渐近多元期望值

，d}，因此，如果必要的话，取一个子序列，我们可以假设` ∈ R*\\{+∞} 使LIMα-→11- α？FX（x）=`。在这种情况下，limα-→1lαX（X）X'FX（X）=limα-→1.（2α- 1） E[（X- x） +]x'FX（x）-1.- α′F（x）（1-E[X]X）=θ- 1.- ` < +∞.此外，E[（Xi- xi）+{X>X}]X'FX（X）≤E[（Xi）- xi）+]x'FX（x）=E[（xi- xi）+]xi'FXi（xi）xi'FXi（xi）x'FX（x）-→ 0使用引理2.2。我们得到Limα-→1lαXi，X（Xi，X）X'FX（X）=limα-→1.αE[（Xi- xi）+{X>X}]- （1）- α） E[（Xi）- xi）-{X<X}]X'FX（X）= limα-→1.E[（Xi）- xi）+{X>X}]X'FX（X）-1.- α′FX（x）xix= -∞, 我∈ J∞.通过极限（α-→ 1） 在最优性系统（2.3）除以x'FX（x）的第一个方程中，得出（2.4）limα-→1Xk∈J∪JC\\J∞lαXk，X（Xk，X）X'FX（X）=-∞.现在，让k∈ JE[（Xk- xk）+{X>X}]X'FX（X）=ZxxkP（xk>t，X>X）dtx'FX（X）+Z+∞xP（Xk>t，X>X）dtx'FX（X）≤ZxxkP（X>X）dtx'FX（X）+Z+∞xP（Xk>t）dtx'FX（x），Karamata定理（定理1.4）导致-→1ZxxkP（X>X）dtx'FX（X）+Z+∞xP（Xk>t）dtx'FX（x）=1+ckθ- 1.k∈ J、 考虑k∈ JCE[（Xk- xk）+{X>X}]X'FX（X）≤E[（Xk- xk）+]x'FX（x）=E[（xk- xk）+]xk'FXk（xk）xi'FXk（xk）x'FX（x），andE[（xk- xk）+]xi'FXk（xk）xk'FXk（xk）x'FX（x）~α-→1ckθ- 1.侠客行-θ+1。最后，我们推断-Xk公司∈J∪JC\\J∞limα-→1xkx≤ limα-→1Xk∈J∪JC\\J∞lαXk，X（Xk，X）X'FX（X）≤ limα-→1Xk∈J∪JC\\J∞lαXk，X（Xk，X）X'FX（X）≤Xk公司∈JCckθ- 1.limα-→1xkx-θ+1- ` limα-→1xkx+Xk公司∈J\\J∞1+ckθ- 1..这与（2.4）相矛盾，因此J∞必须是一个空集。结果如下。命题2.4（极端多元期望值）。假设H1和H2满足，X在定义1.6的意义上具有规则变化的多元分布。考虑L-期望值eα（X）=（eiα（X））i=1，。。。，d、 则任何极限向量（η，β，…，βd）1.-α′FX（eα（X）），eα（X）eα（X），edα（X）eα（X）满足以下方程组（2.5）θ- 1.- η（βk）θck=-dXi=1，i6=kZ+∞βiβkλikUcickt公司-θ、 1个dt公司- ηβθ-1CKβi！，k∈ {1。

，d}。通过求解系统（2.5），我们可以使用边缘分位数得到一个等价的极端多元期望值。证据最优性系统（2.3）可写成以下形式（2α- 1） E[（Xk- xk）+]xk'FXk（xk）-1.- α′FXk（xk）1.-E[Xk]Xk=dXi=1，i6=k（1）- α） E[（Xi）- xi）-{Xk<Xk}]Xk'FXk（Xk）-dXi=1，i6=kαE[（Xi- xi）+{Xk>Xk}]Xk'FXk（Xk），k∈ {1，…，d}。对于所有k∈ {1，…，d}，我们有（必要时取一个子序列）limα-→1（2α- 1） E[（Xk- xk）+]xk'FXk（xk）-1.- α′FXk（xk）1.-E[Xk]Xk=θ- 1.