随机波动率模型的快速量化

【2015b】第四个是二维标准欧拉蒙特卡罗模拟。对于RMQ算法，使用K=12个时间步，对于独立过程，每一步Nx=30个码字，对于依赖过程，Ny=60个码字。我们通过改变固定初始资产价格的执行来考虑可变货币。当使用概率近似时，JRMQ算法花费了3.8秒为所有罢工定价，当使用二元高斯分布时，花费了77.2秒。Callegaro等人[2015b]的算法花费了26.3秒为所有罢工定价，蒙特卡罗模拟每次罢工花费了6.6秒。当使用近似联合概率时，本例中JRMQ算法的计算时间比Callegaro等人[2015b]的算法快约7倍。尽管计算时间大幅减少，但JRMQ算法的价格仍具有相同的准确性。除三点外，这两种算法的价格都在显著更高分辨率蒙特卡罗模拟的三个标准偏差范围内。使用双变量高斯分布代替近似值，可显著降低平均0.30波动性2000.2Stein-Stein-1150月资产价格110-3波动性1000.15020.30波动性2000.2Stein-Stein-4150月资产价格10-31000.15020.30波动性2000.2Stein-Stein-8150月资产价格110-3波动性1000.15020.30波动性2000.2Stein-Stein-12150月资产价格1概率10-31000.1502图4:Stein-Stein模型近似联合概率的演变。所考虑的货币范围内的错误，但这是以大量增加计算时间为代价的。

因此，其余应用程序仅使用近似值。由于Stein-Stein模型具有闭合形式的特征函数，因此可以计算相依过程的边际分布。此边际分布与使用JRMQ算法计算的边际分布之间的差异如图3中的左图所示。曲线在最初的时候是蓝色的，当我们走向成熟时，它会变成绿色。最初，最大误差在4%以下，随着时间的推移，逐渐衰减到1%以下。这些误差与McWalter等人【2017年】所述的一维Euler RMQcase的误差一致。图4说明了近似联合概率随时间的演变。注意，这些是与量化器相关联的联合概率，因此网格是不均匀的；资产价格轴上有60个点，波动率轴上有30个点。0.50.400.3差异250heston-月10.2200资产价格150210-3概率0.110005040.50.400.3差异250heston-月40.2200资产价格1502概率10-30.110005040.50.400.3差异250heston-月80.2200资产价格150210-3概率0.110005040.50.400.3差异250heston-月120.2200资产价格150210-3概率0.11000504图5:赫斯顿模型。6.2赫斯顿模型赫斯顿模型的SDE可用（5）和（6）的符号表示，asax（Xt）=κ（θ- Xt），bx（Xt）=σpXt，ay（Yt）=rYt，by（Xt，Yt）=pXtYt，在考虑的示例中，选择的参数为κ=2，θ=0.09，σ=0.4，r=0.05，ρ=-0.3，x=0.09，y=100，期权到期日设定为一年。这些参数基于Lord等人表3中的SV-I参数集。

【2010年】，σ从1调整为0.4，以确保伐木条件满足平方根方差过程。图2中的右图显示了与二维完全截断对数Euler方案相比，JRMQ的定价误差，该方案被认为是Lord等人[2010]提出的随机波动率模型的最小偏差蒙特卡罗方案。对于JRMQ算法，两个进程的每一步都使用K=12个时间步，Nx=Ny=30个码字。JRMQ算法为所有攻击定价需要1.4秒，而蒙特卡罗模拟为单个攻击定价需要7.8秒。0.5 1 1.5 2货币性2.533.544.555.56隐含波动性10-3SABR隐含波动性联合RMQHaganMC0.5 1.5 2货币性0.511.522.53绝对差异10-5SABR欧洲调用联合RMQMCMC 3开发边界图6：标准SABR模型的价格和隐含Bachelier波动性，使用适用于利率的参数集。在计算独立方差过程的标准RMQ算法时，使用了反映零边界。与高分辨率蒙特卡罗模拟相比，尽管网格很粗糙，但JRMQ算法的性能非常好。尽管Feller条件满足，但由于时间的离散化，方差过程变为负值的欧拉近似概率为零。这在RMQ算法中通过使用反射零边界来处理。以这种方式对边界建模可以提高定价的准确性，尤其是与蒙特卡罗模拟相比。图3中的右图显示了RMQ算法所暗示的从属过程的边缘分布中的误差，与使用傅立叶变换技术从特征函数获得的分布相比。最初误差略高于2%，随着时间的推移，误差降至1%以下。

