渐近多元期望值

为了说明所提出的估计的收敛性，我们数值研究了Pareto、Burr和Student分布的情况。（2.2）中定义的函数lαXi，xjd在渐近独立的特殊情况下具有以下表达式lαXi，Xj（Xi，Xj）=α(R)FXj（xj）E（Xi）- 十一）+- （1）- α）FXj（xj）E（Xi）- xi）-.在共单调的情况下，我们有αXi，Xj（Xi，Xj）=α(R)FXj（xj）（ui，j- xi）++Eh（xi- 最大值（xi，ui，j））+i- （1）- α）FXj（xj）（xi- ui，j）++Eh（Xi- 最小值（xi，ui，j））-我,式中，ui，j=F←-Xi（FXj（xj））。从这些表达式出发，通过数值优化得到了多元极值期望值的精确值，我们可以将其与估计值进行比较。k（n）的选择是分布参数的函数，在我们的模拟中使用图形说明进行了选择。为了验证期望估计量的稳定性，我们给出了属于尾部等价系数估计量共同收敛范围的k（n）不同值的估计量？s收敛。4.2.1。帕累托分布。我们考虑一个二元Pareto模型Xi~ P a（a，bi），i∈ {1，2}。这两种分布都有相同的尺度参数a，因此它们有等效的尾部，等效参数C=limx→+∞\'FX（x）\'FX（x）=limx→+∞bb+x一bb+xa=bb型a、 在下面的内容中，我们考虑两个模型，其中L-期望值的精确值是可计算的。在FirstModel中，Xi是独立的。在第二种情况下，Xi是共单调的，对于帕累托分布ui，j=bibjxj。在下面的模拟中，我们采用相同的k=k（n）得到^γ和^eα（X）。Xi~ P a（2，5·（i+1））i=1,2，n=100000，图1说明了估值器^c的收敛性。在左侧，阴影区域表示n=100000时k（n）的合适值。获得n和a固定k不同值的箱线图∈ k（n），数据大小为1000。图1：。

^c.Xi的收敛性~ P a（2，5·（i+1））i=1,2。图2显示了在n=100000的独立情况下，不同k（n）值的所得结果。图3给出了维度4中的多变量说明。图4说明了共单调情况。模拟参数为a=2、b=10和b=15。图2：。^e的收敛性⊥α（X）（渐近独立情形）。左边是eα（X）和^e的第一坐标⊥绘制了各种k=k（n）值的α（X）。右图涉及第二个坐标。图3：。^e的收敛性⊥α（X）（渐近独立情形）。eα（X）和^e的坐标⊥尺寸d=4，n=100000，k（n）=100中的α（X）。图4：。^e+α（X）的收敛性（共单调情形）。左边是eα（X）和^e的第一个坐标⊥绘制了各种k=k（n）值的α（X）。右图涉及第二个坐标。4.2.2。毛刺分布。我们考虑一个多元Burr模型Xi~ Burr（a，bi，τ），i∈ {1，…，d}。在这种情况下，尾部与等效参数ci=limx相等→+∞\'FXi（x）\'FX（x）=limx→+∞bibi+xτ一bb+xτa=围嘴一我∈ {2，…，d}，和'FXi∈ RVa公司*τ(+∞) 对于{1，…，d}中的所有i。在Burr共单调情况下，ui，j=bibj公司τxj。该模型与帕累托模型在总体上是等价的，但差值是不同的，这有助于测试估计过程与理论结果的相关性。图5和图6分别给出了独立和共单调情况下不同k（n）值的所得结果。模拟参数面积=4、b=10、b=15、τ=0.75和n=10000。图5：。^e的收敛性⊥α（X）（渐近独立情形）。左边是eα（X）和^e的第一坐标⊥绘制了各种k=k（n）值的α（X）。右图涉及第二个坐标。图6：。^e+α（X）的收敛性（共单调情形）。

