渐近多元期望值

是 否 +2 论坛币

k人 参与回答

经管之家送您一份

应届毕业生专属福利!

求职就业群

赵安豆老师微信：zhaoandou666

经管之家联合CDA

送您一个全额奖学金名额~ !

立即领取

感谢您参与论坛问题回答

经管之家送您两个论坛币！

+2 论坛币

英文标题：
《Asymptotic multivariate expectiles》
---
作者：
V\\\'eronique Maume-Deschamps (1), Didier Rulli\\`ere (2), Khalil Said
  ((1) ICJ (2) SAF)
---
最新提交年份：
2018
---
英文摘要：
  In [16], a new family of vector-valued risk measures called multivariate expectiles is introduced. In this paper, we focus on the asymptotic behavior of these measures in a multivariate regular variations context. For models with equivalent tails, we propose an estimator of these multivariate asymptotic expectiles, in the Fr{\\\'e}chet attraction domain case, with asymptotic independence, or in the comonotonic case.
---
中文摘要：
在【16】中，引入了一个新的向量值风险度量族，称为多元期望值。在这篇文章中，我们主要研究这些测度在多元正则变分背景下的渐近行为。对于具有等价尾的模型，我们在Fr{e}chet吸引域的情况下，在渐近独立的情况下，或在共单调的情况下，提出了这些多元渐近期望的估计。
---
分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Risk Management        风险管理
分类描述：Measurement and management of financial risks in trading, banking, insurance, corporate and other applications
衡量和管理贸易、银行、保险、企业和其他应用中的金融风险
--
一级分类：Statistics        统计学
二级分类：Applications        应用程序
分类描述：Biology, Education, Epidemiology, Engineering, Environmental Sciences, Medical, Physical Sciences, Quality Control, Social Sciences
生物学，教育学，流行病学，工程学，环境科学，医学，物理科学，质量控制，社会科学
--

---
PDF下载：
--> Asymptotic_multivariate_expectiles.pdf (690.76 KB)

2022-5-31 09:52:58 上传

扫码加我 拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

分享0 收藏0 回帖

关键词：期望值 Multivariate Applications independence epidemiology

多元期望的极端值MAUME-DESCHAMPS、DIDIER RULLI`ERE和KHALIL SAIDAbstract。在[？]中，引入了一类新的向量值风险测度，称为多元期望值。在这篇文章中，我们重点研究了这些测度在多元正则变化背景下的渐近行为。对于具有等价尾的模型，我们提出了一个在Fréchet吸引域情况下具有渐近独立性或共单调边值的极端多元期望值的估计。引言几年来，预期值在使用较多的风险指标中成为一个重要的风险指标，本质上是因为它同时满足一致性和可引出性。在维度一中，Newey和Powell（1987）[？]引入了期望值。对于具有有限阶2矩的随机变量X，α级的期望值定义为aseα（X）=arg minx∈RE[α（X- x） ++（1- α） （十）- 十） +]，其中（X）+=最大值（X，0）。根据Bellini和Bignozzi（2015）[？]，期望值是唯一同时满足可引出性和一致性的风险度量。在更高的维度中，[？]中的期望值的一个拟议扩展是矩阵期望值。考虑arandom向量X=（X，…，Xd）T∈ Rd具有2阶矩，且let∑=（πij）1≤i、 j≤dbe是一个d×d实矩阵，对称和正半定义，因此∈ {1，…，d}，πii=πi>0。A∑-X的期望值，定义为∑α（X）∈ arg minx∈RdE[α（X- x） T+∑（x- x） ++（1- α） （十）- x） T型-∑（X- x）-],其中（x）+=（（x）+，（xd）+）和（x）-= (-x） +。我们将集中讨论上述最小化具有唯一解决方案的情况。在[？]中，给出了∑保证argmin唯一性的条件，证明πij是有效的≥ 0，i、 j∈ {1，…，d}。在本文中，我们将作出这一假设。