图5说明了资产价格和方差过程的联合概率的演变。6.3 SABR模型标准SABR模型的SDE可以用（5）和（6）的符号表示，asax（Xt）=0，bx（Xt）=νXt，ay（Yt）=0，by（Xt，Yt）=XtYβt，带0≤ β≤ SABR模型流行的一个部分原因是，可使用解析近似法计算隐含的可用性【Hagan等人，2002年】。进一步的工作扩展了原始公式（例如，见Obl\'oj【2007】和Paulot【2015】），0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2货币性6.877.27.47.67.88隐含波动性10-3 Bachelier SABR隐含波动性联合RMQHaganMC0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1 1 1.2货币性0.511.522.53绝对差异10-5 Bachelier SABR欧洲CallJoint RMQMCMC 3SDev界限图7：Bachelier SABR模型的隐含波动性和定价错误。根据Hagan等人[2016]给出的最新和最准确的近似值，可以对波动率函数进行更一般的规定。在本节中，我们将考虑利率建模中可能出现的两个极端参数设置示例的欧洲选项。在图6中，选择的参数为β=0.7，ν=0.3，ρ=-0.3，x=20%，andy=0.5%，期权到期日设定为一年。该参数集是Chen等人[2012]的测试案例III，具体选择该参数是为了适合固定的incomemarket，并说明零边界行为的正确处理。参考价格是隐含波动率公式和Hagan等人【2016】的边界修正。对于JRMQ算法，两个进程的每一步都使用K=24个时间步，Nx=Ny=30个码字。为dependentprocess实现了反射零边界。

蒙特卡罗模拟采用完全截断的Euler离散格式。图6左图中的三个标准偏差范围表明，MonteCarlo模拟没有收敛到与Hagan et al.（2016）impliedvolatility（此处用作参考价格）相同的结果。在他们的讨论中，Chen等人【2012】指出，这对于传统蒙特卡罗模拟来说是一个具有挑战性的参数集。除了单点之外，JRMQ算法在整个打击范围内比蒙特卡罗模拟更精确。计算速度也显著加快。JRMQ算法需要5.3秒来为所有攻击定价，而蒙特卡罗模拟每次攻击需要13.4秒，这是因为时间步长要大得多。图7显示了RMQ算法、Hagan隐含波动率近似和anEuler Monte Carlo模拟的欧洲看涨期权价格和相应的隐含Bachelier波动率。所选参数为β=0，ν=0.3691，ρ=-0.0286，X=0.68%，Y=4.35%，期权到期日设定为一年。此参数集是Korn and Tang【2013】的测试用例I，它描述了一个具有挑战性的模拟00.5400110-3概率1.23001.5SABR-1个月资产价格1波动性2200.80.61000.40.200.54001概率10-31.23001.5SABR-4个月资产价格1波动性2200.80.61000.40.200.5400110-3概率1.23001.5SABR-8个月资产价格1波动性2200.80.61000.40.20140010-3概率21.2300SABR-第12个月资产价格1波动性32000.80.61000.40.2图8:SABR模型近似联合概率的时间演化。初始远期利率较低的环境，非常不稳定。对于JRMQ算法，使用K=24个时间步长，对于独立进程，每一步Nx=10个码字，对于依赖进程，Ny=90个码字。

JRMQ算法对所有攻击进行定价需要5.5秒，而蒙特卡罗模拟每次攻击需要5.6秒。尽管存在极端参数集，但除两个外，所有JRMQ价格都在更高分辨率蒙特卡罗模拟的三个标准偏差范围内。7奇异期权定价RMQ算法的一个优点，类似于二项式和三项式树方法，是能够为多个期权定价，这些期权来自于一次运行产生的相同网格。本节通过使用JRMQ算法对欧洲、百慕大和障碍期权以及波动性走廊掉期进行单次定价来证明这一点。本节中所有示例的SABR模型参数为β=0.9，ν=0.4，ρ=-0.3，X=0.4，Y=Sexp（rT），其中Y现在用S=100，r=0.05建模T-权益资产的远期价格，到期日T等于一年。JRMQ0.9 0.95 1 1.05 1.1 1.15 1.2Moneynes00.010.020.030.040.050.060.070.08绝对差异ABR-欧洲PutJoint RMQMCMC 3dev Bound0.9 0.95 1 1 1.05 1 1 1.15 1.2Moneynes246810121416182022价格SABR-百慕大PutJoint RMQMC图9：SABR模型的欧洲和百慕大看跌期权价格。算法使用K=24个时间步，对于波动性过程，Nx=30个码字，对于远期价格过程，ny=60个码字。蒙特卡罗模拟是使用一个具有50万条路径和120个时间步的完全截断Euler格式执行的。为了生成量化网格，JRMQ算法为这些参数花费了7.8秒。相比之下，使用生成的网格生成衍生产品价格的计算成本可以忽略不计。

