1。（4.15）中的过程“φ=”φ（X）位于Φ中，解决了好交易套期保值问题（4.3）。任意Q下的R′φX′φ（4.4）FP，qs超鞅∈ PngdQP，θ, 对于所有P∈ P[a，a]，θ∈ Θ。Xcontingent的声明显然可能依赖于路径。证据我们首先证明第二种说法，然后用它来暗示第一种说法。请注意，根据积分Z的条件，（4.15）给出的策略“φ”显然属于Φ。

根据定理4.2，我们知道πu·XYY，Z，KPP∈P【a，a】P∈ P[a，a]θ∈组合不确定性下的大宗套期保值与估值17Q∈ Pngd（QP，θ）。ThenQis相当于qp，θ和dq=（P）E（λ·WP，θ）dQP，θ表示λ|≤ 惠普公司dt-a.e。。然后，R’φ：=R’φ（X）的动力学被给出P-几乎可以肯定的是，对于所有t∈ [0，T]由-dR？φt=-bFt（batZt）dt- ZtrtdBt+(R)φtrtbatbξtdt+dBt+ dKPt公司=(R)φtrtbatbξt-bFt（batZt）dt公司-Zt公司-\'\'φttrbatdWPt+dKPt。通过改变ptoqf的测度，对于q布朗运动wq=WP-R·（λt+θt）dtone几乎可以肯定地得到P-对于所有t∈ [0，T]那-dRφt=(R)φtrtbatbξt- （λt+θt）trbatZt公司-\'\'φt-bFt（batZt）dt公司-Zt公司-\'\'φttrbatdWQt+dKPt。自最大值|λ|≤hλtrtbat（Zt-\'\'φt）=htbat（Zt-(R)φt）, P dt-a.e.，然后‘φtrtbatbξt-（λt+θt）trbatZt公司-\'\'φt≥(R)φtrtbatbξt-θtrtbatZt公司-\'\'φt-ht公司球棒Zt公司-\'\'φt, Pdt-a.e。。（4.17）“φthatbFt（batZt）=”φtrtbatbξt的表达式（4.15）-\'θtrtbatZt公司-\'\'φt-ht公司球棒Zt公司-\'\'φt, P【a，a】dt-q.e.，对于θ∈ Θ满足（4.16）。因此，第3部分。引理5.1的结果是“φtrtbatbξt”- θtrtbatZt公司-\'\'φt- ht公司球棒Zt公司-\'\'φt≥bFt（batZt），P【a，a】 dt-q.e。。（4.18）因此，既然KPI是非递减的，那么结合（4.17）和（4.18）意味着Q半鞅φ的有限变量部分是非递增的。此外，一个hasR'φ∈ D（FP，P），因为πu·X∈ DFP【a，a】 DFP，P？φ∈PλθdQdPFTLpFT，Pp<∞R？φ∈ D2级-FP，Qsome > 因此，R’φ是（FP，Q）-上鞅。(R)φ问题（4.3），设P∈ P【a，a】。然后乘以（4.13）和Φ Φ（P）适用于所有P∈ P[a，a]有P-a.s.πut（X）≤Pess支持∈P[a，a]（t，P，F+）Pess infφ∈ΦρPt十、-ZTtφtrsba1/2sbξsds+dBs≤Pess infφ∈ΦPess供应∈P[a，a]（t，P，F+）ρPt十、-ZTtφtrsba1/2sbξsds+dBs=Pess infφ∈Φρt（X-ZTtφtrsba1/2sbξsds+dBs) 对于t∈ [0，T]。得出以下结论：∈Φ是一个很好的对冲策略，满足（4.3），它需要显示所有θ∈ Θ，P∈ P【a，a】该P—a.s。

