随机波动率模型的快速量化

[2017]，变形梯度的封闭式表达式，DΓyk+1, 和三对角Hessian矩阵，DΓyk+1, 可能现在被证明了。为了总结符号，我们编写了依赖进程asUy（xik，yuk，Z）=：Ui，uk+1=mi，ukZ+cuk，其中mi，uk：=by（xik，yuk）√t和cuk：=yuk+ay（yuk）t、 请注意，对于1，i和j指数≤ i、 j≤ Nx，总是指量化器的码字，用于theeX过程，而u和v索引，用于1≤ u、 五≤ 对于Y过程，请始终参考量化器的码字。畸变的梯度由下式给出D（Γyk+1）yvk+1=2NxXi=1NyXu=1HI{Ui，英国+1∈Rvk+1}（yvk+1- Ui，英国+1）iP（bXk=xik，bYk=YK）=2NxXi=1NyXu=1ZUi，英国+1∈Rvk+1（yvk+1- Ui，uk+1）dP（Z<Z）P（bXk=xik，bYk=yuk），（13）其中Rvk+1是与码字yvk+1相关的区域。要重写高斯随机变量的积分边界，请考虑Ui，uk+1∈ Rvk+1在码字yvk+1的区域边界之间插入Ui，uk+1。这意味着SRV-k+1<Ui，英国+1≤ rv+k+1和rv±k+1：=（yv±1k+1+yvk+1）和r1-k+1=-∞ 和rNy+k+1=∞ 根据定义。因此，Ui，uk+1∈ Rvk+1=ri、u、v-k+1<Z≤ 英国密歇根州的ri、u、v+k+1≥ 0ri、u、v-k+1>Z≥ ri，u，v+k+1对于mi，uk<0，其中ri，u，v±k+1：=rv±k+1- 英国库克米（14）被定义为标准化区域边界。

与独立过程的区域边界类似，请参见（4），它指的是从上一时间步的码字xikand YUK查看时，码字yvk+1的区域边界。设fZand fzb分别为标准正态随机变量Z的PDF和CDF，将mza定义为Z的第一个较低部分期望值，MZ（Z）：=EZI{Z<Z}.然后，通过直接计算（13）中的积分，时间步长k+1的畸变梯度的每个元素如下所示：D（Γyk+1）yvk+1=2NxXi=1NyXu=1h（yvk+1- cuk）sgn（mi，英国）（FZ（ri，u，v+k+1）- FZ（ri、u、v-k+1））-|mi，英国|（MZ（ri，u，v+k+1）- MZ（ri、u、v-k+1）iP（bXk=xik，bYk=YK）。（15） 三对角Hessian矩阵主对角线的Ny元素，DΓyk+1, 由以下人员提供D（Γyk+1）（yvk+1）=NxXi=1NyXu=12 sgn（mi，英国）（FZ（ri，u，v+k+1）- FZ（ri、u、v-k+1））+2 | mi，英国| fZ（ri，u，v+k+1）（yvk+1- yv+1k+1）（16）+2 | mi，英国| fZ（ri，u，v-k+1）（yv-1k+1- yvk+1）P（bXk=xik，bYk=YK），带（Ny- 1） -超对角线和次对角线的元素如下所示：D（Γyk+1）yvk+1yv+1k+1=NxXi=1NyXu=12 | mi，英国| fZ（ri，u，v+k+1）（yvk+1- yv+1k+1）P（bXk=xik，bYk=YK）（17）和D（Γyk+1）yvk+1yv公司-1k+1=NxXi=1NyXu=12 | mi，英国| fZ（ri，u，v-k+1）（yv-1k+1- yvk+1）P（bXk=xik，bYk=yuk），（18）。上述公式类似于标准RMQ情况下推导的公式，对独立进程的码字进行加法求和。因此，我们又有了ari，u，v+k+1ri，u，v-k+1ri，j-k+1ri，j+k+1Γxk+1区域（xjk+1，yvk+1）图1：指数i和u固定的二元高斯分布的标准化区域。一维矢量量化问题，但这次要量化的边缘分布由使用联合概率加权的欧拉更新的总和组成。因此，我们将RMQ算法的这种变体称为联合RMQ算法（JRMQ）。