左边是eα（X）和^e的第一个坐标⊥绘制了各种k=k（n）值的α（X）。右图涉及第二个坐标。4.2.3。学生分配。为了说明其他分布性质的两个估计量的收敛性，我们用一个学生模型来封闭这一小节。我们考虑一个风险向量（X，…，Xd），使得Xi=aiTiforall i∈ {1，…，d}和（Ti）i按照参数z的t分布相同地分布。使用L\'H^opital\'srule，尾部是等效的sincelimx→+∞\'FXi（x）\'FX（x）=limx→+∞\'FT（x/ai）\'FX（x）=limx→+∞afT（x/ai）aifT（x/a）=友邦保险z=ci，我∈ {2，…，d}。边缘尾翼均为RV-（z+1）(+∞). 对于学生共单调模型ui，j=aiajxj。对于数值说明，参数为ai=2i-1对于i=1，d和z=2。在独立的情况下，我被认为是独立的，在同单调的情况下，他们是同单调的。图7和图8展示了在这两种情况下获得的结果。图7：。^e的收敛性⊥α（X）（渐近独立情形）。左边是eα（X）和^e的第一坐标⊥绘制了各种k=k（n）值的α（X）。右图涉及第二个坐标。图8：。^e+α（X）的收敛性（共单调情形）。左边是eα（X）和^e的第一个坐标⊥绘制了各种k=k（n）值的α（X）。右图涉及第二个坐标。对于Pareto、Weibull和Student这三个Fréchet模型，不同的插图表明，α值接近1时，收敛性更好。这是很自然的，因为我们正在接近极端水平，因此估计值会收敛到理论值。在收敛区，k（n）值的收敛似乎是稳定的。

当α远离1时，与理论值的差异显然是由尾部等效ci系数表示的边际风险水平的函数。结论我们在正则变分框架下研究了极端多元期望值的性质。我们已经看到期望向量的渐近行为强烈地依赖于边缘尾部行为和渐近依赖的性质。这一分析的主要结论是，边际尾的等价性等于极端期望成分的等价性。尾部相关函数积分的统计估计允许构造极端期望向量的估计。本文的估计仅限于渐近独立和共单调的情况，这些情况不需要估计尾部相关函数。本文最后一节中提出的估计量的渐近正态性需要仔细的技术分析，这在本文中没有考虑。这项工作的一个自然视角是研究∑-期望值在Weibull和Gumbel吸引域中边际分布等价情况下的渐近行为。Gumbel域包含大多数常见的分布，尤其是Weibull尾分布族，这使得对其情况的分析成为一项有趣的任务。致谢我们感谢编辑和审稿人。我们感谢他们的宝贵意见，这有助于提高我们手稿的质量。附录A.证明A。引理2.2。证据我们给出了第一项证明的一些细节，第二项可以通过同样的方式获得。在H1和H2下，对于所有i∈ {1。

，d}FXi∈ RV-θ(+∞),所有i都存在一个正的可测函数Li∈ RV(+∞) 这样'FXi（x）=x-θLi（x），x>0，则对于所有（i，j）∈ {1，…，d}和所有t，s>0（A.1）s'FXi（s）t'FXj（t）=st公司-θ+1Li（s）Lj（t）=st公司-θ+1Li（s）Li（t）Li（t）Lj（t），在H2（A.2）limx下↑+∞Li（x）Lj（x）=cicj。利用Karamata对慢变函数的表示（定理1.2），存在一个常数c>0，一个limx为正的可测函数c（·）↑+∞c（x）=c>0，因此 > 0， tsuch那个 t>tLi（s）Li（t）≤st公司c（s）c（t）。