- η（βk）θck，对于所有i∈ {1，…，d}\\{k}limα-→1（1- α） E[（Xi）- xi）-{Xk<Xk}]Xk'FXk（Xk）=limα-→11- α′FXk（xk）xixkP（Xi<Xi，Xk<Xk）-E[Xi{Xi<Xi，Xk<Xk}]Xk= ηβθkckβiβk=ηβθ-1ckβi.此外，E[（Xi- xi）+{Xk>Xk}]Xk'FXk（Xk）=Xk'FXk（Xk）Z+∞xiP（Xi>t，Xk>Xk）dt=Z+∞xixkP（Xi>txk，Xk>Xk）(R)FXk（Xk）dt=Z+∞xixkP\'FXi（Xi）<\'FXi（txk），\'FXk（Xk）<\'FXk（Xk）(R)FXk（xk）dt。首先，我们注意到ZxixkβiβkP\'FXi（Xi）<\'FXi（txk），\'FXk（Xk）<\'FXk（Xk）(R)FXk（xk）dt≤xixk公司-βiβk.由于函数λikUare假定为连续的，（2.6）limα-→1便士\'FXi（Xi）<\'FXi（txk），\'FXk（Xk）<\'FXk（Xk）(R)FXk（xk）=λikUcickt公司-θ、 1个.为了证明Limα-→1αE[（Xi- xi）+{Xk>Xk}]Xk'FXk（Xk）=Z+∞βiβkλikUcickt公司-θ、 1个对于正则变函数，我们可以使用Lebesgue的支配收敛定理和Potter的界（1942）（引理1.5）。首先，P\'FXi（Xi）<\'FXi（txk），\'FXk（Xk）<\'FXk（Xk）(R)FXk（xk）≤ 最小值1、\'FXi（txk）\'FXk（xk）,因为“FXi（txk）”“FXk（xk）=“FXi（txk）”“FXk（txk）”“FXk（txk）”“FXk（xk）”和limα-→1'FXi（txk）'FXk（txk）=对于所有ε>0和0<ε<θ，使用Potter界限的cick- 1，存在xk（ε，ε），使得对于min{xk，txk}≥ xk（ε，ε）(R)FXi（txk）(R)FXk（xk）≤cick+2εt型-θmax（tε，t-ε） 。Lebesgue定理给出了Slimα-→1Z+∞xixkP\'FXi（Xi）<\'FXi（txk），\'FXk（Xk）<\'FXk（Xk）(R)FXk（xk）dt=Z+∞βiβkλikUcickt公司-θ、 1个dt，so，对于所有（i 6=k）∈ {1。

，d}limα-→1E[（Xi）- xi）+{Xk>Xk}]Xk'FXk（Xk）=Z+∞βiβkλikUcickt公司-θ、 1个dt。因此，该系统在该提案中宣布。在∑-期望值的一般情况下，∑=（πij）i，j=1，。。。，d、 πij≥ 0，πii=πi>0，系统（2.5）变为θ- 1.- η（βk）θck=-dXi=1，i6=kπikπkZ+∞βiβkλikUcickt公司-θ、 1个dt公司- ηβθ-1CKβi！，k∈ {1，…，d}。此外，让我们注意到系统（2.5）等效于以下系统（2.7）dXi=1Z+∞βiβkλikUcit公司-θ、 ckβ-θkdt=dXi=1Z+∞βiλi1Ucit公司-θ、 1个dt，k∈ {2，…，d}。因此，极限点βi完全由向量X的边缘分量之间的渐近二元依赖关系确定。命题2.5。假设H1和H2满足，且X的多元分布在定义1.6的意义上有规律变化，考虑L-期望值eα（X）=（eiα（X））i=1，。。。，d、 则任何极限向量（η，β，…，βd）1.-α′FX（eα（X）），eα（X）eα（X），edα（X）eα（X）满足以下方程组，k∈ {1，…，d}（2.8）θ- 1.- η（βk）θck=-dXi=1，i6=kcick公司βiβk-θ+1Z+∞λikUt-θ、 ckci公司βkβi-θ！dt公司- ηβθ-1CKβi.证据使用系统（2.5）中的替换和二元尾部相关函数λikU的正齐性性质，证明很简单（见[？]中的命题2.2）。将渐近最优性系统写成（2.8）形式的主要用途是为某些依赖结构给出（η，β，…，βd）的显式形式。例如：假设X的依赖结构是由一个带生成元ψ的阿基米德copula给出的。生存copula由C（x，…，xd）=ψ（ψ（（x）+···+ψ（（xd）），其中ψ（（x）=inf{t≥ 0 |ψ（t）≤ x} （参见例如[？]了解更多详细信息）。假设ψ是具有非正指数ψ的正则变函数∈ RV-θψ。根据[？]，存在右尾相关函数，可以得到它们的显式形式λkU（x。