那么，向量期望值是唯一的，它是以下方程组的解（0.1）αdXi=1πkiE[（Xi- xi）+{Xk>Xk}]=（1- α） dXi=1πkiE[（xi- Xi）+{xk>xk}]，k∈ {1，…，d}。如果πij=1表示所有（i，j）∈ {1，…，d}，相应的∑-期望值称为L-期望值。它与[？]中定义的L-标准预期值一致。在[？]证明了limα-→1e∑α（X）=XF和limα-→0e∑α（X）=XI，其中XF∈ （R）∪{+∞})dis右端点向量（xF，…，xdF）T，并乘以XI∈ （R）∪{-∞})dis左端点向量（xI，…，xdI）Tof对随机向量X的支持。在一般情况下，可以使用随机优化算法估计多变量期望值。罗宾斯·蒙罗（1951）估计的例子[？]算法，如[？]所示，结果表明，对于极值级，所得到的估计在收敛速度方面并不令人满意。这使我们对多元期望值的渐近行为进行了理论分析。渐近水平，即α→ 1或α→ 0表示极端风险。由于保险中的偿付能力阈值通常较高（例如，偿付能力II指令的α=0.995），因此研究风险度量的渐近行为具有自然重要性。这项工作的目标是建立多元期望值的渐近行为。在多变量规则变化框架中对风险度量的极端行为的研究是一系列工作的主题，例如，EmbrechtsDate:2021.2010年11月17日数学学科分类。62H00、62P05、91B30。关键词和短语。风险度量、多元期望值、规则变化、极值、尾部依赖函数。等人（2009）[？]，Albrecher等人（2006）[？]以及Asimit et al.（2011）[？]用于风险资本分配。

在其他多变量风险度量方面也进行了类似的工作，例如，Di Bernardino和Prieur[？]最近的一篇论文中提出的多变量传统尾部期望。我们将研究等效尾模型。它通常用于保险索赔额建模、相关极端事件研究和破产理论模型。该模型尤其包括相同分布的风险组合和分布中存在规模差异的情况。本文在多元正则变分框架下研究了多元期望值的交感行为。我们关注的是属于Fréchet吸引域的边际分布。此域包含代表保险中最危险索赔的重尾分布。让我们注意到，对单变量预期的关注最近才开始。在[？]中，证明了正则幼虫分布的期望值作为同一水平分位数函数的渐近等价性。[？]中给出了在GM依赖结构情况下求和期望值的一阶和二阶渐近性。本文的结构如下。第一节介绍了多元规则变化分布框架。第二节研究具有等价尾的Fréchetmodel的多元期望值的渐近行为。第3节分析了渐近占优尾的情况。第4节致力于在无症状独立性和共单调性的情况下对极端多元期望值的估计。通过在不同模型中的模拟给出了数值说明。MRV框架规则变化的分布非常适合研究极端现象。

对于这类分布的常见风险测度的渐近行为，人们做了大量的工作，并给出了这类分布的风险和的结果。众所周知，可以使用规则变化的概念定义极值分布的三个吸引域（见[？？]）。本节致力于多元正则变分的经典表征，将用于研究多元期望的渐近行为。我们还回顾了我们将使用的关于单变量集的一些基本结果。1.1。单变量规则变化。我们首先回顾了单变量调节的基本定义和结果。定义1.1（定期变化的功能）。一个可测的正函数f是指数ρata的正则变化函数∈ {0+∞}, 如果对于所有t>0，limx→af（tx）f（x）=tρ，我们表示f∈ RVρ（a）。缓变函数是指数ρ=0的规则变化函数。备注f∈ RVρ(+∞) 如果且仅如果，在本质上存在一个缓慢变化的函数，L∈ RV(+∞) 使得f（x）=xρL（x）。定理1.2（Karamata表示，[？]）。对于任何缓慢变化的函数L+∞, 存在满足极限的正可测函数c（·）→+∞c（x）=c∈]0+∞[，和具有limx的可测函数ε（·）→+∞ε（x）=0，使得l（x）=c（x）expZxε（t）tdt.Karamata表示被推广到RV函数。的确，f∈ RVρ(+∞) 当且仅当它可以写为f（x）=c（x）Zxρ（t）tdt，其中ρ（t）t→∞= ρ和c（t）t→∞= c∈]0+∞[.在整篇文章中，我们将考虑非递减函数f的广义逆：f←-（y） =inf{x∈R、 f（x）≥ y} 。引理1.3（RV函数的逆[？]）。设f是定义在R+上的可测非递减函数，如limx→+∞f（x）=+∞.