取0< < θ- 1、我们得出结论↑+∞s'FXi（s）t'FXj（t）=0，（i，j）∈ {1，…，d}。A、 2。提案2.3。证据我们首先证明limα-→11- α′FXi（eiα（X））<+∞, 我∈ {2，…，d}。使用H2，可以充分显示LIMα-→11- α′FX（eα（X））<+∞.假设limα-→11-α′FX（eα（X））=+∞, 我们将证明，在这种情况下，（2.3）不能满足要求。如有必要，采取子序列（αn→ 1） ，我们可以假设limα-→11-α′FX（eα（X））=+∞.我们有αX（X）（1- α） x个=αE[（X- x） +]- （1）- α） E[（X- x）-]（1）- α） x个=（2α- 1） E[（X- x） +]（1- α） x个-（1）- α） （十）- E[X]（1- α） x个=（2α- 1） E[（X- x） +]x'FX（x）'FX（x）1- α- 1+E[X]Xα↑1.-→ -1召回（2.1）。此外，我∈ {2，…，d}lαXi，X（Xi，X）（1- α） x个=αE[（Xi- xi）+{X>X}]- （1）- α） E[（Xi）- xi）-{X<X}]（1- α） x个=αE[（Xi- xi）+{X>X}]（1- α） x个-E[（Xi）- xi）+{X<X}]X-xiP（X<X）X+E[Xi{X<X}]X.在一侧，E[（Xi- xi）+{X>X}]（1- α） x个≤E[（Xi）- xi）+]（1- α） x=(R)FX（x）1- αE[（Xi- xi）+]xi'FXi（xi）xi'FXi（xi）x'FX（x），我∈ {2。

，d}。所以引理2.2意味着（A.3）limα-→1E[（Xi）- xi）+{X>X}]（1- α） x=0，k∈ JC公司∪ J∞.让我∈ J、 如果需要的话，我们可以假设xix→ 0.（A.4）E[（Xi）- xi）+{X>X}]（1- α） x=ZxxiP（Xi>t，x>x）dt（1- α） x+Z+∞xP（Xi>t，X>X）dt（1- α） x.现在，ZxxiP（Xi>t，x>x）dt（1- α） x个≤ZxxiP（X>X）dt（1- α） x=(R)FX（x）1- α1.-十九.因此，（A.5）limα-→1ZxxiP（Xi>t，X>X）dt（1- α） x=0。考虑（A.4）Z的第二项+∞xP（Xi>t，X>X）dt（1- α） x个≤Z+∞xP（Xi>t）dt（1- α） x，Karamata定理（定理1.4）givesZ+∞xP（Xk>t）dt（1- α） xα↑1.~θ- 1'FXk（x）1- α、 导致（A.6）limα-→1Z+∞xP（Xi>t，X>X）dt（1- α） x=0。最后，我们得到（A.7）limα-→1E[（Xi）- xi）+{X>X}]（1- α） x=0，我∈ J、 我们已经证明了limα-→1E[（Xk- xk）+{X>X}]（1- α） x=0，k∈ {2，…，d}，因此，最优性系统的第一个方程（2.3）意味着- limα→1.Xk公司∈J\\J∞lαXk，X（Xk，X）（1- α） x+Xk∈JClαXk，X（Xk，X）（1- α） x+Xk∈J∞lαXk，X（Xk，X）（1- α） x个= limα-→1dXk=2xkx=-1，这是荒谬的，因为xk是非负的，因此Limα-→11- α′FX（x）<+∞.