随机波动率模型的快速量化

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英文标题：
《Fast Quantization of Stochastic Volatility Models》
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作者：
Ralph Rudd, Thomas A. McWalter, Joerg Kienitz, Eckhard Platen
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最新提交年份：
2017
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英文摘要：
  Recursive Marginal Quantization (RMQ) allows fast approximation of solutions to stochastic differential equations in one-dimension. When applied to two factor models, RMQ is inefficient due to the fact that the optimization problem is usually performed using stochastic methods, e.g., Lloyd\'s algorithm or Competitive Learning Vector Quantization. In this paper, a new algorithm is proposed that allows RMQ to be applied to two-factor stochastic volatility models, which retains the efficiency of gradient-descent techniques. By margining over potential realizations of the volatility process, a significant decrease in computational effort is achieved when compared to current quantization methods. Additionally, techniques for modelling the correct zero-boundary behaviour are used to allow the new algorithm to be applied to cases where the previous methods would fail. The proposed technique is illustrated for European options on the Heston and Stein-Stein models, while a more thorough application is considered in the case of the popular SABR model, where various exotic options are also priced.
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中文摘要：
递归边际量化（RMQ）允许快速逼近一维随机微分方程的解。当应用于双因素模型时，RMQ效率低下，因为优化问题通常使用随机方法执行，例如Lloyd算法或竞争学习矢量量化。本文提出了一种新的算法，将RMQ应用于双因素随机波动率模型，保留了梯度下降技术的效率。与当前的量化方法相比，通过对波动过程的潜在实现进行微调，计算工作量显著减少。此外，还使用了建模正确零边界行为的技术，以便将新算法应用于先前方法可能失败的情况。所提议的技术在Heston和Stein-Stein模型上对欧洲期权进行了说明，而在流行的SABR模型中考虑了更全面的应用，其中还对各种奇异期权进行了定价。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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PDF下载：
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关键词：波动率模型 波动率 Mathematical Optimization Quantitative

随机波动率模型的快速量化*1,2，J¨org Kienitz1,3和Eckhard Plate1,4开普敦大学精算科学与非洲量化金融与风险研究合作部，约翰内斯堡大学金融与投资管理系，约翰内斯堡大学数学与自然科学学院，Bergische Universit–位于WuppertalFinance学科组和理工大学数学与物理科学学院，2017年4月24日Sydney，AbstractRecursive Marginal Quantization（RMQ）允许快速逼近一维随机微分方程的解。当应用于双因素模型时，RMQ是非常有效的，因为优化问题通常使用随机方法执行，例如Lloyd算法或竞争学习矢量量化。本文提出了一种新的算法，将RMQ应用于双因素随机波动率模型，保留了梯度下降技术的有效性。与当前的量化方法相比，通过对波动性过程的潜在实现进行微调，计算效率显著降低。

此外，还使用了建模正确零边界行为的技术，以便将新算法应用于先前方法可能失败的情况。所提议的技术在Heston和Stein Steinmodel上的欧洲期权中进行了说明，而在流行的SABRmodel中考虑了更全面的应用，其中还对各种奇异期权进行了定价。1简介量化是一种有损压缩技术，已应用于数学金融领域的许多挑战性问题，包括具有路径依赖和早期执行的定价期权【Pag\'es和Wilbertz，2009；Sagna，2011；Bormetti等人，2016】、随机控制问题【Pag\'es等人，2004】和非线性滤波【Pag\'es和Pham，2005】。Pag\'es和Sagna【2015】引入了一种称为递归边际量化（RMQ）的技术，该技术通过对过程的Euler近似进行连续量化来近似随机微分方程的边际分布。McWalter等人【2017年】将其扩展到了更高阶的方案。RMQ可以应用于任何一维SDE，即使在过渡密度未知的情况下，并且已被Callegaro et al.（2014，2015a）用于有效校准局部波动性模型。*对应关系：tom@analytical.co.zaApplying双因素SDE的标准RMQ技术通常需要使用随机数值方法，如随机劳埃德方法或随机梯度下降方法，如竞争学习矢量量化（这些方法的概述见Pag\'es[2014]）。这些技术的计算成本令人望而却步。为了克服这种数值效率，Callegaro等人【2015b】利用条件推导出了一种改进的RMQ算法，该算法可应用于随机波动率模型，同时保留了基本的牛顿-拉斐逊技术。