这将允许我们在文本中将其与第2节中描述的标准RMQ算法区分开来。当将上述公式与Callegaro等人[2015b]提出的方法进行比较时（见他们论文的附录D），可以观察到我们的方程有一个较小的公式，因为我们不需要在时间步k+1的独立过程上设置条件。这意味着这里给出的梯度和Hessian表达式是一个更易于实现的数量级。4计算联合概率到目前为止，我们假设（15）至（18）中要求的联合概率是可用的。在本节中，我们将展示如何准确计算这些概率，并使用计算效率较高的近似值。为了便于高效实施，我们还在第5.1节中提供了系统的矩阵公式。从（7）和（8）中可以明显看出，在Xkandeyk实现的条件下，Xk+1和Ek+1的联合概率分布是二元高斯分布。我们定义k+1：=ρZxk+1+p1- ρZ⊥k+1，使得eYk+1=U（eXk，eYk，Zyk+1）。在形式fexk+1，eYk+1（x，y）=ZRP（Ux（r，Zxk+1）中考虑xk+1和yk+1的联合概率≤ x、 Uy（r、s、Zyk+1）≤ y） dP（eXk≤ r、 eYk公司≤ s）≈NxXi=1NyXu=1P（Ux（xik，Zxk+1）≤ x、 Uy（xik、YK、Zyk+1）≤ y） P（bXk=xik，bYk=yuk）（19）=NxXi=1NyXu=1PZxk+1≤x个- cikmik，Zyk+1≤y- 库克米，英国！P（bXk=xik，bYk=YK）。（19）中的近似值是通过将连续且未知的Xkandeyk分布替换为Xkandbyk的离散且已知的量化分布而形成的，如标准RMQ情况。然后给出必要的联合概率p（eXk+1=xjk+1，eYk+1=yvk+1）=NxXi=1NyXu=1“Zri，u，v+kri，u，v-kZri，j+kri，j-kφ（x，y，ρ）dx dy#P（bXk=xik，bYk=yuk），（20），其中φ（x，y，ρ）是由ρ相关的两个标准高斯随机变量的二元高斯密度函数。

上面的二重积分是指由Γxk+1和Γyk+1的标准化区域分隔的矩形的概率，见图1。因此，对于each1≤ j≤ Nxand 1≤ v≤ Ny，P（eXk+1=xjk+1，eYk+1=yvk+1）=NxXi=1NyXu=1hΦri，j+k，ri，u，v+k，ρ- Φri，j-k、 ri，u，v+k，ρ-Φri，j+k，ri，u，v-k、 ρ+ Φri，j-k、 ri、u、v-k、 ρi×P（bXk=xik，bYk=yuk），（21），其中Φ（x，y，ρ）是标准的二元高斯累积分布函数，在x和y处计算相关ρ。给定时间k处的量化器，则（21）中的联合概率是精确的。然而，它需要评估二元高斯分布函数。虽然大多数编程语言都能高效地实现此函数，但它的计算成本明显高于单变量分布。通过使用求积来近似（20）的内积分，只需调用一元高斯CDF即可近似联合概率。虽然也有其他方法，但replacingeXk+1及其量化版本bXk+1使用了一个简单的求积规则，它在整个时间间隔内保持不变。然后（20）变为（eXk+1=xjk+1，eYk+1=yvk+1）≈NxXi=1NyXu=1“Zri，u，v+kri，u，v-kφy、 ρxjk+1-锡克米克dy#P（bXk+1=xjk+1）P（bXk=xik，bYk=yuk）=NxXi=1NyXu=1FZ公司ri、u、v+k- ρxjk+1-cikmikp1- ρ- FZ公司ri、u、v-k- ρxjk+1-cikmikp1- ρ×P（bXk+1=xjk+1）P（bXk=xik，bYk=yuk），（22），其中φ（y，ρ| x）是条件二元高斯密度。值得注意的是，这种联合概率的近似值，尽管推导方式不同，但与Callegaro等人的近似值相同【2015b】。该近似的计算效率在第6节和第7.5节实现算法中得到了证明。在本节中，给出了JRMQ算法的简明矩阵公式，类似于McWalter等人提供的公式。

【2017】针对标准RMQ案例。5.1矩阵公式在本节中，索引1≤ 我≤ nx表示时间步长k和1≤ j≤ nx指的是时间步长k+1，两者都和theeX过程相关。对于EY过程，索引1≤ u≤ Ny指时间步长k和索引1≤ v≤ Ny表示时间步长k+1。为了初始化JRMQ算法，将标准RMQ算法应用于实验过程，并在每个时间步0产生量化器Γxkan和相关概率pxkat≤k≤ K、 以下三个变量被初始化[Γy]=y，[px]=1，[J]1,1=1，分别是y过程的时间零量化器、关联概率和边缘概率。标准的一维矢量量化算法（基于正态分布）用于产生Γ和py，这是第一个时间步骤中Y过程的量化器和相关概率向量。然后，可以使用（27）或（30）计算时间步1处的相应联合概率，其中k=0，Nx=Ny=1。我们现在描述从时间步长k到k+1的递归步骤的实现。考虑独立过程和相依过程的时间步长k量化器[Γxk]i=xikand[Γyk]u=yuk，以及相关的联合概率矩阵Jk，大小为Nx×Ny，[Jk]i，u=P（bXk=xik，bYk=yuk），所有这些都假定已知（已计算）。jk的行用J（i）k表示。相依过程和相关概率的时间步长k+1量化器计算如下：除了对Γyk+1的初始猜测（被认为是Γyk）之外，我们根据上面列出的时间步长k量初始化Ny元素列向量[ck]u=cukan和Ny元素列向量集，由i，[mk]（i）u=mi，uk索引。对于Newton-Raphsonalgorithm的每次迭代，计算三组由i索引的矩阵。