对于所有t∈ [0，T]，P∈ P[a，a]（t，P，F+）和Q∈ Pngd（QP，θ）保持πut（X）≥ EQt十、-ZTt？φtrsba1/2sbξsds+dBs.为此，让θ∈Θ，P∈ P【a，a】。根据该定理的第一个主张，跟踪误差R'φ：=R'φ·（X）'φFP，QQ∈ PngdQP，θP∈ P[a，a]2.1πut（X）-πu（X）-Rt？φtrsba1/2sbξsds+dBs≥ EQt十、-πu（X）-RT？φtrsba1/2sbξsds+dBs, P-a.s.，Q∈ PngdQP，θ，P∈ P[a，a]t，P，F+t≤ t索赔。备注4.7。定理4.6的假设。尽管2BSDE解决方案的Z组件在某些情况下无法保证。例如，在马尔可夫微分环境中，可以使用部分微分方程（PDE）参数来表明Z分量甚至是连续的。第4.3节中提供了此类设置的一个示例，其中，对于一些有界或有权益，除了ZZ的连续性之外，我们甚至可以获得2BSDE（4.8）的明确解决方案。在最一般的情况下，18 D.BECHERER和K.KENTIArid在Φ和定理4.6的陈述中给出了聚集条件；参见备注2.7和3.5.2。定理4.6的一个结果是一个极小极大恒等式：对于P∈ P[a，a]保持a.s.πut（X）=Pess supP∈P[a，a]（t，P，F+）Pess infφ∈Φ（P）ρPt十、-（P）ZTtφtrsba1/2sbξsds+dBs=Pess infφ∈ΦPess供应∈P[a，a]（t，P，F+）ρPt十、-ZTtφtrsba1/2sbξsds+dBs, t型∈ [0，T]。4.3。案例研究：对冲非交易但相关资产的看跌期权。在本小节中，我们研究了一个简单的马尔可夫例子，以提供更多的直觉，并说明一般但抽象的主要定理，给出了稳健的好交易估值和对冲的封闭式公式。资产的具体细节。

后者是不完全参数设置下最优部分套期保值的一个典型问题，也可以通过更标准的最优控制方法来解决，利用漂移和波动率不确定性的组合所带来的困难，与仅一种类型的变量相比，使识别优化器和最坏情况先验（或参数）更加复杂，公平的方法（例如，稳健的超级复制）起初可能会提出其他建议。当然，对于一般的问题公式，在主要定理4.2和4.6中，已经用2BSDE充分描述了解的特征。让我们考虑一个金融市场，其中只有一种风险资产（a股）的贴现价格为SSLP[a，a]-q.s.，由DST=St（bdt+σSdBt）和dLt=Lt给出γdt+β（ρdBt+p1- ρdBt）,BB，BP[a，a]adiaga，aadiaga，aS>0S，L，σS，β，∞b、 γRσS，∈ R1×2Pρ∈-,恒定边界∈[0，∞) 关于瞬时夏普比率，我们将推导出稳健的好交易估值和对冲的闭合表达式，对于欧洲看跌期权x：=（K-LT）+对非交易资产进行罢工∈（0，∞) 和到期时间，并确定相应的最坏情况漂移和波动率。首先，我们假设漂移率bofs0为零，因此风险bξ的中心市场价格准肯定地消失，并且只考虑波动率的不确定性情况（即δ≡0）。对于这种情况，我们将确定封闭形式下稳健估值边界的最坏情况波动率，并将稳健的好交易对冲与经典的稳健的超复制低估不确定性进行比较。