这是通过对波动过程执行一维RMQ，然后对结果量化过程的实现进行调节来实现的。我们推导了一种新的随机波动率设定的RMQ算法，表明当失真最小化时，这两个过程之间的相关性可以忽略。我们将这种创新称为联合递归边际量化（JRMQ）算法。它可以提高准确性和效率。此外，它允许对底层过程的正确零边界行为进行建模。现在，我们对本文进行概述。第2节概述了一维情况下的RMQ算法。第3节推导了随机波动率设置的JRMQ算法，其主要结果包含在命题3.1中。第4节讨论了如何有效地计算新算法所需的联合概率。在第5节中，提供了一个简明的矩阵公式，以便于实施。第6节根据Stein-Stein、Heston和SABR随机波动率模型对欧洲期权进行定价。在第7节中，由SABR模型的JRMQ算法生成的单一网格用于对百慕大和障碍期权以及波动性走廊掉期进行定价。第8节结束。2单因素模型的量化Let X是一个连续的随机变量，取R中的值，并在概率空间中定义(Ohm, F，P）。我们寻求该随机变量的近似值，表示为dbx，取一组有限基数Γx中的值，与原始值的最小预期平方欧氏差。构造这种近似称为矢量量化，其中bx称为X的量化版本，集合ΓX={X，…，xN}称为基数为N的量化器。

Γxare的元素称为码字。量子化的主要用途是有效逼近随机变量X的泛函期望值，使用inge[H（X）]=ZRH（X）dP（X≤ x）≈NXi=1H（xi）PbX=xi,其中bx表示X的量化版本。我们现在简要描述矢量量化的数学。考虑最近邻投影算子πΓx:R 7→ Γx，givenbyπΓx（x）：=xi∈ ΓxkX公司- xik公司≤ kX公司- xjk对于所有j=1，N其中等式仅适用于i<j.X的量化版本根据该投影算子asbX来定义：=πΓX（X）。区域Ri（Γx），对于1≤ 我≤ N、 定义为asRi（Γx）：=z∈ RπΓx（z）=xi,并且是通过投影算子映射到码字xithr的R的子集。预期的平方欧几里德误差（称为失真）由byD（Γx）=EhkX给出-bXki=ZRkx- πΓx（x）kdP（x≤ x） =NXi=1ZRi（Γx）kx- xikdP（X≤ x） ，是为了获得最佳量化器而必须最小化的函数。我们在符号x中表示随机变量x的连续分布域，而xi表示得到的量化器的离散码字，Γx，表示1≤ 我≤ N当可以以闭合形式计算畸变的梯度和Hessian时，可以使用simpleNewton-Raphson算法来最小化畸变，（n+1）Γx=（n）Γx-h类D（n） Γx我-1.D（n） Γx.此处，0≤ n<nmaxis算法的迭代指数，[（n）Γx]i=xi，对于1≤ 我≤ N、 是包含码字的列向量。变形的梯度向量和Hessian矩阵为D（n） Γx和D（n） Γx, 分别地注意，失真函数按元素方向应用于列向量（n）Γx，（0）Γxis是量化器的初始猜测。McWalter等人。

【2017】提供一维情况下梯度向量和Hessian矩阵的显式表达式，以及高效的矩阵公式以供实施。为了扩展矢量量化用于SDE的适用性，Pag\'es和Sagna【2015】提出了SDE的Euler方案的递归边际量化。为了确定本文其余部分中使用的符号，我们简要说明了这个问题。考虑一维连续时间随机微分方程dxt=ax（Xt）dt+bx（Xt）dWxt，X=X，定义于(Ohm, F，（Ft）t∈[0，T]，P），满足通常条件的过滤概率空间。在均匀间隔的时间网格上，X的离散时间Euler近似X由eXk+1=eXk+ax（eXk）给出t+bx（eXk）√tZxk+1=：Ux（eXk，Zxk+1），（1）表示0≤ k<k，其中t=t/K，Zxk+1~ N（0，1）是独立的标准高斯随机变量。连续时间过程X的最佳量化器，在每个固定时间tk+1=（k+1）t、 应使用畸变率计算kXtk+1- πΓx（Xtk+1）k.然而，这在一般情况下是不可能的，因为Xtk+1的分布未知。相反，我们考虑根据Euler近似值Xk+1计算的畸变。设Γxkbe为x的量化器，在时间步长k处为0≤ k≤ K、 为了与上述问题的具体情况保持一致，初始时间t的量化器由Γx={x}给出。我们将所有其他时间步中量化器的基数确定为Nx，但这可能会有所放松（例如，参见关于优化调度的讨论inPag\'es和Sagna【2015】）。由于Euler更新是正态分布的，第一步的量化器只是正态分布的矢量量化。