然后∈ RVρ(+∞) 当且仅当f←-∈ RVρ(+∞),对于所有0≤ ρ≤ +∞, 我们遵循惯例的地方1/0=∞ 和1/∞ = 引理1.4（RV函数的积分（Karamata定理）），[？]。对于正可测函数f，指数ρ在+∞, 在[x]上局部有界+∞) 带x≥ 0o如果ρ>-1，然后是极限→+∞Zxxf（t）dtxf（x）=ρ+1，如果ρ<-1，然后是极限→+∞Z+∞xf（t）dtxf（x）=-ρ+1。引理1.5（波特界[？]）。对于f∈ RVρ（a），带∈ {0，∞} 和ρ∈ R、 对于任何0< < 1和所有x andy非常接近a，我们有（1- ) 最小值xy型ρ-,xy型ρ+!≤f（x）f（y）≤ （1+) 最大值xy型ρ-,xy型ρ+!.正则变化函数的许多其他性质如[？]中所示。1.2。多元规则变化。在[？]中引入了正则变量的多元扩展。Wedenote byunv-→ u氡测量值的模糊收敛，如[？]所示。以下定义适用于非负随机变量。定义1.6（多元规则变化）。[0]上随机向量X的分布，∞]dis说，如果Borelσ-代数Bdon上存在一个非零Radon测度uXon[0，∞]d\\0和异常化函数b:R-→ 满足极限的R-→+∞b（x）=+∞ 使（1.1）向上Xb（u）∈ ·^1-→ uX（·）为u-→ +∞.存在多变量规则变化的几个等效定义，这些定义将在下文中有用。定义1.7（MRV等效定义）。设X为Rd上的随机向量，以下定义等效：o向量X具有指数θ的规则变化尾部。o单位球体Sd上存在一个有限的测量值u-1和归一化函数b：（0，∞) -→ （0，∞)使（1.2）极限-→+∞PkXk>xb（t），XkXk∈ .= x个-θu（.），对于所有x>0。

测量u取决于所选的范数，称为X的光谱测量。o单位球体Sd上存在一个有限的测量u-1，一个慢变函数L，一个正实θ>0，使得（1.3）limx-→+∞xθL（x）PkXk>x，XkXk∈ B= u（B），对于所有B∈ B（Sd-1） 带u(B） =0。从现在起，MRV表示多变量规则变化分布的集合，MRV（θ，u）表示具有规则变化尾部、指数θ和谱测度u的随机向量集。根据（1.3），我们可以假设u是归一化的，即u（Sd-1） =1，这意味着kXk有一个有规律的变尾索引-θ。另一方面，limx-→+∞PXkXk∈ BkXk>x，= 林克斯-→+∞PkXk>x，XkXk∈ BP（kXk>x）=limx-→+∞xθL（x）u（B）x-θL（x）=u（B），对于所有B∈ B（Sd-1） 带u(B） =0。这意味着有条件地{kXk>x}，xkxkc弱地收敛到u。MRV概念的不同可能特征见[？]。1.3。使用尾部相关函数进行表征。设X=（X，…，Xd）为随机向量。从现在起，FXIDE注意到Xi的生存功能。在本文中，我们使用了[？]中介绍的上尾相关函数的定义。定义1.8（尾部依赖函数）。设X是Rd上的随机向量，具有连续的边缘分布。尾部相关函数定义为（1.4）λXU（x，…，xd）=limt-→0吨-1P（(R)FX（X）≤ tx，(R)FXd（Xd）≤ txd），当限制存在时。对于k≤ d、 用X（k）表示X的k维子向量，C（k）表示其copula，C（k）表示其生存copula。上尾相关函数为（1.5）λkU（u，…，uk）=limt-→0+(R)C（k）（tu，…，tuk）t，如果存在此限制。下尾相关函数可通过λkL（u，…，uk）=limt进行类比定义-→0+C（k）（tu，…，tuk）t，当存在极限时。

在本文中，我们的研究仅限于（1.5）中定义的较高版本。我们假设X具有相等的规则变化的边缘尾部，这意味着：H1：(R)FX∈ RV-θ(+∞), θ>0时。H2：Xi的尾部，i=1，d相当。这是我的全部∈ {2，…，d}，有一个正常数cisuchthatlimx-→+∞\'FXi（x）\'FX（x）=ci。H1和H2意味着所有边际尾部指数都是有规律变化的-θat+∞.以下两个定理表明，在H1和H2下，多元分布的MRV性质等价于尾部依赖函数的存在性。定理1.9（[？]中的定理2.3）。设X=（X，…，Xd）是Rd中的随机向量，具有连续的边缘分布FXi，i=1，满足H1和H2的d。如果X具有MRV分布，则存在尾部依赖函数，由parλkU（u，…，uk）=limx给出-→+∞xPX>b（x）坎特伯雷大学-1/θ，Xk>b（x）udcd-1/θ！，对于任何k∈ {1，…，d}。定理1.10（[？]中的定理3.2）。设X=（X，…，Xd）是Rd中的随机向量，具有连续的边缘分布FXi，i=1，d满足H1和H2。如果所有k都存在尾部相关函数λku∈{1，…，d}，那么X是MRV，其归一化函数由b（u）给出=(R)外汇←-（u） 光谱测量值为u（[0，x]c）=dXi=1cix-θi-X1≤i<j≤dλU（cix-θi，cjx-θj）+···+(-1） d+1λdU（cx-θ、 ，cdx公司-θd）。通过构造多元期望值，只考虑了二元依赖结构。对于所有（i，k），我们将使用函数λ（Xi，Xk）U∈ {1，…，d}。为了简化符号，我们用λikU表示它。如果向量X具有MRV分布，则对于任何（i，j），对（Xi，Xj）也具有MRV分布∈ {1，…，d}。因此，在MRV框架中，在H1和H2下，函数λik的存在是有保证的。