在此之后，我们讨论了漂移和波动性相结合的更复杂的情况。我们研究了在波动性不确定性下导出的鲁棒好交易界对漂移参数γ变化的敏感性∈ R表示非交易资产。巴洛特巴比巴=巴贝巴和ba=bcbcbcbc,组合不确定性条件下的良好套期保值和估价19有σba=σS（bc，bc），ba=（bc）+（bc），ba=bc（bc+bc），ba=（bc）+（bc）和baba- （ba）=bcbc公司- （bc）,（4.19）暗示IM（σba）tr=z∈ R： bcz公司-bcz=0andKer（σba）=z∈ R： bcz+bcz=0.因此，对于z=（z，z）tr∈ Rone getsb∏（z）=ba（bc）z+BCBCZBCCZ+（bc）zandb∏⊥（z） =ba（bc）z-bcbcz（bc）z-bcbcz公司. （4.20）在δ的情况下≡ 因此，2BSDE（4.8）在此处重写为asYt=X-（P）ZTtZtrsdBs-ZTtbFs（ba1/2sZs）ds+KPT- KPt，t∈ [0，T]，P[a，a]-q.s.，（4.21），其中从（4.20）和（4.19）可以得到，P[a，a] dt-q.e.，bFt（ba1/2tz）=-h类b∏⊥t型ba1/2tz= -h类蝙蝠- （bat）1/2球棒-1/2z, （4.22）zz，ztr∈ RLTFTx 7→K- x+XFTLF+πu·XYv∈ C1,2[0，T）×（0，∞)到Black Scholes型PDEvt型+γ- hβp1- ρ√一x个vx+βρa+（1- ρ） a）xv在集合[0，T）×（0，∞), 边界条件v（T，·）=（K- ·)+.PaP公司oa1/2B-1.∈ P【a，a】hBitat Pa dt-a.s.Lunder-Pai是一个几何布朗运动，动力学为Lt=Ltγdt+(R)βρdW1，Pat+p1- ρdW2，帕特, t型∈ [0，T]，Pa-a.s.，其中WPa=（W1，Pa，W2，Pa）：=（a）-1/2B是Pa布朗运动，’β：=βρa+（1- ρ） a> 0和ρ：=ρ√一ρa+（1- ρ） a-∈ [-1，1]。vt，LtvXK- LT+PA参数类似于（Becherer和Kentia，2016，第3.2.1节），v（t，LT）CoalignSpa-a.s.中公式的推导。

估值界为πu，Pat十、对于allt≤ T、 以闭合形式给出，asv（T，Lt）=πu，Pat（X）=KN(-d-) - Ltem（T-t） N个(-d+（4.24）=em（T-t）* 证券卖出价格时间：t，地点：Lt，罢工：Ke-m（T-t） ，体积：(R)β,其中，“B/S-put-price”表示零利率的标准Black-Scholes看跌期权定价公式，“vol”缩写为波动率，n表示标准正态定律的cdf，m：=γ-hβp1- ρ=γ-hβp1- ρ√a、 andd±：=ln公司Lt/K+m±’β（T-t）\'\'β√T- t型-下面引理的详细证明可以在附录中找到。引理4.8。Y=v（t，Lt），Zt=βLt的三重（Y，Z，K）vx（t，Lt）ρ、 p1级- ρtr和KGIVENV∈ C1,2, T×，∞Y、 Z∈ DFP【a，a】×小时FP【a，a】R·ztrsdbs可以按路径定义。20 D.BECHERER和K.Kentia估值和对冲的最坏情况模型：使用引理4.8，定理4.2由（4.24）暗示，看跌期权X的稳健良好交易边界=（K- LT）+由πut（X）=KN以闭合形式给出(-d-) - Ltem（T-t） N个(-d+，t∈ [0，T]，Pa-a.s。。（4.25）πu·XXK- LT+aPa∈ P【a，a】hBitatPa dtπut十、πu，帕特十、对于allt∈[0，T]，Pa-a.s。。此外，πut十、根据Black-Scholes的类型公式明确给出，用于修改的strikeKexp(-m（T-t） ）和波动率β=βρa+（1-ρ） a1/2。类似地，X的φxf由φt=-βem（T-t） N个(-d+）Ltba-1/2tb∏tba1/2tρ、 p1级- ρtr公司= -βem（T-t） N个(-d++Ltρ+batbatp1- ρ、 0个tr，Pa dt-a.e.，（4.26）ba-1/2b∏ba1/2z兹巴巴斯，trzz，ztr∈ R、 这可以通过（4.20）和（4.19）直接得到。类似地，好交易下界πl·十、也可以计算相应的对冲策略，但在最坏情况下∈ Avellaneda等人研究的“最小”波动率矩阵a.hπu·X的P[a，a]向鲁棒无套利估值上界。