然后，每个连续步骤的量化器失真由ED给出Γxk+1= 呃eXk+1- πΓx（eXk+1）i=EhEheXk+1-bXk+1eXkii=EhEh用户体验（eXk、Zxk+1）-bXk+1eXkii=ZREhUx（x，Zxk+1）-bXk+1idP（eXk≤ x） 。为了继续，我们使用bxkratherthanexk的分布来近似上述失真，在这种情况下Γxk+1≈ DΓxk+1:=NxXi=1EhUx（xik，Zk+1）-bXk+1iPbXk=xik,近似失真定义为无任何重音。这是一维矢量量化问题，其中被量化的分布是由欧拉更新的概率加权和组成的边缘分布，每个更新都来自于前一时间步量化器中的码字。递归地将此过程应用于Euler过程的更新被称为递归边际量化（recursivemarginal quantization，RMQ）。由于这种方式中指定的矢量量化问题是一维的，因此可以使用高效的牛顿-拉斐逊过程来最小化产生的失真，从而在每个时间步产生量化器。McWalter等人【2017年】推导了Newton-Raphson程序所需的梯度向量和Hessian矩阵的精确表达式，并表明高阶方案的递归边际量化是可能的，特别是Milstein和简化的弱阶2.0方案。在目前的工作中，我们只考虑了Euler格式。请注意，Euler更新（1）可以用一种有效的形式asUx（eXk，Zxk+1）=mikZxk+1+cik，（2）带MIK：=bx（xik）√t和cik：=xik+ax（xik）t、 （3）因此，对于给定量化器Γxk+1，与每个码字相关联的标准化区域边界由i给出，j±k+1=（xj±1k+1+xjk+1）- cikmik，（4）用于1≤ i、 j≤ Nx。这是指从码字xik查看时，码字xjk+1的上下区域边界。方程式（2）至（4）是标准RMQ算法的核心，见McWalter等人。

【2017年】，并在此介绍，以供本文稍后使用。3随机波动率模型的量化在本节中，我们考虑由耦合的SDEsdXt=ax（Xt）dt+bx（Xt）dWxt，X=X，（5）dYt=ay（Yt）dt+by（Xt，Yt）（ρdWxt+p1）描述的一般随机波动率模型的递归边际量化- ρdW⊥t） ，Y=Y（6）定义于(Ohm, F，（Ft）t∈[0，T]，P），其中Wxtand W⊥皮重无关的标准布朗运动。在这个系统中，Cholesky分解是根据相关参数ρ来指定的∈ [-明确选择1，1]，以便于推导。这里，Xt（被称为独立过程）推动了独立过程Yt中随机波动率因子的规定。上述系统的Euler方案由eXk+1=Ux（eXk，Zxk+1），eX=x（7）eYk+1=eYk+ay（eYk）+by（eXk，eYk）给出√t（ρZxk+1+p1- ρZ⊥k+1），eY=y（8）=：Uy（eXk，eYk，Zxk+1，Z⊥k+1），（9）表示0≤ k<k，其中Ux（eXk，Zxk+1）由（1）和Zxk+1，Z定义⊥k+1~ N（0，1）是独立的标准高斯随机变量。本文的主要结果是，量化Euler更新eYk+1=Uy（eXk，eYk，Zxk+1，Z⊥k+1）相当于量化uy（eXk，eYk，Z）=eYk+ay（eYk）给出的更新t+by（eXk，eYk）√tZ，（10）其中Z~ N（0，1）是任何标准高斯随机变量。建立了这个结果后，我们继续对系统进行量化，并推导出基于牛顿-拉斐逊迭代的一维矢量量化算法。提案3.1。给定（7）和（8）定义的Euler格式，量化器的失真可以表示为（yk+1）=EhUy（eXk，eYk，Z）-bYk+1i、 其中，边缘更新函数由（10）和Z定义~ N（0，1）。证据