，xk）=kXi=1x-θψi！-θψ.因此，双变量上尾相关函数由λikUt给出-θ、 ckci公司βkβi-θ=tθθψ+cick公司θψβkβiθθψ！-θψ。特别是，如果θ=θψ，我们有z+∞λikUt-θ、 ckci公司βkβi-θ！dt=θ- 11+cick公司θβkβi！-θ+1，系统2.8变为θ- 1.- η（βk）θck=-dXi=1，i6=kθ- 1点击βiβk+cick公司θ！-θ+1- ηβθ-1CKβi.引理2.6（共单调Fréchet情形）。在H1和H2下，考虑L-期望值eα（X）=（eiα（X））i=1，。。。，d、 如果X=（X，…，Xd）是共单调随机向量，则极限（η，β，…，βd）=limα-→1.1.- α′FX（eα（X）），eα（X）eα（X），edα（X）eα（X）,满意度α-→11- α′FXk（ekα（X））=θ- 1和βk=c1/θk，k∈ {1，…，d}。证据由于随机向量X是共单调的，其生存copula isCX（u，…，ud）=min（u，…，ud），（u，…，ud）∈ 我们推导了函数λijUλijU（xi，xj）=min（xi，xj）的表达式，（xi、xj）∈ R+，i、 j∈ {1，…，d}。那么，Z+∞λikUt型-θ、 ckci（βkβi）-θdt=Z+∞造币厂-θ、 ckci公司βkβi-θ！dt=βkβickci公司-θ- 1+ckci公司βkβi-θ+θ- 11+βkβickci公司-θ- 1！+！-θ+1。在假设H1和H2下，根据命题2.8，设（η，β，…，βd）为以下方程组的解。ηdXi=1βi-θ- 1dXi=1ciβ-θ+1i=dXi=1，i6=kckβ-θkβiβkβickci公司-θ- 1++θ- 1dXi=1，i6=kciβ-θ+1i1+βkβickci公司-θ- 1！+！-θ+1- 1.,k∈ {1，…，d}。η=θ-1和βk=cθkis是该系统的唯一解决方案。命题2.7（渐近独立情况）。在H1和H2下，考虑L-期望值eα（X）=（eiα（X））i=1，。。。，d、 如果X=（X，…，Xd）使得对（Xi，Xj）渐近独立，则1.-α′FX（eα（X）），eα（X）eα（X），edα（X）eα（X）满意度η=（θ- （1）1+dXj=2cθ-1jβk=cθ-1k，所有k∈ {1，…，d}。证据渐近二元独立平均数的假设：limα-→1P（Xi>Xi，Xj>Xj）P（Xj>Xj）=limα-→1P（Xi>txj，Xj>Xj）P（Xj>Xj）=0，对于所有（i，j）∈ {1。

，d}对于所有t>0，那么，命题2.4中使用的Lebesgue定理给出了slimα-→1E[（Xi）- xi）+{Xj>Xj}]Xj'FXj（Xj）=limα-→1Z+∞xixjP（Xi>txj，Xj>Xj）P（Xj>Xj）dt=0。极端多元期望验证了以下方程组θ- 1.-ηckβθk=+dXi=1，i6=kηckβθ-1kβi，k∈ {1，…，d}，可以重写为（2.9）ckη（θ- 1） βθ-1k=dXi=1βi，k∈ {1，…，d}，因此βk=cθ-1K适用于所有k∈ {1，…，d}，η=（θ- （1）1+dXj=2cθ-1j.