图8说明了资产远期价格的近似联合概率和一年中的波动性的时间演变。图9中的左图说明了使用JRMQ的欧洲看跌期权价格与使用Hagan等人【2016】的隐含波动率公式的价格之间的差异。右图显示了使用JRMQ和最小二乘蒙特卡罗模拟每月行使机会的百慕大看跌期权的价格。对于每次罢工，使用蒙特卡罗模拟计算期权价格，欧洲期权约需14.5秒，百慕大期权约需16.9秒。McWalter等人【2017年】概述了使用量化网格为百慕大期权定价的高级算法。图10中的左图显示了离散向上和向外看跌期权的JRMQ和蒙特卡罗价格，每月进行监控，其中屏障水平表示为货币罢工时的倍数。右图显示了一系列波动率修正值的价格。波动性走廊掉期的收益由TZTXZI{L<Sz<H}dz给出，（31），其中St=Ytexp(-r（T- t） ）是我们确定性利率框架中的资产价格，L和H指定了波动性累积的资产价格走廊。Callegaro等人提出了在随机波动率设置下在量化网格上定价波动率走廊掉期的算法。

[2015b]并使用左端近似值1 1.05 1.1 1.15 1.2基准面33.544.555.566.577.5价格br-离散U＆O PutRMQMC0.05 0.1 0.15 0.2Corridor Spread0.10.150.20.250.30.35价格SABR-波动率修正联合RMQinterPolatedMC图10：SABR模型中离散向上和向外看跌期权和波动率走廊掉期的价格比较。对于（31）中的积分，x轴上的走廊范围表示初始资产价格值周围的百分比界限，即走廊的下限由L=S（1）给出- s） 上限为H=s（1+s），其中s是道路扩展。蒙特卡罗模拟和RMQ算法产生的价格之间的垂直差距部分是由于蒙特卡罗模拟在使用简单求积近似（31）时的精度提高，这是由于使用了大量的时间步长。对于单个屏障值或单个走廊排列，蒙特卡罗模拟大约需要15.2秒和16.3秒来为这些衍生产品定价。JRMQ波动性走廊掉期价格的准确性可以提高，而无需使用额外的时间步。通过在每个区间内插入资产价格和波动率，可提高积分（31）的近似精度，见附录A。本工作中，图10.8结论的右图显示了该插入JRMQ价格的改进精度，我们为随机波动率模型提出了一种联合递归边际量化算法，与该领域的最新发展相比，该算法具有显著的计算优势。中心思想是在执行量化时，在二维Euler格式中保留并有效撤销Cholesky分解。

我们展示了如何使用计算效率较高的近似值精确计算连接概率。为高效实施，提供了简明的矩阵公式。通过对具有路径依赖、早期练习边界和奇异特征的期权定价，证明了该算法的鲁棒性。适用于利率和公平环境的参数集用于证明边界行为的正确处理。与传统的蒙特卡洛方法相比，JRMQ被证明是准确和快速的。这将允许根据Callegaro等人【2015a】的规定，对大型衍生书籍进行校准，从仅考虑局部波动率模型扩展到更灵活的随机波动率模型，同时保持原始递归边际量化算法的效率。参考SH。Albrecher、P.Mayer、W.Schoutens和J.Tistaert。小赫斯顿陷阱。KU LeuvenSection of Statistics Technical Report，06（05），2006年。G、 Bormetti、G.Callegaro、G.Livieri和A.Pallavicini。奇异期权定价的反向蒙特卡罗方法。2016年。可从SSRN 2686115获取。G、 Callegaro、L.Fiorin和M.Grasselli。局部波动率模型中的定价和校准采用快速量化。SSRN 24958292014提供。G、 Callegaro、L.Fiorin和M.Grasselli。局部波动的量化校准。RiskMagazine，28:62–672015a。G、 Callegaro、L.Fiorin和M.Grasselli。随机波动模型中的量化定价。可从SSRN 26697342015B获取。B、 Chen、C.Oosterlee和J.van der Weide。SABRstochastic波动率模型的有效无偏模拟方案。《国际理论与应用金融杂志》，第15（2）期，2012年。P、 S·哈根、D·库马尔、A·S·莱斯尼夫斯基和D·E·伍德沃德。管理微笑风险。《威尔莫特之最》，1:249–2962002。P、 S.Hagan、D.Kumar、A.S.Lesniewski和D.E。

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