量化器Γyk+1foreYk+1的失真根据基于更新的（9）给出Γyk+1:=呃eYk+1-bYk+1i=EhEheYk+1-bYk+1eXk，eYkii=ZREhUy（x，y，Zxk+1，Z⊥k+1）-bYk+1idP（eXk≤ x、 eYk公司≤ y） =ZREhfUy（x，y，Zxk+1，Z⊥k+1）idP（eXk≤ x、 eYk公司≤ y） ，其中f（w）：=w- πΓyk+1（w）. 内部期望可以明确地写为HFUy（x，y，Zxk+1，Z⊥k+1）i=2πZRfUy（x，y，u，v）经验值-u经验值-vdv du。现在，letz=ρu+p1- ρv，表示v=z- ρup1- ρ和dv=p1- ρdz。那么，EhfUy（x，y，Zxk+1，Z⊥k+1）i=2πp1- ρZRfUy（x，y，z）经验值-u经验值-（z）- ρu）2（1- ρ）dz du=2πp1- ρZRfUy（x，y，z）经验值-z经验值-（u）- ρz）2（1- ρ）dz du公司=√2πZRfUy（x，y，z）经验值-zp2π（1- ρ） ZREP公司-（u）- ρz）2（1- ρ）du{z}=1dz=√2πZRfUy（x，y，z）经验值-zdz，我们在倒数第二步中使用了Fubini定理。因此，我们获得了EHFUy（x，y，Zxk+1，Z⊥k+1）i=EfUy（x，y，Z）.把一切放在一起，我们Γyk+1=ZRE公司fUy（x，y，Z）dP（eXk≤ x、 eYk公司≤ y） =ZREhUy（x，y，Z）-bYk+1idP（eXk≤ x、 eYk公司≤ y） =EhUy（eXk，eYk，Z）-bYk+1i、 按要求。备注3.2。上述命题表明，yk+1的量化只依赖于其分布，而从失真函数的角度来看，yk+1和xk+1之间的相关性是无关的。另一种说法是Uy（x，y，Zxk+1，Z⊥k+1）d=fUy（x，y，Z）,其中Z~ N（0，1），并且，由于我们在计算失真时只需要考虑这些值的期望值的加权和，因此Zxk+1和Z之间的相关性⊥不需要考虑k+1。

正如我们稍后将看到的，在计算yk+1和xk+1的联合概率时，有必要考虑相关性。正如我们在上一节中所做的那样，我们现在量化失真的表达式。独立过程eX的Euler格式的量化直接使用第2节中的标准RMQ算法进行，并且可以在不参考toeY的情况下对所有时间步长进行量化。假设在时间步骤k处，计算了相依过程的量化器Γyk以及对应的联合概率P（bXk=xik，bYk=yuk），用于1≤ 我≤ Nxand 1≤ u≤ Ny，则yk+1量化器的失真可近似为ed（Γyk+1）=ZREhUy（x，y，Z）-bYk+1idP（eXk≤ x、 eYk公司≤ y）≈NxXi=1NyXu=1Eh（Uy（xik，yuk，Z）-bYk+1）iP（bXk=xik，bYk=yk）（11）=：D（Γyk+1）。Pag\'es和Sagna【2015】的主要结果表明，（11）中的近似结果是收敛过程。我们再次假设对于所有0<k，Γyk的基数固定在ny≤ K和那个Γy={y}。与之前一样，可以使用正态分布的标准矢量量化来计算量化器Γy。对于本节的其余部分，我们假设，在知道量化器ΓxkandΓyk的条件下，它们的相关联合概率是已知的-在第4节中，我们将提供两种不同的方法来计算它们。在此假设下，并根据边缘更新函数重写失真（11），可使用牛顿-拉斐逊迭代（n+1）Γyk+1=（n）Γyk+1指定在时间步k+1生成量化器的最小化问题-h类D（n） Γyk+1我-1.D（n） Γyk+1, （12） 其中，Γyk+1是Γyk+1和0中码字的列向量≤ n<n轴为迭代索引。密切关注McWalter等人。