此外，我们在本文的其余部分都假设这些函数是连续的。2、具有等效尾的Fréchet模型在本节中，我们假设X满足H1和H2，θ>1。这意味着Xbelongs到Fréchet MDA（Φθ）的极值吸引域。此域包含具有最终端点xF=sup{x：F（x）<1}=+∞, 因此α-→ 1我们得到eiα（X）-→ +∞ i、 同样，根据Karamata定理（Theorem1.4），对于i=1，d、 （2.1）limx-→+∞E[（Xi）- x） +]x'FXi（x）=θ- 1，尽管我∈ {1，…，d}。提案2.1。设∑=（πij）i，j=1，。。。，对于所有i，j，πij>0的数据∈ {1，…，d}。在H1和H2下，多元∑-期望值的分量eα（X）=（eiα（X））i=1，。。。，dsatisfy0<limα-→1eiα（X）eα（X）≤ limα-→1eiα（X）eα（X）<+∞, 我∈ {2，…，d}。命题2.1意味着具有等价尾部的分布具有渐近可比的多元期望分量。在证明命题2.1之前，我们将演示一些初步结果。首先，让X=（X，…，Xd）t满足H1和H2，我们表示所有i的xi=eiα（X）∈ {1，…，d}。我们为所有（i，j）定义了函数lαXi，xj∈{1，…，d}乘以（2.2）lαXi，Xj（Xi，Xj）=αE[（Xi- xi）+{Xj>Xj}]- （1）- α） E[（Xi）- xi）-{Xj<Xj}]，并且lαXi（Xi）=lαXi，Xi（Xi，Xi）。最优性系统（0.1）重写（2.3）lαXk（Xk）=-dXi=1，i6=kπkiπkklαXi，Xk（Xi，Xk）k∈ {1，…，d}。我们将使用以下集合：Ji={j∈ {1，…，d}{i}| limα-→1xjxi=0}，JiC={j∈ {1，…，d}\\{i}| 0<limα-→1xjxi<limα-→1xjxi<+∞},和Ji∞= {j∈ {1，…，d}{i}| limα-→1xjxi=+∞}.命题2.1的证明是针对πij=1，针对所有（i，j）∈ {1，…，d}，即对于L-期望值。如果所有（i，j）的πij>0，则可以用同样的方法处理泛型酶∈ {1，…，d}。命题2.1的证明来自下面的引理2.2和命题2.3。引理2.2。

假设H1和H2满足。（1）如果t=o（s），则所有（i，j）∈ {1，…，d}，极限→+∞s'FXi（s）t'FXj（t）=0。（2） 如果t=Θ（s），则对于所有（i，j）∈ {1，…，d}，FXi（s）FXj（t）~cicj公司st公司-θ为t→ ∞.附录A.1中给出了证明。回想一下，t=Θ（s）表示存在正常数Cand Csuch，Cs≤ t型≤ C建议2.3。在H1和H2下，极端多元期望满意度的分量0<limα-→11- α′FXi（eiα（X））≤ limα-→11- α′FXi（eiα（X））<+∞, 我∈ {2，…，d}。附录A.2给出了证明。我们现在可以证明命题2.1。命题2.1的证明。我们将证明J∞= , 事实上，Jk∞=  对于所有k∈ {1，…，d}可以用同样的方法证明。这意味着Jk=Jk∞=  对于所有k∈ {1，…，d}，因此得到结果。我们假设J∞6=, 让我∈ J∞, 如有必要，取一个子序列，我们可以假设xi/x→ +∞ asα→ 根据命题2.3，我们得到0<limα-→11- α′FXi（eiα（X））≤ limα-→11- α′FXi（eiα（X））<+∞, 我∈ {2。