前两组的矩阵大小为Ny×Ny，由[Pk+1]（i）u，v=P（bYk+1=yvk+1 | bXk=xik，bYk=yuk），=FZ（ri，u，v+k+1）- FZ（ri、u、v-k+1）和[Mk+1]（i）u，v=MZ（ri，u，v+k+1）- MZ（ri、u、v-k+1），而第三个具有大小为Ny×（Ny）的矩阵- 1） ，由[fk+1]（i）u，v=fZ（ri，u，v+k+1）给出。上述矩阵允许以简化形式写入Γyk+1失真的梯度和Hessian。Ny元素梯度向量为D（Γyk+1）>=NxXi=12J（i）k（（（Γyk+1Ny）>- ckNy）o P（i）k+1- （| m（i）k | 1Ny）o M（i）k+1），（23）式中o 是Hadamard（或元素）乘积，1zi定义为1的长度z行向量。通过指定列向量[Γyk+1]v=yv+1k+1- yvk+1，（24）带1≤ v≤ （纽约州- 1） ，纽约- 1） -元素o fff-三对角Hessian矩阵的对角线，由Ho fff=NxXi=1给出-J（i）k（（| m（i）k|o-1纽约-（1）o f（i）k+1o (（25）和Ny元素主对角线byhmain=NxXi=12J（i）kP（i）k+1+[ho fff | 0]+[ho fff | 0]。（26）这里，o - 1表示元素反向。方程（23）至（26）提供了方程（15）至（18）的矩阵表示，并对应于单因子RMQ情况下的矩阵实现。这允许直接实现（12）中描述的Newton-Raphson算法，最终得到Γyk+1。

还需要计算必要的概率。联合概率矩阵的元素，Jk+1，在时间步k+1，使用双变量高斯分布计算为[Jk+1]j，v=NxXi=1NyXu=1P（bXk+1=xjk+1，bYk+1=yvk+1 | bXk=xik，bYk=yuk）P（bXk=xik，bYk=yuk）=NxXi=1NyXu=1Φ（ri，j+k，ri，u，v+k，ρ）- Φ（ri，j-k、 ri，u，v+k，ρ）-Φ（ri，j+k，ri，u，v-k、 ρ）+Φ（ri，j-k、 ri、u、v-k、 ρ）i，u，（27），与新量化器相关的概率由Pyk+1=NxXj=1J（j）k+1给出。f（28）最后，为了计算时间步长k+1的转移概率矩阵，有必要使用与新码字集k+1相关的最终区域来计算Pk+1矩阵。然后[Pyk+1]u，v=P（bYk=yuk，bYk+1=yvk+1）P（bYk=yuk）=PNxi=1P（bYk+1=yvk+1 | bXk=xik，bYk=yuk）P（bXk=xik，bYk=yuk）P（bYk=yuk）=PNxi 1[Pk+1]（i）u，v[Jk]i，u[Pyk]u。（29）使用计算效率近似而不是双变量高斯分布来计算联合概率，（27）是替换为[Jk+1]j，v=NxXi=1NyXu=1FZ公司ri、u、v+k- ρxjk+1-cikmikp1- ρ- FZ公司ri、u、v-k- ρxjk+1-cikmikp1- ρ时间步长k+1量化器概率和转移概率矩阵（28）和（29）现在根据（30）计算。5.2零边界行为在标准RMQ算法中，为了正确建模基础过程，有必要在零处实现反射或吸收边界。依赖过程和独立过程都可以通过这种方式进行修改，但一旦调整了任一过程的分布，就很难使用二元高斯分布计算联合概率。因此，使用联合概率近似（22）。独立过程在随机波动率设置中，独立过程表示相关过程的随机波动率或方差。