在正系数矩阵πij，i，j的一般情况下∈ {1，…，d}，极限βi，i=2，d保持不变，但极限η将改变：limα-→1ekα（X）eα（X）=cθ-1K和limα-→11- α′FXk（ekα（X））=cθ-1k（θ- （1）1+dXj=2πjkπkcθ-1j,对于所有k∈ {1，…，d}。我们注意到Limα-→11- α′FXi（xi）≤cθ-1iθ- 1，它允许在边际分位数和多变量目标的相应分量之间进行比较，并且由于F-1Xk（1- ·) 是一个规则变化的函数，对于所有k值均为0∈ {1，…，d}带索引-θ（见引理1.3），我们得到α（X）~α-→1VaRα（Xk）（θ- （1）-θ1+dXi=2cθ-1icθ-1公里-θ、 其中，VaRα（Xk）表示Xkat水平α的风险值，即α-分位数F←Xk的Xk（α）。这些结论与维度1中获得的结果一致，对于属于吸引域的分布，在[？]中。常数的值决定了边缘分位数的位置，与每个风险的多元期望值的相应分量相比较。3、具有优势尾的弗雷切特模型本节专门讨论Xhas关于Xi命题3.1（渐近优势）的优势尾的情况。在H1下，考虑L-期望值eα（X）=（eiα（X））i=1，。。。，d、 Iflimx↑+∞\'FXi（x）\'FX（x）=0，我∈ {2，…，d}，（显性尾部假设）然后βi=limα↑1eiα（X）eα（X）=0，limα↑11- α′FXi（eiα（X））=0，我∈ {2。

，d}，andlimα↑11- α′FX（eα（X））=θ- 命题3.1的证明遵循以下引理。引理3.2。在H1下，考虑L-期望值eα（X）=（eiα（X））i=1，。。。，d、 Iflimx↑+∞\'FXi（x）\'FX（x）=0，我∈ {2，…，d}，thenlimα↑1E[（Xi）- xi）+{X>X}]X'FX（X）=0， 我∈ {2，…，d}。引理3.3。在H1下，考虑L-期望值eα（X）=（eiα（X））i=1，。。。，d、 Iflimx↑+∞\'FXi（x）\'FX（x）=0，我∈ {2，…，d}，then0<limα↑11- α′FX（x）≤ limα↑11- α′FX（x）<+∞.引理3.2和3.3的poofs分别在附录A.3和A.4中给出。现在，我们有了所有必要的工具来证明命题3.1。命题3.1的证明。从引理3.3中，如果必要，我们得到一个子序列（αn）n∈NαN-→ 1，我们同意1-α′FX（x）正在收敛到表示为0<η<+∞ 极限limα→1xix=β存在。通过极限（α→ 1） 在系统0.1除以x'FX（x）的1方程中，使用引理3.2到（3.1）limα↑11- α′FX（x）Xi∈JC公司∪J∞xix！=limα↑1ηXi∈JC公司∪J∞xix=θ- 1.- η、 我们推断J∞= .我们假设JC6=, 所以至少存在一个i∈ {2，…，d}这样∈ JC和所有j∈ {1，…，d}\\{i}，我们有limα↑1E[（Xj- xj）+{Xi>Xi}]x'FX（x）=0。的确，如果j∈ JC \\{i}limα↑1E[（Xj- xj）+{Xi>Xi}]x'FX（x）=limα↑1Z+∞βjP（Xj>tx，Xi>Xi）P（X>X）dt，因为ep（Xj>txj，Xi>Xi）P（X>X）=P（Xj>txj | Xi>Xi）P（Xi>Xi）P（X>X），和limα↑1P（Xi>Xi）P（X>X）=limα↑1P（Xi>Xi）P（X>Xi）P（X>Xi）P（X>X）=limα↑1P（Xi>Xi）P（X>Xi）十九-θ=0。