（1995年）；Lyonsvolatility，Black-Scholes估值和vanilla看跌期权（或看涨期权）在最大（分别为超级复制）下的套期保值我们在这里关注的是波动率不确定性下的稳健好交易套期保值，因为估值与非完美相关，并且期权xis已经|ρ|<模型不确定性。此外，我们现在表明稳健好交易套期保值策略|φ（X）是非常现实的0≤ 十、≤ Kholds pathwise，根据BVT（X）：=Paess supQ定义的（上限）无套利约束（或超级复制价格）过程BV（X）∈Me（Pa）EQt[X]，t∈ [0，T]，Pa-a.s.satisπu，Pat（X；h）≤bVt（X）≤ K、 Pa-a.s.，对于πu，Pat（X；h）表示pAH中的好交易界限∈, ∞h |ρ|<πu，PatXht<TKh∞m级→ -∞d±→ -∞), 因此，我们得到，与（4.25）中的好交易界有显著差异的是，bvt（X）=K1{t<t}+X1{t=t}，t∈ [0，T]，Pa-a.s。。（4.27）bVXThm。3.2）bVt（X）=bV（X）+ZtbφsdBs-bCt，t∈ [0，T]，Pa-a.s.，其中r·bφSDBSandBc是唯一的（见Kramkov，1996，第2.1条和第2.1条）。一个通过（4.27）R·bφsdBsCK获得- X{T}φZ，trPa dt-a.e.组合不确定性下的好交易套期保值和估值21baa Pa dt-a.e.ρ6ZPa dt<ρ<R·′φtrsdBsR·zsdsr·bφsdBs≡帕 dt对于0<ρ|<1，在参考先验的setP【a，a】和πut（X）+RTt‘φtrsdbs的波动性不确定性下，非交易资产的看跌期权的好交易对冲策略‘φ’几乎肯定不会主导索赔X Pa，更不用说P【a，a】-准肯定了。当波动性不确定性之外还存在漂移不确定性时，封闭式估值和对冲通常不起作用。

事实上，根据上述估值和对冲理论4.2和4.6，首先需要确定候选最坏情况漂移参数θ（然后可能是最坏情况θ∈≡ {x∈ R | x |≤ δ} 由（3.10）给出的2BSDE（4.8）溶液z分量的数量bfθ（ba1/2Z）。然而，考虑到bfθKerσba1/2σt，目前尚不清楚如何在一般情况下（更不用说明确地）做到这一点∈ Rd×nd<n′θbF′θba1/2ZbFba1/2Za∈ S> 0bSbFba1/2Z主要由于波动性不确定性的存在（即市场在每个先验条件下都是完整的，Henceker（σba1/2）是微不足道的），那么漂移不确定性是多余的，因为它对任何θ都没有影响∈Θ，z∈ 注册护士。爱泼斯坦和不确定性（Epstein and Understance）对此进行了更详细的论证。根据marketLyons，1995，超级复制（q.s.）似乎是稳健对冲的自然概念；Nutz和Soner，2012年；Neufeld和Nutz，2013年；Epstein和Ji，2013年；Vorbrink，2014），基于上述原因，假设零漂移是标准的。然而，在不完全市场（即福特<n）的情况下，漂移和波动率的组合不确定性与相关性相关。我们想知道，对于某些示例，是否可以明确地确定最坏情况下的漂移和波动率。为了这个。E、 g.对于甚至不受不确定性影响的非零漂移b，我们承认我们是'aσS，γ，β，ΔρS和L的动力学为dst=St（bdt+dBt）和dLt=LtdBt，P[a，a]-q.S。。bξ英国广播公司/英国广播公司，英国广播公司/英国广播公司trKerσba1/2Spanbηbη, -卑诗省/卑诗省trPP[a，a]QngdPQεdQε（P）E-bξεbη·WPdP，PRε|ε|≤ bcba公司-1/2h类- 英国广播公司1/2B=（bc，bc）·wp和（bc）+（bc）=ba，然后测量值从P变为QεyieldsdLt=LtbatdWεt-b bat（bat）-1+εt（bct）-1.蝙蝠- （bat）1/2dt公司Qε-a.s.，WεQεK- ·+非递增，良好界支撑时间0πu，P（（K-LT）+=supεEQε[（K）-LT）+]εbcba-1/2h类- 英国广播公司1/222 D.BECHERER和K。