这意味着它必须保持严格的正值，因此只需要考虑反射边界。在蒙特卡罗模拟中，反射边界由完全截断的Euler方案建模，Lord等人【2010】中显示为随机波动率模型的最小偏差方案。McWalter等人【2017】详细讨论了在标准RMQ案例中实现反射边界，并以这种方式修改独立过程，使JRMQ算法保持不变。依赖过程由于依赖过程通常表示资产价格或利率，取决于应用程序，零的反射或吸收边界可能是合适的。当建模的过程是资产价格时，吸收边界允许破产的可能性，而反射边界是正确建模利率所必需的。修改算法以考虑零处的吸收边界是直接的，不会产生额外的计算负担。为了确保过程的非负性，量化器在时间k处隐含的边际分布域小于零ifZ<-这意味着，在确保下一时间步的正码字的要求下，最左侧的区域边界必须设置为tori，u，1-k+1=-库克米，英国，1≤ 我≤ Nxand 1≤ u≤ 纽约。这相当于设置r1-k+1=0，因此截断域，参见（14）。在每个时间步截断隐含边际分布的域将导致概率和不等于1的量化器。这是因为现在在零处有一个有效的额外码字，概率已经累积。

在算法完成时，量化器可以用这个额外的码字及其相关概率进行扩充。要在零处建模反射边界，首先必须修改每个时间步的隐含边缘分布域，以便只能获得正码字。这是通过如上所述更改最左侧的区域边界来实现的。其次，（15）至（18）中出现的分布、密度和较低部分期望函数必须由其反映的对应函数fZi，uk+1（y）=fZ（y）+fZ（2'yi，uk代替- y） ，FZi，英国+1（y）=FZ（y）- FZ（2’yi，英国- y） ，请注意，截断的Euler格式模型反映了边界行为。0.5 1 1.5Moneyness00.010.020.030.040.050.060.070.08绝对错误Stein-Stein-European PutJoint RMQBivariateCallegaroMCMC 3SDev Bound0.5 1 1 1.5Moneyness00.020.040.060.080.1绝对错误Stein-European PutJoint RMQMCMC 3SDev Bound图2：Stein-Stein和Heston模型下的欧洲看跌定价错误。andMZi，uk+1（y）=MZ（y）+MZ（2'yi，uk- y）- 2’yi，ukFZ（2’yi，uk- y） ，对于y∈ [(R)yi，英国，∞), 其中“yi，uk=-库克米，英国。请注意，这些函数有一个i和u下标，表示它们在（15）到（18）的总和中对于每个项都是不同的。6欧洲期权定价在本节中，我们考虑了Stein和Stein【1991】、Heston【1993】和SABR【Hagan等人，2002】模型下的欧洲期权定价。Stein-Stein和Heston模型都适用于使用傅里叶变换技术的半分析定价，而Black和Bachelier隐含波动率在ABR模型下都存在分析近似。实施的傅立叶定价技术使用Albrecher等人的特征函数小陷阱公式。

[2006]对于Heston模型，而Sch¨obel和Zhu[1999]的特征函数公式用于Stein-Stein模型。SABR模型的隐含波动率近似值是Hagan et al.（2016）的最新结果。Stein-Stein示例用于说明与Callegaro等人[2015b]的RMQ算法相比，新算法的计算效率优势，而Heston示例用于强调正确建模独立过程零边界行为的有效性。对于SABR模型，选择了传统方法难以处理的参数集，说明了JRMQ算法的灵活性。所有仿真均使用MATLAB 2016b在配备2.00 GHz Inteli-3处理器和4 GB RAM的计算机上执行。本节中的所有蒙特卡罗模拟都使用了500000条路径，每条路径有120个时间步。50 100 150 200 250 300资产价格-0.500.511.522.533.54差异10-2Stein-Stein CDF50 100 150 200 250 300资产价格-0.500.511.522.533.54差异10-2Heston CDF图3：Stein-Steinand-Heston模型中依赖过程的边际分布误差。6.1 Stein和Stein模型Stein-Stein模型的SDE可用（5）和（6）asax（Xt）=κ（θ）表示- Xt），bx（Xt）=σ，ay（Yt）=rYt，by（Xt，Yt）=XtYt，在考虑的示例中，选择的参数为κ=4，θ=0.2，σ=0.1，r=0.0953，ρ=-0.5，x=0.2，y=100，期权到期日设定为一年。这些参数来自Sch¨obel和Zhu[1999]的表1。图2中的左图显示了四种算法的定价错误。第一个是本文提出的JRMQ算法，使用（22）中的联合概率近似，第二个是使用二元高斯分布的JRMQ算法，第三个是Callegaro等人提出的随机波动率RMQ算法。