和sinceP（Xj>tx，Xi>Xi）P（X>X）≤ 最小值P（Xj>tx）P（X>X），P（Xi>Xi）P（X>X）,为了应用支配收敛定理，我们使用与'FXas正则变化函数相关的波特界，得到了limα↑1E[（Xj- xj）+{Xi>Xi}]x'FX（x）=Z+∞βjlimα↑1P（Xj>tx，Xi>Xi）P（X>X）dt=0，j∈ JC \\{i}。现在，如果j∈ JthenE[（Xj- xj）+{Xi>Xi}]x'FX（x）=ZxxjP（xj>t，Xi>Xi）xP（x>x）dt+Z+∞P（Xj>tx，Xi>Xi）P（X>X）dt≤1.-xjx公司P（Xi>Xi）P（X>X）+Z+∞P（Xj>tx，Xi>Xi）P（X>X）dt，thuslimα↑1E[（Xj- xj）+{Xi>Xi}]x'FX（x）=0，j∈ J、 因为limα↑1P（Xi>Xi）P（X>X）=0和limα↑1Z+∞P（Xj>tx，Xi>Xi）P（X>X）dt=0。通过极限（α→ 1） 在系统0.1除以x'FX（x）的Ith方程中，导致-ηβi=η（1+Xj∈JC \\{i}βj），这是荒谬的，因此JC=.因此，我们证明了J={2，…，d}，这意味着slimα↑1eiα（X）eα（X）=βi=0，我∈ {2，…，d}。根据方程3.1，我们还推断η=limα↑11- α′FX（eα（X））=θ- 1和引理2.2 thatlimα↑11- α′FXk（eiα（X））=0，我∈ {2，…，d}。命题3.1表明，显性风险的行为与单变量情况下的行为一样渐近，其成分为极端多变量预期满意度α（X）α↑1.~ （θ- （1）-θVaRα（X）α↑1.~ eα（X），在单变量情况下，在[？]中证明了右等价性，提案2.3。示例：考虑帕累托分布，Xi~ P a（ai，b），i=1，d、 这样我就可以∈ {1，…，d}。X的尾巴代表Xi的尾巴，命题3.1适用。4、极值期望的估计在本节中，我们提出了一些极值多元期望的估计。我们关注的是同态独立和共单调的情况，对于这两种情况，方程组更容易处理。我们从方法的主要思想开始，然后利用极值统计工具构造估计量并证明其一致性。

我们以模拟研究结束本节。命题4.1（评估的想法）。使用前面章节的符号，考虑L-期望值eα（X）=（eiα（X））i=1，。。。，d、 在H1，H2和假设1.-α′FX（eα（X）），eα（X）eα（X），edα（X）eα（X）具有唯一的极限点（η，β，…，βd），eα（X）~α-→1VaRα（X）ηθ（1，β，…，βd）T.证明。Let（η，β，…，βd）=limα→1.1.-α′FX（eα（X）），eα（X）eα（X），edα（X）eα（X）, 我们有α（X）~α-→1eα（X）（1，β，…，βd）T。此外，limα-→11-α′FX（eα（X））=η，以及[？]中的定理1.5.12声明F←X（1- .) 在0处有规律地变化，带索引-θ。这导致toeα（X）~α-→1F层←X（α）η-θ、 结果如下。命题4.1给出了一种估计极端多元期望值的方法。设X=（X，…，Xd）t为X的一个大小为n的独立样本，对于所有i，Xi=（X1，i，…，Xd，i）t∈ {1，…，n}。我们用Xi，1，n表示≤Xi，2，n≤ · · · ≤ Xi，n，n对应于Xi的有序样本。4.1。估计员的结构。我们从渐近独立的情况开始。命题2.7和4.1是构建估计器的关键工具。我们都有我∈ {1，…，d}βi=cθ-1i和limα-→11- α′FXi（eiα（X））=cθ-1i（θ- （1）1+dXj=2cθ-1j.命题4.1给出了α（X）α↑1.~ VaRα（X）（θ- （1）-θ1+dXi=2cθ-1i！-θ1，cθ-1.cθ-1dT、 因此，为了估计极端多元期望值，我们需要一个X的单变量分位数的估计量，尾部等价参数的估计量。θ的和。同样，对于共单调风险，我们可以使用命题2.6limα-→11- α′FXi（eiα（X））=θ- 1和βi=c1/θi，我∈ {1，…，d}，通过命题4.1我们得到α（X）Tα↑1.~ VaRα（X）（θ- （1）-θ（1，cθ，…，cθd）T。Xi具有相同的规则变化指数θ，这也与kXk的规则变化指数相同。我们建议使用Hill估计量bγ来估计θ。我们将表示bθ=bγ。