现在，我们证明了极端多元期望的分量满足also0<limα-→11- α′FXi（eiα（X）），我∈ {2，…，d}。使用H2，可以显示0<limα-→11- α′FX（eα（X））。假设limα-→11-α′FX（eα（X））=0，我们将看到，在这种情况下，（2.3）无法满足要求。如果需要收敛子序列，我们可以假设limα-→11-α′FX（eα（X））=0。在这种情况下，lαX（X）X'FX（X）=（2α- 1） E[（X- x） +]x'FX（x）-1.- α′F（x）（1-E[X]X）α↑1.-→θ- 1> 0。在另一边，让我∈ J∞, 如有必要，取一个子序列，我们可以假设x=o（xi）。

引理2.2和命题2.3给出：1- α′F（x）xix=1- αFXi（xi）·xiFXi（xi）xFX（x）-→ 0为α→ 1、此外，E[（Xi- xi）+{X>X}]X'FX（X）≤E[（Xi）- xi）+]x'FX（x）=E[（xi- xi）+]xi'FXi（xi）xi'FXi（xi）x'FX（x），我们推导出αxi，x（xi，x）x'FX（x）=αE[（Xi- xi）+{X>X}]- （1）- α） E[（Xi）- xi）-{X<X}]X'FX（X）-→ 0，我∈ J∞.通过极限（α-→ 1） 在最优性系统（2.3）除以x'FX（x）的第一个方程中，导致-→1Xk∈J∪JC\\J∞lαXk，X（Xk，X）X'FX（X）=-θ- 1，这很荒谬，因为Elimα-→1Xk∈J∪JC\\J∞lαXk，X（Xk，X）X'FX（X）=limα-→1Xk∈J∪JC\\J∞αE[（Xk- xk）+{X>X}]- （1）- α） E[（Xk- xk）-{X<X}]X'FX（X）= limα-→1Xk∈J∪JC\\J∞E[（Xk- xk）+{X>X}]X'FX（X）-1.- α′FX（x）xkx= limα-→1Xk∈J∪JC\\J∞E[（Xk- xk）+{X>X}]X'FX（X）≥ 0.我们最终可以得出结论，LIMα-→11- α′FX（x）>0。A、 3。引理3.2。证据必要时取收敛子序列（αn）n∈NαN-→ 1，我们认为极限limα→1xix=β存在。使用符号JC={i∈ {2，…，d}| 0<βi<+∞}, 就我而言∈ JClimα↑1E[（Xi）- xi）+{X>X}]X'FX（X）=limα↑1Z+∞βiP（Xi>tx，X>X）P（X>X）dt，因为ep（Xi>tx，X>X）P（X>X）=P（Xi>tx | X>X）≤ 1、另一方面，P（Xi>tx，X>X）P（X>X）≤ 最小值{1，P（Xi>tx）P（X>X）}，和P（Xi>tx）P（X>X）=FXi（tx）–FX（tx）–FX（tx）–FX（X），然后使用limα↑1'FXi（tx）'FX（tx）=0和与'FX相关的波特界限（1.5），我们推断> 0和0<< 1，存在x(, ) 这样对于x≥x个(,)min{1，βi}P（Xi>tx）P（X>X）≤ （1+) 最大值t型-θ+, t型-θ-.支配收敛定理的应用导致了tolimα↑1E[（Xi）- xi）+{X>X}]X'FX（X）=Z+∞βilimα↑1P（Xi>tx，X>X）P（X>X）dt=0， 我∈ JC。我们用J表示∞集合J∞= {i∈ {2，…，d}|βi=+∞}.