参见[？]有关Hill估计器的详细信息。为了估计ci，我们将使用GPD近似值：对于u，一个大阈值，和x≥ u、 \'\'F（x）~\'F（u）徐-θ。让k∈ N固定并考虑阈值ui：(R)FXi（ui）=FX（u）=kn，我∈ {1，…，d}。Ui由Xi估算，n-k+1，N带k→ ∞ 和k/n→ 0作为n→ ∞. 使用引理2.2，我们得到ci=limn→∞uiuθ。我们将考虑（4.1）^ci=Xi，n-k+1，nX1，n-k+1，n^γ（k），其中^γ（k）是使用kXk的k个最大观测值构建的极值指数的Hill估计量。Letbθ=bγ（k）。提案4.2。设k=k（n）为k→ ∞ 和k/n-→ 0作为n→ ∞. 在H1和H2下，对于anyi=2，d、 bciP-→ ci。证据[？]中的结果第86页暗示，对于任何i=1，dXi，n-k+1，nuiP-→ 1、此外，这是众所周知的（见[？]）希尔估计是一致的。使用（4.1），以及xi，n-k+1，nX1，n-k+1，n~我们得到的结果是，uiuin概率是有界的，因此概率是有界的。为了估计极端分位数，我们将使用Weissman估计量（1978）[？]：dVaRα（X）=X1，n-k（n）+1，nk（n）（1）- α） n个^γ。Embrechts等人（1997）[？]以及[？]第119页。为了证明我们的极端多元期望估计量的一致性，我们需要以下二阶条件（见[？]第4.4节）。定义4.3。一个满足H1且θ=γ>0的随机变量X将被称为验证二阶条件SOC-β（b），β>0和b∈ RV-β(+∞) 如果函数U:y F←（1）-y） u>0的满意度：u（ux）u（x）=uγ（1+h-β（u）b（x）+o（b（x）），随着x进入单位。其中h-β（u）=1-u-ββ。现在，我们可以在渐近独立和完全依赖的情况下，利用前面的估计，推导出多元极值期望的一些估计。定义4.4（多元期望估计量，渐近独立性）。

在H1和H2下，在随机向量X=（X，…，Xd）T的双变量渐近独立的情况下，我们定义了LexSpectile的估计量，如下所示⊥α（X）=X1，n-k（n）+1，nk（n）（1）- α） n个^γ^γ1- ^γ^γ1+Pd`=2^c^γ1-^γ！^γ1，^c^γ1-^γ，^c^γ1-^γdT=dVaRα（X）^γ1- ^γ^γ1+Pd`=2^c^γ1-^γ！^γ1，^c^γ1-^γ，^c^γ1-^γdT、 定义4.5（多元预期估计量，共单调风险）。在具有等效尾的Fréchet模型的假设下，对于共单调随机向量X=（X，…，Xd）T，我们将L-期望的估计定义如下：e+α（X）=X1，n-k（n）+1，nk（n）（1）- α） n个^γ^γ1- ^γ^γ1，^c^γ，^c^γdT=dVaRα（X）^γ1- ^γ^γ1，^c^γ，^c^γdT、 我们在下面证明，如果二阶条件SOC-β（b）满足，则逐项比率^e⊥在渐近独立的情况下，α（X）/eα（X）的概率为1，而在协方差的情况下，^e+α（X）/eα（X）的概率为1。要得到渐近正态性还需要更多的工作。定理4.6。假设H1、H2和SOC-β（b）满足。选择k=k（n），以便ok（n）→ ∞ 作为n→ ∞,o k（n）/n→ 0作为n→ ∞,opk（n）1+对数（n）n（1-α）-→ ∞ 作为n→ ∞.然后，如果每对随机向量X是渐近独立的，则^e⊥α（X）/eα（X）-→ 概率为1，如n→ ∞.如果随机向量X是共单调的，则^e+α（X）/eα（X）-→ 概率为1，如n→ ∞.证据与SOC-β（b）假设和k的选择，我们使用[？]中的（4.18）p.120得到thatdVaRα（X）VaRα（X）-→ 概率为n的1→ ∞.然后，公布的结果来自提案2.7和4.2。4.2。数字插图。Fréchet的吸引域包含Pareto、Student、Burr和Cauchy的常见分布。