所以，尽管我∈ J∞, x=o（xi）和[（xi- xi）+{X>X}]X'FX（X）=Z+∞xiP（Xi>t，X>X）xP（X>X）dt≤Z+∞xP（Xi>t，X>X）xP（X>X）dt=Z+∞P（Xi>tx，X>X）P（X>X）dt。以与前一个例子相同的方式，使用波特的边界，我们显示limα↑1Z+∞P（Xi>tx，X>X）P（X>X）dt=Z+∞limα↑1P（Xi>tx，X>X）P（X>X）dt=0，由此推导出thatlimα↑1E[（Xi）- xi）+{X>X}]X'FX（X）=0， 我∈ J∞.设Jbe集合J={i∈ {2，…，d}|βi=0}。就我而言∈ 我们有xi=o（x），thenlimα↑1E[（Xi）- xi）+{X>X}]X'FX（X）=limα↑1Z+∞xiP（Xi>t，X>X）xP（X>X）dt=limα↑1Z+∞P（Xi>tx，X>X）P（X>X）dt，因为limα↑1xix=0和P（Xi>tx，X>X）P（X>X）≤ 1、此外 > 0，我们有limα↑1Z+∞P（Xi>tx，X>X）P（X>X）dt=0，因为支配收敛定理适用于使用Potter边界和limα↑1P（Xi>tx，X>X）P（X>X）=0，对于所有t>0，因为ci=0。让κ>0， > 0α使得α>αZ+∞P（Xi>tx，X>X）P（X>X）dt<κ，然后z+∞P（Xi>tx，X>X）P（X>X）dt=ZP（Xi>tx，X>X）P（X>X）dt+Z+∞P（Xi>tx，X>X）P（X>X）dt< + κ、 我们推导出thatlimα↑1Z+∞P（Xi>tx，X>X）P（X>X）dt=0，so，limα↑1E[（Xi）- xi）+{X>X}]X'FX（X）=0，我∈ J、 因此，我们已经证明LIMα↑1E[（Xi）- xi）+{X>X}]X'FX（X）=0，我∈ {2，…，d}。A、 4。引理3.3。证据我们假设limα↑11-α′FX（eα（X））=+∞. 必要时取收敛子序列（αn）n∈n带αn-→ 1，我们认为极限limα→1xix=βiexist和limα↑11-α′FX（x）=+∞.我们使用符号JC={i∈ {2，…，d}| 0<βi<+∞}, J={i∈ {2，…，d}|βi=0}，和J∞= {i∈{2。

，d}|βi=+∞}.最优性系统（0.1）除以x'FX（x）的第一个方程可以写成（2α- 1） E[（X- x） +]x'FX（x）+dXi=2αE[（Xi- xi）+{X>X}]X'FX（X）=1- α′FX（x）x个- E[X]X+1.- α′FX（x）dXi=2E[（Xi- xi）-{X<X}]X！。（2.1）limα↑1（2α- 1） E[（X- x） +]x'FX（x）=θ- 1和引理3.2limα↑1dXi=2αE[（Xi- xi）+{X>X}]X'FX（X）=0，因此，通过极限（α→ 1） 在前面的等式中，导致tolimα↑11- α′FX（x）x- E[X]X+dXi=2E[（Xi- xi）-{X<X}]X=θ- 1，然而，limα↑11- α′FX（x）x- E[X]X+dXi=2E[（Xi- xi）-{X<X}]X！=limα↑11- α′FX（x）1+dXi=2xix！=+∞.根据这一矛盾，我们推断limα的情况↑11-α′FX（x）=+∞ 是荒谬的。现在，我们假设limα↑11-α′FX（eα（X））=0。必要时取子序列（αn）n∈n带αn-→ 1，我们认为极限limα→1xix=βiexist和limα↑11-α′FX（x）=0。我们表示JC={i∈ {2，…，d}| 0<βi<+∞}, J={i∈ {2，…，d}|βi=0}，和J∞= {i∈ {2，…，d}|βi=+∞}.通过极限（α→ 1） 在系统0.1除以x'FX（x）的第一个方程中，使用引理3.2和方程2.1，得出（A.8）limα↑11- α′FX（x）Xi∈J∞xix=θ- 1、如果J∞6=, 所以，我存在∈ {2，…，d}这样∈ J∞. 在这种情况下，limα↑1E[（Xi）- xi）+]x'FX（x）=limα↑1'FXi（xi）'FX（xi）xi'FX（xi）x'FX（x）E[（xi- xi）+]xi'FXi（xi）=0，因为limα↑1E[（Xi）-xi）+]xi'FXi（xi）=θ-1，limα↑1'FXi（xi）'FX（xi）=0，通过引理2.2（xi=Xj=X）limα↑1xi’FX（xi）x’FX（x）=0。另一方面，对于所有j∈ {1，…，d}\\{i}，E[（Xj- xj）+{Xi>Xi}]x'FX（x）=Z+∞xjP（Xj>t，Xi>Xi）xP（X>X）dt，所以如果j∈ JC，thenlimα↑1E[（Xj- xj）+{Xi>Xi}]x'FX（x）=limα↑1Z+∞xjxP（Xj>tx，Xi>Xi）P（X>X）dt=limα↑1Z+∞βjP（Xj>tx，Xi>Xi）P（X>X）dt，因为ep（Xj>tx，Xi>Xi）P（X>X）≤P（Xj>tx）P（X>X）和limα↑1P（Xj>tx）P（X>X）=0表示所有t>0。

我们将支配收敛定理应用于getlimα，使用与“FX”相关的波特边界↑1E[（Xj- xj）+{Xi>Xi}]x'FX（x）=Z+∞βjlimα↑1P（Xj>tx，Xi>Xi）P（X>X）dt和sinceP（Xj>tx，Xi>Xi）P（X>X）≤P（Xi>Xi）P（X>X）=xxxi'FX（Xi）X'FX（X）'FXi（Xi）'FX（Xi），因此，通过引理2.2limα↑1P（Xj>tx，Xi>Xi）P（X>X）=limα↑1P（Xi>Xi）P（X>X）=0，我们最终推导出limα↑1E[（Xj- xj）+{Xi>Xi}]x'FX（x）=0，j∈ JC。如果j∈ J∞\\{i} ，然后是[（Xj- xj）+{Xi>Xi}]x'FX（x）=Z+∞xjP（Xj>t，Xi>Xi）xP（X>X）dt≤Z+∞xP（Xj>t，Xi>Xi）xP（X>X）dt=Z+∞P（Xj>tx，Xi>Xi）P（X>X）dt，我们以与前面情况相同的方式显示limα↑1Z+∞P（Xj>tx，Xi>Xi）P（X>X）dt=Z+∞limα↑1P（Xj>tx，Xi>Xi）P（X>X）dt=0，thenlimα↑1E[（Xj- xj）+{Xi>Xi}]x'FX（x）=0，j∈ J∞\\{i} 。如果j∈ J、 thenE[（Xj- xj）+{Xi>Xi}]x'FX（x）=ZxxjP（xj>tx，Xi>Xi）xP（x>x）dt+Z∞xP（Xj>tx，Xi>Xi）xP（X>X）dt≤x个- xjx'FXi（xi）'FX（x）+Z+∞P（Xj>tx，Xi>Xi）P（X>X）dt，自limα↑1Z+∞P（Xj>tx，Xi>Xi）P（X>X）dt=0，因此，通过引理2.2，我们得到limα↑1台- xjx'FXi（xi）'FX（x）=limα↑1台- xjx'FXi（xi）'FX（xi）xi'FX（xi）x'FX（x）xxi=0，我们从thatlimα中获得↑1E[（Xj- xj）+{Xi>Xi}]x'FX（x）=0，j∈ J、 然后是Limα↑1E[（Xj- xj）+{Xi>Xi}]x'FX（x）=0，j∈ {1，…，d}\\{i}。系统0.1除以x'FX（x）的Ith方程可以写成（2α- 1） E[（Xi）- xi）+]x'外汇（x）-1.- α′FX（x）xi- E[Xi]x=dXj=1j6=i（1- α） E[（Xj- xj）-{Xi<Xi}]x'FX（x）-dXj=1j6=iαE[（Xj- xj）+{Xi>Xi}]x'FX（x），通过极限（α→ 1） 在这个等式中-limα↑11- α′FX（x）xix=limα↑11- α？FX（x）dXj=1j6=ixjx，只有当limα↑11-α′FX（x）xix=0，这与方程式A.8相矛盾。里昂大学，法国里昂大学1号，约旦卡米尔学院UMR 5208电子邮件地址：veronique。maume@univ-里昂1。法国里昂大学里昂分校，实验室SAF EA 2429电子邮件地址：didier。rulliere@univ-里昂1。加拿大魁北克省拉瓦尔大学（UniversitéLaval，Québec，CanadaE）fr'Ecole d\'精算师，邮箱：khalil。说。1@ulaval.ca